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第08 讲有理数的乘方
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 有理数幂的概念理解
题型2 有理数的乘方运算
题型3 乘方运算的符号规律
题型4 乘方的应用
题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题
题型6 用科学记数法表示绝对值大于1 的数
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
乘方、幂、底数、指数、
奇负偶正、括号、运算
顺序。
1. 理解乘方的意义，掌握底数、指数、幂的概念，能正确读写乘方算式。
2. 能进行有理数的乘方运算，特别关注负数和分数的乘方中括号的使用。
3. 掌握幂的符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为
正。
4. 能进行简单的混合运算（含加、减、乘、除、乘方），体会运算顺序的规
定，培养计算能力。
学习重点：乘方的意义及有理数的乘方运算，特别是负数和分数乘方时的括号使用及符号确定。
学习难点：理解乘方与乘法的区别与联系，准确处理负数和分数的乘方运算（如(-2)4 与-24 的区别），
以及乘方在混合运算中的顺序。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 有理数的乘方
一般地，n 个相同的因数a 相乘，即
个
n
a
a
a
a
，记作
n
a ，读作a 的n 次方.求n 个相同因数的积的
运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
在
n
a 中，a 叫做底数，n 叫做指数.
n
a 读作a 的n 次方，也可以读作a 的n 次幂.
【易错提醒】
有理数乘方易错警示：an 表示n 个a 相乘。注意区分(-2)4=16 与-24=-16；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。
指数为1 时结果为其本身。勿混淆底数与指数位置。
即时即练1．
5
2 可表示（
）
A．五个2 相加
B．两个5 相加
C．五个2 相乘
D．两个5 相乘
【答案】C
【知识点】有理数幂的概念理解
【分析】本题主要考查有理数的乘方，牢记有理数乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义（n 个
相同的因数a 相乘，记作
n
a ），即可求得答案．
【详解】解：
5
2 表示5个2 相乘．
故选：C．
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2．
23 的底数是
，指数是
；
4
3
4
的底数是
，指数是
；
35
的底数是
，指
数是
．
【答案】
3
2
3
4
4
5
3
【分析】本题考查了乘方的定义．
乘方的结果叫做幂，在
n
a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．
【详解】解：
23 的底数是3，指数是2；
4
3
4
的底数是
3
4
，指数是4；
35
的底数是5，指数是3．
故答案为：3，2；
3
4
，4；5，3．
知识点02 有理数的乘方运算
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0 的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值.
【易错提醒】
有理数乘方运算易错警示：先确定幂的符号（负数奇次幂为负，偶次为正），再算绝对值。注意底数为分
数或负数要加括号，如
ʹ
͵
ʹ
=
ͺ
ͻ ，而
ʹʹ
͵ =
4
͵ 不同。勿漏指数。
即时即练1．计算：
(1)
3
5
；
(2)
35
；
(3)
2
3
4
；
(4)
23
4
；
(5)
2
1.5
；
(6)
5
1
2
．
【答案】(1) 125
(2) 125
(3) 9
16
(4)
9
4
(5) 2.25
(6) 1
32
【知识点】有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握乘方的运算法则是解题关键．
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（1）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（3）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（4）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（5）根据有理数的乘方的运算法则计算即可；
（6）根据有理数的乘方的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
3
5
125
；
（2）解：
35
125
；
（3）解：
2
3
9
4
16
；
（4）解：
23
9
4
4
；
（5）解：
2
1.5
2.25
（6）解：
5
32
1
2
1
．
知识点03 科学记数法
把一个大于10 的数记成a×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，n 是正整数，这种记数法叫做科
学记数法．科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n 为正整数．
【易错提醒】
科学记数法易错警示：形式为a×10n，其中1≤|a| < 10，n 为整数。注意a 是整数部分仅一位的数，n 等于原
数整数位数减1 或小数点移动位数。单位需在括号外。
即时即练1．据商务部消息，2025 年以来，电动自行车以旧换新取得积极成效．截至3 月11 日，今年全
国电动自行车售旧、换新各166.4 万辆，超过2024 年总和．数据166.4 万用科学记数法表示为（
）
A．
4
166.4 10
B．
7
0.1664 10
C．
7
1.664 10
D．
6
1.664 10
【答案】D
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1 的数
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为
10n
a
的形式，其中
1
10
a
，
