《2026初高衔接》[第十二讲]——二次函数与方程根分布_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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二次函数与方程根分布
二次函数与方程根分布
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
区间下二次函数的重构
掌握区间二次函数图象分析方法，
求解最值与参数范围
直观想象、逻辑推理
二次方程根的分布
结合二次函数图象列出根分布约束
条件，规范求解参数
直观想象、数学运算
一区间下二次函数的性质
二次函数对于大家并不陌生．初中阶段，我们学习了一元二次方程的通用解法与全体实数范围下二次函数
的基本性质．现在请大家根据初中的学习完成下表。
解析式
一般式：y = ax2 + bx + c(a ≠0)
图象
a > 0
a < 0
x0=- b
2a
x0=- b
2a
对称轴
顶点
区间下的值域
我们知道：在全体实数范围下二次函数f(x) = ax2+ bx + c 在对称轴x =- b
2a 处取到最值．
设二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a > 0) 在闭区间[p,q] 上的最大值为M，最小值为m，对称轴x0 =- b
2a , 区间
[p,q] 的中点为t = 1
2 (p + q).则有：
(1) 当- b
2a < p 时，则f(x)
min = f(p) = m，f(x)
max = f(q) = M；参照图1
(2) 当p ≤- b
2a < t 时，则f(x)
min = f(- b
2a ) = m，f(x)
max = f(q) = M；参照图2
(3) 当t ≤- b
2a < q 时，则f(x)
min = f(- b
2a ) = m，f(x)
max = f(p) = M；参照图3
(4) 当q ≤- b
2a 时，则f(x)
min = f(q) = m，f(x)
max = f(p) = M. 参照图4
x
x0
p q x
图1
x
x0
p
q
t
图2
x
x0
p
q
t
图3
x
x0
p
q
图4
区间二次函数的值域
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1 (★★★☆☆)函数f(x) = x2- 2x - 2．
(1) 当x ∈[-2，2] 时，求函数f(x) 的值域；
(2) 当x ∈[t，t + 1] 时，求函数f(x) 的最小值g(t)。
1
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) = x2- 4x + 1，x ∈[-1，3]，则函数的值域为
(
)
A. [-2，6]
B. [-3，6]
C. [-3，-2)
D. (-2，3]
2
(★☆☆☆☆)二次函数f(x) =-x2+ x - 2，若x ∈[-1，1]，则函数f(x) 在此区间上的值域为
(
)
A.
-4，- 7
4




B.
-4，- 5
4




C. [-4，-2]
D.
-2，- 7
4




3
(★☆☆☆☆)已知二次函数f(x) = x2- 2ax + 1 在区间(2，3) 内不单调，则a 的取值范围是
(
)
A. a < 2 或a > 3
B. 2 < a < 3
C. a <-3 或a >-2
D. - 3 ≤a ≤-2
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4 (★☆☆☆☆)函数f(x) = x2+ 2(a - 1)x + 2 在区间(-∞，3) 上是单调函数，则a 的取值范围是(
)
A. (-∞，-2]
B. [-2，+∞)
C. (-∞，4]
D. [4，+∞)
5
(★★☆☆☆)“a < 0”是“函数f(x) = (x - a)2在(0，+∞) 内单调递增”的
(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要
6
(★★☆☆☆)函数f(x) = x2- 4x - 8 的定义域为[0，a]，值域为[-12，-8]，a 取值范围是
(
)
A. [2，4]
B. [4，6]
C. [2，6]
D. [0，4]
7
(★★☆☆☆)函数f(x) =-x2- 4x + 2 在[m，0] 上的值域为[2，6]，则m 的取值范围是
(
)
A. [-4，-2]
B. [-4，0]
C. [-2，0]
D. (-∞，-2]
8
(★★☆☆☆)设二次函数f(x) = ax2+ (b - 2)x + 3．
(1) 若关于x 的不等式f(x) > 0 的解集为{x|x ≠1}，求a，b 的值；
(2) 若f(1) = 3，
i


a > 0，b > 0，求1
a + 2a
b 的最小值，并指出取最小值时a，b 的值；
ii


求函数f(x) 在区间[1，3] 上的最小值．
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(★★★☆☆)已知二次函数f(x) 满足f(x) = f(4 - x)，f(2) = f(1) - 1，若不等式f(x) ≤-2x + 2 有唯
一实数解．
(1) 求函数f(x) 的解析式；
(2) 若函数f(x) 在[t，t + 1] 上的最小值为g(t)．
i


