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专题17 三角恒等变换
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题17 三角恒等变换
命题解读
命题预测
复习建议
三角恒等变换部分的
两角和与差公式、倍角公式
是高考的热点，常常与三角
函数式的求值、化简相结
合，交汇命题。出题的形式
有选择有填空有解答，出题
比较灵活，难易度适中，主
要是考察公式的灵活运用和
三角恒等变换。
预计2024 年的高考三角
恒等变换部分仍然以两角和
与差公式、倍角公式为主要
出题点，因此复习中要特别
注意公式的灵活运用。
集合复习策略：
1.掌握两角和与差公式、倍
角公式；
2.会灵活运用两角和与差公
式、倍角公式求解题目。
→➊考点精析←
一、两角和与差的三角函数公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
：
（2）
：
（3）
：
（4）
：
（5）
：
（6）
：
2．二倍角公式
（1）
：
（2）
：
2
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（3）
：
3．公式的常用变形
（1）
；
（2）降幂公式：
；
；
（3）升幂公式：
；
；
；
（4）辅助角公式：
，其中
，
二、简单的三角恒等变换
1．半角公式
（1）
（2）
（3）
【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：
3
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2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式）
（1）积化和差公式：
；
；
；
.
（2）和差化积公式：
；
；
；
.
→➋真题精讲←
1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知
，则
（ ）．
4
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化
即可得到答案.
【详解】
故选:A
2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校联考模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由已知利用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简已知等式可得
，结合
，
利用二倍角公式可求出
.
【详解】
，
，
5
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得
，
得
，
可得
，
，
，
，
又
，
得
，
解得
.
故选：A
3．（2023·广东广州·统考一模）已知
为第一象限角.
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
为第一象限角，
，则
，
，
，即
，解得
，
，
所以
.
故选：D
4．（2023·广东梅州·统考一模）已知
，则
（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
可得，
，
由二倍角公式可得
；
即
故选：A
5．（2023·江苏常州·校考二模）已知
，则
的值为______________．
【答案】
/0.5
【分析】根据和差公式的逆用得
，采用换元法令
，则
，即
，结
合诱导公式与二倍角公式即可得答案.
【详解】已知
，则
，所以
，
令
，则
，即
，
所以
.
故答案为：
.
→➌模拟精练←
7
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1．（2023·广东湛江·统考一模）
______．
【答案】
【解析】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：
.
故答案为：
.
2．（2023·广东江门·统考一模）已知
，
，则
的值为___________.
【答案】
【解析】因为
，所以
，即
，
又
，所以
.
故答案为：
.
3. 已知tan(α−β)=
，tan β=
，且α，β∈(0,π)，则2α−β=
A．
B．
C．
D．
或
【答案】C
【解析】因为tan 2(α−β)=
，
8
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所以tan(2α−β)=tan[2(α−β)+β]=
=1.
又tan α=tan[(α−β)+β]=
，
又α∈(0,π)，所以0<α<
.
又
<β<π，所以−π<2α−β<0，所以2α−β=
.
故选C．
【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角
函数值尽可能地缩小角的范围.
4．（2023·广东肇庆·统考一模）若
，则
__________.
【答案】
【解析】
，或
，
当
时，
可得
，此时
，显然
没有意义；
当
时，
，
此时
，所以有
，
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当
时，
；
当
时，
，
故答案为：
5．（2020·辽宁辽阳·高三三模（文））已知
1,
P
m 为角终边上一点，且
1
tan
4
3
，则
cos2
______．
【解析】因为
1,
P
m 为角终边上一点所以tan
m
因为
1
tan
4
3
，所以
tan
tan
1
4
tan
4
3
1
tan
tan 4
，即
1
1
1
3
m
m
解得
2
m
所以
5
cos
5
，
2
3
cos2
2cos
1
5
6.已知函数f ( x)= 4√3sin x cos x +sin
2 x−3cos
2 x +1.
（1）求函数f ( x)的对称中心及最小正周期；
（2 ）
的外接圆直径为3√3，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若f ( π
6 )= 2
3 a，且
acos B+bsin B =c，求sin B的值.