n 为整数即可求解，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动
的位数相同，当原数绝对值
10
时，n 是正整数；当原数的绝对值
1
时，n 是负整数，解题的关键要正确
确定a 的值以及n 的值．
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【详解】解：166.4万
6
1664000
1.664 10
，
故选：D ．
2．央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023
2024
冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿人次，预
计新一轮，也就是2024
2025
冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为
．
【答案】
8
3.85 10
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1 的数
【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记
数法的表示形式为
10
1
10
n
a
a
，确定n 的值的方法：当原数的绝对值10
时，把原数变为a 时，小数
点向左移动的位数即为n 的值；当原数的绝对值
1
时，把原数变为a 时，小数点向右移动位数的相反数即
为n 的值．
根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：3.85亿
8
385000000
3.85 10
，
故答案为：
8
3.85 10
．
题型1 有理数幂的概念理解
【例1】代数式
3n 可以表示成（
）
A．3 个n 相乘
B．n 个3 相乘
C．3 个n 相加
D．n 个3 相加
【答案】A
【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将
3n 化为n n n
，即可进行解答．
【详解】解：∵
3
n
n n n
，
∴
3n 可以表示成3 个n 相乘，
故选：A．
【例2】
43
的意义是（
）
A．4 个3
相乘
B．4 个3
相加
C．3
乘以4
D．
43 的相反数
【答案】D
【分析】本题考查了乘法与乘方的定义，以及相反数．掌握相关区别是解题关键．根据乘方和乘法以及相
反数的定义逐项判断即可．
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【详解】解：A、4 个3
相乘对应
4
3
，不符合题意；
B、4 个3
相加对应
3
4
，不符合题意；
C、3
乘以4 对应
3
4
，不符合题意；
D、
43 的相反数对应
43
，符合题意；
故选：D．
【技巧归纳】
幂：aⁿ表示n 个a 相乘，a 为底数，n 为指数（正整数）。注意区分：(-a)ⁿ与-aⁿ（前者负号在括号内，指数
影响符号；后者负号在括号外）。任何非0 数的0 次幂得1，0 的正整数次幂得0。底数可为分数、小数。
【变式1-1】
32
的含义正确的是（
）
A．2
与3的积，即：2 3
6
- ´
= -
B．3个2
相乘的积，即：
2
2
2
8
C．3个2 相乘的积的相反数，即：2 2 2
8
D．2 个3相乘的积的相反数，即：3 3
9
【答案】C
【分析】本题考查有理数的乘方，解题的关键是熟练运用有理数的乘方运算；
根据有理数的乘方运算即可求出答案．
【详解】解：
32
表示3 个2 相乘的积的相反数，即：2 2 2
8
；
故选：C
【变式1-2】（1）在
3
5
中，底数是
，指数是
；
（2）在
2
5
中，底数是
，指数是
，意义是
．
【答案】
5
3
5
2
5 的平方的相反数
【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．在
n
a 中，a 是底数，n 是指数．利
用乘方的意义即可得到结果．
【详解】解：（1）在
3
5
中，底数是5
，指数是3；
（2）在
2
5
中，底数是5，指数是2，意义是5 的平方的相反数；
故答案为：5
，3；5，2，5 的平方的相反数．
题型2 有理数的乘方运算
【例3】计算：
(1)
3
( 4)
；
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(2)
4
( 2)
；
(3)
3
2
3
．
【答案】(1) 64
(2)16
(3)
8
27
【分析】本题考查了有理数的乘方运算．
（1）根据乘方的定义将
3
( 4)
展开算乘法即可；
（2）根据乘方的定义将
4
( 2)
展开算乘法即可；
（3）根据乘方的定义将
3
2
3
展开算乘法即可．
【详解】（1）解：
3
( 4)
4
4
4
64
；
（2）解：
4
( 2)
2
2
2
2
16
；
（3）解：
3
2
2
2
2
8
3
3
3
3
27
．
【例4】计算：
(1)
2
3
2
______；
(2)
3
3
2
______；
(3)
3
1
12
______；
(4)
4
1.5
______；
(5)
33
2
______；
(6)
4
0.25
______．
【答案】(1) 9
4 ；
(2) 27
8 ；
(3)
27
8
；
(4)
81
16
；
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(5)
27
2
；
(6) 1
256 ．
【分析】本题主要考查了有理数的乘，求多个相同因数的乘积的运算用乘方表示，例如：
n
a a a
a
a
．
1
2
3
2
表示2 个
3
2
相乘，根据有理数的乘法法则计算即可；
2
3
3
2
表示3个
3
2
相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可；
3 把
1
12
转化成假分数，可得：原式
3
3
2
，
3
3
2
表示3个
3
2
相乘，根据有理数的乘法法则计算即可；
4 把1.5转化成分数，可得：原式
4
3
2
，表示4 个3
2 相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可；
5
33
2
表示把分子3进行乘方计算，其他部分不变，可得：原式
3 3 3
2
，再根据有理数的乘法法则计
算即可；
6 首先把0.25
转化成
1
4
，可得：原式
4
1
4
，表示4 个
1
4
相乘，再根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
2
3
2
3
3
2
2
9
4
，
故答案为：9
4 ；
