《2026初高衔接》[第十四讲]——指数与指数函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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选择胜于努力，笃行成就未来
14
指数与指数函数
指数与指数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
指数的再认识
熟练完成根式、分数指数幂的化简
与混合运算
数学运算、数学抽象
指数函数的认识与应用
依据指数函数的图象解决图象类、
变换类函数的综合问题，
直观想象、逻辑推理
一指数与指数函数
前面我们在第一讲的幂与根式中对指数的计算已经作了相应的介绍，特别是从初中到高中有什么不同．大
家还记得吗？
次方根
若xn= a，则x 叫做a 的n 次方根．(n > 1，n ∈N*)
当n 为奇数时，x = n a；当n 为偶数时，x =± n a；n a 称之为根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．
根式性质
n a


n= a
n an =
a，当n为奇数时；
a

，当n为偶数时．

分数指数幂
设a > 0，m，n ∈N*，且n > 1
a
m
n =
n am
a
- m
n = 1
a
m
n =
1
n am
指数函数
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.
要点诠释：
(1) 形式上的严格性：只有形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数才是指数函数．像y = 2 ⋅3x，y = 2
1
x ，y = 3x
+ 1 等函数都不是指数函数．
(2) 为什么规定底数a 大于零且不等于1：
①如果a = 0，则x>0时，ax恒等于0，
x≤0时,ax无意义.

②如果a < 0，则对于一些函数，比如y = (-4)x，当x = 1
2 ,x = 1
4 , ⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．
③如果a = 1，则y = 1x= 1 是个常量，就没研究的必要了．
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1 (★★☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，且a ≠1)，对任意x，y ∈R，恒满足
( C )
A. f(x + y) = f(x) + f(y)
B. f(xy) = f(x) + f(y)
C. f(x + y) = f(x)f(y)
D. f(x + y) = f(x) + f(y) - 2xy
∵f(x) = ax(a > 0，且a ≠1) ∴f(x + y) = ax+y = ax•ay = f(x)•f(y)，故选：C．
1
(★☆☆☆☆)计算
a2
a⋅
3 a2 的结果为
( C )
A. a
3
2
B. a
1
6
C. a
5
6
D. a
6
5
a2
a⋅
3 a2 = a2 ⋅a
- 1
2 ⋅a
- 2
3 = a
2- 1
2 - 2
3 = a
5
6 ．
2
(★☆☆☆☆)下列指数幂互化中，正确的是
( C )
A. -
x = (-x)
- 1
2 (x ≠0)
B. x
- 1
3 = 3 x
C.
x
y


- 3
4 =
4
y
x


3
(xy ≠0)
D.
4 y2 = 1
y2 (y < 0)
- x =-x
1
2 ，A 错误；x
- 1
3 =
1
3 x
，B 错误；
x
y


- 3
4 =
4
y
x


3
，C 正确；
4 y2 = y
1
2 ，D 错误．故选：C．
3
(★☆☆☆☆)已知10m = 2，10n= 3，则10
3m-2n
2
=
( D )
A. 4
9
B. 8
9
C.
2
3
D. 2 2
3
10
3m-2n
2
= 10
3m
2 ÷ 10n= (10m)
3
2 ÷ 3 = 2
3
2 ÷ 3 = 2 2
3
4 (★☆☆☆☆)
y - 1
y = m，则1+y2
y
的结果是
( A )
A. m2 + 2
B. m2 - 2
C.
m + 2
D.
m - 2
因为m2 =
y- 1
y