【解析】（1）
.
由
，得最小正周期为π.
令
，得
，
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故对称中心为
（k ∈Z）.
（2）∵f ( π
6 )=2= 2
3 a，∴a=3.
∵
a
sin A =2 R，2 R =3√3，∴sin A = √3
3
，
∵acos B+bsin B =c，∴sin A cos B+sin
2B =sinC ，
又∵A + B+C = π，∴sin A cos B+sin
2B =sin( A + B)，
即sin A cos B+sin
2B =sin A cos B+cos A sin B，即sin
2B =cos A sin B，
∵B∈(0 ，π )，∴sin B≠0，
∴sin B =cos A，
∵sin B>0，∴cos A >0，∴cos A = √6
3
.
∴sin B = √6
3
.
→➍专题训练←
1．（2023·辽宁·校联考三模）已知
为钝角，
，则
的值为（ ）
A．
B．-2
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
，化简得
，则
，
则
．
故选：D．
2．（2023·山西运城·统考三模）已知
，则
的近似值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，
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所以
.
故选：B
3．（2023·山西阳泉·统考三模）已知函数
，若实数a、b、c 使得
，对任意的实数x 恒成立，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【详解】
，
其中
，
，
要想
恒成立，即
恒成立，
故
且
，
因为
，所以
且
，
，
解得
，
，
，
故
故选：C.
4．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得
到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”
是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1 为分隔，4 个交叉点即为黄
金分割点.如图，分别用
表示黄金分割点.若照片长､宽比例为
，设
，则
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
，
，故
，
所以
.
故选：D
5．（2023·江苏·统考三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：A．
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知非零实数
，
满足
，当
时，
______.
【答案】1
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【详解】
，即
，
其中
，即
，
所以
，
当
时，
，
方程两边同时除以
得，
，
整理得
，
，
所以
.
故答案为：1
7．（2023·山西阳泉·统考三模）已知
，且
，则
_______．
【答案】
/
【详解】因为
，所以
，故
，
所以
.
。
故答案为：
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8．已知
，
，
均为锐角，且
.
（1）求
的值；
（2）若
，求
的值．
【解析】（1）由题意得：
，
，
，
解得：
.
（2）
，
，
由
，
可得：
，
，
9．在
中，内角
的对边分别为
，
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，求
的值.
【解析】
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（1）由已知及正弦定理得
，
∴
，
∴
，
∵
，∴
.
（2）∵
，
，
∴由余弦定理得
，
∴
.
由
，
∵
为锐角，∴
，
则
，
，
故
.
10．已知
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
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【解析】
（1）
.
（2）
.
11．已知a=(1+cosωx ,−1),b=(√3,sin ωx)(ω>0),函数f ( x)=a⋅b,函数f ( x)的最小正
周期为2π．
(1)求函数f ( x)的表达式;
(2)设θ∈(0, π
2 ),且f (θ)=√3+ 6
5,求cosθ的值．
【解析】(1)f ( x)=a⋅b=√3(1+cosωx)−sin ωx=√3−2sin(ωx−π
3 ),
因为函数f ( x)的最小正周期为2π,所以2π
ω =2π,解得ω=1,
所以f ( x)=√3−2sin( x−π
3 )．
(2)由f (θ)=√3+ 6
5,得sin(θ−π
3 )=−3
5,
因为θ∈(0, π
2 ),所以θ−π
3 ∈(−π
3 , π
6 ),
所以cos(θ−π
3 )= 4
5 ,
所以cosθ=cos(θ−π
3 + π
3)=cos(θ−π
3)cos π
3 −sin(θ−π
3)sin π
3 =4
5 × 1
2 −(−3
5 )× √3
2
=4 +3√3
10
．
12．设函数
．
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（1）若函数
为奇函数，
(0，
)，求
的值；
（2）若
＝
，
＝
，
(0，
)，求
的值．
【解析】（1）
为奇函数，
，
又
，
，
当
时，
是奇函数，满足题意，
∴
.
（2）
，
，
，
又
，
，
，
，
，
.
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