（2）解：
3
3
2
3
3
3
2
2
2
27
8
27
8
，
故答案为：27
8 ；
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（3）解：
3
1
12
3
3
2
27
8
，
故答案为：
27
8
；
（4）解：
4
1.5
4
3
2
3
3
3
3
2
2
2
2
81
16
，
故答案为：
81
16
；
（5）解：
33
2
3 3 3
2
27
2
，
故答案为：
27
2
；
（6）解：
4
0.25
4
1
4
4
1
4
1
1
1
1
4
4
4
4
1
256
，
故答案为：1
256 ．
【技巧归纳】
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乘方运算：先确定符号（正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正），再计算绝对值的乘方。
底数是分数时，分子分母分别乘方；底数是小数先化分数。注意区分底数范围，如(-2)⁴=16，-2⁴=-16。
【变式2-1】计算：
(1)
36
；
(2)
3
7
；
(3)
3
0.2
；
(4)
2
1
3
；
(5)
3
10
；
(6)
6
10
．
【答案】(1)216
(2) 343
(3) 0.008
(4) 1
9
(5)1000
(6)1000000
【分析】本题考查了乘方的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键；
（1）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可；
（2）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（3）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（4）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
（5）根据正数的任何次幂都是正数，计算即可；
（6）根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，计算即可；
【详解】（1）解：
3
6
216
；
（2）解：
3
7
343
（3）解：
3
0.2
0.008
；
（4）解：
2
1
1
3
9
；
（5）解：
3
10
1000
；
（6）解：
6
10
1000000
．
【变式2-2】计算
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(1)
2
7 ；
(2)
3
6
；
(3)
3
2
3
；
(4)
23
；
(5)
32
5
；
(6)
3
3
4
．
【答案】(1)49
(2)－216
(3) 8
27
(4)－9
(5)
8
5
(6) 27
64
【分析】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（2）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（3）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（4）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（5）根据有理数的乘方运算法则求解即可；
（6）根据有理数的乘方运算法则求解即可．
【详解】（1）解：
2
7
7 7
49
；
（2）
3
( 6)
( 6) ( 6) ( 6)
216
；
（3）
3
2
2
2
2
8
3
3
3
3
27
；
（4）
2
3
3 3
9
；
（5）
32
2 2 2
8
5
5
5
；
（6）
3
3
3
3
3
27
4
4
4
4
64
；
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题型3 乘方运算的符号规律
【例5】有下列各数：①
21
；②
2
( 1)
；③
31
；④
4
( 1)
，其中结果等于1
的是（
）
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
【答案】D
【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算
【分析】根据有理数的乘方，以及相反数的求法，逐项判定即可．
【详解】解：①
2
1
1
，
②
2
( 1)
1
，
③
31
1
，
④
4
( 1)
1
，
∴其中结果等于1
的是：①②③④．
故选：D．
【例6】下列各组的两个数中，运算后结果相等的是（
）
A．
23
与
2
3
B．
35 与
53
C．
37
与
3
7
D．
3
3
4
与
33
4
【答案】C
【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算
【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】A、
23
9
，
2
3
9
，不相等，故A 选项错误；
B、
35
125
，
53
243
，不相等，故B 选项错误；
C、
3
7
353
，
3
7
353
，相等，故C 选项正确；
D、
3
3
27
4
64
，
33
27
4
4
，不相等，故D 选项错误．
故选：C．
【技巧归纳】
正数的任何次幂都为正；负数的奇次幂为负，偶次幂为正。0 的正整数次幂为0。底数为负且指数为奇数，
结果负；指数偶数，结果正。注意区分(-a)ⁿ与-aⁿ：前者负号参与乘方，后者负号在乘方结果外。
【变式3-1】已知n 为正整数，计算
2
2
1
1
1
n
n
的结果是（
）
A．1
B．-1
C．0
D．2
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【答案】D
【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算、有理数的减法运算
【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．
【详解】解：
2
2
1
1
1
1 1
2
n
n
，
故选：D．
【变式3-2】若n 是自然数，并且有理数a、b 满足
1
0
a
b
，则必有（
）
A．
2
1
0
n
n
a
b
B．
2
1
2
1
0
n
n
a
b
C．
2
1
1
0
n
n
a
b
D．
2
1
2
1
1
0
n
n
a
b
【答案】D
