专题11导数压轴大题四：证明不等式（二次求导，放缩法，数列求和）（学生版）_2027版高中《压轴培优讲义》高二上学期（人教A版选择性必修第二册）

专题11 导数压轴大题四：证明不等式（数
学版）
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面
上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，
能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方
法，这是非常必要的.
而高次函数或复杂一些的函数多数利用导数来确定其单调性，根据题目的特点，构造一个适当的函数，
利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的
思路，有着非凡的功效.
一、二次求导
利用导数解决不等式证明问题时，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用
单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性. 判断导函数与0 的大小关系，当一阶
导数不容易判断符号时，可通过二阶导数求得一阶导数的单调性来判断符号. 也有可能需要多次求导
（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论．
二、放缩法
在导数证明不等式成立的过程中，我们有时会用一些恒成立的函数模型进行适当放缩，简化需要
证明的不等式，方便后面的证明。
常见恒成立的函数模型有：
e
1
x
x

，
当
0
x 
时，
sin
x
x

当
0
x 
时，ln
1


x
x
，
1
ln
1
x
x

，ln(
1)
x
x


e
1
sin
1
sin
cos
x
x
x
x
x




数列常见放缩模型：
当
2
n 
时，


2
1
1
1
n
n
n n



，


1
1
2
1
n
n n


；
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

1
1
1
1
1
ln
1
,ln
,ln(
1)
ln
N
n
n
n
n
n
n
n
n
n















三、数列求和
利用函数求导确定单调性，适当的放缩法后，转化为可求和的数列，可求和的数列通常有：
裂项相消法，等比数列.
题型二二次求导
1．已知函数



sin
1
f x
a
x
a
x



．
(1)当
1
2
a 
时，证明：

f
x 只有一个零点．
(2)若



0,π ,
cos
0
x
f x
x
x



，求a 的取值范围．
2．已知函数

e
ln
,
0
2
x
x
f x
a
a



．
(1)当a
e
时，求函数

f
x 的极值；
(2)证明：

2
2
ln
0
f x
a
a
a










．
3．已知函数

cos
ex
x
f
x 
.
(1)不等式

f x
a

在
π π
,
2 2







上恒成立，求实数a 的最小值.
(2)记函数

1
e
e
x
x
g x
f
x


，记
g x 在
3π 5π
,
2
2
x





上的最小值为M ，证明：
2π
e
1
M


.
4．已知函数



ln
f x
x
x
t


的导函数为

f
x

，且曲线

y
f x

在点




1,
1
f


处的切线方程为
1
0
x
y


.
(1)证明：当
1
2
x 
时，
( )
0
f
x
¢
>
；
(2)设





3
2
1
[
]
ln
4
2
1
4
1
4
2
g x
mx
m
x
x
m
m
x
f















有两个极值点.


1
2
1
2
,
x x
x
x

，过点



1
1
,
x
g x

和




2
2
,
x g x
的直线的斜率为k，证明：
0
k 
.
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练习题：
1．已知函数


e ,
R
x
f
x
x
a
a



.
(1)当
1
a 时，求

f
x 的图象在点



0,
0
f
处的切线方程；
(2)对任意xR ，不等式

3
1
2
6
f x
x
x



恒成立，求a 的取值范围.
2．函数



ln
1
f x
x


．
(1)求证
0
x

：

1
x
f x
x

；
(2)若方程

f
x
k
x

恰有两个根，求证：4
3
5
2
k


．
3．如果( )
h x 是定义在区间D 上的函数，且同时满足：①
( ) ( )
0
h x h x

；②
( )
h x

与( )
h x 的单调性相同，则称
函数( )
h x 在区间D 上是“链式函数”.已知函数
2
( )
e
1
2
x
x
f x
x



，
2
( )
1
cos
2
x
g x
x


.
（1）判断函数
( )
f x 与( )
g x 在(0,
)
上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当
0
x 
时，
4sin
e
cos
2
3
cos
x
x
x
x




.
4．已知函数


ln
1
x
a
x
a
f
x
x




(1)若函数

f
x 在点



e,
e
f
处的切线斜率为0，求a 的值．
(2)当
1
a 时．设函数



xf
x
G x
f x


，求证：

y
f x

与

y
G x

在

1,e 上均单调递增；
题型二放缩法
1．求证：



2
1
ln
1
1
e
e
e
x
x
x
x
x
x







2．已知
1
1
2
1
1
1,
(1
)
.
2
n
n
n
a
a
a
n
n






证明
2
na
e

.
3．函数



0
1
a
x
f x
x
x




，曲线

y
f x

在点



1,
1
f
处的切线在y 轴上的截距为11
2 ．
（1）求a ；
（2）讨论



2
g x
x f x

的单调性；
（3）设


1
1
1,
n
n
a
a
f a



，证明：
2
2
2ln
ln7
1
n
na


．
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4．已知函数
( )
e
sin
x
f x
x
ax
=
+
-
．
(1)若
( )
f x 在(0,
(0))
f
处的切线l 与直线
1
x
y

平行，求切线l 的方程；
(2)证明：当
2
a 
时，对任意的
(0,
),
( )
2
cos
x
f x
x




恒成立．
练习题：
1．求证：


2
1
e
2ln
3
x
x
x
x





．
2．已知函数

2
2
1
x
f x
xe
x
x



，其中e为自然对数的底数，函数
g
ln
2
x
x
x



.
（1）求
g x 的最大值；
（2）求证：
1
3
0
g x
x
x




；
（3）求证：


4
2
f x
x g x
x




.
3．已知函数

2
ex
f
x
ax


，
R
a
．
(1)若函数

f
x 无极值，求a 的取值范围；
(2)当
1
a ，证明

1
ln
f
x
x
x

．
4．已知函数



ln
x
f
x
xe
a
x
x



.
（1）当
0
a 
时，求

f
x 的最小值；
（2）若对任意
0
x 
恒有不等式

1
f
x 成立，证明：


2
2 ln
2sin
x
x e
x
x
x



.
题型三用导数证明含数列之和不等式
1．已知函数
( )
e
(
1)
x
f x
a
x



(其中e为自然对数的底数).
(1)当
0
a 
时，试求函数在[ e,e]

