文档文本内容
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第06 讲整式的除法
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习
练习题讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法
练考点强知识：六大核心考点精准练
第二步：记
串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1 同底数幂的除法法则
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即am ÷ an = am−n（a ≠0，m、n 都是正整数，且m > n ）。
要点：
1.
同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算。
2.
被除式、除式的底数须相同，且0 不能作除式；被除式的指数要大于除式指数。
3.
当三个或三个以上同底数幂相除时，同样适用该性质。
4.
底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式。
知识点2 零指数幂法则
任何不等于0 的数的0 次幂都等于1 ，即a0 = 1（a ≠0 ）。
要点：底数a 不能为0，因为00无意义；任何一个常数都可看作与字母0 次方的积，所以常数项也叫0
次单项式。
知识点3 单项式除以单项式
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的
指数作为商的一个因式。
要点：
1.
具体包含三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商
的一个因式。
.
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2.
单项式除法实质是有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，结果仍为单项式。
知识点4 多项式除以单项式
多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即am + bm + cm ÷ m =
am ÷ m + bm ÷ m + cm ÷ m = a + b + c 。
要点：
1. 多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式来解决，实质是将其分解成多个单项式除以单项式。
2. 计算时，多项式的各项要带上前面的符号，注意符号变化。
课本典例1（习题11.4 第5 题）
先化简，再求值：[ 2a + b
2a −b −2a −b 2] ÷ 2a −b ，其中a ≠1，b = 2
课本典例2（习题11.4 第6 题）
聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上
这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1。你能说明其中的道理吗？
课本典例3（习题11.4 第7 题）
已知多项式A 与单项式5xy 的差，除以x?2y，所得的商是3x + y，求A。
同底数幂相除
底数不变，指数相减
n
m
n
m
a
a
a
（
0
a
）
2
3
b
a
b
a
单项式除以
单项式
①系数相除；
②同底数幂相除；
③对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数
一起作为商的一个因式．
b
a
m
b
a
2
4
2
49
7
多项式除以
单项式
多项式除以单项式，把这个多项式的每一项分别除
以单项式，再把所得的商相加．
说明：
①多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以
单项式．
②多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
m
cm
bm
am
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题型一计算单项式除以单项式
1．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）如果
2
3
ab
a b
□
，则□内应填的代数式是（
）
A．ab
B．3ab
C．a
D．3a
2．（24-25 八年级上·青海海东·期末）计算
3
2x y
xy
的结果是（
）
A．
2
2x
B．
2x y
C．xy
D．
2
2xy
3．（24-25 八年级上·广东湛江·期末）若（
）
2
3
2
4
a b
a b
，则括号内应填的单项式是：（
）
A．a
B．2a
C．ab
D．2ab
4．（24-25 八年级上·山西晋城·期末）计算
2
3
2
14
7
a b
a b
的结果是
．
5．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）计算：
7
6
3
2
6
3
a b
a b
．
题型二多项式除以单项式
6．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）计算：
2
2
10
5
5
x y
xy
xy
．