【分析】此题考查了相反数的性质，根据题意得到a 和1
b 互为相反数，进而求解即可．
【详解】∵
1
0
a
b
∴a 和1
b 互为相反数
∴
2
1
2
1
1
0
n
n
a
b
．
故选：D．
题型4 乘方的应用
【例7】你喜欢吃兰州牛肉面吗？拉面的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉
伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下图所示．请问要想拉出128 根面条，需要
捏合的次数是（
）
A．5 次
B．6 次
C．7 次
D．8 次
【答案】C
【分析】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
根据题意归纳总结得到第n 次捏合，可拉出2n 根面条，结合
72
128
可得到结果．
【详解】第一次捏合，可拉出2 根面条；第二次捏合，可拉出
2
2
4
根面条；第三次捏合，可拉出
3
2
8
根
面条；
以此类推，第n 次捏合，可拉出2n 根面条，
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又
72
128
，
第7 次捏合，可拉出128 根面条．
故选：C．
【例8】拉面是很多人都喜欢吃的一种面食．拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉长，再
捏合，又拉长，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多根较细的面条．回答下列问题：
(1)第6 次捏合后，可得多少根面条？
(2)经过多少次捏合后可得到256 根面条？
【答案】(1)64 根
(2)8 次
【知识点】乘方的应用、有理数的乘方运算
【分析】本题主要考查了有理数乘乘方的应用．
（1）计算
6
2 即可得出答案．
（2）由
82
256
即可得出答案．
【详解】（1）解：
6
2
64
（根）
则第6 次捏合后，可得64 根面条．
（2）解：因为
82
256
，
所以经过8 次捏合后可得到256 根面条．
【技巧归纳】
应用如细胞分裂、拉面折数、增长率等。识别底数为“每轮倍数”，指数为“轮数”。求n 次后总量=初始
量×倍数ⁿ。注意指数从0 开始：第0 次为初始。也用于比较大小，如2¹⁰ 与10³，分别计算或取对数比。
【变式4-1】古时候，在某个王国里有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，献给了国王，为表示对大臣的
感谢，国王答应满足大臣一个要求．大臣说：“就在这个棋盘上放一些米粒吧，第一格放1粒米，第二格放2
粒米，第三格放4 粒米，然后是8粒米，16粒米，L 直到第64 格．”“你真傻就要这么一点米？”国王哈哈大
笑，大臣说：“就怕你的国库里没有这么多米？”你知道第64 格中能放多少米吗？请你帮忙计算出来．
【答案】
63
2
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了乘方的应用，由已知可得第n 格放的米粒数为
1
2n，据此即可求解，根据题意找到数字
的变化规律是解题的关键．
【详解】解：第一格放1粒米，即
0
2 粒，
第二格放2 粒米，即
12 粒，
第三格放4 粒米，即
2
2 粒，
第四格放8 粒米，即
32 粒，
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第五格放16粒米，即
4
2 粒，
L ，
∴第n 格放的米粒数为
1
2n粒，
∴第64 格放的米粒数是
63
2 粒．
【变式4-2】水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的
净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1 株水葫芦每5 天就能繁殖1 株．（不考
虑死亡、被打捞等其他因素）
(1)假设湖面上现有1 株水葫芦，填写下表：
天数
5
10
15
…
25
…
5n
总株数
2
4
…
…
(2)假定某个水域的水葫芦维持在1280 株以内对水质净化有益．若现有10 株水葫芦，请你计算，按照上述
生长速度，多少天时有1280 株水葫芦？
【答案】(1)见解析；
(2)35 天
【知识点】乘方的应用
【分析】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义并读懂图表信息是解题的关键．
（1 ）根据有理数乘方的定义填写即可；
（2 ）根据（1 ）的结论列出方程求出n，然后乘以5 即可．
【详解】（1）根据题意得，当天数为15 时，总株数为
3
2
8
，
当天数为25 时，总株数为
5
2
32
，
∴当天数为5n 时，总株数为2n ，
填表如下：
天数
5
10
15
…
25
…
5n
总株数
2
4
8
…
32
…
2n
（2）根据题意得，10
2
1280
n
，
解得
7
n
，
7 5 35
（天）．
答：按照上述生长速度，35 天时有1280 株水葫芦．
题型5 与有理数乘方有关的新定义型问题
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【例9】利用如图1 的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图2 是某个学生的识别图
案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为, , ,
a b c d ，那么可以转换
为该生所在班级序号，其序号为
3
2
1
2
2
2
a
b
c
d
，如图2 第一行数字从左到右依次为1,0,1,0 ，序号
为
3
2
1
1 2
0
2
0
1 2
10
，表示该生为10班学生，则图3 是
班学生的识别图案．
【答案】5
【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键．
根据题意，得到图3 第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，运用题目中的计算方法计算即可求解．
【详解】解：黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，
∴图3 第一行数字从左到右依次为0,1,0,1，
∴
3
2
1
0
2
1 2
0
2
1
5
，
∴是5 班学生的识别图案，
故答案为：5 ．
【例10】定义运算
,
0
*
,
0
b
a
a
a
b a
a b
