文档文本内容
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第04 讲整式的乘法
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 单项式乘单项式和单项式乘多项式
1.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连
同它的指数作为积的一个因式。
2.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。
.
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（单项式乘多项式的结果仍是多项式，原多项式的项数与计算后的项数相同）
注意：
（1）可以先确定正负
（2）偶次幂恒为正
（3）有乘方的先算乘方
知识点2 多项式乘多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
课本典例1
计算：（1）3b3· 5
6
b2；
（2）（-6ay3）（-a2）；
（3）（-3x）3·（5x2y）；
（4）（2×104）（6×103）·107．
【解题思路】进行单项式乘法时应注意：①运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先
算括号的，如第（3）小题；②单项式乘法对于三个以上的单项式相乘同样适用，如第（4）小题；③负因
式的个数为奇数个时，结果为负，负因数为偶数个时，积为正，如第（2）小题.
【解】（1）3b3· 5
6
b2=（3× 5
6
）（b3·b2）= 5
2
b5；
（2）（-6ay3）（-a2）=[（-6）×（-1）]×（a·a2）·y3=6a3y3；
（3）（-3x）3·（5x2y）=（-27x3）·（5x2y）=-135x5y；
（4）（2×104）（6×103）·107=（2×6）（104×103×107）=1.2×101 5．
【方法归纳】（1）单项式的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘．（2）单项式
与单项式相乘，若它们的系数为带分数，应化为假分数，再相乘，且最后结果的系数若是带分数应化为假
分数．
课本典例2
已知单项式
3
2
1
3
2
n
m y
x
和
1
2
7
m
n y
x
的积与
4
6 y
x
是同类项，求
n
m
mn
)
(
的值.
【解题思路】单项式相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化.
【解】∵
4
2
3
3
1
2
3
2
1
3
14
7
2
n
m
n
m
m
n
n
m
y
x
y
x
y
x
又∵单项式
3
2
1
3
2
n
m y
x
和
1
2
7
m
n y
x
的积与
4
6y
x
是同类项，
∴
4
4
2
6
3
3
n
m
n
m
解得
3
2
n
m
∴
5
3
2
6
)3
2
(
)
(
n
m
mn
.
∴
n
m
mn
)
(
的值为
56 .
【方法归纳】注意不要将系数与指数混淆.
课本典例3（习题11.2 第6 题）
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世界上最大的金字塔—— 胡夫金字塔高达146.6m，底边长230.4m，用了约2.3 × 106块大石块，每块重约
2.5 × 103kg。问：胡夫金字塔总重约为多少千克？
【答案】5.75 × 109kg
【解析】根据总重量= 石块数量× 每块石块重量，已知石块数量约为2.3 × 106块，每块重约2.5 × 103kg。
根据同底数幂的乘法法则am × an = am+n （m 、n 为正整数）以及乘法交换律和结合律：
2.3 × 106 × 2.5 × 103
=
2.3 × 2.5 × 106 × 103
=
5.75 × 106+3
=
5.75 × 109 kg
【点睛】明确题目所求为金字塔总重量，关键是找到总重量与石块数量、每块石块重量的关系。注意题目
中给出的数量是用科学记数法表示的，计算时要运用科学记数法的运算规则。
课本典例4（习题11.2 第7 题）
已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差2，甲、乙两长方形的周长相等。问：哪个长方
形的面积大？大多少？
【答案】乙长方形面积大，大8。
【解析】设甲长方形较短边长为x，则较长边长为x + 6，那么甲长方形周长甲C? = 2 x + x + 6 = 4x + 12 ，
面积甲S? = x x + 6 = x2 + 6x。因为甲、乙两长方形周长相等，所以乙长方形周长乙C? = 4x + 12，设乙长方
形较短边长为y，则较长边长为y + 2，2 y + y + 2 = 4x + 12，化简可得4y + 4 = 4x + 12，解得y = x + 2，那
么
乙
长
方
形
面
积
乙
S? = x + 2
x + 2 + 2 = x + 2
x + 4 = x2 + 6x + 8
。
乙
甲
S??S? = x2 + 6x + 8 ? x2 + 6x = 8，所以乙长方形面积大，大8。
【点睛】明确已知条件是两个长方形相邻边的差值和周长相等，所求为面积大小比较及差值。要通过设未
知数，根据周长和边长关系表示出边长，再根据长方形面积公式求出面积并比较。
题型一计算单项式乘单项式
1．（24-25 八年级上·北京·期中）计算
2
4
3
x
xy
．
【答案】
2
2
12x y
【分析】此题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是熟知其运算法则．
根据单项式乘单项式的运算法则即可求解．
【详解】解：
2
2
2
4
3
12
x
xy
x y
，
故答案为：
2
2
12x y ．
2．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）计算：
2
3
3
2
xy
x y
（
）
A．
4
3
6x y
B．
3
2
6x y
C．
4
3
6x y
D．
3
2
12x y
【答案】C
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的法则，根据单项式与单项式的乘法运算法则，系数与系数相
乘作为系数，相同的字母相乘，同底数的幂相乘，底数不变指数相加，计算求解，即可解题．
【详解】解：
2
3
4
3
3
2
6
xy
x y
x y
，
故选：C．
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3．（24-25 八年级上·重庆九龙坡·期末）计算
4
2
a
a
的结果是（
）
A．
3
2
a
B．
5
2a
C．
3
2a
D．
5
2a
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
利用单项式乘单项式法则计算即可．
【详解】解：
4
5
2
2
a
a
a
，
故选：B ．
4．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）福厦高铁车速为a 千米/时，高铁行驶3b 小时的路程为多少千米．（
）
A．3ab
B．9ab
C．3b
a
D．ab
【答案】A
【分析】本题考查了单项式与单项式乘法的应用，根据路程速度时间求解即可．
【详解】解：由题意得，
3
3
a
b
ab
千米．
故选：A．
题型二利用单项式乘法求字母的值
5．（24-25 八年级上·河南周口·期末）若
1
2
2
1
2
5
3
m
n
n
n
a
b
a
b
a b
，则求 m
n
的值．
【答案】10
3
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到
1 2
1
2 2
5
3
m
n
n
n
a
b
a b
，
据此可得
2
5
3
2
3
m
n
n
，解之即可得到答案．
【详解】解：∵
1
2
2
1
2
5
3
m
n
n
n
a
b
a
b
a b
，
∴
1 2
1
2 2
5
3
m
n
n
n
a
b
a b
，
∴
2
5
3
2
3
m
n
n
，
∴
5
3
5
3
m
n
，
∴
10
3
m
n
．
6．（24-25 八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如果
4
nx y 与2
m
xy 相乘的结果是
5
7
2x y ，那么m 和n 的值
分别是（
）
A．3，5
B．2，1
C．3，4
D．4，5
【答案】C
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【分析】本题考查整式乘除，解题的关键是掌握单项式与单项式乘法．根据单项式乘以单项式法则即可求
