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8.4 直线的一般式方程和平行垂直的判断（练
习）
目录
1
题型一、一般式计算斜率和倾斜角.........................................................2
2
题型二、直线平行的判断.........................................................................6
3
题型三、直线垂直的判断.......................................................................12
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1 题型一、一般式计算斜率和倾斜角
一、单选题
1．已知直线的倾斜角为
，且过点
，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由直线倾斜角计算直线的斜率，点斜式求直线方程.
【详解】因为直线的倾斜角为
，所以直线的斜率
.
又因为直线过点
，所以直线的点斜式方程为
，化成一般式为
.
故选：D.
2．已知直线
的倾斜角为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将直线方程化为斜截式，根据斜率与倾斜角关系求
.
【详解】直线
可化为
，可知直线斜率为
.
所以
，解得
.
故选：A.
3．直线
的倾斜角是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先求出直线的斜率
，再根据
求解.
【详解】直线方程化为斜截式：
，斜率
.
设倾斜角为
，
，
由
，得
，所以
.
故选：B
4．过点
和
的直线的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用截距式写出直线方程，化为一般式即可.
【详解】过点
和
的直线方程为
，
化为一般式方程为
.
故选：D
5．已知直线l 过点
，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为
（ ）
A．
B．
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C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分直线在两坐标轴上的截距为0 和不为0 两种情况讨论，分别设
出直线的方程，再将点
代入即可求解.
【详解】当直线l 在坐标轴上的截距均为0 时，设直线方程为
，
因为直线l 过点
，所以
，所以
，所以直线方程为
；
当直线l 在坐标轴上的截距均不为0 时，直线方程设为
，
将
代入可得
，此时直线方程为
，
综上，直线l 的方程为
或
．
故选：C.
6．直线
的倾斜角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先将直线
化为斜截式，可得斜率，再根据斜率求
倾斜角即可．
【详解】将直线
化为斜截式，得
，∴直线的斜
率
，
即倾斜角
满足
，
，故倾斜角为
．
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故选：A．
7．直线
的倾斜角为（ ）
A．45°
B．60°
C．135°
D．150°
【答案】C
【分析】根据直线的方程，算出直线的斜率
，利用
即可算
出所求的倾斜角大小．
【详解】根据题意：
，
所以该直线的斜率为
，设该直线的倾斜角为
，且
，
可得
．
故选：C
8．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由斜率求倾斜角即可.
【详解】直线方程
可化为
，
则直线的斜率为
，设倾斜角为
，则
，
由
，则
，即倾斜角为
.
故选：C.
二、填空题
9．过点
，且斜率为2 的直线的一般式方程为 ．
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【答案】
【分析】由点斜式写出直线方程，再化为一般形式即可.
【详解】因为直线过点
，且斜率为2，
所以直线的点斜式方程为
，所以直线的一般方程为
．
故答案为：
.
10．若过两点
，
的直线的斜率为
，则直线的方程为
．
【答案】
【分析】根据直线斜率求得m 的值，利用直线的点斜式方程可得答案.
【详解】因为直线经过两点
、
且直线的斜率是
，
所以
，解得
,所以点A 的坐标为
，
所以直线的方程为
，化简可得
,
故答案为：
．
11．已知直线的斜率是，且在
轴上的截距是
，则直线的方程是
．
【答案】
【分析】写出直线的斜截式方程，再化为一般式即可.
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【详解】解：因为直线的斜率是，且在
轴上的截距是
，
所以直线的方程为
，即
；
故答案为：
2 题型二、直线平行的判断
一、单选题
1．设直线
，
，下列命题正确
的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据直线位置关系确定方程对应系数关系，再判断选择.