b
a
b a
，例如
3
2*3
2
8
，
2
1
2 *
3
3
9
，若
1 *4
16
m
，
则m 的值为
．
【答案】1/ 3
【分析】本题考查了新定义下有理数的乘方运算，理解题意，分情况分析是解题关键．
根据题意分两种情况分别计算讨论即可．
【详解】解：当
1
4
m
且
1
0
m
时，即
3
m
且
1
m ，
∴
4
1 *4
(
1)
16
m
m
，
∴
1
2
m
，或
1
2
m
解得：
1
m 或
3
m ；
当
1
4
m
时，即
3
m
，
∴
1
1 *4
4
16
m
m
，
∴
1
2
m
，
解得：
1
m ；（不符合题意），
综上可得：
3
m 或
1
m ，
故答案为：1 或3
．
【技巧归纳】
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先理解新定义（如a※b 表示a 的b 次方再取倒数），将自定义运算化为标准乘方形式。注意指数为正整数，
遇负数或分数底数需加括号。按乘方运算法则计算，再结合题目其他运算顺序。可先举例验证规则。
【变式5-1】定义新运算∶
2
a
b
a
b
，如
2
3
2
3
2
9
2
11
，计算下列各式．
(1)
2
3
(2)
3
0
1
【答案】(1)1
(2)8
【分析】本题考查了新定义问题，有理数的乘方及加减运算，理解新定义运算是解题的关键；
（1）根据新定义运算求解即可；
（2）根据新定义先算
0
1
，再算
3
0
1
即可．
【详解】（1）解：
2
2
3
2
3
4
3
1
；
（2）解：因为
0
1
0
1
1
，
所以
2
3
0
1
3
1
3
1
9 1
8
．
【变式5-2】用“
”定义新运算：对于任意有理数a
b
，，当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
；当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
．
(1)求2
6
△的值；
(2)定义一种运算，就要研究它的运算律：
①求
1
3
△
和
3
1
△
的值；
②这个计算结果说明了这个运算满足律．
【答案】(1) 24
(2)①
1
3
9
；
3
1
9
；②乘法交换
【分析】本题考查新定义运算，读懂题意，理解新定义运算法则，代值求解是解决问题的关键．
（1）理解新定义运算，按照当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
，代值计算2
6
△即可得到答案；
（2）①理解新定义，根据新定义当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
；当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
分别计算
1
3
△
和
3
1
△
即可得到答案；②由①中的计算结果即可得到这个运算满足乘法交换律．
【详解】（1）解：
当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
，
当
2,
6
a
b
时，2
6
，
2
2 6
2
6
4 6
24
；
（2）解：①
当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
，
当
3,
1
a
b
时，3
1
，
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2
3
1
3
1
9
1
9
；
当a
b
时，都有
2
a
b
a
b
△
，
当
1,
3
a
b
时，1
3
，
2
1
3
1
3
1 9
9
；
②由上述计算结果可知，
1
3
9
3
1
，
这个计算结果说明了这个运算满足乘法交换律，
故答案为：②乘法交换．
【变式2】对于整数a
b
、，定义一种新的运算“”：当a 与b 同号时，规定
1
b
a
b
a
（
1
b 且
0
b
）；
当a 与b 异号时，规定
1
a
a
b
b
（
1
a 且
0
a
）．
(1)当
3
a
，
4
b
时，则a
b
；
(2)当
5
a
，且
24
a
b
，则b ；
(3)已知
63
a
b
，求式子a
b
的值．
【答案】(1) 65
；
(2) 2 ；
(3) a
b
的值为4 或6
或7 或8 或10．
【分析】（1）根据题中定义即可求解；
（2 ）根据题中定义即可求解；
（3）根据题中定义分当a 与b 同号时和当a 与b 异号时两种情况即可求解；
本题考查了有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
3
a
，
4
b
时，
∴a 与b 异号，
∴
3
1
4
1
65
a
a
b
b
，
故答案为：65
；
（2）解：由
24
a
b
，
5
a
，b 为整数，则a 与b 不可能为异号，
∴当a 与b 同号时，
1
5
1
24
b
b
a
b
a
，
∴5
25
b
，
∴
2
b
，
故答案为：2 ；
（3）解：①当a 与b 同号时，
1
63
b
a
b
a
∴
64
b
a
，
∴
2
a
，
6
b
或
8
a
，
2
b
或
4
a
，
3
b
，
则a
b
的值为7 或8 或10；
②当a 与b 异号时，
1
63
a
a
b
b
，
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∴
64
a
b
，
∴
2
a
，
8
b 或
6
a
，
2
b ，
则a
b
的值为4 或6
；
综上可知：a
b
的值为4 或6
或7 或8 或10．
题型6 用科学记数法表示绝对值大于1 的数
【例11】铜仁市到贵阳市的车程约为324000m．数据324000 用科学记数法表示为（
）
A．
3
324 10
B．
4
3.24 10
C．
5
3.24 10
D．
6
0.324
10
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为
10n
a
的形式，其中
1
10
a
，n 为整数，
正确确定a 的值以及n 的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解：
5
324000
3.24 10
．
故选：C．
【例12】第一宇宙速度，也称为环绕速度，是指一个物体在地球表面附近以一定的速度水平抛出，使其能
够绕地球做圆周运动而不会落回地面的最小速度．第一宇宙速度的具体数值是7900 米/秒，用科学记数法表
示7900 应为
．
【答案】
3
7.9 10
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为