2
= y + 1
y - 2，所以1+y2
y
= 1
y + y = m2 + 2，故选：A．
5
(★☆☆☆☆)函数y = (a2- 3a - 3)ax是指数函数，则有
( B )
A. a =-1 或a = 4
B. a = 4
C. a =-1
D. a > 0 或a ≠1
∵y = (a2- 3a - 3)ax是指数函数，∴a2- 3a - 3 = 1，即a2- 3a - 4 = 0，
∴a = 4 或a =-1，∵a > 0 且a ≠1，∴a = 4
6
(★☆☆☆☆)已知函数f(x) = (a2- 3a + 3)ax是指数函数，
(1) 求f(x) 的表达式；
(2) 判断F(x) = f(x) - f(-x) 的奇偶性，并加以证明．
(1)a2- 3a + 3 = 1，可得a = 2 或a = 1(舍去)，∴f(x) = 2x；
(2)F(x) = 2x- 2-x，∴F(-x) =-F(x)，
∴F(x) 是奇函数．
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二指数函数的图象与性质
五点作图绘图法
对于指数函数f(x) = 2x的作图：
①确定函数定义域：x ∈R；
②判定函数奇偶性：f(-x) = 2-x= 1
2x ，函数f(x) 不具备奇偶性。
③当x →-∞时，2-∞= 1
2∞→0，∴x 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
1
4
1
2
1
2
4
因为y =
1
2


x
= 2-x，点(x，y) 与点(-x，y) 关于y 轴对称，所以函数y = 2x 图象上任意一点P(x，y) 关
于y 轴的对称点P1(-x，y) 都在函数y =
1
2


x
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数的两个指数函数
的图象关于y 轴对称．根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
指数函数的图象性质
函数名称
指数函数
定义
形如y = ax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做指数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
y=ax
O
x
y
a>1
1
y=ax
O
x
y
0<a<1
定义域
R
值域
(0, +∞)
过定点
图象过定点(0,1)，即当x = 0 时，y = 1．
渐近线
y = 0 即x 轴
奇偶性
非奇非偶
指数函数y = ax与y =
1
a


x
的图象关于y 轴对称
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近y 轴
a 越小，开口越靠近y 轴
1
y=2x
O
x
y
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1 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax-2 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过一点P，且点P 在直线ax + by - 1 = 0
(ab > 0) 的图像上，则1
a + 1
b 的最小值为
( D )
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
令x - 2 = 0，则x = 2，y = 2，∴图像恒过P(2，2)，∵P 在直线上，∴2a + 2b = 1，即
2a + 2b = 1(a > 0，b > 0)，∴1
a + 1
b =
1
a + 1
b


(2a + 2b) = 2b
a + 2a
b
+ 4 ≥2 4 + 4 = 8，当且仅当2b
a
= 2a
b ，即a = b = 1
4 时取等，∴1
a + 1
b 最小值8
7
(★☆☆☆☆)如图是指数函数f(x) = ax(a > 0 且a ≠1) 的部分图象，已知a 取1
3 ，1
2 ，2，3 这四个
值，则曲线C1，C2，C3，C4相对应的a 依次为
( D )
A. 1
3 ，1
2 ，2，3
B. 1
3 ，1
2 ，3，2
C. 1
2 ，1
3 ，2，3
D. 1
2 ，1
3 ，3，2
在图象上画出x = 1 的直线，与各个曲线的交点的纵坐标即为对应的指数函数的底数，
所以对应于C1，C2，C3，C4的a 值依次为：1
2 ，1
3 ，3，2．
8
(★☆☆☆☆)“a = 1
2 ”是“指数函数y = ax在R 上是严格减函数”的
( A )
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分也非必要条件
由a = 1
2 ，y =
1
2


