文档文本内容
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第04 讲整式的乘法
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 单项式乘单项式和单项式乘多项式
1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
.
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（单项式乘多项式的结果仍是多项式，原多项式的项数与计算后的项数相同）
注意：
（1）可以先确定正负
（2）偶次幂恒为正
（3）有乘方的先算乘方
知识点2 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
课本典例1
计算：（1）3b3· 5
6
b2；
（2）（-6ay3）（-a2）；
（3）（-3x）3·（5x2y）；
（4）（2×104）（6×103）·107．
课本典例2
已知单项式
3
2
1
3
2
n
m y
x
和
1
2
7
m
n y
x
的积与
4
6 y
x
是同类项，求
n
m
mn
)
(
的值.
课本典例3（习题11.2 第6 题）
世界上最大的金字塔—— 胡夫金字塔高达146.6m，底边长230.4m，用了约2.3 × 106块大石块，每块重约
2.5 × 103kg。问：胡夫金字塔总重约为多少千克？
课本典例4（习题11.2 第7 题）
已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差2，甲、乙两长方形的周长相等。问：哪个长方
形的面积大？大多少？
题型一计算单项式乘单项式
1．（24-25 八年级上·北京·期中）计算
2
4
3
x
xy
．
2．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）计算：
2
3
3
2
xy
x y
（
）
A．
4
3
6x y
B．
3
2
6x y
C．
4
3
6x y
D．
3
2
12x y
3．（24-25 八年级上·重庆九龙坡·期末）计算
4
2
a
a
的结果是（
）
A．
3
2
a
B．
5
2a
C．
3
2a
D．
5
2a
4．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）福厦高铁车速为a 千米/时，高铁行驶3b 小时的路程为多少千米．（
）
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A．3ab
B．9ab
C．3b
a
D．ab
题型二利用单项式乘法求字母的值
5．（24-25 八年级上·河南周口·期末）若
1
2
2
1
2
5
3
m
n
n
n
a
b
a
b
a b
，则求 m
n
的值．
6．（24-25 八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果
4
nx y 与2
m
xy 相乘的结果是
5
7
2x y ，那么m 和n 的值
分别是（
）
A．3，5
B．2，1
C．3，4
D．4，5
7．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式
3
6x y 与
2
3
2
nx y
的积为
9
3
mx y ，则n 的值为（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
8．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式
2
4xy 与
3
1
3 x y
的积为
3
n
mx y ，则
,
m n 的值为（
）
A．
4 ,
4
3
m
n
B．
12,
2
m
n
C．
4 ,
3
3
m
n
D．
12,
3
m
n
题型三利用单项式乘法求代数式的值
9．（23-24 九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知
2
2
1
0
x
x
，则代数式
2
3
x x
的值为（
）
A．0
B．2
C．1
D．3
10．（22-23 八年级上·重庆·期中）已知代数式
2
6
x
x
的值是7，则代数式
3
2
2
17
x
x
的值是
．
11．（20-21 八年级上·全国·课后作业）若
3
2
9
8
m
n
x
x y
x y
，则4
3
m
n
（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
题型四计算单项式乘多项式的值
12．（24-25 八年级上·广东广州·期中）计算：
3
5
2
a
a
b
（
）
A．15
6
a
ab
B．8
6
a
ab
C．
2
15
6
a
ab
D．
2
15
6
a
ab
-
13．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂
笔记复习，发现一道题：
2
4
3
2
3
12
12
xy
y
x
xy
xy
□
，W 的地方被墨水弄污了，你认为W 应填写
（
）
A．
2
8x
B．
2
8x y
C．
2
8x y
D．
2
8xy
14．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）计算：
3
2
2
3
2
1
1
2
2
2
2
a
a
b
a
b
．
15．（17-18 七年级下·全国·单元测试）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家
拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：
2
2
3
(4
2
1)
12
6
xy
y
x
xy
x y
．空
格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写
．
题型五利用单项式乘多项式求参数的值
16．（24-25 八年级上·河南周口·期中）要使
2
2
x
x
mx
x
的展开式中不含
2x 的项，则m 的值是（
）
A．0
B．2
C．2
D．2
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17．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）若
2
2
2
5
6
x x
ax
x
的计算结果中不含有
2x 项，则a 的值为（
）
A．
3
B．
1
3
C．0
D．3
18．（22-23 七年级下·四川达州·期中）若a，b 均为整数，且
4
2
3
2
3
a
x x
x
bx
，则
ba 等于（
）
A．6
B．8
C．9
D．16
19．（23-24 七年级下·全国·课后作业）若
3
2
3
3
2
5
4
x ax
x
b
x
c
x
x
恒成立，求a
b
c
的值．
题型六单项式乘多项式的应用
20．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为
．
21．（24-25 八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知