7．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：
3
2
2
3x
x
x
．
8．（24-25 八年级上·河南南阳·阶段练习）计算：
3
2
2
2
14
7
7
a b
ab
ab
．
9．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）与单项式
2
3a b
的积是
3
2
2
2
2
6
2
9
a b
a b
a b
的多项式是
．
10．（24-25 八年级上·吉林·期中）计算：
2
3
6
6
x y
xy
xy
题型三整式的混合运算
11．（24-25 八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）计算
(1)
2
2
2
(
1)
(
)
a b b
ab
(2)
3
2
2
10
5
5
5
a b
a b
ab
ab
(3)
2
2
(
)
x
y
x
xy
y
12．（24-25 八年级上·福建厦门·阶段练习）计算
(1)
2
x
y
x
y
(2)
3
2
2
3
12
3
4
a b
a b
ab
ab
(3)
2
3
2
4
3
2
3
x
x
x
x
13．（24-25 八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）计算
(1)
2019
2020
2019
5
3
0.4
3
2
(2)
2
1 2
1
6
4
3
x
x
x
x
．
4 / 8
14．（24-25 八年级上·山东滨州·期中）计算：
(1)
3
2
4
1
4
3
2
2
a
a
a
a
；
(2)
2
2
2
6
x
y
x
y
x
y
y
；
(3)
2
1
2
1
x
y
x
y
．
题型四整式的化简求值
15．（24-25 八年级上·江西南昌·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
2
2
3
x x
x
x x
y
x
y
y
，
其中
3
x ，
2
y
．
16．（24-25 八年级上·重庆石柱·期中）先化简，再求值：
2
2
2
2
2
2
2
a
b
b
a
a
b
a
a
b
a
，其
中,a b ，满足
2
1
2
3
0
a
b
．
17．（24-25 八年级上·重庆·期中）化简，再求值：
2
3
3
2
2
3
2
3
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
，其中x ，
y 满足
2
2
1
1
0
x
x
y
．
18．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
2
2
2
4
xy
xy
x y
xy
，其中
1
x ，
1
2
y
．
题型五用科学记数法表示数的除法
19．（22-23 七年级下·陕西宝鸡·期中）火星的体积约为
20
1.35 10
´
立方米，地球的体积约为
21
1.08 10
´
立方米，
地球体积约是火星体积的
倍．
20．（22-23 七年级下·山东·期中）计算：
6
3
3 10
5 10
．
21．（22-23 七年级下·广西崇左·期末）月球距离地球约为
5
3.84 10
千米，一架飞机速度为
2
8 10
千米/时，
若坐飞机飞行这么远的距离需
小时．（结果用科学记数法表示）
22．（2023·河北唐山·一模）某市计划修建一个长为
2
3.6 10
米，宽为
2
3 10
米的矩形市民休闲广场．
(1)请计算该广场的面积S（结果用科学记数法表示）；
(2)如果用一种60cm
60cm
正方形大理石地砖铺装该广场地面，请计算需要多少块大理石地砖．
题型六整式除法的应用
23．（24-25 八年级上·山西吕梁·阶段练习）在信息传递的过程中，信息的发送方甲方，为了保护传输的数
据信息不被第三方窃取，采用一个密钥将要发送的信息进行加密并形成密文发送给乙方，信息的接收方乙
方用另一把密钥对密文进行解密，得到明文信息，这种完成信息通信目的的方法称为密钥加密．若某种加
密规则如图所示，当发送方发出
4
a ，
3
b
，求解密后m ，n 的值．
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24．（23-24 八年级上·全国·课堂例题）某高分子聚合材料的性能优于铝合金材料，密度为
2
3
9 10 kg m
．又
知铝合金的密度约为
3
3
2.7 10 kg m
，求铝合金的密度是这种材料密度的多少倍．
25．（22-23 七年级下·辽宁沈阳·期末）如图（1）中的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图
2 中的杯子中，那么请用整式运算的知识列式表示一共需要多少个这样的杯子( 结果要化简) ；并计算出
当
20cm
h
，
40cm
H
时所需杯子的数目．
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一、单选题
1．（24-25 八年级上·广东广州·期中）下列运算正确的是（
）
A．
2
3
5
a
a
a
B．
2
2
2
2
a
a
a
C．
3
2
5
a
a
D．
5
3
2
6
3
2
a
a
a
2．（24-25 八年级上·山西晋城·期末）下列运算正确的是（
）
A．
3
5
15
a
a
a
B．
2
2
2
ab
a b
C．
3
2
5
a
a
D．6
2
3
a
a
a