x
在R 上是减函数，充分性成立；由y = ax 在R 上是严格减函数，可得
0 < a < 1，不能推出a = 1
2 ，故必要性不成立，故选：A．
9
(★☆☆☆☆)函数f(x) = 2x与g(x) =-2-x的图象关于
( C )
A. x 轴对称
B. y 轴对称
C. 原点对称
D. 直线y = x 对称
由前面学习的知识可知，二者关于原点对称．
10 (★☆☆☆☆)指数函数f(x) = ax(a > 0，a ≠1)，在R 上是减函数，则函数g(x) = (a - 2)x3 在R 上的
单调性为
( C )
A. 单调递增
B. 在(0，+∞) 上递减，在(-∞，0) 上递增
C. 单调递减
D. 在(0，+∞) 上递增，在(-∞，0) 上递减
∵指数函数f(x) = ax在R 上是减函数，
∴0 < a < 1，∴-2 < a - 2 <-1，∴函数g(x) = (a - 2)x3在R 递减，C．
4
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
y
C1
C2
C3
C4
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11 (★☆☆☆☆)已知函数f(x) = 2 + a2x-4(a > 0 且a ≠1) 的图象恒过定点P，则P 点的坐标为
( B )
A. (0，2)
B. (2，3)
C. (2，4)
D. (4，0)
令2x - 4 = 0，得x = 2，∴f(2) = 2 + a0= 3，即f(x) 过定点(2，3)．B．
12 (★★☆☆☆)函数y = ax- 1
a (a > 0，且a ≠1) 的图象可能是
( D )
A.
2
1
2
1
1 x
y
B.
1
2
1
1 x
y
C.
1
2
1
1 x
y
D.
1
2
1
1
1
x
y
当a > 1 时，0 < 1
a < 1，函数为单增函数，图象与y 轴的交点在(0，1) 中间，故A，B
错；当0 < a < 1 时，1
a > 1，函数的图象为单调递减函数，与y 轴的交点在原点以下，故C 错误，D 正确．
13 (★★☆☆☆)函数f(x) = 2|x-1|的单调递减区间是
( C )
A. (-∞，+∞)
B. [1，+∞)
C. (-∞，1]
D. [0，+∞)
∵y = 2x为增函数，y = |x - 1| 在(-∞，1] 上单调递减，在[1，+∞) 上单调递增，
又复合函数的单调性为：同增异减，∴复合函数f(x) = 2|x-1|的单调递减区间是(-∞，1]．
14 (★★☆☆☆)若函数f(x) = a|2x-4|(a > 0，a ≠1)，满足f(1) = 1
9 ，则f(x) 的单调递减区间是
( B )
A. (-∞，2]
B. [2，+∞)
C. [-2，+∞)
D. (-∞，-2]
由f(1) = 1
9 ，得a2= 1
9 ，于是a = 1
3 ，因此f(x) =
1
3


|2x-4|
．
因为g(x) = |2x - 4| 在[2，+∞) 上单调递增，所以f(x) 的单调递减区间是[2，+∞)．
15 (★★☆☆☆)设函数f(x) = a-x - 2(a > 0 且a ≠1) 的图象经过第二、三、四象限，则不等式f(1 - m)
< f(m2- 1) 的解集为
( A )
A. (-2，1)
B. (0，1)
C. (-2，1]
D. (-∞，-2) ∪(1，+∞)
函数f(x) 图象过第二、三、四象限，则0 < 1
a < 1，所以a > 1；
所以f(x) 是定义域R 上的单调减函数，所以不等式f(1 - m) < f(m2- 1) 可化为1 - m > m2- 1，
即m2+ m - 2 < 0，解得-2 < m < 1，所以不等式的解集为(-2，1)．
16 (★★★☆☆)若a =
1
3


2
3 ，b =
1
5


2
3 ，c =
1
3


1
2 ，则a、b、c 的大小关系是
( D )
A. a < b < c
B. c < a < b
C. b < c < a
D. b < a < c
因为函数y = x
2
3 在(0，+∞) 上单调递增，且1
3 > 1
5 ，
所以b =
1
5


2
3 <
1
3


2
3 = a，又因为函数y =
1
3


x
在R 上单调递减，且2
3 > 1
2 ，
所以a =
1
3


2
3 <
1
3


1
2 = c，所以b < a < c．
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17 (★★★☆☆)设函数f(x) 定义在R 上，它的图象关于直线x = 1 对称，且当x ≥1 时，f(x) = 3x - 1，
则有
( B )
A. f 1
3