出m 、n 的值．
【详解】解：由题意可知：
4
1
4
5
7
2
2
2
n
m
n
m
x y
xy
x
y
x y
，
1
5
n
，4
7
m
，
3
m
，
4
n
，
故选：C
7．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式
3
6x y 与
2
3
2
nx y
的积为
9
3
mx y ，则n 的值为（
）
A．12
B．9
C．6
D．3
【答案】C
【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指
数不变，作为积的因式，据此即可求出答案．
【详解】解
3
2
9
3
3
6
2
n
x y
x y
mx y
，
3
3
9
3
9
n
x
y
x y
m
，
9
m
，3
9
n
，
6
n
，
故选: C．
8．（2024·陕西榆林·三模）已知单项式
2
4xy 与
3
1
3 x y
的积为
3
n
mx y ，则
,
m n 的值为（
）
A．
4 ,
4
3
m
n
B．
12,
2
m
n
C．
4 ,
3
3
m
n
D．
12,
3
m
n
【答案】A
【分析】本题主要查了单项式乘以单项式．根据单项式乘以单项式法则可得
3
4
3
4
3
n
m
x
x y
y
，即可求解．
【详解】解：∵单项式
2
4xy 与
3
1
3 x y
的积为
3
n
mx y ，
∴
3
2
3
1
4
3
n
m
xy
x y
x y
，
即
3
4
3
4
3
n
m
x
x y
y
，
∴
4 ,
4
3
m
n
．
故选：A
题型三利用单项式乘法求代数式的值
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9．（23-24 九年级上·安徽淮南·阶段练习）已知
2
2
1
0
x
x
，则代数式
2
3
x x
的值为（
）
A．0
B．2
C．1
D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出
2
2
1
0
x
x
，再根据
2
2
3
2
3
x x
x
x
进行求解即可．
【详解】解：∵
2
2
1
0
x
x
，
∴
2
2
1
x
x
，
∴
2
2
3
2
3
1
3
2
x x
x
x
，
故选：B．
10．（22-23 八年级上·重庆·期中）已知代数式
2
6
x
x
的值是7，则代数式
3
2
2
17
x
x
的值是
．
【答案】18
【分析】先根据已知条件得到
2
1
x
x
，则
3
2
x
x
x
，再由
3
2
3
2
2
2
2
17
17
17
x
x
x
x
x
x
x
进
行求解即可．
【详解】解：∵代数式
2
6
x
x
的值是7，
∴
2
6
7
x
x
，
∴
2
1
x
x
，
∴
3
2
x
x
x
，
∴
3
2
3
2
2
2
2
17
17
17
1 17
18
x
x
x
x
x
x
x
，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．
11．（20-21 八年级上·全国·课后作业）若
3
2
9
8
m
n
x
x y
x y
，则4
3
m
n
（
）
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】D
【分析】先根据单项式乘以单项式，确定m，n 的值，即可解答．
【详解】[解析]∵
3
2
3+
2
9
8
m
n
m
n
x
x y
x
y
x y
，∴3
9
m
，
2
8
n
，∴
6
m
，
4
n
，∴4
3
24
12
12
m
n
，
故选D．
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，解题的关键是确定m，n 的值．
题型四计算单项式乘多项式的值
12．（24-25 八年级上·广东广州·期中）计算：
3
5
2
a
a
b
（
）
A．15
6
a
ab
B．8
6
a
ab
C．
2
15
6
a
ab
D．
2
15
6
a
ab
-
【答案】D
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【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据单项式乘多项式运算
法则，进行计算即可．
【详解】解：
2
3
5
2
3
5
3
2
15
6
a
a
b
a
a
a
b
a
ab
．
故选：D．
13．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期中）数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂
笔记复习，发现一道题：
2
4
3
2
3
12
12
xy
y
x
xy
xy
□
，W 的地方被墨水弄污了，你认为W 应填写
（
）
A．
2
8x
B．
2
8x y
C．
2
8x y
D．
2
8xy
【答案】C
【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，
再把所得的积相加是解答此题的关键．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项
式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论．
【详解】解：∵左边
4
3
2
3
xy
y
x
2
2
12
8
12
xy
x y
xy
．
右边
2
12
12
xy
xy
□
，
∴□内上应填写
2
8x y ．
故选：C．
14．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）计算：
3
2
2
3
2
1
1
2
2
2
2
a
a
b
a
b
．
【答案】
5
1
2 a
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用相关运算法则是解题的关键．直接运用整式的混合运
算法则计算即可．
【详解】解：
3
2
2
3
2
1
1
2
2
.
2
2
a
a
b
a
b
3
2
3
2
5
1
2 a
a b
a b
5
1
2 a
15．（17-18 七年级下·全国·单元测试）今天数学课上，老师讲了单项式乘以多项式．放学后，小华回到家
拿出课堂笔记，认真复习老师课上讲的内容，他突然发现一道题：
2
2
3
(4
2
1)
12
6
xy
y
x
xy
x y
．空
格的地方被钢笔水弄污了，你认为横线上应填写
．
【答案】3xy
【分析】本题考查单项式乘多项式，将单项式乘多项式的每一项，再相加即可．
8 / 35
【详解】解：
2
2
3
(4
2
1)
3
4
3
2
3
12
6
3
xy
y
x
xy
y
xy
x
xy
xy
x y
xy
故答案为：3xy ．
题型五利用单项式乘多项式求参数的值
16．（24-25 八年级上·河南周口·期中）要使
2
2
x
x
mx
x
的展开式中不含
2x 的项，则m 的值是（
）
A．0
B．2
C．2
D．2
【答案】B
【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开
式中不含
2x 的项，即含
2x 的项的系数为0 进行求解即可．
【详解】解：
2
2
x
x
mx
x
3
2
2
2
x
mx
x
3
2
2
x
m
x
，
∵
3
2
2
x
m
x
的展开式中不含
2x 的项，
∴
2
0
m
∴
2
m
，
故选：B．
17．（23-24 七年级下·陕西西安·期中）若
2
2
2
5
6
x x
ax
x
的计算结果中不含有
2x 项，则a 的值为（
）
A．
3
B．
1
3
C．0
D．3
【答案】A
【分析】本题考查了单项式与多项式的乘法，先按照单项式与多项式的乘法法则乘开，再合并关于x 的同
类项，然后令
2x 项的系数等于零，列方程求解即可．
【详解】解：
2
2
2
5
6
x x
ax
x
3
2
2
2
2
10
6
x
ax
x
x
3
2
2
2
6
10
x
a
x
x
，
∵结果中不含有
2x 项，
∴2
6
0
a
，
∴
3
a ．
故选A．
18．（22-23 七年级下·四川达州·期中）若a，b 均为整数，且
4
2
3
2
3
a
x x
x
bx
，则
ba 等于（
）
A．6
B．8
C．9
D．16
【答案】C
【分析】根据
4
2
3
2
3
a
x x
x
bx
得到
1
4
2
6
2
3
a
x
x
x
bx
，则1
4,3
6
a
b
，求出
3,
2
a
b
，代入即
9 / 35
可得到答案．
【详解】解：∵
1
2
3
2
6
a
a
x x
x
x
，
4
2
3
2
3
a
x x
x
bx
，
∴
1
4
