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8.4 直线的一般式方程和平行垂直的判断（讲
义）
目录
1
知识点01 直线的一般式方程....................................................................2
2
知识点02 直线的平行与垂直...................................................................2
3
题型一、一般式计算斜率和倾斜角.........................................................2
4
题型二、直线平行的判断.......................................................................10
5
题型三、直线垂直的判断.......................................................................17
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1
知识点01 直线的一般式方程
1、一般式方程的定义：在平面直角坐标系中，我们把关于x，y的二元一
次方程Ax + By +C =0（其中A、B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一
般式．
2、一般式计算斜率和截距
（1）当B≠0时，方程Ax + By +C =0可以写成y =−A
B x−C
B ，它表示斜率k为
−A
B ，在y轴截上的截距b为−C
B 的直线．
（2）当B≠0，A =0时，它表示垂直于y轴的直线．
（3）当B =0时，A ≠0，方程Ax + By +C =0可以写成x =−C
A ，它表示垂直于
x轴的直线．
3、一般式方程适用范围
直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直
线．
2
知识点02 直线的平行与垂直
1.
已知直线l1,l2的方程：
l1: A1 x + B1 y +C1=0（A1,B1不同时为0），
l2: A2 x + B2 y +C2=0（A2,B2不同时为0）
（1）若A1 A2+ B1B2=0⇔l1⊥l2
（2）若A1B2−A2B1=0
A1C2−A2C1≠0}⇔l1//l2
3
题型一、一般式计算斜率和倾斜角
1．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】根据直线一般方程确定斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角
大小.
【详解】由直线
，则斜率为
，即为倾斜角的正切值，
结合倾斜角的范围，知倾斜角的大小为
.
故选：C
2．下列直线中，倾斜角最小的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用直线的倾斜角和斜率的关系，结合正切函数的性
质，即可求解.
【详解】由A，B，C，D 四个选项中的直线斜率分别为
，
，
，
，
设选项A,B,C,D 中的直线的倾斜角分别为
，其中直线的倾斜角
的范围为
，
可得
，
，
，
，
所以
，且
，
又因为
在
为单调递增函数，所以
，所以倾斜角最小
的是
,
故选：D.
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3．过点
和
的直线的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用截距式写出直线方程，化为一般式即可.
【详解】过点
和
的直线方程为
，
化为一般式方程为
.
故选：D
4．若直线
的倾斜角的大小为
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据直线方程及其倾斜角，结合斜率与倾斜角关系列方程求参数
值.
【详解】由题意知直线存在斜率为
，则
，可得
.
故选：D
5．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由直线方程为
可知直线的斜率为
，
因此倾斜角为
．
故选：B．
6．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再直接求出其倾斜角.
【详解】直线
的斜率为
，
令该直线倾斜角为
，则有
，
又
，于是
，
所以直线
的倾斜角为
.
故选：A
7．若直线
的倾斜角为
，则实数m 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由直线方程求得直线的斜率，结合斜率等于倾斜角的正切值，列
出方程，即可求解．
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【详解】因为直线
的倾斜角为
，所以斜率存在，故
，
由直线方程
，可得直线的斜率为
，
因为直线
的倾斜角为
，可得
，解得
.
故选：A.
8．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的直线方程，求出其斜率，进而求出倾斜角.
【详解】直线
的斜率
，
所以直线
的倾斜角为
.
故选：B
9．直线
的倾斜角为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直线
的斜率公式为
，先使用这个公式求
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出直线
的斜率，再用公式
，求出倾斜角即可.
【详解】
，
，
设倾斜角为
，
，
，
，
，
.
故选：A.
二、填空题
10．直线
的倾斜角为
【答案】
【分析】借助倾斜角与斜率的关系计算即可得.
【详解】因为直线方程为
，即
，
所以直线的斜率
，
所以倾斜角
，
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故答案为：
.
11．已知点
、
，则直线
的方程是 .
【答案】
【分析】先根据两点求直线的斜率，再由点斜式方程即可求解.
【详解】设直线
的斜率为
，所以
，
所以直线
的方程为
，即
.
故答案为：
.
12．直线
与
的夹角大小为 ．
【答案】
/
【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由
知倾斜角为
，根据倾
斜角求出两直线的夹角.
【详解】直线
化为斜截式为
，
故直线的斜率是
，
直线的倾斜角
满足
，
结合
，可得
，
直线
倾斜角为
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所以直线
与
的夹角大小为
.
故答案为：
13．直线
在
轴上的截距是 .
【答案】
【分析】在直线方程
中，令
即可得解.
【详解】在直线方程
中，令
，解得
.
故答案为：
.