3．（24-25 八年级上·四川资阳·期末）若一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“扬
帆数”．则下列各数中是“扬帆数”的是（
）
A．224
B．220
C．198
D．154
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）计算
2
3
3
6
2
x y
x
x
正确的是（
）
A．
3
3
6
2 xy
x
B．
3
3
3
2 xy
x
7 / 8
C．
2
3
3
2 xy
x
D．
2
3
3
2 xy
x
5．（24-25 八年级上·山西朔州·期中）已知
4
3
6
2
x y
xy
★
，则“★”所表示的单项式是（
）
A．
5
5
12x y
B．
3
3x y
C．
3
2
3x y
D．
3
4x y
6．（24-25 八年级上·福建福州·期末）长方形的面积是
2
12
6
a
ab
，若一边为2a ，则另一边为（
）
A．6
3
a
b
B．6
3
a
b
C．3
6
a
b
D．3
6
a
b
7．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部
分的面积数据如图所示，右边场地为长方形，长为
2 a
b
，则宽为（
）
A．
1
2 a
b
B．a
b
C．
1
2 a
b
D．a
b
8．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下面是某同学在一次测验中的计算摘录，其中正确的有（
）
（1）
3
2
5
3
2
6
x
x
x
（2）
3
2
4
2
2
a b
a b
a
（3）
2
(
2 )
2
a
a
b
a
ab
（4）
2
2
3
3
(2
3 ) 4
6
9
8
27
x
y
x
xy
y
x
y
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
9．（24-25 八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）一个长方形的面积为
2
2
6
4
ab
a b
，它的长为2ab ，则它的宽为（
）
A．
2
3
2
b
a
B．
2
3
2
b
a
C．
2
3
2
b
a
D．3
2
b
a
10．（24-25 八年级上·福建泉州·阶段练习）对于任意正整数n，按流程图的计算方式，得到的结果（
）
2
n
n
n
n
平方
结果
A．随n 的变化而变化
B．不变，总是0
C．不变，总是1
D．不变，总是2
二、填空题
11．（24-25 八年级上·吉林·期中）若
2
3
2
8
x
x y
，则□内应填的是
．
12．（24-25 八年级上·河南焦作·期末）一个长方形的面积为
2
4
a
a
，若这个长方形的宽为a ，则长为
．
13．（24-25 八年级上·甘肃张掖·阶段练习）小花与小米在做游戏时，两人各报一个整式，将小花报的整式
作为除式，小米报的整式作为被除式，要求商必须为
2
2x y
．若小米报的整式是
6
4
4x y ，则小花应报的整式
是
．
14．（24-25 八年级上·内蒙古通辽·期末）化简
2
2
2
2
2
2
mn
m n
mn
．
15．（24-25 八年级上·河南新乡·期中）如图，小明制作了一些A 类、B 类、C 类卡片，其中
,
A B 两类卡片
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都是正方形，C 类卡片是长方形．要拼出一个宽为
2
3
a
b
、长为
7
2
a
b
的大长方形，小明需要准备C 类
卡片
张．
三、解答题
16．（24-25 八年级上·四川乐山·期末）先化简，再求值：
2
(
)
2(
)
m
n
m
n n
．其中
2
m
，
3
n
．
17．（24-25 八年级上·广东广州·期中）计算：
(1)
2
3
4
(
)
x y
xy
；
(2)
2
24
6
x y
xy
．
18．（24-25 八年级上·河北邢台·阶段练习）先化简，再求值：
2
2
1
5
1
3
2
3
2
x
x x
x
x
，其中
1
9
x
．
19．（24-25 八年级上·甘肃武威·阶段练习）计算：
2
2
4
2
3
15
10
x y
xy
x y
．
20．（24-25 八年级上·甘肃张掖·期中）阅读下面的材料：
将边长分别为a ，a
b
，
2
a
b
，
3
a
b
的正方形面积分别记为
1S ，
2S ，
3
S ，
4
S ，则
2
2
2
1
2
2
S
S
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
b
b
a b
．例如：当
1
a ，
3
b
时，
2
1
3
2 3
S
S
．
根据以上材料解答下列问题：
(1)当
1
a ，
3
b
时，
3
2
S
S
_______________，
4
3
S
S
_________________．
(2)当
1
a ，
3
b
时，把边长为a
n b
的正方形面积记作
1
n
S ，其中n 是正整数，从（1）中的计算结果，
请直接写出
1
n
n
S
S
的结果是_______________；
(3)在（2）的条件下，已知
1S
a
，当
1
a ，
3
b
时，令1
2
1
t
S
S
，2
3
2
t
S
S
，
4
3
t
S
S
，…，
1
n
n
n
t
S
S
，
且
1
2
3
50
T
t
t
t
t
，求t 的值．
