指对幂比较大小、指对幂函数的实际应用、切线问题专项训练
1．（24-25 高二下·安徽蚌埠·期中）已知
ln 2
1
ln3
,
,
2
e
3
a
b
c
=
=
=
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
<
<
B．a
c
b
<
<
C．a
b
c
<
<
D．b
a
c
<
<
【答案】B
【详解】
ln 2
ln 4
1
e
ln3
,
,
2
e
e
3
ln
4
a
b
c
=
=
=
=
=
，
令
ln
( )
x
x
x
j
=
，则
2
1 ln
( )
x
x
x
j¢
-
=
，
当
e
x ³
时，
0
x
j¢
£
，函数
ln
( )
x
x
x
j
=
在
e,+¥ 上单调递减，
又e
3
4
<
<
，所以
( )
(3)
(4)
e
j
j
j
>
>
，所以ln e
ln3
ln 4
e
3
4
>
>
，所以a
c
b
<
<
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·江西·期中）已知
2
1
ln 2,
cos2,
2
a
b
c
-
æ
ö
=
=
= ç
÷
è
ø
，则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】A
【详解】
1
ln2
ln e
2
a =
>
=
，
cos2
0
b =
<
，
2
2
1
2
4
2
c
-
æ
ö
=
=
=
ç
÷
è
ø
，则c
a
b
>
>
.
故选：A
3．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设
1.2
1
2 ,
lg3,
ln 3
a
b
c
=
=
=
，则a
b
c
、、的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
a
c
>
>
D．c
a
b
>
>
【答案】A
【详解】由函数
ln ,
lg
y
x y
x
=
=
在
0, ¥
+
上单调递增，可得
1
ln
ln1
0
3 <
=
， 0
lg1
lg3
lg10
1
=
<
<
= .
因函数
2x
y =
在R 上单调递增，则
1.2
1
2
2
2
>
=
.故
1.2
1
ln
ln1
0
lg1
lg3
1
2
3 <
=
=
<
< <
，
即a
b
c
>
>
.
故选：A
4．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数
3
2
2
,
log
,
x
f x
x g x
x
x h x
x
x
=
+
=
+
=
+
的零点分别为a，b，c，
考点一
指对幂比较大小
则a，b，c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．b
c
a
>
>
C．c
a
b
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】B
【详解】由题意得
3
2
,
x
f x
x h x
x
x
=
+
=
+
在R 上单调递增，
2
log
g x
x
x
=
+
在
0, ¥
+
上单调递增，
又
1
1
0
2
f -
= -
<
，
0
1
0
f
= >
，故
1,0
aÎ -
，
1
1
0
g
= >
，
1
1
0
2
2
g æ
ö = -
<
ç
÷
è
ø
，故
1 ,1
2
b
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
0
0
h
=
，故
0
c =
，
故b
c
a
>
>
.
故选：B
5．（24-25 高三上·天津·阶段练习）三个数
0.2
0.4
0.4
4
,
3 ,
log
0.5
a
b
c
=
=
=
的大小顺序是（ ）
A．a
b
c
>
>
B．c
a
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】D
【详解】依题意，
.
0.2
0.4
0.2
0 4
0.4
3
4
1
log
0.4
lo
5
9
g
0.
=
>
>
=
>
，
所以b
a
c
>
>
.
故选：D
6．（23-24 高二下·四川成都·阶段练习）三个数
2
2lne
ln3
,
ln 2,
e
3
a
b
c
=
=
=
的大小顺序为（ ）
A．b
c
a
<
<
B．a
c
b
<
<
C．c
a
b
<
<
D．a
b
c
<
<
【答案】D
【详解】由题意得
2
2
2
2lne
ln e
e
e
a =
=
，
ln 2
ln 4
ln 2
2
4
b =
=
=
，
ln3
3
c =
；
设
ln x
f x
x
=
，则
2
1 ln
( )
x
f
x
x
-
¢
=
，
当0
e
x
<
<
时，
( )
0
f
x
¢
>
，所以
( )
f x 单调递增，当
e
x> 时，
( )
0
f
x
¢
<
，所以
( )
f x 单调递减，
又
2
e
3
4
e
<
<
<
，所以
2
(3)
(4)
(
)
f
f
f e
>
>
，即
2
2
lne
ln 4
ln3
4
3
e
<
<
，所以a
b
c
<
<
.