2
6
2
3
a
x
x
x
bx
，
∴1
4,3
6
a
b
，
解得
3,
2
a
b
，
∴
23
9
b
a
，
故选：C
【点睛】此题考查了单项式乘多项式和多项式相等，熟练掌握单项式乘多项式乘法法则是解题的关键．
19．（23-24 七年级下·全国·课后作业）若
3
2
3
3
2
5
4
x ax
x
b
x
c
x
x
恒成立，求a
b
c
的值．
【答案】0
【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式
3
2
3
3
2
5
4
x ax
x
b
x
c
x
x
转
化为
4
2
2
4
0
ax
b
x
c
，则问题转化为
4
2
2
4
0
ax
b
x
c
恒成立，即
0
a
且
2
0
b
且
2
4
0
c
，即可解得a 、b 、c ，进而可得答案．
【详解】解：∵
3
3
2
4
3
2
3
2
x ax
x
b
x
c
ax
bx
x
c
x
，
又∵
3
2
3
3
2
5
4
x ax
x
b
x
c
x
x
恒成立，
∴
3
3
4
3
2
5
4
ax
bx
x
x
x
c
x
恒成立，
即：
4
2
2
4
0
ax
b
x
c
恒成立，
∴
0
a
，
2
0
b
，2
4
0
c
，
解得：
0
a
，
2
b
，
2
c ，
∴
0
2
2
0
a
b
c
，
即a
b
c
的值为0 ．
题型六单项式乘多项式的应用
20．（24-25 八年级上·广东汕头·期末）图中阴影部分的面积为
．
【答案】
2
am
bm
m
【分析】本题考查了整式乘法的实际运用，解题关键是准确识图，熟练运用长方形面积公式列出代数式并
进行计算．根据图形可知阴影部分是两个矩形面积的和，根据矩形面积公式求解，即可解题．
【详解】解：阴影部分的面积为
2
am
m b
m
am
bm
m
．
10 / 35
故答案为：
2
am
bm
m
．
21．（24-25 八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知
空地的长比宽的2 倍少1 米，周边的道路是等宽的．
(1)设空地的宽是a 米，周边道路的宽度是x 米，请表示出花圃的面积；
(2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是m 米，请用m 表示出花圃的面积．
【答案】(1)
2
1 2
a
x
a
x
平方米
(2)
2
2m
m
平方米
【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，空地的长比宽的2 倍少1 米，设空地的宽是a 米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面
积公式列式，即可作答．
（2）由（1）得花圃的面积为
2
1 2
a
x
a
x
平方米，先整理得m
a
x
，然后代入计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，空地的长为
2
1
a
米，
∵周边道路的宽度是x 米，
∴花圃的宽是
a
x
米，花圃的长是
2
1 2
a
x
米，
∴花圃的面积为
2
1 2
a
x
a
x
平方米；
（2）解：∵花圃的宽是
a
x
米，且要求花圃的宽是m 米，
∴m
a
x
，
则
2
2
1
2
2
1
2
1
2
a
x
a
x
a
x
a
x
m
m
m
m
，
∴花圃的面积为
2
2m
m
平方米．
22．（2025 九年级下·浙江·专题练习）一个长方体的包装箱，长为3a 米，宽为2b 米，高为
a
b
米．
(1)该包装箱的体积为
立方米．
(2)若给该包装箱的表面都喷上油漆，通过计算说明，共需喷上多少平方米的油漆？
【答案】(1)
2
2
6
6
a b
ab
(2)共需喷上
2
2
6
22
4
a
ab
b
平方米的油漆
【分析】本题考查了几何体的表面积，关键是掌握几何体的表面积公式．
（1）根据长方体的体积公式计算即可；
（2）根据长方体的表面积公式计算即可．
【详解】（1）解：∵长方体的长为3a 米，宽为2b 米，高为
a
b
米，
11 / 35
∴该长方体的体积为
2
2
3
2
6
6
a
b
a
b
a b
ab
立方米，
故答案为：
2
2
6
6
a b
ab
；
（2）解：长方体的表面积为：
2 3
2
2 2
2 3
a
b
b
a
b
a
a
b
2
2
12
4
4
6
6
ab
ab
b
a
ab
2
2
6
22
4
a
ab
b
平方米，
答：共需喷上
2
2
6
22
4
a
ab
b
平方米的油漆．
23．（24-25 八年级上·山东济宁·阶段练习）我国在西昌卫星发射中心成功将“天通一号”发射升空，某校开
展了火箭模型制作比赛，如图为火箭模型截面图：下面为等腰梯形，中间是长方形，上面是三角形．
(1)请用含a，b 的式子表示该截面的面积S；
(2)当
2cm
a
，
3cm
b
时，求这个截面的面积．
【答案】(1)
2
2
5
1
2
2
S
ab
a
b
(2)这个截面的面积为
2
47 cm
2
【分析】本题考查了列代数式，求代数式的值，单项式乘以单项式运算的应用，解题的关键是正确列出算
式．
（1）根据梯形、长方形和三角形的面积公式列式计算即可；
（2）直接把
2cm
a
，
3cm
b
代入（1）中结果进行计算即可．
【详解】（1）解：
1
1
2
2
S
ab
a a
b
b a
a
b
2
2
1
1
2
2
ab
a
ab
ab
b
2
2
5
1
2
2
ab
a
b
；
（2）解：当
2cm
a
，
3cm
b
时，
2
2
2
2
2
5
1
5
1
47
2 3
2
3
cm
2
2
2
2
2
S
ab
a
b
．
答：这个截面的面积为
2
47 cm
2
．
题型七计算多项式乘多项式
12 / 35
24．（24-25 八年级上·湖北恩施·阶段练习）
1 3
2
x
x
；
【答案】
2
3
2
x
x
【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式法则计算即可．
【详解】解：(
)(
)
2
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
+
-
=
-
+
-
=
+
-
，
故答案为：
2
3
2
x
x
．
25．（24-25 八年级上·辽宁营口·期中）（1）计算
2
2
x
y
x
xy
y
（2）计算
2
2
2
4
2
1
2
3
3
4
3
xy
xy
x
x y
xy
【答案】（1）
3
3
x
y
；（2）
3
4
2
2
24x y
x y
【分析】本题考查整式的混合运算．
（1）利用多项式乘多项式的法则求解即可；
（2）先利用积的乘方、整式的乘法计算，再合并同类项求解即可．
【详解】解：（1）
2
2
x
y
x
xy
y
3
2
2
2
2
3
x
x y
xy
x y
xy
y
3
3
x
y
；
（2）
2
2
2
4
2
1
2
3
3
4
3
xy
xy
x
x y
xy
2
2
2
3
4
2
2
4
3
12
x y
xy
x y
x y
3
4
3
4
2
2
12
12
x y
x y
x y
3
4
2
2
24x y
x y
．
26．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）善于思考的小聪对“十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数乘
法”进行了深入地探究，得到了下列速算方法：十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数相乘，将一个
因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1 的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位；将两个因数的
个位数字之积作为计算结果的后两位（若数位不足两位，则用零补齐）．比如47 43
，它们乘积的前两位
是4 与
4 1
的积，即20，它们乘积的后两位是7 与3 的积，即21，所以47 43
2021
；又如21 29
，
2
2
1
6
，不足两位，就将6 写在百位，1 9
9
，不足两位，就将9 写在个位，十位上写零，所以
21 29
609
．
若A ，B 是满足上述条件的两个因数，设因数A 的十位数字为a ，个位数字为b （1
9
a
，1
9
b
；a ，
b 都是正整数）．
(1)因数A 表示为_________，因数B 表示为_________；（用含a ，b 的代数式表示）
(2)用所学的整式的乘法说明上述阅读材料中的速算方法是正确的．
【答案】(1)10a
b
，
10
10
a
b
13 / 35
(2)见解析