空地的长比宽的2 倍少1 米，周边的道路是等宽的．
(1)设空地的宽是a 米，周边道路的宽度是x 米，请表示出花圃的面积；
(2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是m 米，请用m 表示出花圃的面积．
22．（2025 九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为3a 米，宽为2b 米，高为
a
b
米．
(1)该包装箱的体积为
立方米．
(2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？
23．（24-25 八年级上·山东济宁·阶段练习）我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开
展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形．
(1)请用含a，b 的式子表示该截面的面积S；
(2)当
2cm
a
，
3cm
b
时，求这个截面的面积．
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题型七计算多项式乘多项式
24．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）
1 3
2
x
x
；
25．（24-25 八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算
2
2
x
y
x
xy
y
（2）计算
2
2
2
4
2
1
2
3
3
4
3
xy
xy
x
x y
xy
26．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）善于思考的小聪对“十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数乘
法”进行了深入地探究，得到了下列速算方法：十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数相乘，将一个
因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1 的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位；将两个因数的
个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐）．比如47 43
，它们乘积的前两位
是4 与
4 1
的积，即20，它们乘积的后两位是7 与3 的积，即21，所以47 43
2021
；又如21 29
，
2
2
1
6
，不足两位，就将6 写在百位，1 9
9
，不足两位，就将9 写在个位，十位上写零，所以
21 29
609
．
若A ，B 是满足上述条件的两个因数，设因数A 的十位数字为a ，个位数字为b （1
9
a
，1
9
b
；a ，
b 都是正整数）．
(1)因数A 表示为_________，因数B 表示为_________；（用含a ，b 的代数式表示）
(2)用所学的整式的乘法说明上述阅读材料中的速算方法是正确的．
题型八（x+p）（x+p）型多项式乘法
27．（24-25 八年级上·重庆·期中）若
2
3
2
x
x
x
mx
n
，则m
n
的值是（
）
A．5
B．7
C．5
D．7
28．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数a 、b ，定义运算
1
a
b
a b
，当x 为实数时，
1
1
x
x
的化简结果为（
）
A．
2
1
x
B．
2
2
x
x
C．
2
2
x
x
D．
2
2
x
x
29．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如果
2
3
12
x
m
x
x
x
，则m 的值为（
）
A．4
B．4
C．2
D．2
30．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法
x
a
x
b
”
的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）①
2
2
2
1
3
3
3
1 3
3
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
②
2
2
2
2
5
2
5
10
2
5
10
7
10
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
③
2
2
2
2
5
10
2
5
10
3
2
10
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
④
9
5
x
x
___________．（填最终化简结果）
规律总结：（2）
x
a
x
b
___________．（填最终化简结果）
6 / 13
应用规律：（3）①若
2
6
2
x
x
x
ax
b
，求,a b 的值；
②若
1
x
x
m
的结果不含x 的项，求m 的值．
题型九已知多项式乘积不含某项求字母的值
31．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）已知关于x 的多项式ax
b
与
2
3
2
x
x
的乘积展开式中不含x
的二次项，且一次项系数为5，则ab 的值为（
）
A．
1
3
B．1
3
C．3
D．3
32．（12-13 七年级下·浙江温州·期末）如果(
)
x
m
与(
3)
x
的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（
）
A．1
B．3
C．0
D．3
33．（23-24 八年级上·福建泉州·期中）若
2
3
x
m
x
的展开式中不含x 的一次项，则实数m 的值为（
）
A．6
B．0
C．3
D．6
34．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式
1
(
2 )(
2
1)
4
2
s
t s
t
t t
的值与s、t 的取值有
无关系；
（2）已知多项式ax
b
与
2
x
的乘积展开式中不含x 的一次项，且常数项为4
，试求
ba 的值．
题型十多项式乘多项式——化简求值
35．（24-25 八年级上·吉林·期中）已知
2
1
m
n
mn
，
，则
1
1
m
n
的值是
．
36．（20-21 八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：
2
2
1 2
1
2
3
a
a
a
，其中
1
12
a
．
37．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：
3
2
2
a
a
a a
，其中
10
a
．
38．（24-25 八年级上·辽宁大连·期中）已知
3
mx
x
n
的展开式中不含x 项，且常数项是3
．
(1)求m ，n 的值．
(2)求
2
2
m
n
m
mn
n
的值．
39．（22-23 八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值：