故选：D
7．（24-25 高一上·吉林长春·期末）已知
2
2
1
1
,
cos2,
log e
2
a
b
c
-
æ
ö
=
=
= ç
÷
è
ø
，则, ,
a b c 的大小顺序为（ ）
A．c
a
b
>
>
B．a
c
b
>
>
C．c
b
a
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】A
【详解】
2
1
ln 2
log e
a =
=
，因为1
ln
e
ln 2
ln e
1
2 =
<
<
= ，所以1
1
2
a
<
< ，
因为π
2
π
2 <
<
，所以
cos2
0
b =
<
，
2
2
1
2
2
2
4
1
2
c
-
-
-
æ
ö
=
=
= ç
÷ø
=
è
，
所以c
a
b
>
>
.
故选：A
8．（2025·陕西宝鸡·二模）若2
3
log 3
a
b
=
=
，
3
ln 2
e
c =
，则实数a 、b 、c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】B
【详解】由题意可得
2
log 3
a =
，
3
3
b = ，可得
1
3
3
b =
，
3
2
c =
，
因为对数函数
2
log
y
x
=
为
0, ¥
+
上的增函数，则
2
2
3
log 3
log 2 2
2
a
c
=
>
=
=
，
幂函数
1
3
y
x
=
在
0, ¥
+
上为增函数，则
1
1
3
3
27
3
3
8
2
b
c
æ
ö
=
<
=
=
ç
÷
è
ø
，故a
c
b
>
>
.
故选：B.
9．（2025·天津南开·模拟预测）若2
3
log 9
a
b
=
=
，
2
3
ln
e
c =
，则实数a 、b 、c 的大小顺序为（ ）
A．a
b
c
>
>
B．a
c
b
>
>
C．b
c
a
>
>
D．b
a
c
>
>
【答案】D
【详解】由题意可得
2
log 3
a =
，
3
9
b =
，可得
1
3
9
b =
，
2
3
c =
，
因为对数函数
2
log
y
x
=
为
0, ¥
+
上的增函数，则
2
2
2
2
log 4
log 3
log 2
1
a
=
>
=
>
= ，
幂函数
1
3
y
x
=
在
0, ¥
+
上为增函数，则
1
1
3
3
9
8
2
b =
>
=
，
故b
a
c
>
>
.
故选：D.
10．（24-25 高一上·广东汕头·期中·多选）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．
3
5
>
2 2
5
B．
0.6
0.9
3
2
2
3
-
>
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
C．
0.2
4
0.6
2
<
D．
0.2
3
3
0.2
>
【答案】BCD
【详解】对于A，因为
5x
y =
在R 上单调递增，且
3
2 2
<
，所以
3
2 2
5
5
<
，所以A 错误，
对于B，
0.6
0.6
3
2
2
3
-
=
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，因为
2
3
x
y
æ
ö
= ç
÷
è
ø
在R 上单调递减，且0.6
0.9
<
，
所以
0.6
0.9
2
2
3
3
æ
ö
æ
ö
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
0.6
0.9
3
2
2
3
-
>
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，所以B 正确，
对于C，
0.2
0.2
2
0.4
4
2
2
=
=
，因为
2x
y =
在R 上单调递增，且0.4
0.6
<
，
所以
0.4
0.6
2
2
<
，即
0.2
4
0.6
2
<
，所以C 正确，
对于D，因为
3x
y =
在R 上单调递增，且0.2
0
>
，所以
0.2
0
3
3
1
>
= ，
因为
0.2x
y =
在R 上单调递减，且3
0
>
，所以
3
0
0.2
0.2
1
<
= ，
所以
0.2
3
3
0.2
>
，所以D 正确.