【分析】本题考查了新定义，列代数式，多项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，因为十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数乘法，则因数A 表示为10a
b
，因数B 表
示为
10
10
a
b
，即可作答．
（2）根据多项式乘多项式展开
10
10
10
a
b
a
b
，则原式
100
1
10
a a
b
b
，验证题干所说的
速算方法是正确的，即可作答．
【详解】（1）解：∵A ，B 是满足上述条件的两个因数，设因数A 的十位数字为a ，个位数字为b ，
∴因数A 表示为10a
b
，因数B 表示为
10
10
a
b
，
故答案为：10a
b
，
10
10
a
b
；
（2）解：理由如下：
10
10
10
a
b
a
b
10
10
10
a
b
a
b
2
2
100
100
10
10
10
a
a
ab
ab
b
b
2
2
100
100
10
a
a
b
b
100
1
10
a a
b
b
题型八（x+p）（x+p）型多项式乘法
27．（24-25 八年级上·重庆·期中）若
2
3
2
x
x
x
mx
n
，则m
n
的值是（
）
A．5
B．7
C．5
D．7
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据
2
6
3
2
x
x
x
x
，再结合
2
3
2
x
x
x
mx
n
，得
出
1,
6
m
n
，即可作答．
【详解】解：依题意
2
2
3
2
2
3
6
6
x
x
x
x
x
x
x
，
∵
2
3
2
x
x
x
mx
n
，
∴
2
2
6
x
mx
n
x
x
，
∴
1,
6
m
n
，
∴
7
m
n
，
故选：B
28．（24-25 八年级上·山东临沂·期末）对于任意的实数a 、b ，定义运算
1
a
b
a b
，当x 为实数时，
1
1
x
x
的化简结果为（
）
A．
2
1
x
B．
2
2
x
x
C．
2
2
x
x
D．
2
2
x
x
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，正确掌握新定义是解题的关键．
14 / 35
根据新定义的运算将
1
1
x
x
转化为一般的式子，然后利用多项式与多项式相乘化简即可．
【详解】解：∵
1
a
b
a b
，
∴
1
1
x
x
1
1 1
x
x
1
2
x
x
2
2
2
x
x
x
2
2
x
x
．
故选B．
29．（24-25 八年级上·广东广州·期末）如果
2
3
12
x
m
x
x
x
，则m 的值为（
）
A．4
B．4
C．2
D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则．先根据多项式乘多
项式法则计算
3
x
m
x
，再根据已知条件，列出关于m 的方程，解方程即可．
【详解】解：
3
x
m
x
2
3
3
x
x
mx
m
2
3
3
x
m x
m
，
∵
2
3
12
x
m
x
x
x
，
∴3
1
m
，
解得：
4
m ，
故选：A．
30．（24-25 八年级上·陕西渭南·期末）在综合实践课上，老师让同学们探究“多项式的乘法
x
a
x
b
”
的结果的一般性规律问题：
观察发现：（1）①
2
2
2
1
3
3
3
1 3
3
4
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
②
2
2
2
2
5
2
5
10
2
5
10
7
10
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
③
2
2
2
2
5
10
2
5
10
3
2
10
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
；
④
9
5
x
x
___________．（填最终化简结果）
规律总结：（2）
x
a
x
b
___________．（填最终化简结果）
应用规律：（3）①若
2
6
2
x
x
x
ax
b
，求,a b 的值；
②若
1
x
x
m
的结果不含x 的项，求m 的值．
【答案】（1）
2
4
45
x
x
；（2）
2x
a
b x
ab
；（3）①
4,
12
a
b
，②1
15 / 35
【分析】本题考查了多项式的乘法运算，注意计算的准确性即可；
（1）根据多项式的乘法运算法则即可求解；
（2）根据多项式的乘法运算法则即可求解；
（3）①计算
6
2
x
x
即可求解；②计算
1
x
x
m
即可求解；
【详解】解：（1）
9
5
x
x
2
2
9
45
4
45
5
x
x
x
x
x
．
故答案为：
2
4
45
x
x
（2）
x
a
x
b
2x
a
b x
ab
．
故答案为：
2x
a
b x
ab
（3）①
2
2
6
2
2
2
1
6
x
x
x
x
ax
b
x
，
6
2
4,
12
a
b
．
②由（2）的规律知：
2
1
1
x
x
m
x
m
x
m
，
1
x
x
m
的结果不含x 的项，
1
0
m
，
1
m
．
题型九已知多项式乘积不含某项求字母的值
31．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）已知关于x 的多项式ax
b
与
2
3
2
x
x
的乘积展开式中不含x
的二次项，且一次项系数为5，则ab 的值为（
）
A．
1
3
B．1
3
C．3
D．3
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘法运算．准确展开多项式的乘积是解题的关键．
先将两个多项式相乘展开，得到一个三次多项式，然后根据“不含x 的二次项”和“一次项系数为5”这两个条
件，分别·列出关于a 、b 的方程，求解出a 、b 的值，最后计算ab 的值即可．
【详解】解：
2
3
2
ax
b
x
x
2
2
3
2
3
2
ax
x
x
b
x
x
3
2
2
3
2
3
2
ax
ax
ax
bx
bx
b
3
2
3
3
2
2
ax
a
b x
a
b x
b
因为展开式中不含x 的二次项，所以
3
0
a
b
，即
3
a
b
，
又因为一次项系数为5，所以2
5
a
b
，
将
3
a
b
代入2
5
a
b
，得到2 3
5
b
b
，
解得：
1
b ，
将
1
b 代入
3
a
b
，解得：
3
a
，
16 / 35
所以
3 1
3
ab
，
故选D．
32．（12-13 七年级下·浙江温州·期末）如果(
)
x
m
与(
3)
x
的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（
）
A．1
B．3
C．0
D．3
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘法及根据特定项系数为零求解参数，解题关键是利用多项式乘法法则展开式子，
再根据不含x 一次项即一次项系数为0 来确定m 的值．
运用多项式乘多项式法则求出它们的乘积，使含x 项的系数为0，即可求出m 的值．
【详解】解：
2
(
)(
3)
3
3
x
m x
x
m
x
m
，
∵(
)
x
m
与(
3)
x
的乘积中不含x 的一次项，
∴
3
0
m
，
∴
3
m ．
故选：D．
33．（23-24 八年级上·福建泉州·期中）若
2
3
x
m
x
的展开式中不含x 的一次项，则实数m 的值为（
）
A．6
B．0
C．3
D．6
【答案】D
【分析】本题考查多项式乘以多项式不含某一项的问题，根据多项式乘以多项式的法则展开，根据展开式
中不含哪一项，哪一项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：
2
2
2
3
2
6
3
2
6
3
x
m
x
x
x
mx
m
x
m
x
m
；
∵展开式中不含x 的一次项，
∴
6
0
m
；
∴
6
m
；
故选D．
34．（24-25 八年级上·吉林松原·期中）（1）试说明代数式
1
(
2 )(
2
1)
4
2
s
t s
t
t t
的值与s、t 的取值有
无关系；
（2）已知多项式ax
b
与
2
x
的乘积展开式中不含x 的一次项，且常数项为4
，试求
ba 的值．
【答案】（1）见解析；（2）1
【分析】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多
项式的法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为
2s
s
，
即可解答；
（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x 的一次项系数为0，
17 / 35
常数项为4
，列式求解得到a 和b 的值，即可求得
ba 的值.