求g(t)；
ii


解不等式g(m) < g 2m- 1
2


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10 (★★★☆☆)已知二次函数f(x) 对一切实数x ∈R，都有f(1 - x) = f(1 + x) 成立，且f(1) = 0，f(0)
= 1，g(x) = f(x + 1) + bx + c(b，c ∈R)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 记函数g(x) 在[-1，1] 上的最大值为M，最小值为m，若M - m ≤4，求b 的最大值．
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二二次方程根的分布
初中阶段，我们知道了在全体实数范围下二次方程ax2 + bx + c = 0 根的分布与判别式：△= b2 - 4ac 的正
负有关系．即：(a > 0)
Δ = b2 - 4ac
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
y = ax2+ bx + c 图象
x
x
x
ax2+ bx + c = 0 的根
两根
一根
无实根
高中阶段，我们将接触的是某个区间下方程根的分布．
设：f(x) = ax2 + bx + c(a > 0) 的零点为：x1，x2，判别式：△= b2- 4ac, 对称轴：x0=- b
2a
(1) 方程f(x) = 0 在区间m,n


上无解.
图
象
x
n
m
f(n)
f(m)
x0
x
f(m)
m
a>0
f(n)
n
或
x
f(m)
m
a>0
n
f(n)
x
f(m)
m
x1
x2
a>0
n
f(n)
不等式约束
f(m)>0
f(n)>0
△<0
m<x0<n







f(m)>0
f(n)>0
n<x0或m>x0





f(m)<0
f(n)<0
△>0





(2) 方程f(x) = 0 在区间m,n


上有一解.
图
象
x
f(n)
n
x0
a>0
m
f(m)
x
f(n)
m x2
f(m)
n
x
f(n)
x1
a>0
n
或
x
f(m)
m
x1
x2
a>0
f(n)
n
不等式约束
f(m)≥0
f(n)≥0
△=0
m≤x0≤n







f(m)∙f(n)≤0
△>0

(3) 方程f(x) = 0 在区间m,n


上有两解.
x
f(m)
m
x1
x2 n
f(n)
x

f(m)≥0
f(n)≥0
△>0
m<x0<n







区间下二次方程根的分布
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2 (★★☆☆☆)方程t2- (m - 1)t + 1 - m = 0 在t ∈(0，+∞) 上有解，求实数t 的范围．
11 (★☆☆☆☆) 方程x2+ (a - 2)x + 5 - a = 0 在(2，4) 上有两个不相等的实根，则a 的取值范围(
)
A. (-6，-2)
B. (-6，-4)
C.
- 13
3 ，-2


D.
- 13
3 ，-4


12 (★☆☆☆☆) 已知关于x 的方程x2 - (m + 1)x + 4m2 = 0 的两根分别在区间(0，1)，(1，2) 内，则
实数m 的取值范围为
．
13 (★★☆☆☆) 关于x 的二次方程x2+ (m - 1)x + 1 = 0 在区间[0，2] 上有解，求实数m 的取值范围．
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14 (★★☆☆☆) 已知关于x 的方程x2 +
1
2 -2m


x + m2 - 1 = 0(m 是与x 无关的实数) 的两个实根在区
间[0，2] 内，求m 的取值范围．
15 (★★☆☆☆) 已知函数f(x) = mx2 + (m - 3)x + 1 的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求
实数m 的取值范围．
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1 (★☆☆☆☆)函数f(x) = x2+ x - 2(x ∈[0，2]) 值域
(
)
A. [-2，4]
B.
- 9
4 ，4




C.
- 9
4 ，+∞



D.
- 7
4 ，4




2 (★☆☆☆☆)设m ∈R，则“m ≤2”是“函数f(x) = x2- mx 在[1，+∞) 上单调递增”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
3 (多选•★★☆☆☆)下列关于二次函数f(x) = x2+ x - 1 的说法正确的是
(
)
A. f(f(-1)) =-1
B. f(x) 在(-2，-1) 上有且仅有一个零点
C. 若x ∈(-1，2)，则f(x) 的值域为(-1，5)
D. ∀x ∈R，都有f(-x - 1) - f(x) = 0
4 (★★☆☆☆)如图是二次函数y = ax2 + bx + c 图象的一部分，图象过点A(-3，0)，对称轴为x =
-1，给出下面四个结论：①b2> 4ac；②2a - b = 1；③a - b + c = 0；④若y > 0，则x ∈(-3，1)．
其中正确的是
(
)
A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ①②③
5 (★★☆☆☆) f(x) = x2- (m + 2)x + 2 在区间[1，3] 上是单调函数，则实数m 的取值范围是(
)
A. (-∞，0)
B. [4，+∞)
C. (-∞，0) ∪(4，+∞)
D. (-∞，0] ∪[4，+∞)
x
y
-1
-3
A
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6 (★★★☆☆)已知二次函数f(x) 在(-∞，2] 上单调递减，在[2，+∞) 上单调递增，且f(x) 的最小
值为-1，f(x) 的图象过点(0，3)．
(1) 求f(x) 的解析式；
(3) 讨论f(x) 在[m - 1，m + 1] 上的最小值．
16 (★★★☆☆)若二次函数f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0)，满足f(x + 1) - f(x) = 2x，且f(0) = 1．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 若在区间[-1，2] 上，不等式f(x) < 2x + m 恒成立，求实数m 的取值范围．