故选：BCD
11．（24-25 高二上·广东广州·阶段练习·多选）下列公式比较大小，错误的是（ ）
A．
2.5
3
1.5
1.5
>
B．
2
4
3
3
1
2
2
-
æ ö >
ç ÷
è ø
C．
0.3
3.1
1.5
0.9
>
D．
2
3
log 3
log 4
<
【答案】AD
【详解】对于选项A：由于
1.5x
y =
在R 上是单调递增函数，故
2.5
3
1.5
1.5
<
，故A 错误；
对于选项B：因为
2
2
3
3
1
2
2
-
æ
ö =
ç
÷
è
ø
，且
2x
y =
在R 上是单调递增函数，
所以
2
4
3
3
2
2
-
-
>
，即
2
4
3
3
1
2
2
-
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，故B 正确；
对于选项C：因为
0.3
0
1.5
1.5
1
>
= ，
3.1
0
0.9
0.9
1
<
= ，故
0.3
3.1
1.5
0.9
>
，故C 正确；
对于选项D：
3
3
2
2
2
3
3
3
2log 3
log 9
log 2
3,2log 4
log 16
log 3
3
=
>
=
=
<
=
，
所以
2
3
2log 3
log 4
> 2
，即
2
3
log 3
log 4
>
，故D 错误；
故选：AD.
1．（2025·甘肃天水·三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生
活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数
1
min-
×
）与体重W（单位：Kg）的1
3 次方成反
比．若A、B 为两个睡眠中的恒温动物，A 的体重为2Kg、脉搏率为210 次
1
min-
×
，B 的脉搏率是70 次
1
min-
×
，
则B 的体重为（ ）
A．6Kg
B．8Kg
C．18Kg
D．54Kg
【答案】D
【详解】依题意，设
1
3
(
0)
k
f
k
W
=
>
，由
2,
210
w
f
=
=
，得
1
3
210 2
=
´
k
，则
1
3
1
3
210 2
f
W
´
=
，
当
70
f =
时，
1
1
1
3
3
3
210 2
3 2
70
´
=
= ´
W
，所以
54
=
W
．
故选：D
2．（2025·河南南阳·模拟预测）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
0
0
n
G
L
L D
=
（D 为常数），其中L 表示
每一轮优化时使用的学习率，
0L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，n 表示训练迭代轮数，
0
G 表示衰减速度．已
知某个指数衰减的学习率模型中
0
20
G =
，当
10
n =
时，学习率为0.25；当
30
n =
时，学习率为0.0625，则学习率
衰减到0.05 以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（已知lg 2
0.3
»
）
A．31
B．32
C．33
D．34
【答案】D
【详解】因为衰减学习率模型为
0
0
n
G
L
L D
=
，
所以根据已知条件可得：
10
1
20
2
0
0
0.25
L D
L D
=
=
①
30
3
20
2
0
0
0.065
L D
L D
=
=
②
用②式除以①式可得：
3
2
0
1
2
0
0.0625
0.25
L D
L D
=
,化简可得：
0.25
D =
.
将
0.25
D =
代入①式中可得：
0
0.5
L =
.
所以衰减学习率模型为
20
0.5·0.25
n
L =
.
考点二
指对幂函数的实际应用
当学习率衰减到0.05 以下时，即
20
0.5·0.25
0.05
n
L =
<
.
化简上述不等式得：
lg0.25
lg0.1
20
n
<
，所以
5
100
20
33.3
3
3
n >
´
=
»
.
因为n 为正数，所以最小值取34.
故选：D.
