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第20 讲 数列求和题型全归纳
目 录
题型01 裂项求和基础型
题型02 裂项求和根式、指数型
题型03 错位相减求和
题型04 分组、并项求和
题型05 倒序相加求和
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 裂项求和基础型
题型点拨
基础原理：
，如：
；
基本题型：①
；②
；
注意（避免掉坑）
①分母分解因式：
2
1
1
1 1
1
3
3
3
3
n n
n
n
n
n
；
②系数不相同就提系数：
；
③求和化简时，要写到“前三后二”，并且一定要强调每项加括号，这样容易观察消项后剩余的首尾项
（或正、负项）的对应关系.
（1）
；
（2）
；
（3）
；
分式型分子裂差法
形如
型，如果
，则可以分子裂差：
【典例1】（25-26·广东佛山）已知
是首项为1 的等比数列，数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【变式1】（25-26·湖南）已知等比数列
的各项均为正数，首项
，
为其前n 项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)
，
，求数列
的前n 项和
．
题型2 裂项求和根式、指数型
题型点拨
（1）
（2）
（3）
（4）
【典例1】已知各项都是正数的数列
，其前
项和为
，
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求证：
.
【变式1】数列
的通项公式为
，则这个数列的前63 项之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 错位相减求和
题型点拨
（1）适用条件
若
是公差为
的等差数列，
是公比为
的等比数列，求数列{an·bn}的前n 项和
．
（2）基本步骤
（3）注意事项
①在写出
与
的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出
；
【典例1】（25-26·湖南长沙）已知等差数列
满足
，
，数列
满足
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，求证：
．
【变式1】（25-26·北京）已知数列
的前
项和为
，数列
满足，
，
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)求数列
的通项公式
；
(3)若
，求数列
的前
项和
.
题型4 分组、并项求和
题型点拨
并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．
【典例1】（25-26·江苏苏州）已知数列
满足
，且
．
(1)证明：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
．
【变式1】已知数列
的首项
，
．
(1)求证：
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
；
(3)令
，求数列
的最大项．
题型5 倒序相加求和
题型点拨
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可
用倒序相加法（等差数列前
项和公式的推导即用此方法）．
【典例1】（25-26·福建漳州）德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对
的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定
的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数
（
），则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·黑龙江哈尔滨）若等差数列
满足
，则
（ ）
A．2025
B．
C．
D．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·广东佛山）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和
.
2．（25-26·福建龙岩）设数列
的前n 项和为
，
，
是等比数列，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
.
3．已知数列
中，
，
，且数列
为等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)记
为数列
的前n 项和，证明：
．
4．（25-26·浙江温州）已知数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前
项和
.
5．（25-26·湖南邵阳）已知数列
满足
，
（
），记
.
(1)求数列
的通项；
(2)设
，求数列
的前n 项和为
.
6．（25-26·广西北海）已知数列
满足
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，记数列
的前
项和为
，求证：
．
7．（25-26·福建厦门）已知等差数列
满足
，数列
满足
.
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)设cn=
an
bn+1，数列{cn}的前n项和为Sn，求Sn.
8．记
分别为数列
的前
项和，已知
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)证明：
．
9．（25-26·江苏盐城）已知等差数列
的公差为
，且
，设
为
的前
项和，数列
满足
.
(1)若
，
，且
，求
；
(2)若数列
也是公差为
的等差数列
①求数列
的通项公式；
②求数列
的前
项和
.
10．（25-26·江苏苏州）已知函数
，数列
满足
.
(1)求证：
为定值，并求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，求证：
．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·北京顺义）已知等比数列
为递增数列，其前
项和为
，
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
是首项为1，公差为3 的等差数列，求数列
的通项公式及前
项和
.
2．（25-26·福建厦门）已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和为
．
3．（25-26·河南）已知等差数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
的通项公式和
；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
4．（25-26·江西南昌）已知等差数列
满足：
，且
，
，
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若等差数列
的公差不为零，且数列
满足：
，求数列
的前99 项和
.
5．已知数列
满足：
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设数列
的前n 项和为
，若
，求证：
.