10n
a
，其中
1
10
a
，n 为整数，正确确
定a 的值以及n 的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答．
【详解】解：
3
7.9
0
7900
1
．
故答案为：
3
7.9 10
．
【技巧归纳】
科学记数法：a×10ⁿ，其中1≤|a|<10，n 为正整数。n 等于原数整数位数减1。将小数点左移至第一个数字
后，数出移动位数得n。如3800=3.8×10³。注意0 的个数与指数关系，不要漏掉数字末尾的0。
【变式6-1】一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省约3240 万斤粮食，这些粮食可供9 万人
吃一年.“3240 万”这个数据用科学记数法表示为
.
【答案】
7
3.24 10
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
10n
a
的形式，其中1
10
a
，n 为
整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多
少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．
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【详解】解：3240 万
7
32400000
3.24
10
，
故答案为：
7
3.24 10
．
【变式6-2】央广网报道“中国旅游研究院数据显示2023
2024
冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数超过3.85亿
人次，预计新一轮，也就是2024
2025
冰雪季有望突破5亿人次”，数据3.85亿用科学记数法表示为
．
【答案】
8
3.85 10
【分析】本题考查了科学记数法—表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键：科学记
数法的表示形式为
10
1
10
n
a
a
，确定n 的值的方法：当原数的绝对值10
时，把原数变为a 时，小数
点向左移动的位数即为n 的值；当原数的绝对值
1
时，把原数变为a 时，小数点向右移动位数的相反数即
为n 的值．
根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：3.85亿
8
385000000
3.85 10
，
故答案为：
8
3.85 10
．
一、单选题
1．负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中．下列算式中，运算结果为负数的是（
）
A．( )
2
- -
B．
2
C．
2
2
D．
2
2
【答案】D
【分析】分别计算每个选项的结果，判断结果的正负性即可得到答案．
【详解】解：∵
2
2
，2 是正数，
∴A 不符合题意．
∵
2
2
，2 是正数，
∴B 不符合题意．
∵
2
2
4
，4 是正数，
∴C 不符合题意．
∵
2
4
2
，4
是负数，
∴D 符合题意．
2．下列各组数中，互为相反数的是（
）
A．
2
3
和3
B．
2
3
和
23
C．
3
和3
D．
3
和
3
【答案】D
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【分析】根据相反数的定义，即只有符号不同的两个数互为相反数，先化简每个选项中的两个数，再判断
是否符合定义即可．
【详解】解：∵相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数. 对各选项化简判断，
选项A：
2
( 3)
9
，9 和3 不互为相反数，A 错误；
选项B：
2
( 3)
9
，
23
9
，两个数相等，不互为相反数，B 错误；
选项C：
3
3
，两个数相等，不互为相反数，C 错误；
选项D：
3
3
，
3
3
，3 和3
只有符号不同，互为相反数，D 正确．
3．第57 次《中国互联网络发展状况统计报告》于2026 年2 月5 日发布．报告显示，截至2025 年12 月，
我国网民规模达11.25 亿人，互联网普及率达80.1% ．数据“11.25 亿”用科学记数法表示为（
）．
A．
10
1.125 10
B．
10
0.1125 10
C．
9
1.125 10
D．
8
11.25 10
【答案】C
【详解】解：11.25亿
9
1125000000
1.125 10
．
4．在下列各数中：
1
2
，
2
4
，
3
，
2
5
，
2
，
2016
1
，0，其中是负数的有（
）个．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】C
【分析】先对各数进行化简，再根据负数的定义统计负数的个数即可．
【详解】解：依次判断各数：
∵
1
0
2
，是负数，
2
4
16
0
，是正数，
3
3
0
，是负数，
2
5
25
0
，是负数，
2
2
0
，是负数，
2016
1
1
0
，是正数，
0 既不是正数也不是负数，
∴负数共有4 个．
5．在实数范围内定义一种新运算“＠”，其运算规则为：@
1
a
b
ab
，如：2@5
1 2 5
9
，则
2027
2026
1
2
@
2
的值为（
）
A．
1
2
B．
1
2
C．3
2
D．
3
2
【答案】C
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【分析】利用有理数的乘方运算性质化简即可求解．
【详解】解：根据新运算规则@
1
a
b
ab
，
可得
2027
2026
1
2
@
2
2027
2026
1
1
2
2
2026
2026
1
1
1 2
2
2
2026
1
1
1
2
2
2
2026
1
1
1
2
1
1 1
2
1
1
2
3
2
．
二、填空题
6．
63
的底数是________，读作________．
【答案】
3
负的3的6 次方
【详解】解：根据乘方的定义，在
n
a 中，a 叫做乘方的底数，n 叫做乘方的指数．
对于
63
，该式表示
63 的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是3，该式读作负的3的6 次方．
7．2026 年，我国天问二号深空探测器按计划开启小行星探测任务，探测器往返星际飞行的总里程约
720000000 千米．其中数据720000000 用科学记数法表示为___________．
【答案】
8
7.2 10
【详解】解：
8