14．直线
在x 轴上的截距为3，则实数m
的值为 ．
【答案】
【分析】由横截距为3 知直线过点
，将其代入直线方程，即可求解．
【详解】因为直线
在x 轴上的截距为3，
所以直线过
，将
代入直线方程得
，解得
．
故实数m 的值为
．
故答案为：
三、解答题
15．根据下列条件，写出直线方程的一般式：
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(1)经过点
，且倾斜角为
；
(2)经过点
和点
(3)经过点
，在x，y 轴上有相等的截距．
【答案】(1)
(2)
；
(3)
或
.
【分析】（1）由题知直线的斜率为
，进而根据斜截式方程求解并
化为一般式方程即可；
（2）根据斜率公式得直线斜率为
，进而根据点斜式方程求解并化
为一般式方程即可；
（3）分截距为0 和不为0 两种情况求解.
【详解】（1）因为直线经过点
，且倾斜角为
，
所以直线的斜率为
，则直线方程为
，
所以直线的一般方程为
；
（2）因为直线经过点
和点
，
所以直线斜率为
，直线方程为
，
所以直线的一般式方程为
；
（3）当直线在x，y 轴上截距都为0 时，
0
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设直线方程为
，则
，得
，
设直线方程为
，即
；
当直线在x，y 轴上截距都不为0 时，
由题设直线方程为
，
因为直线过点
，所以
，解得
，
所以直线的一般式方程为
,
综上所述，所求直线为
或
.
4
题型二、直线平行的判断
1．若直线
与直线
互相平行，则实数
的值等于
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】D
【分析】根据两直线平行时系数的关系，列出方程求出
的值.
【详解】
直线
与直线
互相平行，
，
即
,
解得
或
,
1
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当
时，两直线重合，当
时，两直线平行，
所以实数
的值等于
.
故选：D.
2．若直线
和
平行，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】利用两条直线的平行关系，求出
的值即可.
【详解】因为直线
和
平行，
所以
，解得
或
；
当
时，此时直线
和
平行，满足题意；
当
时，此时直线
和
重合，不满足题意，舍
去.
综上所述：
.
故选：A.
3．“
”是“直线
与
平
行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件，判断“
”和“直线
2
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与
平行”之间的逻辑关系，即可
得答案.
【详解】当
时，直线
与
平行；
当直线
与
平行时，
有
且
，解得
，
故“
”是“直线
与
平
行”的充要条件，
故选：C
4．若直线
与
平行，则a
的值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．2 或3
【答案】B
【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解.
【详解】由题意
，所以
，
解得
.
故选：B.
5．下列选项中，与直线
平行的直线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先将直线方程化为一般式方程，然后判断
是否成
3
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立，注意分析重合情况.
【详解】
，
对于A：
，可知两直线重合，不符合；
对于B：
，所以不平行，不符合；
对于C：
，所以不平行，不符合；
对于D：
，
，且
，所以两直线平行，符合；
故选：D.
6．已知直线
与直线
相互
平行，则实数
的值是（ ）
A．
B．1 或
C．
D．6
【答案】A
【分析】根据两直线平行列方程求解即可.
【详解】由题意，
，解得
或
，
当
时，
，
，满足
；
当
时，
，即
，
，
两直线重合，不符合题意.
综上所述，
.
故选：A.
4
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7．已知直线
，直线
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由直线一般式平行表示可得答案.
【详解】因
，则
.
当
，
，
，两直线互相平行.
则则“
”是“
”的充要条件.
故选：C
8．已知直线
，
，则
的充要条件的是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行列方程求解
，然后检验判断即可.
【详解】因为
，所以
且
，
5
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解得
，
当
时，直线
，
，显然
，
所以
的充要条件的是
.
故选：A
二、填空题
9．若直线
：
与直线
：
平行，则
．
【答案】2
【分析】结合已知条件，利用直线间的平行关系求出参数
，然后对参数
进行检验即可求解.
【详解】因为直线
：
与直线
：
平行，
所以
，解得，
，
当
时，直线
：
，直线
：
，即
，满足题意；
当
时，直线
：
，直线
：
，即
，
则此时两直线重合，不满足题意，舍去.
综上所述，
.
故答案为：2.
10．直线
和直线
的位置关系是 ．
6
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【答案】相交（不垂直）
【分析】求得两直线斜率，根据两直线的斜率，即可判断两直线的位置关
系.
【详解】由题意得直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
由于
且
，即两直线相交且不垂直，
故答案为：相交（不垂直）
11．已知直线
，直线
，且
，则
的值为 .
【答案】0
【分析】根据两直线平行，列式计算，经验证即可确定答案.
【详解】由
，可得
，即
，
故
或
，
当
时，直线
和直线
平行，符合题意；
当
时，直线
和直线
重合，不合
题意，
故
，
故答案为：0
12．已知直线
．若
，则实数
的值为 ．
【答案】2
【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果.
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【详解】因为
，所以
，解得
或
.
当
时，
，符合题意.
当
时，
，两直线重合，不合题意.
综上，
.
故答案为：2.
13．若直线
和直线
的位置关系为 .
