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专题11 利用导数求单调区间
1．已知函数
，其中
且
．当
时，求函数
的单调区间；
2．设函数
，直线是曲线
在点
处的切线．
当
时，求
的单调区间.
3．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
1
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4．已知函数
．
(1)求
的导数；
(2)求
的单调区间．
5．已知函数
.
(1)若函数
的图像在点
处的切线与直线
垂直，求实数的值；
(2)若
，求函数
的单调区间.
6．已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
2
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7．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若函数
的最小值为2，求实数
的值．
8．已知函数
（
，为自然对数的底数）.
(1)若曲线
在点
处的切线平行于
轴，求
的值；
(2)讨论函数
的单调性.
3
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9．函数
．求函数
的单调区间.
10．已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间．
11．已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)求曲线
在
处的切线方程.
4
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12．已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间.
13．已知函数
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求函数
的单调区间.
14．已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性．
5
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15．
(1)
，求曲线
在点
处的切线方程
(2)讨论
的单调性
16．已知
(1)若
求
在
处的切线的斜率;
(2)讨论
的单调性;
6
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《专题11 利用导数求单调区间》参考答案
1．单调递增区间为
，单调递减区间为
．
【分析】求出
，由导数的正负求单调区间；
【详解】由题可知函数的定义域为
，
当
时，
，所以
，
得
，
得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
2．单调递减区间为
，单调递增区间为
.
【分析】直接代入
，先求出定义域，再利用导数研究其单调性即可；
【详解】当
时，
，定义域为
，
，
当
时，
；当
，
；
在
上单调递减，在
上单调递增.
则
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
3．(1)
(2)单调增区间为
和
，单调递减区间为
【分析】（1）由
先求出
，再求导数
，进而求出
，即可根据直线方程
的点斜式求出切线方程；
（2）先求函数
的定义域，再解不等式
和
，即可求出
的单调区
间.
1
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【详解】（1）因为
，所以
.
因为
，
所以
，
所以
在点
处的切线方程为
，
即
；
（2）函数
的定义域为
，因为
恒成立，
恒成立，
所以令
，解得
或
，令
，解得
，
所以函数
的单调增区间为
和
，单调递减区间为
.
4．(1)
；
(2)单调递增区间为
，无递减区间
【分析】（1）利用求导法则计算即可；
（2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0 恒成立，故得到函数单调区间.
【详解】（1）
；
（2）定义域
，令
，即
，即
，
，其中判别式
，故
恒成立，
单调递增区间为
，无递减区间.
5．(1)
2
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(2)函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可.
【详解】（1）由题意知
的定义域为
，
由题设知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，即
，
所以
；
（2）由于
的定义域为
，
当
时，
单调增；当
单调减，
故函数
的单调增区间为
，单调减区间为
.
6．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）对函数
求导
，分类讨论当
，
，
，
四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性.
【详解】（1）当
时，
，
，则切点坐标为
．
又因为
，
，
所以
在
处的切线方程为
．
（2）由函数
求导可得
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．
定义域为
，
则①当
时，由
得
，
当
或
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
上单调递减；
②当
时，
，
在
上单调递增；
③当
时，由
得
，
当
或
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，在
单调递增，在
单调递减；
④当
时，由
得
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
递增，
上递减，
递增；
当
时，
在
上递增；
当
时，
在
递增，
递减，
递增；
当
时，
在
递减，
递增．
7．(1)答案见解析
(2) 或
【分析】（1）由题意得
，分别讨论
，
，
的情况，即
可求解；
（2）由（1）可得当
时函数
有最小值，从而可求解.
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【详解】（1）由题意得
的定义为
，且
，
当
时，
恒成立，此时
在
上单调递减；
当
时，令
，则
或
，
当
时，则
，当
时，
，此时
在
上单调递减；
当
时，当
时，
，当
时，
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）可得当
时，
为减函数则无最小值，所以
，
当
时，即
时，
取得极小值也是最小值
，
所以
，解得
或
，
故函数
的最小值为
，实数
的值为或.
8．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出
，由导数的几何意义，解方程
即可；
（2）解方程
，注意分类讨论，以确定
的符号，从而确定
的单调性，
【详解】（1）由
,得
．
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又曲线
在点
处的切线平行于
轴,
得
,即
,解得
．
（2）
,
①当
时,
,
为
上的增函数,
②当
时,令
,得
,则
．
,
；
,
．
所以
在
上单调递减,在
上单调递增,
综上,当
时,
为
上的增函数,
当
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
9．在
上单调递减，在
上单调递增
【分析】先对
求导，判断导数的单调性，最后求解单调区间即可.
【详解】因为
，所以
，
令
，
，令
，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增．
10．(1)
(2)单调递减区间为
，单调递增区间为
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程；
（2）解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，
，
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所以切点为
，切线的斜率
，则切线方程为
；
（2）函数
的定义域为
，
又
，
所以当
时
，当
时
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
11．(1)
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再根据不等式求解函数的单调区间；
（2）根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】（1）
，
令
，得
或
，
所以
的单调递增区间为
，
；
，得
，
的单调递减区间为
（2）
，
，所以切线方程为
，即
.
12．(1)
(2)递增区间为
和
，递减区间为
和
【分析】（1）求出导函数
，计算出
，
，根据导数的几何意义及直线的点
斜式方程即可求解；
（2）令
即可求出函数
的单调递增区间，令
即可求出函数
的
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单调递减区间.
【详解】（1）由题意知
，
则
，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域为
，
由（1）知
，
令
得
或
；令
得，
且
，
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
和
.
13．(1)
(2)
的单调增区间为
，单调减区间
.
【分析】（1）求出导数，由
，代入求得
，得解；
（2）根据导数，判断导数正负得解.
【详解】（1）由题意知
，
，
所以
，
又
，所以
，
故函数解析式为
.
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（2）由（1）知
，
，
令
，得
，
（舍），
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减.
14．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，分
、
两种情况讨论，分别求出函数的单调区
间.
【详解】（1）当
时
，则
，
，
所以
，
所以函数
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）函数
的定义域为
，
又
，
当
时
恒成立，所以
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，由
，解得
，由
，解得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
综上可得：当
时，单调递增区间为
，无单调递减区间；
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当
时单调递增区间为
，单调递减区间为
.
15．(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）把
代入，求出
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出
的导数，再分类讨论求出函数的单调区间.
【详解】（1）当
时，
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为：
，即
．
（2）函数
的定义域为R，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在R 上单调递减；
当
时，由
，得
；由
，得
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
在R 上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
16．(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率即可.
（2）求导，分
和
讨论，求出单调性即可.
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以所求切线的斜率为
.
10
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（2）由
，
，则
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
当
时，
，
由
，得
，由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
11