< f 3
2


< f 2
3


B. f 2
3


< f 3
2


< f 1
3


C. f 2
3


< f 1
3


< f 3
2


D. f 3
2


< f 2
3


< f 1
3


∵函数f(x) 定义在R 上，它的图象关于直线x = 1 对称，且x ≥1 时函数f(x) = 3x - 1 为单
调递增函数，∴x < 1 时函数f(x) 为单调递减函数，且f 3
2


= f 1
2


∵1
3 < 1
2 < 2
3 < 1 ∴f 2
3


< f 1
2


< f 1
3


，即f 2
3


< f 3
2


< f 1
3


18 (★★★☆☆)已知函数f(x) =
2
2x-1 ，若f(a) <-5，则
( D )
A. f(-a) < 7
B. f(-a) < 0
C. f(-a) > 5
D. f(-a) > 3
因为f(x) =
2
2x-1 ，2x- 1 ≠0，解得x ≠0，
所以f(x) 的定义域为(-∞，0) ∪(0，+∞)；由f(-x) =
2
2-x-1 = 2⋅2x
1-2x =- 2⋅2x
2x-1 ，
所以f(x) + f(-x) =
2
2x-1 - 2⋅2x
2x-1 = 2-2⋅2x
2x-1
=-2，
因为f(a) <-5，所以-f(a) > 5，所以f(-a) =-2 - f(a) >-2 + 5 = 3，即f(-a) > 3．
19 (★★★☆☆)已知函数y = ax-1 + 1(a > 0，a ≠1) 的图像恒过定点A，且点A 在直线y = mx + n(m，
n > 0) 上，则1
m + 1
n 的最小值为
( C )
A. 4
B. 1
C. 2
D. 3
2
由x - 1 = 0，解得x = 1，又f(1) = 2，所以函数y = ax-1 + 1 过定点为A(1，2)，
代入直线y = mx + n 中，得m + n = 2，
所以1
m + 1
n = 1
2
1
m + 1
n


(m + n) = 1
2
2+ m
n + n
m


≥1
2
2+2
m
n ⋅n
m


= 2，
当且仅当m = n = 1
2 时等号成立，所以1
m + 1
n 的最小值为2．
20 (★★★★☆)已知函数f(x) = |2x- 2|，若x1< x2且f(x1) = f(x2)，则2-x1 + 22-x2 的最小值为
( A )
A. 9
4
B. 9
C. 5 + 2 2
D. 3+2 2
4
由题意函数函数f(x) = |2x- 2|，可分段为f(x) = 2-2x，x<1，
2x-2，x≥1.

当x < 1 时，f(x) 单调递减；当x ≥1 时，f(x) 单调递增，
由x1< x2且f(x1) = f(x2)，可知x1< 1 < x2，根据f(x1) = f(x2)，得2 - 2x1 = 2x2 - 2 ⇒2x1 + 2x2 = 4，
设a = 2x1，b = 2x2，则a + b = 4，其中0 < a < 2，b > 2，
目标表达式2-x1 + 22-x2 = 1
a + 4
b ，
又1
a + 4
b = 1
4 (a + b) 1
a + 4
b


= 1
4
5+ 4a
b + b
a


≥1
4
5+2
4a
b ⋅b
a


= 9
4 ，
当且仅当4a
b = b
a ⇒b = 2a 时取等号，代入a + b = 4，得a = 4
3 ，b = 8
3 ，满足0 < a < 2，b > 2．
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21 (★★★☆☆)已知函数f(x) = 1-2x
1+2x ．
(1) 试确定f(x) 的奇偶性；
(2) 求证：函数f(x) 在R 上是减函数；
(3) 若对任意的t ∈R，不等式f(t2- 2t) + f(2t2- k) < 0 恒成立，求k 的取值范围．
(1) 由于函数f(x) = 1-2x
1+2x 的定义域为R，关于原点对称，且有f(-x) = 1-2-x
1+2-x = 2x-1
2x+1
=- 1-2x
2x+1 =-f(x)，故函数f(x) 为奇函数．
(2) ∵f(x) = 2-(1+2x)
1+2x
=
2
2x+1 - 1，设x1 < x2，再由f(x1) - f(x2) =
2
2x1+1 -1