【详解】解：（1）
1
(
2 )(
2
1)
4
2
s
t s
t
t t
2
2
2
4
2
4
2
s
t
s
t
t
t
2s
s
，
∴代数式
1
(
2 )(
2
1)
4
2
s
t s
t
t t
的值与s 的取值有关系，与t 的取值无关系；
（2）
2
ax
b
x
2
2
2
ax
ax
bx
b
2
2
2
ax
a
b x
b
，
∵多项式ax
b
与
2
x
的乘积展开式中不含x 的一次项，且常数项为4
，
∴2
0
a
b
，2
4
b
，
解得：
2,
1
b
a
，
∴
2
1
1
b
a
．
题型十多项式乘多项式——化简求值
35．（24-25 八年级上·吉林·期中）已知
2
1
m
n
mn
，
，则
1
1
m
n
的值是
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式—化简求值，根据多项式乘以多项式的计算法则把
1
1
m
n
展开，再代值计算即可．
【详解】解：∵
2
1
m
n
mn
，
，
∴
1
1
m
n
1
m
n
mn
1
2 1
2
，
故答案为：2 ．
36．（20-21 八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：
2
2
1 2
1
2
3
a
a
a
，其中
1
12
a
．
【答案】12
10
11
a
，
【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用平方差公式和完全平方公式对原式进行化简．
先利用平方差公式和完全平方公式将原式展开，再通过去括号，合并同类项进行化简，最后将a 的值代入化
简后的式子求值．
【详解】原式
2
2
4
1
4
12
9
a
a
a
2
2
4
1
4
12
9
a
a
a
12
10
a
18 / 35
当
1
12
a
时，将其代入12
10
a
，
原式=
1
12
10
12
1 10
11
．
37．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）先化简，再求值：
3
2
2
a
a
a a
，其中
10
a
．
【答案】3
6
a
；24
【分析】本题主要考查了整式的混合运算以及求解，原式第一项利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以
多项式法则计算，去括号合并得到结果，将a 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
3
2
2
a
a
a a
2
2
2
3
6
2
a
a
a
a
a
3
6
a
，
当
10
a
时，原式
3 10
6
24
38．（24-25 八年级上·辽宁大连·期中）已知
3
mx
x
n
的展开式中不含x 项，且常数项是3
．
(1)求m ，n 的值．
(2)求
2
2
m
n
m
mn
n
的值．
【答案】(1)
3
m ，
1
n
(2) 26
【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含x 项，且常数项是3
，据此进行解答即可；
（2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】（1）解：
3
mx
x
n
2
3
3
mx
mnx
x
n
2
3
3
mx
mn
x
n
，
不含x 项，常数项是3
，
3
0
mn
，3
3
n
，
3
m
，
1
n ；
（2）原式
3
2
2
2
2
3
m
m n
mn
m n
mn
n
3
3
m
n
，
当
3
m ，
1
n 时，
原式
3
3
3
1
26
．
39．（22-23 八年级上·四川绵阳·周测）先化简再求值：
2
2
2
5
2
3
2
4
6
x
x
x
x x
x
，其中
2
x
；
【答案】
2
9
4
15
x
x
，13
19 / 35
【分析】本题考查整数运算中的化简求值，先进行乘法运算，再合并同类项，化简后，代值计算即可．
【详解】解：原式
3
2
2
3
2
2
4
6
5
10
15
2
8
12
x
x
x
x
x
x
x
x
2
9
4
15
x
x
；
当
2
x
时，原式
2
9 2
4 2 15
13
．
题型十一多项式乘多项式与图形面积
40．（2024 七年级上·北京·专题练习）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（
）
A．
2
5
x
x
B．
3
6
x x
C．
2
3
2
x
x
D．
3
2
2
x
x
x
【答案】A
【分析】本题考查了整式的乘法，列代数式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
根据图形，用代数式表示出图中阴影部分的面积，即可得到答案．
【详解】解：A 、图中阴影部分面积为：
2
2
3
2
3
3
6
x
x
x
x
，故该选项符合题意，
B 、图中阴影部分面积为：
3
6
x x
，故选项不符合题意，
C 、图中阴影部分面积为：
2
3
2
x
x
，故选项不符合题意，
D 、图中阴影部分面积为：
3
2
2
x
x
x
，故选项不符合题意．
故选：A ．
41．（24-25 八年级上·重庆·期中）如图，在边长为
6 cm
a
的正方形中，剪去一个边长为
1 cm
a
的小正
方形
0
a
，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为（
）
A．
2
35cm
B．
2
5
35 cm
a
C．
2
14
37 cm
a
D．
2
10
35 cm
a
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘多项式的应用，根据梯形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积进
行列式计算，即可作答．
20 / 35
【详解】解：∵在边长为
6 cm
a
的正方形中，剪去一个边长为
1 cm
a
的小正方形
0
a
，将余下部分
拼成一个梯形，
∴
2
2
6
1
a
a
2
2
12
36
2
1
a
a
a
a
2
2
12
36
2
1
a
a
a
a
10
35
a
，
∴则梯形的面积为
2
10
35 cm
a
，
故选：D
42．（24-25 八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，某校有一块长为
4
m
a
b
，宽为
3
m
a
b
的长方形地块，
后勤部门计划将图中的阴影部分进行绿化，并在中间正方形空白处修建一座雕像，请计算该地块绿化部分
的面积．
【答案】
2
2
5
11
m
ab
b
【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，由阴影部分的面积等于大的长方形的面积减去中间正方
形的面积即可．
【详解】解：由题意，得
2
4
3
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
3
4
12
2
a
ab
ab
b
a
ab
b
2
2
2
2
7
12
2
a
ab
b
a
ab
b
2
2
5
11
m
ab
b
．
答：该地块绿化部分的面积为
2
2
5
11
m
ab
b
．
43．（24-25 八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，某中学校园内有一块长为
2
x
y
米，宽为
2x
y
米的
长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．
(1)用含x，y 的式子表示“T”型图形的面积并化简；
21 / 35
(2)若
2
x
，
3
y ，预计修建文化广场每平方米的费用为150 元，求修建文化广场所需要的费用．
【答案】(1)
2
2
5
x
xy
(2)5700 元
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；
（1）用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积；
（2）将
2
x
，
3
y 代入
2
2
5
x
xy
求出面积，然后乘以单价即可．
【详解】（1）由题意得，“T”型图形的面积为：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
5
x
y
x
y
y
x
xy
xy
y
y
x
xy
．
（2）当
2
x
，
3
y 时，
2
2
2
5
2 2
5 2 3
38
x
xy
，
修建文化广场所需要的费用为：38 150
5700
（元）．
题型十二多项式乘法中的规律性问题
44．（24-25 八年级上·湖北襄阳·期末）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的
三角形解释二项和的乘方规律，即
0,1,2,3,
n
a
b
n
展开式系数的规律：
0
1
2
2
2
3
3
2
2
3
4
4
3
2
2
3
4
1
1
1
1
2
1
2
1
3
3
1
3
3
1
4
6
4
1
4
6
4
1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
ab
b
a
b
a
a b
ab
b
a
b
a
a b
a b
ab
b
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，
6
a
b
展开式的系数和是（
）
A．32
B．64
C．128
D．256
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键．
求出
0
a
b
，
1
a
b
，
2
a
b
，