【详解】直线
，
，
则当
时
但
,
当
时
但
重合,
所以A,B 错误，
当
时
,所以C 错误，
故选:D
【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
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2．已知直线
的方程为
，直线
的方程为
，若
，则
A．
或
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得
的值后检验即可
得到
的值．
【详解】因为
，故
，整理得到
，
解得
或
．
当
时，
，
，两直线重合，舎；
当
时，
，
，两直线平行，符合；
故
，选C．
【点睛】如果
，
，
（1）
平行或重合等价于
；
（2）
垂直等价于
．
3．已知直线
，直线
，若
，
则实数a 的值为（ ）
A．1 或
B．1 或3
C．1
D．3
【答案】D
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【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．
【详解】解：
直线
，直线
平行，
且
，
解得
．
实数
的值为
．
故选：
．
【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，
属于基础题．
4．设不同直线
，
，则“
”
是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据两条直线平行的条件，求得
的值，根据充分条件与必要条
件的概念，即可判定出结果.
【详解】当
时，代入两直线方程中，易知两直线平行，
即充分性成立
时，显然
，
从而有
，解得
或
，
但当
时，两直线重合，不合要求，故必要性成立．
故选：C.
【点睛】本题考查了两条直线平行的条件和充要条件这两个知识点，属于
常考题型.
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5．“
”是“直线
与直线
平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平
行时，由斜率相等得到
，故必要性不成立．
【详解】当
时，直线
即
，直线
即
，显然两直线平行，故充分性成立．
当直线
与直线
平行时，
由斜率相等得
，
，
，
故由直线
与直线
平行，不能推出
，故必要性
不成立．
综上，“
”是“直线
与直线
平行”的充分不
必要条件，
故选：
．
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件
和结论
分别
是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
.对于带有否定性
的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命
题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范
围问题也可以转化为包含关系来处理.
0
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6．已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根据直线平行的充要条件，由直线平行求出参数；根据
再验
证两直线是否平行，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】若
与
平行，
则
，解得
或
；
当
时，
与
显然平行；
当
时，
与
也平行；
所以由
不能推出
；由
能推出
.
因此“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
7．设
，则“
”是“直线
：
与直线
：
平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件和充要条件的概念判断.
【详解】解：当
时，
：
，
：
，
1
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，可得两直线平行；
若
与
平行，则
，解得
或
舍，
故为充要条件，
故选：C.
8．直线
和直线
的位置关系是（ ）
A．垂直
B．平行
C．重合
D．相交但不垂直
【答案】B
【分析】将直线方程化为斜截式方程，再根据斜率与截距判断即可；
【详解】解：直线
化为斜截式方程为
，故斜率为
；
直线
化为斜截式方程为
，故斜率为
，
因为
，
所以直线
和直线
的位置关系是平行.
故选：B
二、填空题
9．若直线l1：ax＋3y＋1＝0 与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0 互相平行，则a 的值
为 ．
【答案】-3
2
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【详解】试题分析：由两直线平行可得：
，经检
验可知
时两直线重合，所以
．
考点：直线平行的判定．
10．已知直线
与直线
，则两直线的位置关系
是
【答案】平行
【分析】求出两直线的斜率和截距，根据两直线的斜率相等，而在
轴上
的截距不同的两直线平行来确定该题的答案．
【详解】直线
即
，它的斜率
，在
轴上
的截距是
，
直线
即
，此直线的斜率
，在
轴上的截距
是
，
所以直线
与直线
的位置关系是平行.
故答案为：平行
11．已知直线
，
，且
，则
.
【答案】
【分析】根据两直线平行列关于
的方程，解出
的值，然后代入两直线
3
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方程进行验证是否满足
，即可得出实数
的值.
【详解】
直线
，
，且
，
则
，即
，解得
或.
当
时，
，即
，
，
两直线重合，不合乎题意；
当
时，
，
，两直线平行，合乎题意.
因此，
.
故答案为.
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的
值代入两直线方程，验证两直线是否平行，考查运算求解能力，属于基础题.
3 题型三、直线垂直的判断
一、单选题
1．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】利用两直线垂直时它们的一般方程的系数间的关系可求
的值.
【详解】若直线
与直线
互相垂直，
则
，解得
.
所以“
”是“直线
与直线
4
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互相垂直”的充要条件，选C.
【点睛】如果直线
，
，
（1）若
，则
；
（2）若
，则
且
或
；
（2）若
重合，则
，
，
.