-
2
2x2+1 -1


=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1) > 0，可得f(x1) > f(x2)，故函数f(x) 在R 上是减函数．
(3) ∵对任意的t ∈R，不等式f(t2 - 2t) + f(2t2 - k) < 0 恒成立，f(x) 为奇函数，∴f(t2 - 2t) <-f(2t2 -
k) = f(k - 2t2) 恒成立．
再由函数f(x) 在R 上是减函数可得t2- 2t > k - 2t2 恒成立，即3 t2- 2t - k > 0 恒成立．
∴Δ = 4 + 12k < 0，解得k <- 1
3 ，
故k 的取值范围为-∞，- 1
3


．
22 (★★★★☆)已知定义在(-1，1) 上的奇函数f(x)．在x ∈(-1，0) 时，f(x) = 2x+ 2-x．
(1) 试求f(x) 的表达式；
(2) 用定义证明f(x) 在(-1，0) 上是减函数；
(3) 若对于x ∈(0，1) 上的每一个值，不等式t•2x•f(x) < 4x- 1 恒成立，求实数t 的取值范围．
(1) ∵f(x) 是定义在(-1，1) 上的奇函数，∴f(0) = 0，
设x ∈(0，1)，则-x ∈(-1，0)，则
f(x) =-f(-x) =- (2x+ 2-x)，故f(x) =
2x+2-x，x∈(-1，0)
0，x=0
-(2x+2-x)，x∈(0，1)





；
(2) 任取x1，x2∈(-1，0)，且x1< x2，
则f(x1) - f(x2) = 2x1 + 2-x1 - (2x2 + 2-x2) = (2x1-2x2)(2x12x2-1)
2x12x2
，
∵x1< x2< 0，∴2x1 - 2x2 < 0，0 < 2x12x2 < 1，
故f(x1) - f(x2) > 0，故f(x) 在(-1，0) 上是减函数；
(3) 由题意，t•2x•f(x) < 4x- 1 可化为
t•2x• (- (2x+ 2-x)) < 4x- 1，化简可得，t >- 4x-1
4x+1 ，
令g(x) =- 4x-1
4x+1 =-1 +
2
4x+1 ，
∵x ∈(0，1)，∴g(x) <-1 +
2
40+1 = 0，
故对于x ∈(0，1) 上的每一个值，不等式t•2x•f(x) < 4x- 1 恒成立可化为
t ≥0．
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)下列函数中是指数函数的为
( D )
A. y = x3
B. y = (-4)x
C. y = 5x+1
D. v = 52x
形如y = ax(a > 0，且a ≠1) 的函数，叫做指数函数，
y = x3是幂函数，故排除A；y = (-4)x不是指数函数，故排除B；
y = 5x+1不是指数函数，故排除C；v = 52x= (52)x= 25x是指数函数，故选D．
2 (★☆☆☆☆)命题p：指数函数f(x) = (3a - 1)x是减函数，命题q：a > 1
3 ，则p 是q 的
( B )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
∵命题p：指数函数f(x) = (3a - 1)x是减函数，∴0 < 3a - 1 < 1，解得1
3 < a < 2
3 ，
即p：1
3 < a < 2
3 ．而命题q：a > 1
3 ，所以p 可以推出q，故充分性成立．
由q 推不出p，故必要性不成立．故p 是q 的充分不必要条件．
3 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = ax+1 - 3
4 (a > 0，且a ≠1) 的图象过定点(m，n)，则
16
81


mn
= ( A )
A. 3
2
B. 2
3
C. 27
8
D.
8
27
由题意函数f(x) = ax+1 - 3
4 (a > 0，且a ≠1) 的图象过定点(m，n)，
f(-1) = a0 - 3
4 = 1
4 ，可得函数过定点-1，1
4