3．（2024·四川攀枝花·一模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在
神经网络优化中指数衰减的学习率模型为
0
0
G
G
L
L D
=
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
0L 表示初始学习
率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
0
G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为
0.8，衰减速度为12，且当训练选代轮数为12 时，学习率衰减为0.5．则学习率衰减到0.2 以下（不含0.2）所需的
训练选代轮数至少为（参考数据：lg 2
0.301
»
）（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
【答案】C
【详解】由于
0
0
G
G
L
L D
=
，所以
12
0.8
G
L
D
=
´
，
依题意
12
12
0.5
0.8
D
=
´
，则
5
8
D =
，
则
12
5
0.8
8
G
L
æ
ö
=
´ç
÷
è
ø
，
由
12
5
0.8
0.2
8
G
L
æ
ö
=
´
<
ç
÷
è
ø
，即
12
5
1
8
4
G
æ
ö
<
ç
÷
è
ø
，
所以
5
8
1
12lg
12 lg1
lg4
1
24lg2
24
0.301
4
12log
35.4
5
4
lg5
3lg2
1
4lg2
1
4
0.301
lg 8
G
-
-
-
´
>
=
=
=
»
»
-
-
-
´
，
所以所需的训练迭代轮数至少为36次．
故选：C.
4．（2025·海南三亚·一模）夏季天气炎热，某教室上课关门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校教
室换气卫生要求》（GB/T177226-2017）规定，中小学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过0.10%，经检
测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化碳浓度为0.14%，记下课开窗通风t 分钟后教室内的二氧化碳浓度为
%
y
，且y 随时间t （单位：分钟）的变化规律可以用函数
10
0
e
t
y
k
k
k
-
¥
¥
=
+
-
描述，
0k %是二氧化碳初始浓度，
0.03
k¥ =
，则该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10% 需要的时间t 的最小整数值为（ ）
（参考数据：ln7
1.946,ln11
2.398
»
»
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】由题意可知，
10
10
0.03
0.14
0.
0
e
e
03
0.03
.11
t
t
y
-
-
=
+
-
=
+
，
解
10
1
e
0.03
0.11
0.
t
-
£
+
，即
10
7
11
e
t
-
£
，
得
10 ln11 ln 7
10
2.398 1.946
4.52
t ³
-
»
´
-
=
，
该教室内的二氧化碳浓度不超过0.10% 需要的时间t 的最小整数值为5 .
故选：C
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单
位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情
况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳14
的半衰期为5730年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的80%.则该遗址大约距
今（ ）（lg2
0.3
»
）
A．1146年
B．1375年
C．1910年
D．2292 年
【答案】C
【详解】不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位，
则经过t 年动物标本中碳14含量为
5730
1
2
t
f t
æ
ö
=ç
÷
è
ø
，
令
5730
1
4
2
5
t
f t
æ
ö
= ç
÷
=
è
ø
，则
1
2
4
1 3lg2
1
5730 log
5730
5730
3
1910
5
lg2
0.3
t
-
æ
ö
=
´
=
´
»
´
-
=
ç
÷
è
ø
年.
故选：C.
6．（24-25 高三下·福建厦门·阶段练习）已知某物种t 年后的种群数量y 近似满足函数模型：
1.4e 0.125
0 e
t
y
k
-
=
×
（
0
0
k >
，当
0
t =
时表示2025 年初的种群数量）．自2025 年初起，经过n 年后(
N)
nÎ
，当该物种的种群数量不足
2025 年初的10%时，n 的最小值为（参考数据：ln10
2.3026
»
）（ ）
A．17
B．18
C．19
D．20
【答案】C
【详解】由题意可知2025 年初的种群数量为
0
t =
时的函数值
1.4e
0 e
k ×
，
令
1.4e 0.125
1.4e
0
0
e
10%
e
t
y
k
k
-
=
×
<
×
×
，即
0.125
1
e
10
t
-
<
，则0.125
ln10
t >
，
ln10
8ln10
8 2.3026
18.4208
0.125
t
\ >
=
» ´
=
，由于
N
Î
n
，故n 的最小值为19．
故选：C.