3
a
b
，
4
a
b
，可得到规律，即可求解．
【详解】解：
0
a
b
展开式的各项系数为1，展开式的系数和是1
1
a
b
展开式的各项系数分别为1，1；展开式的系数和是1 1
2
；
2
a
b
展开式的各项系数分别为1，2，1；展开式的系数和是
2
1
2
1
4
2
；
3
a
b
展开式的各项系数分别为1，3，3，1；展开式的系数和是
3
1
3
3
1
8
2
；
4
a
b
展开式的各项系数分别为1，4，6，4，1；展开式的系数和是
4
1
4
6
4
1
16
2
；
……
∴
6
a
b
展开式的系数和是
6
2
64
．
故选：B
22 / 35
45．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）在多项式乘法的学习中，我们发现具有某些结构特征的整式的
乘法运算及结果都有规律．
例如：
2
3
1
1
1
a
a
a
a
；
2
3
2
4
2
8
y
y
y
y
；
2
2
3
3
3
3
9
27
m
n
m
mn
n
m
n
．
(1)请观察上述整式的乘法及其运算结果的规律，用含a，b 的等式表示该规律并证明；
(2)一个水平放置的长方体容器，其容积为3
64(
4)
t
t
，底面积为
2
(
2)
t
n
，装满水时的高度为
4
t ．求n
的值．
【答案】(1)
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
，证明见解析
(2)
12
n
【分析】此题考查了多项式乘法中的规律．
（1）观察已知条件中的等式可知两个数的和乘以与这两个数的平方和与它们乘积的差=这两个数的立方和，
按照此规律，用含a，b 的等式表示该规律并证明即可；
（2）按照（1）中规律，利用长方体的容积公式，列出算式，进行计算，从而得到关于n 的方程，解方程
即可．
【详解】（1）解：由题意得：
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
，
证明：左边
3
2
2
2
2
3
3
3
a
a b
ab
a b
ab
b
a
b
右边，
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
；
（2）由题意得：
3
2
2
64
4
(
2)
4
4
4
t
t
t
n
t
t
t
n
由（1）可令a
t
，
4
b 得
3
2
64
4
4
16
t
t
t
t
对比两式，
4
16
n
，
解得
12
n
．
46．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）阅读材料：杨辉三角，又称贾宪三角，是二项式系数在三角形
中的一种几何排列，西方人帕斯卡发现时，已比宋代杨辉要迟393 年．如图，根据你观察的杨辉三角的排
列规律，完成下列问题．
(1)判断
2
a
b
的展开式共有______项；写出
6
a
b
的第三项的系数是______；
(2)计算与猜想：
①计算：
5
4
3
2
2
5
2
10
2
10
2
5
2
1
；
23 / 35
②猜想：
6
2
1
x
的展开式中含
3x 项的系数是______：
(3)运用：若今天是星期五，过7 天仍是星期五，那么再过
68 天是星期______．
【答案】(1)3，15
(2)①1；②160
(3)六
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确理解杨辉三角是解题关键．
（1）观察发现规律补充杨辉三角，据此即可得到答案；
（2）①根据杨辉三角化简求值即可；②将
6
2
1
x
展开，即可得到含
3x 项的系数；
（3）由
6
68
7
1
展开可知，除了末项为1，其他项均为7 的倍数，据此即可得到答案．
【详解】（1）解：观察可知，展开项中的项数比二项式乘方的次数多1，展开式中的a 是按其幂的指数由
高到低排列，b 是按其幂的指数由低到高排列，首项a 的次数与末项b 的次数相同，都等于二项式乘方的次
数，每一行首末两项的次数都是1，中间各项的系数等于它上一行相邻的两个系数之和，
2
a
b
的展开式共有3 项，
6
a
b
的第三项的系数是15，
故答案为：3，15；
（2）解：①
5
5
4
3
2
2
5 2
10
2
10
2
5 2 1
2 1
1
；
②
6
6
5
4
3
2
2
1
2
6
2
15
2
20
2
15
2
6
2
1
x
x
x
x
x
x
x
，
含
3x 项的系数是
3
20
2
160
，
故答案为：160
；
（3）解：
6
6
6
5
4
3
2
8
7
1
7
6 7
15 7
20 7
15 7
6 7
1
，
除了末项为1，其他项均为7 的倍数，
若今天是星期五，那么再过
68 天是星期六，
故答案为：六．
47．（22-23 七年级下·安徽滁州·期中）综合与探究；
下面的式子均是多项式乘以多项式，其中第1 个多项式都是
a
b
；
第1 个等式：
2
2
a
b
a
b
a
b
；
第2 个等式：
2
2
3
3
a
b
a
ab
b
a
b
；
第3 个等式：
3
2
2
3
4
4
a
a b
ab
a
b
b
b
a
；
…
24 / 35
【规律】（1）请根据规律，写出第4 个等式：________________；
【猜想】
（2）猜想：
1
2
3
2
2
3
2
1
n
n
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
b
a b
ab
b
________（其中n 为正整数，且
2
n
）；
【应用】（3）利用（2）猜想的结论计算：
9
8
7
6
3
2
3
3
3
3
3
3
3
．
【答案】（1）
4
3
2
2
3
4
5
5
a
b
a
a b
a b
ab
b
a
b
；（2）
n
n
a
b
；（3）
10
3
3
4
【分析】本题主要考查多项式乘法中的规律性问题，理解题意，发现规律是解题的关键．
（1）观察式子，发现式子的规律即可写出等式；
（2）根据式子的规律即可写出式子；
（3）把（2）中式子中的
3
a
，
1
b ，
10
n
代入即可求解．
【详解】解：（1）
4
3
2
2
3
4
5
5
a
b
a
a b
a b
ab
b
a
b
故答案为：
4
3
2
2
3
4
5
5
a
b
a
a b
a b
ab
b
a
b
；
（2）根据规律可得：
2
3
3
1
2
2
2
1
n
n
n
n
a
b
a
a
b
a
b
a b
ab
b
a
b
故答案为：
n
n
a
b
；
（3）设（2）式中的
3
a
，
1
b ，
10
n
，则有
2
3
7
10
7
2
1
8
9
9
8
6
0
3
1
3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
3
1
即
7
3
0
9
2
1
6
6
4
3
3
3
3
3
3
3 1
3
1
∴
2
9
8
7
6
10
2
3
1
3
3
3
3
3
3
3 1
4
，
∴
10
10
7
2
9
8
6
3
3
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
4
4
．
25 / 35
一、单选题
1．（23-24 八年级上·广西河池·期末）下列各式中，计算正确
．．的是（
）
A．
3
3
6
a
a
B．
2
5
10
a
a
a
C．
4
2
2
a
a
a
D．5
2
10
a
a
a
【答案】C
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法和单项式乘以单项式，根据合并同类项
法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，
指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、
3
3
9
a
a
，故此选项不符合题意；
B、
2
5
7
a
a
a
，故此选项不符合题意；
C、
4
2
2
a
a
a
，故此选项符合题意；
D、
2
5
2
10
a
a
a
，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．（24-25 八年级上·重庆·期中）规定：对于依次排列的多项式x
a
，x
b
，x
c
，x
d
（a 、b 、c 、d
是常数），当它们满足
x
a
x
d
x
b
x
c
M
（M 为常数），则称a 、b 、c 、d 是一组平衡数，
M 是该组平衡数的平衡因子．下面四个结论：
①对于多项式
3
x
，
2
x
，
5
x
，
4
x
，则3、2、5、4 是一组平衡数；②已知1、2、5、6 是一组平衡数，
则该组平衡数的平衡因子
4
M
；③已知a 、b 、c 、d 是一组平衡数，若
5
a ，
4
d
，则
1
b
c
；④
当a 、b 、c 、d 之间满足
0
a
d
b
c
时，它们是一组平衡数．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】A
【分析】本题考查多项式乘多项式，解题的关键在于观察两个展开式中各项之间的关系，通过观察，我们
会发现a
d
b
c
，M
ad
bc
．
26 / 35
①②直接根据定义计算M 的值；③根据定义表示平衡数的平衡因子，令一次项的系数为0 ，代入
5
a ，
4
d
可得结论；④根据③可得a ，b ，c ，d 之间满足的数量关系式．
【详解】解：∵对于多项式
3
x
，
2
x
，
5
x ，
4
x
，
∴
3
4
2
5
M
x
x
x
x
2
2
7
12
7
10
x
x
x
x
2
，
∴3、2、5、4 是一组平衡数，故①正确；
1，2 ，5，6 是一组平衡数，
2
2
1
6
2
5
7
6
7
10
4
M
x
x
x
x
x
x
x
x
故②错误；
a ，b ，c ，d 是一组平衡数，
x
a
x
d
x
b
x
c