，即m =-1，n = 1
4 ，则
16
81


-1× 1
4 =
2
3


-1
= 3
2
4 (★★☆☆☆)函数y = 2-|x-1|的图象大致形状是
( B )
A.
1
2
1
x
y
B.
1
1
2
1
x
y
C.
1
1
2
1
x
y
D.
2
1
2
1
x
y
∵y = e-|x-1|= e-(x-1)，x≥1
ex-1，x<1

，∴函数函数y = e-|x-1|的图象大致形状是B：
5 (★★☆☆☆) f(x) = ax(a > 0，且a ≠1) 在x ∈[1，2] 上最大值与最小值差为a
2 ，则a =
( D )
A. 1
2
B. 3
2
C. 2
3 或2
D. 1
2 或3
2
由题意，若0 < a < 1，则有a - a2= a
2 ，
解得，a = 1
2 ；若a > 1，则有a2- a = a
2 ，则a = 3
2 ，选：D．
6 (★★☆☆☆)已知全集U = R，A = {x 2x> 1
2


，B = {-2，-1，0，1}，则(∁UA) ∩B =
( A )
A. {-2，-1}
B. {-2}
C. {-1，0，1}
D. {0，1}
∵A = {x|x >-1}，B = {-2，-1，0，1}，U = R，
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夏• 2026 初高衔接
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选择胜于努力，笃行成就未来
∴∁UA = {x|x ≤-1}，(∁UA) ∩B = {-2，-1}．故选：A．
7 (★★☆☆☆)已知函数f(x) = 1 +
2
2x-1
(1) 求函数f(x) 的定义域
(2) 证明函数f(x) 在(-∞，0) 上为减函数．
(1)f(x) = 1 +
2
2x-1 又∵2x- 1 ≠0 ⇒x ≠0，
∴函数f(x) 的定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，
(2) 设x1，x2∈(-∞，0) 且x1< x2
则f(x1) - f(x2) =
2
2x1-1 -
2
2x2-1 =
2(2x2-2x1)
(2x1-1)(2x2-1) ，
∵x1，x2∈(-∞，0) 且x1< x2，
∴2x2 > 2x1 且2x1 < 1，2x2 < 1，
∴
2(2x2-2x1)
(2x1-1)(2x2-1) > 0
∴f(x1) - f(x2) > 0，即f(x1) > f(x2)
∴根据函数单调性的定义知：函数f(x) 在(-∞，0) 上为减函数．
8 (★★★☆☆)指数函数f(x) 图象过点
1
2 ，
2
2


．
(1) 求f(x) 的解析式；
(2) 若函数g(x) = f(2x) - mf(x - 1) + 1，且在区间(-1，+∞) 上有两个零点，求m 的取值范围．
(1) 设f(x) = ax(a > 0，且a ≠1)，
∵f(x) 的图象过点
1
2 ，
2
2


，∴a
1
2 =
2
2 ，解得a = 1
2 ．
所以函数f(x) 的解析式为f(x) =
1
2


x
．
(2) ∵g(x) = f(2x) - mf(x - 1) + 1 =
1
2


2x
- 2m ⋅
1
2


x
+ 1，令t =
1
2


x
，则t ∈(0，2)，
函数g(x) =
1
2


2x
- 2m 1
2


x
+ 1 在(-1，+∞) 上有两个零点，等价于y = t2 - 2mt + 1 在t ∈(0，2) 上有
两个零点，
则
02-2m×0+1>0
22-2m×2+1>0
Δ=(-2m)2-4×1×1>0
0<- -2m
2
<2





，解得1 < m < 5
4 ．
故实数m 的取值范围为1，5
4


．