7．（2025·北京·三模）香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比
及信道带宽的关系，即
2
log
1
S
C
W
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø其中C 是信道容量，单位bps；W 为信道带宽，单位Hz；S
N 代表接收信
号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由
5MHz 扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps 提高至593Mbps，依据香
农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：
3.46
2
11
»
，
5.93
2
60.97
»
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】B
【详解】设原始状态信道容量为
1
C ，提升后信道容量为
2
C ，
由题意可得
1
1
1
2
1
log
1
S
C
W
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，即
1
2
1
17.3
5log
1
S
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，解得
1
1
10
S
N »
，
同理
2
2
2
2
2
log
1
S
C
W
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，即
2
2
2
593
100log
1
S
N
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
，解得
2
2
60
S
N »
，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6 倍.
故选：B
8．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N 个单位的数据量所需要的时间
2
log
T
k
N
=
（单位：h），其中k 为常数．在此条件下，已知训练数据量N 从
6
10 个单位增加到
9
1.024 10
´
个单位时，训练时间
增加20h；当训练数据量N 从
9
1.024 10
´
个单位增加到
9
4.096 10
´
个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h
B．4h
C．20h
D．40h
【答案】B
【详解】设当N 取
6
10 个单位、
9
1.024 10
´
个单位、
9
4.096 10
´
个单位时所需时间分别为
1
2
3
,
,
T T T ,
由题意，
6
1
2
2
10
6
10
log
log
k
T
k
=
=
，
9
10
6
2
2
2
2
log
1.024 10
lo
0
g
2
10
1
og 1
0
6l
T
k
k
k
=
=
´
+
=
´
，
9
12
6
3
2
2
2
log
4.096 10
lo
0
g
2
10
1
og 1
2
6l
T
k
k
k
=
=
´
+
=
´
，
因为
2
1
2
2
10
6
10
10
20
10
6log
log
T
k
T
k
k
=
=
+
=
-
-
，所以
2
k =
，
所以
3
2
2
2
12
6log
10
6log
0
4
1
0
2
1
T
T
k
k
k
-
=
+
-
+
=
=
，
所以当训练数据量N 从
9
1.024 10
´
个单位增加到
9
4.096 10
´
个单位时，训练时间增加4 小时.
故选：B.
9．（2025·重庆·二模·多选）从2024 年3 月1 日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL 血液中乙醇含量
大于或等于20 mg ，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80mg 则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮
酒后，若其血液中的乙醇含量y （单位：mg / mL ）与酒后代谢时间x （单位：h ）的数量关系满足
2
4
4
1
x
y
x
=
+ ．则张师傅此次饮酒后（ ）
A．当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最低
B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x 的增函数，然后是代谢时间x 的减函数
C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为
D．若执意驾车，饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾
【答案】BD
【详解】由题意可知：
0
x >
，则
2
4
1
0.25
4
1
x
y
x
x
x
=
=
+
+
，
由对勾函数可知：
0.25
y
x
x
=
+
在
0,0.5 内单调递减，在
0.5, ¥
+
内单调递增，
则
1
0.25
y
x
x
=
+
在
0,0.5 内单调递增，在
0.5, ¥
+
内单调递减，故B 正确；
当
0.5
x =
时，
1
0.25
y
x
x
=
+
取到最大值1，
即当代谢时间
0.5
x =
时，血液中的乙醇含量最高为1mg / mL ，
即每100 mL 血液中乙醇含量为100mg ，故A 错误；
因为100
80
>
，可知饮酒后0.5 h 接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C 错误，D 正确；
故选：BD.