【答案】平行
【分析】将直线方程化为斜截式，利用两直线平行的判定判断即可.
【详解】直线
即
，直线
即
，
显然两直线斜率相等，纵截距不等，
故直线
和直线
的位置关系为平行.
故答案为：平行
三、解答题
14．已知两条直线
：
，
：
．
（1）当
为何值时，
与
相交；
（2）当
为何值时，
与
平行．
【答案】（1）
且
（2）
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【分析】（1）当
时，检验
与
相交，满足条件，当
时，根
据
，解得
的范围，综合可得结论；
（2）由
，求得
的值．
【详解】解：（1）对于两条直线
，
，
当
时，两直线相交，
当
时，
，解得
，且
，
综上，
，且
时，
与
相交；
（2）当
，即
时，两直线平行．
【点睛】本题主要考查两条直线的平行和相交的判断方法，属于基础题．
15．已知直线
；
(1)若
，求实数
的值；
(2)若不经过坐标原点的直线
在两个坐标轴上的截距相等，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即
可.
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（2）由题意得
，并分别求解
轴上的截距，根据截距相等
列方程求解即可.
【详解】（1）当
时，满足
，解得
.
所以实数
的值为
.
（2）因为
.
且由题意可知
，所以解得
且
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，解得
.
所以实数
的值为
.
5
题型三、直线垂直的判断
1．若直线经过点
且与直线
垂直，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得.
0
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【详解】解析 因为直线与直线
垂直，所以的斜率为-2，所以
的方程为
，即
．
故选：A.
2．已知点
，
，则线段
的垂直平分线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出线段
的中点，以及直线
的斜率，进而利用点斜式
求出方程即可.
【详解】由题意可得，线段
的中点为
，直线
的斜率为
，
则线段
的垂直平分线的斜率为，则其方程为
，即
.
故选：B
3．过点
且与直线
垂直的直线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
1
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【分析】设所求直线方程为
，把点
代入得
的值即可.
【详解】设过点
且与直线
垂直的直线方程为
.
把点
代入得
，解得c＝8，
所求直线的方程为
.
故选：C.
4．经过点
且与直线
垂直的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可.
【详解】设与直线
垂直的直线方程为
，
将点
代入，可得
，解得
，
可得所求直线方程为
，故B 正确.
故选：B.
5．已知直线
，
：
，若
，
则实数
的值为（ ）
A．0
B．
C．2
D．0 或
【答案】D
【分析】分
和
两种情况讨论，即可求解．
2
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【详解】当
时，
，
：
，则
，符合题意；
当
，直线
的斜率
，直线
的斜率
，
由
得，
，解得
，
综上所述，实数
的值为0 或
，
故选：D．
6．已知直线
，䒴
，
，则
（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】B
【分析】由两直线平行和垂直的条件，列方程求解.
【详解】已知直线
，
由
，得
，且
，解得
，
由
，得
，故
.
故选：B.
7．“
”是“直线
与直线
相互垂直”的
3
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（ ）条件
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充要
D．既非充分也非必要
【答案】A
【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即
可判断选项.
【详解】直线
与直线
相互垂直，
则
，所以不管
为何值，两直线垂直，
所以“
”是“直线
与直线
相互垂直”的充
分非必要条件.
故选：A
8．“
”是“直线
与直线
互相垂直”的
（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用直线垂直条件，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】当
时，直线
与直线
中，
，它们互相垂直，
当直线
与直线
互相垂直时，
，
，
所以“
”是“直线
与直线
互相垂直”
的充要条件.
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故选：A
9．已知两条直线
和
相互垂直，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式可求得
的值.
【详解】∵直线
和
相互垂直，
∴
，解得
.
故选：C.
10．已知直线
，
，若
，则实数
a 的值为（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果.
【详解】∵
，
∴
，解得
.
故选：C.
二、填空题
11．已知直线l1：ax＋2y－3＝0，l2：3x＋(a＋1)y－a＝0，若l1⊥l2则a 的值
为 .
5
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【答案】
/-0.4
【分析】由两一般式直线垂直条件可得答案.
【详解】因两直线互相垂直，则
，得
.
故答案为：
.
12．已知直线
和直线
互相垂直，
则实数
的值为 ．
【答案】
或
【分析】根据两条直线垂直的充要条件列出方程即可得解.
【详解】因为直线
和直线
互相
垂直，
所以
，
解得
或
.
故答案为：
或
13．若直线
与直线
垂直，则实数
.
【答案】
/
【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可.
【详解】因为直线
与直线
垂直，
6
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所以
，即
，解得
，
故答案为：
.
14．已知直线
，
，若
，则实数
．
【答案】
或
【分析】由直线的一般式方程及两条直线垂直的条件可列出方程，解方程
得到
的值.
【详解】因为直线
，所以
，解得
或
．
故答案为：
或
7