2
2
2
5
2
3
2
4
6
x
x
x
x x
x
，其中
2
x
；
题型十一多项式乘多项式与图形面积
40．（2024 七年级上·北京·专题练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（
）
A．
2
5
x
x
B．
3
6
x x
C．
2
3
2
x
x
D．
3
2
2
x
x
x
7 / 13
41．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，在边长为
6 cm
a
的正方形中，剪去一个边长为
1 cm
a
的小正
方形
0
a
，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（
）
A．
2
35cm
B．
2
5
35 cm
a
C．
2
14
37 cm
a
D．
2
10
35 cm
a
42．（24-25 八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某校有一块长为
4
m
a
b
，宽为
3
m
a
b
的长方形地块，
后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像，请计算该地块绿化部分
的面积．
43．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为
2
x
y
米，宽为
2x
y
米的
长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
(1)用含x，y 的式子表示“T”型图形的面积并化简；
(2)若
2
x
，
3
y ，预计修建文化广场每平方米的费用为150 元，求修建文化广场所需要的费用．
题型十二多项式乘法中的规律性问题
44．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的
三角形解释二项和的乘方规律，即
0,1,2,3,
n
a
b
n
展开式系数的规律：
0
1
2
2
2
3
3
2
2
3
4
4
3
2
2
3
4
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
1
3
3
1
4
6
4
1
4
6
4
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
a
a b
ab
b
a
b
a
a b
a b
ab
b
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以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，
6
a
b
展开式的系数和是（
）
A．32
B．64
C．128
D．256
45．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的
乘法运算及结果都有规律．
例如：
2
3
1
1
1
a
a
a
a
；
2
3
2
4
2
8
y
y
y
y
；
2
2
3
3
3
3
9
27
m
n
m
mn
n
m
n
．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b 的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为3
64(
4)
t
t
，底面积为
2
(
2)
t
n
，装满水时的高度为
4
t ．求n
的值．
46．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读材料：杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形
中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393 年．如图，根据你观察的杨辉三角的排
列规律，完成下列问题．
(1)判断
2
a
b
的展开式共有______项；写出
6
a
b
的第三项的系数是______；
(2)计算与猜想：
①计算：
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
；
②猜想：
6
2
1
x
的展开式中含
3x 项的系数是______：
(3)运用：若今天是星期五，过7 天仍是星期五，那么再过
68 天是星期______．
47．（22-23 七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究；
下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1 个多项式都是
a
b
；
第1 个等式：
2
2
a
b
a
b
a
b
；
第2 个等式：
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
；
第3 个等式：
3
2
2
3
4
4
a
a b
ab
a
b
b
b
a
；
…
【规律】（1）请根据规律，写出第4 个等式：________________；
【猜想】
（2）猜想：
1
2
3
2
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
b
a b
ab
b
________（其中n 为正整数，且
2
n
）；
【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：
9
8
7
6
3
2
3
3
3
3
3
3
3
．
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一、单选题
1．（23-24 八年级上·广西河池·期末）下列各式中，计算正确
．．的是（
）
A．
3
3
6
a
a
B．
2
5
10
a
a
a
C．
4
2
2
a
a
a
D．5
2
10
a
a
a
2．（24-25 八年级上·重庆·期中）规定：对于依次排列的多项式x
a
，x
b
，x
c
，x
d
（a 、b 、c 、d
是常数），当它们满足
x
a
x
d
x
b
x
c
M
（M 为常数），则称a 、b 、c 、d 是一组平衡数，
M 是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论：
①对于多项式
3
x
，
2
x
，
5
x
，
4
x
，则3、2、5、4 是一组平衡数；②已知1、2、5、6 是一组平衡数，
则该组平衡数的平衡因子
4
M
；③已知a 、b 、c 、d 是一组平衡数，若
5
a ，
4
d
，则
1
b
c
；④
当a 、b 、c 、d 之间满足
0
a
d
b
c
时，它们是一组平衡数．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
3．（24-25 八年级上·新疆和田·阶段练习）某同学做了四道题：①3
4
7
m
n
mn
；②
3
2
6
2
8
a
a
；
10 / 13
③
6
2
3
6
2
3
x
x
x
；④
3
2
5
y
xy
xy
