文档文本内容
第1 讲 空间向量的运算及其应用
目 录
题型01 根据空间向量的线性运算求参数
题型02 向量共线、共面的判定及应用
题型03 空间向量的数量积及参数、最值问题
题型04 空间向量的模及参数、最值问题
题型05 空间向量的夹角及参数、最值问题
题型06 垂直、投影向量及参数问题
题型07 证明平行、共面、垂直问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 根据空间向量的线性运算求参数
题型点拨
【典例1】（25-26·江苏淮安）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，点
分别为
的中点，若
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【变式1】（25-26·山东威海）已知
是平行六面体．设
是底面
的中心，
是侧面
的对角线
上的点，且
，设
，
．
题型2 向量共线、共面的判定及应用
题型点拨
共线向量与共面向量
1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫
做共线向量或平行向量，若
与
是共线向量，则记为
．
2、共线向量定理：对空间任意两个向量¿{a},¿{b}(¿{b}¿¿{0})，¿{a}¿¿{b}的充要条件是存在实数
¿，使¿{a}=¿¿{b}．
3、共面向量定理：如果两个向量
不共线，那么向量
与向量
共面的充要条件是存在唯一的有序
实数对
，使
4、拓展
对于空间任意一点
，四点
共面（其中
不共线）的充要条件是：存在实数x，y，z，
使
，且
．
【典例1】已知A，B，C 三点共线，O 为空间任一点，则①
；②存在三个不为0 的实数
，
m，n，使
，那么使①②成立的
与
的值分别为（ ）
A．1，
B．
，0
C．0，1
D．0，0
【变式1】（25-26·广东佛山）若
构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（25-26·辽宁大连）在四面体
中，E 为
的中点，G 为平面
的重心．若
与平面
交于点F，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型3 空间向量的数量积及参数、最值问题
题型点拨
在几何体中求空间向量数量积的步骤
①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.
②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.
③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.
【典例1】（25-26·甘肃酒泉）在空间直角坐标系
中，
，
，
，
点
在直线
上运动，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·江苏南京）在直三棱柱
中，
，点
为侧面
上的任意一点，则
的取值范围是 .
题型4 空间向量的模及参数、最值问题
题型点拨
利用向量方法求长度或距离的基本方法
（1）将相应线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模.
（2）因为a·a=|a|2,所以|a|=❑√a·a,这是利用向量解决长度或距离问题的基本公式.另外,该公式还可以
推广为|a±b|=❑√(a±b)
2=❑√a
2±2a·b+ b
2.
（3）若
，则
，即
【典例1】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱
中，
，且
，N 是棱
上的一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
【变式1】（25-26·上海）已知
、
是空间相互垂直的单位向量，且
，
，则
的最小值是 .
题型5 空间向量的夹角及参数、最值问题
题型点拨
求两个非零向量夹角的两种途径
（1）转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解.
（2）利用数量积求异面直线夹角的余弦值.
（3 ）设 θ 为向量 AB 与向量 CD 的夹角，则异面直线 AB ，CD 的夹角 α 满足
．
【典例1】（25-26·安徽淮南）已知空间向量
，
，若
与
的夹角是锐角，则
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（25-26·江苏常州）已知动点
是棱长为1 的正方体
的对角线
上一点，记
，当
为钝角时，
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型6 垂直、投影向量及参数问题
题型点拨
（1）两个向量的平行与垂直
平行（
）
垂直（
）
（
均非零向量）
（2）判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件;已知两向量平行或垂直求参数
的值,则利用平行或垂直的充要条件,将位置关系转化为坐标关系,列方程(组)求解.
（3）当
时，向量 a 在向量 b 上的投影向量为
．
【典例1】（25-26·江苏宿迁）在空间直角坐标系
中，向量
（
）在面
上的投影向
量为
，在向量
上的投影向量为
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．与t 有关
【变式1】（25-26·湖南长沙）如图，棱长为2 的正方体
中，
，
分别是
，
的中
点，动点
满足
，若
，则
．
题型7 证明平行、共面、垂直问题
题型点拨
(1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.
(2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量
证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积
和垂直条件来完成位置关系的判定.
(3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.
【典例1】（25-26·河南商丘）如图，四棱锥
的底面
是边长为2 的菱形，
，
平面
，
，且
，
，
.
(1)求直线
与直线
所成角的余弦值；
(2)证明：
，
，
，
四点共面.
【变式1】（25-26·上海宝山）如图所示，已知斜四棱柱
的底面
是菱形，且
，且
．
(1)求证：
；
(2)当
的值为多少时，能使
平面
？请给出证明．
强化训练（共10 题）
1．（25-26·甘肃白银）在三棱锥
中，M 是平面
内一点，且
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
2．（25-26·甘肃兰州）设正四面体
的棱长为
，
，
分别是
，
的中点，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26·广东广州）已知
为原点，
，点
在直线
上运动，则
当
取得最小值时，点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26·安徽）已知O 为正方形ABCD 的中心，E，F 分别为BC，AD 的中点，若将正方形ABCD 沿对
角线BD 翻折，使得二面角
的大小为
，则此时
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）已知向量
，
，
，则
的值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
6．（25-26·广东）（多选）平行六面体
的各棱长为1，且
分别为
，
，
，
中点．若
两两垂直，则（ ）
A．
B．
C．
D．四面体
的体积为
7．（25-26·吉林）已知向量
，
，
，当
时，向量
在向量上的投影
向量为 ．（用坐标表示）
8．（25-26·福建漳州）在平行六面体
中，
，
，则
与
所成角的正弦值为 ．
9．（25-26·广东深圳）在三棱锥
中，
与
中点分别为
，点
为
中点．若
在
上满足
，
在
上满足
，平面
交
于点
，且
，则
．
10．如图，在空间中平移
到
，连接对应顶点，设
分别是
的中点，
是
上一点．
(1)若
为
的中点，用向量法证明：
；
(2)若
，问是否存在点
使得
，并说明理
由．
知识小测（共5 题）
1．（25-26·山东淄博）设
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
2．（25-26·广东东莞）如图，已知正方体
中，点
为上底面
的中心，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．2
3．（25-26·河南）在四面体
中，
为棱
的中点，
为线段
的中点，若
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
4．（多选）（25-26·辽宁抚顺）已知
，
.若
，则
与
的值可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设
，
是空间两个不共线的向量，已知
，
，
，且A，B，D 三
点共线，则
．