2．若直线
与
垂直，则实数
的值是
A．3 或-3
B．3 或4
C．-3 或-1
D．-1 或4
【答案】A
【详解】∵直线
与
垂直，
∴
，则
或
，故选A.
3．已知直线
：
和直线
：
，下列说明
正确的是
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】结合两直线平行（垂直）的充要条件即可选出答案．
【详解】若
，则选项B、D 都不成立；若
，
5
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，则直线
是一条直线，故选项A 不正确；只有C 正确．
【点睛】对于直线
：
和直线
：
，
①
；
②
4．下列直线中与直线
垂直的一条是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意利用两条直线垂直的判断方法，得出结论.
【详解】解：已知直线
的斜率为
，
而直线
的斜率为
，它与已知直线的斜率之积等于
，故
它和已知直线垂直，故满足条件，故A 满足条件；
而直线
的斜率为
，它与已知直线的斜率之积不等于
，
故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故B 不满足条件；
而直线
的斜率为
，它与已知直线的斜率之积不等于
，
故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故C 不满足条件；
而直线
的斜率为
，它与已知直线的斜率之积不等于
，
故它和已知直线不垂直，故不满足条件，故D 不满足条件，
故选：A.
【点睛】本题考查两直线的垂直的判定，属于基础题.
6
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5．“
”是“直线
和直线
互相垂
直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可
【详解】解：若
时，由
，得
，则
，
由
，得
，则
，
若两直线垂直，则
，则
，化简得
，
若
时，
可化为
，
时，
可化
为
，此时直线
与
垂直，满足
，
所以由
可得直线
和直线
互相垂直，
由直线
和直线
互相垂直，可得
，
所以“
”是“直线
和直线
互相垂
直”的充要条件，
故选：C
6．
是直线
与直线
7
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互相垂直的（ ）.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据两直线互相垂直求出
的值，从而判断结论.
【详解】因为直线
与直线
互相垂直，
所以
，
解得
或
，
所以
是直线
与直线
互相垂直的充分不必要条件.
故选：A.
7．直线
和直线
的位置关系是
（ ）
A．相交且垂直
B．平行
C．相交且不垂直
D．不确定
【答案】A
【分析】根据
和
分类讨论即可．
【详解】解：当
时，
当
时，
，
，
则
，则
．
8
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综上，知
，
故选：A．
二、填空题
8．“
”是“直线
与直线
相互垂直”的 条件.
【答案】充分不必要
【解析】当
时，将直线方程化为点斜式，结合
证明垂直，
再举反例，从而作出判断.
【详解】当
时，直线
与直线
可化为
与
，因为
，所以这两条直线相互垂直
反之，当这两条直线相互垂直时，
不一定为
，比如当
时，这
两条直线的方程分别为
，相互垂直
综上，“
”是“直线
与直线
9
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相互垂直”的充分不必要条件
故答案为：充分不必要
9．直线
与直线
的夹角为 .
【答案】
【分析】先利用斜率之积为
，判定两直线垂直，即可得解.
【详解】由直线
与直线
的方程可知，
两直线的斜率分别为：
，∴
，∴
,∴两直线
的夹角为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查两直线的夹角的求法，关键根据两直线的方程求得斜率，
根据斜率是否乘积为
，从而判定两直线是否垂直是关键点.
10．试给出一组试两条直线
与
互相垂直的
实数
的值 ．
【答案】
（满足
且不为零的实数
的值均符合）
【分析】
由直线相互垂直可得
满足的等式关系，求符合条件的一组
的值即可.
【详解】解：两条直线
与
互相垂直
则有
，即
0
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故答案为：
（满足
且不为零的实数
的值均符合）
11．已知直线
，
.若
，则实数a=
，若
，则实数a= ．
【答案】 0 -1
【分析】根据直线垂直以及平行的充要条件，即可列出方程，解出即得.
【详解】因为
，所以有
，解得
；
因为
，所以有
，解得
，
当
时，
与
重合，舍去；
当
时，
，
，
与
不重合，满足条
件，
所以
.
故答案为：0；-1.
1