，其中正确的题号是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
4．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列运算正确的是（
）
A．
2
3
6
4
2
8
m
m
m
B．
3
2
6
m
m
C．
2
2
2
m
m
m
m
D．
2
3
6
m
m
m
5．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，根据面积关系，可得到的等式是（
）
A．
x a
b
ax
bx
B．
x a
b
ax
bx
C．
2
2
2
x a
b
ax
bx
D．
2
2
2
x a
b
ax
bx
6．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）若实数
0
a
，下列计算正确的是（
）
A．
3
2
a
a
a
B．
2
2
2
2
a b ab
a b
C．
3
3
9
3
2
6
a b
a b
D．
6
4
2
a
a
a
7．（24-25 八年级上·山东德州·期中）若
3
1
x
a
x
的结果中不含x 的一次项，则（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
3
a
D．
3
a
8．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”
（如图），介绍了
n
a
b
（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么
6
a
b
展开式中第
四项的系数为（
）
1
1
1
a
b
a
b
2
2
2
1
2
1
a
b
a
ab
b
3
3
2
2
3
1
3
3
1
a
b
a
a b
ab
b
A．8
B．10
C．18
D．20
9．（24-25 八年级上·北京·期中）下列各式中，能用图中的图形面积关系来验证的式子是（
）
11 / 13
A．(
)
a b
x
ab
ax
B．(
)
b a
x
ab
bx
C．
2
a
x
b
x
ab
ax
bx
x
D．(
)(
)
a
x b
x
ab
ax
bx
10．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）对于多项式x
a
，x
b
，x
c
，x
d
（a，b，c，d 是常数），若
x
a
与x
b
的积减去x
c
与x
d
的积，其差为常数，则a，b，c，d 应满足的关系是（
）
A．a
b
c
d
B．a
b
c
d
C．a
b
c
d
D．ab
cd
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广西河池·期末）计算：
3
1
a
b
．
12．（24-25 八年级上·重庆·期中）计算：
2
2
1
x x
y
．
13．（24-25 八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A 种纸片
是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a、宽为b 的长方形，若要拼出一个
面积为2
)(
6 )
( a
b a
b
的长方形，则需要C 号卡片
张．
14．（24-25 八年级上·江苏淮安·期中）小红同学在解决问题“已知
4
x
y
，求xy 的最小值”时，给出框图
中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若
2
8
x
y
，则式子2
xy
．
小红的思路：
设
2
x
m
，
2
y
m
，
则
2
2
2
4
xy
m
m
m
，
2
0
m
2
4
4
m
，
xy
的最小值为4
．
12 / 13
15．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n 满足：
3
m
n
，mn
2
．则
1
1
m
n
的值
等于
．
三、解答题
16．（20-21 七年级下·江苏扬州·期中）在计算
2x
a
x
b
时，甲错把b 看成了6 ，得到的结果是
2
2
8
24
x
x
，乙错把a 看成了a
，得到的结果是
2
2
14
20
x
x
．
(1)求a 、b 的值；
(2)将a ，b 的值代入
2x
a
x
b
并化简，求出正确的结果．
17．（24-25 八年级上·广西河池·期末）计算：
2
2
xy
x x y
18．（23-24 八年级上·广西河池·期末）【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我
国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们
祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13
世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉
在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨
辉三角”或“贾宪三角”．
【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．
【知识应用】阅读材料，完成填空：
（1）
0
1
x
（
1
x ）
（2）x
y
x
y
（3）
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
（4）
3
3
2
2
3
3
3
x
y
x
x y
xy
y
（5）
4
x
y
4x
3x y
3
4
4xy
y
．
（6）请写出展开式：
5
x
y
．
【迁移应用】利用杨辉三角，计算114 值．（要求写出解答过程）
19．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需
13 / 13
求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，现计划将其分成两
个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x 米．
(1)求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x 的式子表示）
(2)工程负责人准备用A
B
、
两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览
区若用A 种彩砖每平方米需要90 元，若用B 种彩砖每平方米需要60 元，当
4
x
时，若铺设展览区的总费
用不超过45540 元，求最多购买多少平方米A 种彩砖？
20．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，某乡镇有一块长为
4a
b
米，宽为
3a
b
米的长方形耕地，
当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为
2a
b
米，宽为
a
b
米的长方形耕地，退耕还林．
(1)求退耕还林的面积．（用含a、b 的代数式表示，要求化简）
(2)当
200
a
，
100
b
时，求退耕还林的面积．