720000000
7.2 10
．
8．定义一种运算：
2
2
a
b
a
ab
b
★
．例如：
2
2
2
3
2
2 3
3
4
6
9
19
★
．那么
1
2
3
★
★
______．
【答案】79
【分析】根据新定义，按照先算括号内，再算括号外的顺序，套用给定运算规则计算即可．
【详解】解：根据规则
2
2
1
2
1
1 2
2
1
2
4
7
★
，
再计算
2
2
7
3
7
7 3
3
49
21
9
79
★
．
9．程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．如图所示的程序框图，当
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输入x 的值是1
时，根据程序，第1 次计算输出的结果是1，第2 次计算输出的结果是2
,…，这样计算下
去，第7 次计算输出的结果是_____．
【答案】1
【分析】分别计算出前几次输出的结果，再根据规律可得答案．
【详解】解：当输入1
时，第1 次输出的结果是
2
2
( 1)
1
x
；
第2 次输出的结果是
3
1 3
2
x
；
第3 次输出的结果是
2
2
( 2)
4
x
；
第4 次输出的结果是
3
4
3
1
x
；
第5 次输出的结果是
3
1 3
2
x
；
第6 次输出的结果是
2
2
( 2)
4
x
；
第7 次输出的结果是
3
4
3
1
x
．
10．上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称
14
ICME
），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学
元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字
3745．我们常用的数是十进制数，如
3
2
1
4657
4 10
6 10
5 10
7 1
；在电子计算机中用的二进制，如
二进制中
2
1
110
1 2
1 2
0 1
等于十进制的数6 ；八进制数字745换算成十进制是_________．
【答案】485
【分析】根据题意推断
2
1
745
7 8
4 8
5 1
即可求解．
【详解】
2
1
745
7 8
4 8
5 1
等于十进制的数485 ．
三、解答题
11．计算：
(1)
3
( 4)
；
(2)
4
1
3
；
(3)
6
2
．
【答案】(1) 64
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(2) 1
81
(3) 64
【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键．
（1）按照有理数的乘方运算法则计算即可；
（2）按照有理数的乘方运算法则计算即可；
（3）按照有理数的乘方运算法则计算即可；
【详解】（1）解：
3
4
4
4
4
64
；
（2）解：
4
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
3
81
；
（3）解：
6
2 2 2 2 2 2
6
2
4
；
12．规定一种新运算：
2
1
a
b
ab
a
b
☆
，
2
3
4
3
4
3
4
1
☆
，请计算下列各式的值：
(1) 2
5
☆；
(2)
2
5
☆
．
【答案】(1) 16
(2) 12
【分析】根据定义列式计算即可．
【详解】（1）解：
2
2
5
2 5
2
5
1
10
2
25 1
16
☆
；
（2）解：
2
2
5
2
5
2
5
1
10
2
25 1
12
☆
．
13．【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2
2
2
等．类比
有理数的乘方，我们把2
2
2
记作
32 ，读作“2 的下3 次方”，一般地，把n 个(
0)
a a
相除记作
na ，读作“ a
的下n 次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：
32 ___________．
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？例如：
2
4
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
（幂的形式）；
（2）试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式．
65 ___________；
10
1
2
___________；
（3）算一算：
3
3
4
1
2
( 8)
2
4
．
【答案】
（1）1
2
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（2）
4
1
5
；
8
2
（3）2
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，理解
na 表示“a 的下n 次方”的意义是正确计算的关键．
（1）根据
na 表示“a 的下n 次方”的意义进行计算即可;
（2）根据
na 表示“a 的下n 次方”的意义，进行计算进而得出答案；
（3）按照有理数的运算法则进行计算即可．
【详解】解：（1）
3
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
；
故答案为：
1
2 ．
（2）
65
5
5
5
5
5
5
1
1
1
1
1
5
5
5
5
5
5
4
1
5
；
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
2
；
故答案为:
4
1
5
；
8
2
；
（3）
3
3
4
1
2
8
2
4
2
1
4
8
8
2
2
4
2
．
14．阅读材料，解决问题：
由
1
2
3
4
5
6
7
8
3
3,3
9,3
27,3
81,3
243,3
729,3
2187,3
6561,
，
不难发现3 的正整数幂的个位数字以3，9，7，1 为一个周期循环出现，由此可以得到：
因为
2025
4 506 1
3
3
，所以
2025
3
的个位数字与
13 的个位数字相同，应为3．
(1)请你仿照材料，分别求出
99
7 的个位数字及
99
8 的个位数字．
(2)
21
21
21
2
7
8
的个位数字为________．
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【答案】(1)
99
7 的个位数字为3，
99
8 的个位数为2.