M
，
2
2
M
x
a
d x
ad
x
b
c x
bc
，
a
d
b
c x
ad
bc
，
0
a
d
b
c
，
5
a ，
4
d
，
5
4
0
b
c
，
1
b
c
，故③错误；
由③得：
2
2
M
x
a
d x
ad
x
b
c x
bc
a
d
b
c x
ad
bc
，
当
0
a
d
b
c
，即a
d
b
c
时，a ，b ，c ，d 是一组平衡数，
故④错误，
故选:A．
3．（24-25 八年级上·新疆和田·阶段练习）某同学做了四道题：①3
4
7
m
n
mn
；②
3
2
6
2
8
a
a
；
③
6
2
3
6
2
3
x
x
x
；④
3
2
5
y
xy
xy
，其中正确的题号是（
）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方和单项式乘以单项式等计算，根据相关计算法则分别求出
对应式子的结果即可得到答案．
【详解】解：①3m 与4n不是同类项，不能合并，原式计算错误；
②
3
2
6
2
8
a
a
，原式计算正确；
③
6
6x 与
2
2x 不是同类项，不能合并，原式计算错误；
27 / 35
④
3
2
5
y
xy
xy
，原式计算正确；
故选：D．
4．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）下列运算正确的是（
）
A．
2
3
6
4
2
8
m
m
m
B．
3
2
6
m
m
C．
2
2
2
m
m
m
m
D．
2
3
6
m
m
m
【答案】B
【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握知识点是
解题的关键．
直接利用单项式乘单项式法则、幂的乘方法则、单项式乘多项式法则以及合并同类项法则分别判断得出答
案．
【详解】解：A、
5
2
3
4
2
8
m
m
m
，原写法错误，不符合题意；
B、
3
2
6
m
m
，原写法正确，符合题意；
C、
2
2
2
m
m
m
m
，原写法错误，不符合题意；
D、
2
m 与
3
m 不能合并，不符合题意，
故选：B．
5．（24-25 八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，根据面积关系，可得到的等式是（
）
A．
x a
b
ax
bx
B．
x a
b
ax
bx
C．
2
2
2
x a
b
ax
bx
D．
2
2
2
x a
b
ax
bx
【答案】D
【分析】本题考查单项式乘以多项式与几何图形的面积问题，用两种方法表示出大长方形的面积即可得出
结果．
【详解】解：由图可知：
2
2
x
x
a
b
ax
bx
，即：
2
2
2
x a
b
ax
bx
；
故选D．
6．（24-25 八年级上·吉林四平·阶段练习）若实数
0
a
，下列计算正确的是（
）
A．
3
2
a
a
a
B．
2
2
2
2
a b ab
a b
C．
3
3
9
3
2
6
a b
a b
D．
6
4
2
a
a
a
【答案】D
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，同底数幂除法，合并同类项和积的乘方，根据单项式乘以单
项式，同底数幂除法，积的乘方，合并同类项运算法则进行计算判断即可．
28 / 35
【详解】解：A．
3
a 与a
不是同类项，不能合并，该选项错误，不符合题意；
B．
2
2
3
3
a b ab
a b
，该选项错误，不符合题意；
C．
3
3
9
3
2
8
a b
a b
，该选项错误，不符合题意；
D．
6
4
2
a
a
a
，该选项正确，符合题意．
故选：D．
7．（24-25 八年级上·山东德州·期中）若
3
1
x
a
x
的结果中不含x 的一次项，则（
）
A．
2
a
B．
1
a
C．
3
a
D．
3
a
【答案】C
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果中不含x 的一次
项即可确定出a 的值．
【详解】解：
2
3
1
3
3
x
a
x
x
a x
a
，
由结果中不含x 的一次项，得到3
0
a
，
即
3
a ．
故选：C．
8．（24-25 八年级上·广西南宁·期中）我国宋朝数学家杨辉在其著作的《详解九章算术》中提出“杨辉三角”
（如图），介绍了
n
a
b
（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，那么
6
a
b
展开式中第
四项的系数为（
）
1
1
1
a
b
a
b
2
2
2
1
2
1
a
b
a
ab
b
3
3
2
2
3
1
3
3
1
a
b
a
a b
ab
b
A．8
B．10
C．18
D．20
【答案】D
【分析】本题考查了多项式乘法运算，数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其，解题的关键是能够
发现其中的规律．根据图形中的规律，每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和，即可
求出
6
(
)
a
b
的展开式中从左起第四项的系数．
【详解】解：通过观察可得除过每行最左侧和最右侧的数字以外，每个数字都等于它的左上方和右上方两
个数字之和；
∴每一行第四项的系数等于上一行第三项与第四项的系数之和，
29 / 35
4
(
)
a
b
的第四项系数3 1
4
，
5
(
)
a
b
的第四项系数6
4
10
，
5
(
)
a
b
的第三项系数6
4
10
，
∴
6
(
)
a
b
的第四项系数10+10=20 ，
故选：D．
9．（24-25 八年级上·北京·期中）下列各式中，能用图中的图形面积关系来验证的式子是（
）
A．(
)
a b
x
ab
ax
B．(
)
b a
x
ab
bx
C．
2
a
x
b
x
ab
ax
bx
x
D．(
)(
)
a
x b
x
ab
ax
bx
【答案】C
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，先根据图，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等
式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．
【详解】解：图中的阴影部分的面积为
a
x
b
x
，
或
2
ab
ax
bx
x
，
∴
2
a
x
b
x
ab
ax
bx
x
，
故选：C．
10．（24-25 八年级上·福建泉州·期末）对于多项式x
a
，x
b
，x
c
，x
d
（a，b，c，d 是常数），若
x
a
与x
b
的积减去x
c
与x
d
的积，其差为常数，则a，b，c，d 应满足的关系是（
）
A．a
b
c
d
B．a
b
c
d
C．a
b
c
d
D．ab
cd
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，根据
x
a
x
b
x
c
x
d
为常数，可得化简
后式子中x 项的系数为0，由此可解．
【详解】解：
x
a
x
b
x
c
x
d
2
2
x
ax
bx
ab
x
cx
dx
cd
2
2
x
ax
bx
ab
x
cx
dx
cd
30 / 35
c
d
a
b x
ab
cd
，
x
a
与x
b
的积减去x
c
与x
d
的积，其差为常数，
0
c
d
a
b
，
a
b
c
d
，
故选C．
二、填空题
11．（24-25 八年级上·广西河池·期末）计算：
3
1
a
b
．
【答案】3ab
a
【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的计算，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
3
1
3
a
b
ab
a
，
故答案为：3ab
a
．
12．（24-25 八年级上·重庆·期中）计算：
2
2
1
x x
y
．
【答案】
2
2
4
2
x
xy
x
【分析】本题考查了多项式乘单项式，根据多项式乘单项式的法则进行计算，即可作答．
【详解】解：
2
2
2
1
2
4
2
x x
y
x
xy
x
；
故答案为：
2
2
4
2
x
xy
x
．
13．（24-25 八年级上·吉林长春·期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图所示的三种纸片，A 种纸片
是边长为a 的正方形，B 种纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a、宽为b 的长方形，若要拼出一个
面积为2
)(
6 )
( a
b a
b
的长方形，则需要C 号卡片
张．
【答案】13
【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题．先计算2
)(
6 )
( a
b a
b
，根据A 图形面积为
2
a ，B
图形面积为
2
b ，C 图形面积为ab ，判断出各种卡片的张数即可．
【详解】解：∵
2
2
2
2
(2
)(
6 )
2
12
6
2
13
6
a
b a
b
a
ab
ab
b
a
ab
b
；
∵A 图形面积为
2
a ，B 图形面积为
2
b ，C 图形面积为ab ，
∴可知需要A 类卡片2 张，B 类卡片6 张，C 类卡片13 张．
故答案为：13．
14．（24-25 八年级上·江苏淮安·期中）小红同学在解决问题“已知
4
x
y
，求xy 的最小值”时，给出框图
中的思路．结合小红同学的思路探究，可得到结论：若
2
8
x
y
，则式子2
xy
．
31 / 35
小红的思路：
设
2
x
m
，
2
y
m
，
则
2
2
2
4
xy
m
m
m
，
2
0
m
2
4
4
m
，
xy
的最小值为4
．
【答案】6