10．（2025·甘肃定西·模拟预测·多选）声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中
进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强
2
W / cm
I
.但在
实际生活中，常用声音的声强级
dB
D
来度量，声强级
dB
D
与声强
2
W / cm
I
的关系近似满足
lg
D
a I
b
=
+
，经
过多次测定，得到如下数据：
声强
2
W / cm
I
11
10-
10
10-
m
声强级
dB
D
10
20
30
已知烟花的噪声的声强级一般在
90,100 ，其声强为
1I ；鞭炮的噪声的声强级一般在
100,110 ，其声强为
2I ；飞
机起飞时发动机的噪声的声强级一般在
135,145 ，其声强为
3I ，则（ ）
A．
110
b
a
-
=
B．
8
10
m
-
=
C．
2
1
1
100
10
I
<
<
D．
2
1 3
2
>
I I
I
【答案】ACD
【详解】由题意可得
11
10
10
lg10
20
lg10
a
b
a
b
-
-
ì
=
+
í
=
+
î
.即
10
11
20
10
a
b
a
b
= -
+
ì
í
= -
+
î
，解得
10
120
a
b
=
ì
í =
î
.所以
110
b
a
-
=
，故A 正确；
因为
10lg
120
D
I
=
+
，所以30
10lg
120
m
=
+
，解得
9
10
m
-
=
，故B 错误；
由
2
100
10lg
120
110
I
<
+
<
，得
2
1
1
100
10
I
<
<
，故C 正确；
设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为
1
2
3
,
,
D D D ，由题意知
1
90
100
D
<
<
，
2
100
110
D
<
<
，
3
135
145
D
<
<
，所以
1
3
2
2
D
D
D
+
>
，所以
1
3
2
10lg
120 10lg
120
2 10lg
120
I
I
I
+
+
+
>
+
，所以
1
3
2
lg
lg
2lg
I
I
I
+
>
，即
2
1 3
2
lg
lg
I I
I
>
，所以
2
1 3
2
>
I I
I ，故D 正确.
故选：ACD.
11．（2025·广西·模拟预测·多选）环境监测设备在污染物浓度实时监测中起到关键作用.研究发现，设备对污染物的
动态响应关系可用“环境监测函数”近似描述，其监测值
(1
)
a
a
a
x
S x
x
x
=
+
-
，
0,1
xÎ
，
0.
a >
其中x 表示污染物浓
度，a 为设备灵敏度参数(a 越大，灵敏度越高) ，则（ ）
A．
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
S x 在污染物浓度区间
0,1 上单调递增
C．
S x 关于
1
2
x =
对称
D．取定x 的值
1
(0
)
2
x
<
<
，灵敏度越高，监测值越大
【答案】AB
【详解】解：对于A，在
S x 中，令
1
2
x =
，则
1
( )
1
1
2
1
2
2
2 ( )
2
a
a
S æ
ö =
=
ç
÷
è
ø
´
，所以
S x 过定点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，故A 正确；
对于B，因为
1
1
1
2
(1
)
1
[
(1
) ]
a
a
a
a
a
a
a
a
ax
x
x
x
ax
a
x
S
x
x
x
-
-
-
é
ù
é
ù
+
-
-
-
-
ë
û
ë
=
+
-
¢
û
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
[
(1
) ]
[
(1
) ]
[
(1
) ]
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a x
x
ax
x
ax
x
ax
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
é
ù
-
-
+
-
-
+ -
ë
û
=
=
=
+
-
+
-
+
-
则注意到当
0,1
xÎ
，
1
0
0
x
x
S
x
-
>
Þ
³
¢
，
则
S x 在
0,1 上单调递增，故B 正确；
对于C，由B 选项知
S x 为单调递增函数，故不存在对称轴，故C 错误；
对于D，以a 为自变量，设
S x 为
T a ，
则
2
ln
1
ln
1
ln 1
1
a
a
a
a
a
a
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
T
a
x
x
é
ù
+
-
-
+
-
-
ë
û
=
é
ù
+
-
ë
û
¢
2
1
ln 1
1
a
a
a
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
æ
ö
ë
û
=
×
ç
÷
-
è
ø
é
ù
+
-
ë
û
，因为
0
a >
，故
2
[
1
]
0
[
(1
) ]
a
a
a
x
x
x
x
-
>
+
-
，
所以
T
a
¢
的正负取决于ln1
x
x
-
，当
2
1
0
1
1
0
1
0
1
2
0
1
x
x
x
x
x
x
x
-
ì
>
ïï
-
<
< Þ
Þ
<
<
í
-
ï
<
ï -
î
时
ln
0
1
x
x <
Þ
-
0
T
a
¢
<
，即当
1
0
2
x
<
<
时，随着a 的增大，
S x 减小，故D 错误
故选：AB.