(2)7.
【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算．
【详解】（1）
17
7
，
2
7
49
，
3
7
343
，
4
7
2401
，
5
7
16807
，，
7 的正整数幂的个位数字以7，9，3，1 为一个周期循环出现，
99
4 24 3
7
7
，
99
7 的个位数字与
3
7 的个位数字相同，即为3．
18
8
，
2
8
64
，78
512
，
4
8
4096
，
58
32768
，，
8 的正整数幂的个位数字以8，4，2，6 为一个周期循环出现，
99
4 24 3
8
8
，
99
8 的个位数字与
38 的个位数字相同，即为2．
（2）与（1）同理可得，2 的正整数幂的个位数字以2，4，8，6 为一个周期循环出现，
21
4 5 1
2
2
，
21
2 的个位数字与
12 的个位数字相同，即为2，
21
4 5 1
7
7
，
21
7 的个位数字与
17 的个位数字相同，即为7，
21
4 5 1
8
8
，
21
8 的个位数字与
18 的个位数字相同，即为8，
2
7
8
17
，
21
21
21
2
7
8
的个位数字是7 .
【点睛】本题主要考查了数字变化的规律及尾数特征，能通过计算发现2 ，3，7 ，8 的正整数幂的个位数
字变化规律是解题的关键．
15．[阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X 进制，就表示某一
位置上的数运算时是逢X 进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制
进行区分，我们常把用X 进制表示的数a 写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X 进制表示的数（1111）
x 中，右起第一位上的1 表示
0
1
X
，第二位上的1 表示
1
1
X
，第三位上的1 表示
2
1
X
，第四位上的1 表
3
1
X
，故
3
2
1
0
1111
1
1
1
1
X
X
X
X
X
，即：
1111 X 转化为了十进制表示的数
3
2
1
0
X
X
X
X
．如：
3
2
1
0
2
1111
1 2
1 2
1 2
1 2
15
，即二进制的数1111 等于十进制数15．
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[问题解决]：
(1)中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位
妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制
数表示）
(2)如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二
进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的
两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20．
（i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十
进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．）
（ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第
三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整．
【答案】(1)72
(2)（i）10101；21；（ii）见解析
【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的
0
1
2
,
,
X
X
X 位，所以先读取每根
绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7 的幂次后求和．
（2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③
第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2 的幂次后求和得到
考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化
为5 位二进制数，再根据二进制数的0、1 对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置．
【详解】（1）满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2 个，第二位（中间）3
个，第三位（最左）1 个，转换为十进制：
2
1
0
1 7
3 7
2 7
49
21
2
72
，
答案：72 ；
（2）（i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数
2
(10101) ，
转换十进制：
4
3
2
1
0
1 2
0
2
1 2
0
2
1 2
16
0
4
0
1
21
，
答案：10101；21；
（ii）小芳准考证号为2417051311，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制，
因此第三行对应05，第五行对应11．
设五位二进制从左到右为
1 2 3 4 5
b b b b b ，对应十进制为：
1
2
3
4
5
16
8
4
2
b
b
b
b
b
．
∵5
0 16
0 8 1 4
0 2 1 1
，
∴二进制为00101，
因此需要将第三行左数第3 格、第5 格涂黑．
∵11
0 16 1 8
0 4 1 2 1 1
，
∴二进制为01011，
因此需要将第五行左数第4 格、第5 格涂黑．
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如图所示．
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
过
：
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