上的最值；
(2)若对任意xR ，不等式
( )
0
f x 
恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)设
*
N
n
，证明：


1
1
1
1
ln
1
2
3
n
n







.
2．已知函数

2
ln
f x
a x
x


.
(1)若

f x 在

8,上单调递减，求实数a 的取值范围；
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(2)若
2
a 
，求证：




*
2
1
2
4 6
2
ln
,
1 3 5
2
1
2
n
n
n
n
n








N


.
3．证明：1
3
5
2
1
1
1
2 sin
2
4
6
2
2
1
2
1
n
n
n
n







．
4．已知函数



ln
1
1
ax
f
x
x
x



.
(1)当
1
a 时，求

f x 的极值；
(2)若

0
f x ，求a 的值；
(3)求证：


*
1
1
1
sin
sin
sin
ln2
N
1
2
2
n
n
n
n








.
练习题：
1．已知函数
( )
ln(1
)
(
1)(
0)
f x
x
x
a x
x





，其中a 为实常数．
(1)若函数
2
( )
( )
0
1
x
g x
f
x
x





定义域内恒成立，求a 的取值范围；
(2)证明：当
0
a 
时，
2
( )
1
f x
x
；
(3)求证：1
1
1
1
1
1
ln(1
)
1
2
3
1
2
3
n
n
n








．
2．已知
( )
, ( )
1(
x
f x
e
g x
x
e



为自然对数的底数).
(1)求证
( )
( )
f x
g x

恒成立；
(2)设m 是正整数，对任意正整数n ，
2
1
1
1
(1
)(1
)
(1
)
3
3
3n
m





，求m 的最小值.
3．已知函数

e
1
x
f x
x


．
(1)证明：当
0
x 
时，1
f x ；当
0
x 
时，

1
f x ．
(2)正项数列
nx
满足：


1
e nx
n
f x

，
1
1
x ，证明：
（i）数列
nx
递减；
（ii）
1
1
1
2
2
n
i
n
i
x





．
4．设函数

2
1
cos
1
2
f x
ax
x


．
(1)当
1
a 时，证明：

0
f x ；
(2)证明：
1
1
1
1
2
1
1
1
tan1
2
1
2tan
3tan
tan
2
3
n
n
n
n
n








．
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1.
已知函数
( )
(
1)ex
f x
mx
n




,
m nR 在点(1,
(1))
f
处的切线方程为
e
2
e
y
x


，
e
1
x
g x
x


(1)求
( )
f x 的值域；
(2)若
( )
( )
( )
( )
f a
f b
g c
g d



，且a
b

，c
d

，证明：①
0
c
d


；②
0
b
c


.
2.
若
0
x 
证明：



2
e
1 ln
1
x
x
x



3.
已知函数
( )
e
(
)
x
f x
a
x a


R .
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
(0,1)
a
，证明:
1
0
f
a






.
4.
已知函数
(
)
cos
1
1
(
)
x
g a
x
a
e
x





，其中x
R

．求证：
(1) 
0
0
g

，且( 1)
0
g 

；
(2)
0
t
，
,
(
)
x
t t


，

1
0
xg

.
5.
已知函数
( )
(
0)
x
x
f x
a a
e



且
(1)
( 1)
1
f
f


.
（1）求函数
( )
f x 的单调区间；
（2）证明：
1
2
ln
x
x
e
ex


.
6.
已知函数
( )
ln
x
f x
x
e


.
（1）求曲线
( )
y
f x

在点
(1, (1))
P
f
处的切线方程；
（2）证明：
( )
2
0
f x 

.
7.
已经x
R

，
（1）求证：
1
xe
x


(其中，
2.71828
e 
)；
（2）n
N 

，求证：
1
(1
) n
n
e


.
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8.
已知函数
2
( )
e
(ln )
x
f x
k
x
x


，其中
0
k 
．
(1)当
1
e
k 
时，证明：

0
f x ；
(2)若对任意
,
(
)
0
x
，都有



2
ln
f
x
x
k


，求k 的取值范围．
9.
设函数
( )
2ln
k
f x
x
kx
x



．
(1)当|
| 1
k 时，判断函数
( )
f x 的单调性；
(2)若对任意的正整数n 都有
2
2
2
1
1
(1 1)
ln (1
)
ln (1
)
2
ln
m
n






，求m 的最小值．
10.
设数列
na
的通项


1
1
1
na
n n



，其前n 项的和为
n
S ，证明：


ln
1
n
S
n


．
11.
已知函数



ln 1
sin
f x
x
a
x



．
(1)若

0
f x 
对任意的


0,1
x
恒成立，求a 的取值范围；
(2)证明：


*
1
1
1
1
1
1
cos
cos
cos
ln
N ,
2
2
2
3
3
n n
n
n
n







.
12.
已知函数



1
ex
f x
x
a



，aR ，

y
f x

的图象的一条切线的方程为
e
e
1
y
x


.e
2.71828

.
(1)求a ；
(2)当
*
nN ，
2
n 
时，证明：1
1
1
ln
2
3
n
n



.
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2027
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