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、平方的非负性、求代数式的值，设
4
x
m
，
1
2
2
y
m
，得出
2
1
1
4
2
8
2
2
xy
m
m
m
，再结合平方的非负性得出xy 的最小值为8，代入代数式计算即可得解．
【详解】解：∵
2
8
x
y
，
∴设
4
x
m
，
1
2
2
y
m
，
∴
2
1
1
4
2
8
2
2
xy
m
m
m
，
∵
2
0
m
，
∴
2
1
0
2 m
，
∴
2
1
8
8
2 m
，
∴
8
xy ，
∴xy 的最小值为8 ，
∴2
6
xy
，
故答案为：6
．
15．（24-25 八年级上·江西赣州·期末）已知：实数m，n 满足：
3
m
n
，mn
2
．则
1
1
m
n
的值
等于
．
【答案】2
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式法则，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
利用多项式乘多项式法则进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：∵
3
m
n
，mn
2
，
∴
1
1
1
m
n
n
m
mn
1 3
2
2
．
32 / 35
故答案为：2 ．
三、解答题
16．（20-21 七年级下·江苏扬州·期中）在计算
2x
a
x
b
时，甲错把b 看成了6 ，得到的结果是
2
2
8
24
x
x
，乙错把a 看成了a
，得到的结果是
2
2
14
20
x
x
．
(1)求a 、b 的值；
(2)将a ，b 的值代入
2x
a
x
b
并化简，求出正确的结果．
【答案】(1)
4,
5
a
b
；
(2)
2
2
6
20
x
x
．
【分析】本题考查了整式的乘法运算，正确的计算是解题的关键．
（1）根据条件求出代数式的值，对比结果，分别求出,a b 的值；
（2）将（1）的,a b 的值代入代数式求解即可．
【详解】（1）解：根据题意：
2
6
x
a
x
2
2
12
6
x
x
ax
a
2
2
12
6
x
a x
a
，
∵计算
2x
a
x
b
时，甲错把b 看成了6，得到的结果是
2
2
8
24
x
x
∴6
24
a
，
∴
4
a ，
2
4
x
x
b
2
2
2
4
4
x
bx
x
b
2
2
2
4
4
x
b
x
b
，
∵乙错把a 看成了
4
a
，得到的结果是
2
2
14
20
x
x
，
∴4
20
b
，
∴
5
b
．
（2）解：根据
4
a ，
5
b
可知：
2
4
5
x
x
2
2
10
4
20
x
x
x
2
2
6
20
x
x
17．（24-25 八年级上·广西河池·期末）计算：
2
2
xy
x x y
【答案】0
【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘以单项式的计算，先计算积的乘方和单项式乘以单项式，再
合并同类项即可得到答案．
33 / 35
【详解】解：
2
2
xy
x x y
2
2
2
2 y
x y
x
0
．
18．（23-24 八年级上·广西河池·期末）【知识背景】我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我
国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们
祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13
世纪）所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中，用三角形形状排列数字解释二项和的乘方规律．杨辉
在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050 年左右）也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨
辉三角”或“贾宪三角”．
【知识解读】杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．
【知识应用】阅读材料，完成填空：
（1）
0
1
x
（
1
x ）
（2）x
y
x
y
（3）
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
（4）
3
3
2
2
3
3
3
x
y
x
x y
xy
y
（5）
4
x
y
4x
3x y
3
4
4xy
y
．
（6）请写出展开式：
5
x
y
．
【迁移应用】利用杨辉三角，计算114 值．（要求写出解答过程）
【答案】（1）1；（5）4 ；
2
2
6x y （6）
5
4
3
2
2
3
4
5
5
10
10
5
x
x y
x y
x y
xy
y
；迁移应用：14641
【分析】本题考查与完全平方公式相关数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键．
知识应用：根据0 次幂意义即可得出
0
1
1
x
，其他空根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可；
迁移应用：根据“杨辉三角”的规律得到
4
10
1
的展开式，计算即可得答案；
【详解】解：（1）
0
1
1
x
（
1
x ）
（2）x
y
x
y
34 / 35
（3）
2
2
2
2
x
y
x
xy
y
（4）
3
3
2
2
3
3
3
x
y
x
x y
xy
y
（5）
4
x
y
4
3
2
2
3
4
4
6
4
x
x y
x y
xy
y
．
（6）请写出展开式：
5
5
4
3
2
2
3
4
5
5
10
10
5
x
y
x
x y
x y
x y
xy
y
．
迁移应用：
解：
4
4
11
(10
1)
4
3
2
2
3
4
10
4 10
1
6 10
1
1
0
1464
4 1
1
1
19．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中俄贸易博览会前，哈市某展览馆为更好地适应会展需
求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长40 米，宽30 米的长方形，现计划将其分成两
个展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x 米．
(1)求两个展览区的总面积为多少平方米？（请用含x 的式子表示）
(2)工程负责人准备用A
B
、
两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，铺设展览
区若用A 种彩砖每平方米需要90 元，若用B 种彩砖每平方米需要60 元，当
4
x
时，若铺设展览区的总费
用不超过45540 元，求最多购买多少平方米A 种彩砖？
【答案】(1)
2
1200 180
6
x
x
平方米
(2)366 平方米
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及列代数式等知识，找出数量关系，正确列出一元一次不等
式是解题的关键．
（1）设通道的宽度为x 米，则展览区的长为(40
2 )x
米，宽为(30
3 )x
米，再由矩形面积公式计算即可；
（2）求出当
4
x
时，展览区的总面积为576 平方米，设购买m 平方米A 种彩砖，则购买(576
)
m
平方米B
种彩砖，根据铺设展览区的总费用不超过45540 元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设通道的宽度为x 米，则展览区的长为(40
2 )x
米，宽为(30
3 )x
米，
∴
2
40
2
30
3
1200 180
6
x
x
x
x
（平方米），
答：两个展览区的总面积为
2
1200 180
6
x
x
平方米；
（2）解：当
4
x
时，展览区的总面积为
2
6 4
180 4 1200
576
（平方米），
设购买m 平方米A 种彩砖，则购买(576
)
m
平方米B 种彩砖，
35 / 35
由题意得：90
60(576
)
45540
m
m
，
解得：
366
m
，
答：最多购买366 平方米A 种彩砖．
20．（24-25 八年级上·陕西渭南·期中）如图，某乡镇有一块长为
4a
b
米，宽为
3a
b
米的长方形耕地，
当地镇响应退耕还林政策，决定只留一块长为
2a
b
米，宽为
a
b
米的长方形耕地，退耕还林．
(1)求退耕还林的面积．（用含a、b 的代数式表示，要求化简）
(2)当
200
a
，
100
b
时，求退耕还林的面积．
【答案】(1)
2
10
4
a
ab
平方米
(2)退耕还林的面积
5
4.8 10
平方米
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键．
（1）根据图形及题意可直接进行求解；
（2）由（1）可知退耕还林的面积为
2
(
4
)
5a
ab
平方米，然后把
200
a
，
100
b
代入求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：(3
)(4
)
(
)(2
)
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
(2
)
12
7
3
a
ab
b
a
ab
b
2
2
2
2
2
12
7
3
a
ab
b
a
ab
b
2
10
4
a
ab
平方米；
（2）解：当
200
a
，
100
b
时，
2
2
5
10
4
10 200
4 200 100
480000
4.8 10
a
ab
，
答：退耕还林的面积
5
4.8 10
平方米．