12．（2025·湖北武汉·二模）为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x 年
底光伏太阳能板的保有量y（单位：万块）满足模型
0
1
1 e-
=
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
px
N
y
N
y
，其中N 为饱和度，
0y 为初始值，p 为年
增长率．若该地区2024 年底的光伏太阳能板保有量约为20 万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10% ，
饱和度为1020 万块，那么2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约
万块．
（结果四舍五入保留到整数，参考数据：
0.5
e
0.61
-
»
，
0.6
e
0.55
-
»
，
0.7
e
0.49
-
»
）
【答案】36
【详解】根据题意，所给模型中
0
20,
1020,
10%
0.1,
6
y
N
p
x
=
=
=
=
=
，
则2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量为
0.6
0.1 6
1020
1020
1020
1 50e
1
1 e
20
y
-
-
´
=
= +
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
，
因为
0.6
e
0.55
-
»
，所以
0.6
1020
1020
36
1 50e
1 50 0.55
y
-
=
»
»
+
+
´
，
所以2030 年底该地区光伏太阳能板的保有量约36 万块.
故答案为：36.
13．（2025·云南昆明·模拟预测）根据统计数据可将某池塘里浮萍的面积(
y 单位：
2)
m
与时间(t 单位：月) 的关系
最符合浮萍面积y 与时间t 关系的模型是
( 填写序号) ，若浮萍蔓延到
2
3m ，所经过的时间t =
.
【答案】
③
2
log 3
【详解】
1(
0)
y
at
a
=
+
>
为线性增长，
log
1
1(
1)
d
y
t
d
=
+
+
>
的增长速度会逐渐变慢，
由图象可知，模型①④不符合，
将
1
t = ，
2
y =
代入模型②③，得
1
b = ，
2
c =
，即模型②
2
1
y
t
=
+ ，模型③
2t
y =
，
当
5
t =
时，模型②，
26
30
y =
<
不符合，
当
5
t =
时，模型③，
52
32
30
y =
=
>
，选模型③；
由2
3
t =
，解得
2
log 3.
t =
故答案为：③；
2
log 3.
14．（2025·江苏南通·模拟预测）心理学家有时使用函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
来测定在时间
min
t
内能够记忆的量L ，
其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率.假设一个学生有200 个单词要记忆，心理学家测定在5min 后该学生记忆
了20 个单词.该学生记忆38 个单词大约需要
min .
【答案】10
【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率k
已知函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
，其中A 表示需要记忆的量，k 表示记忆率，t 表示时间（min），L 表示在时间t 内能够
记忆的量.
已知
200
A =
，当
5
t =
时，
20
L =
，将这些值代入函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
中，可得：
5
20
200
1 e
k
-
=
´
-
，
可得：
5
20
1 e
200
k
-
= -
，即
5
0.1
1 e
k
-
= -
，可得：
5
e
0.9
k
-
=
，
两边同时取自然对数可得：
5
ln 0.9
k
lne-
=
可得：5
ln 0.9
k
-
=
，则
ln 0.9
5
k = -
.
步骤二：求出记忆38 个单词所需的时间t
当
38
L =
，
200
A =
，
ln 0.9
5
k = -
时，代入函数
1 e kt
L t
A
-
=
-
中，可得：
ln0.9
5
38
200
1 e
t
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
æ
ö
=
´
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
可得：
ln0.9
5
38
1 e
200
t
= -
，即
ln0.9
5
0.19
1 e
t
= -
，
可得：
ln0.9
5
e
0.81
t =
，两边同时取自然对数可得：
ln0.9
5
ln 0.81
t
lne
=
可得：ln0.9
ln0.81
5
t =
因为
2
ln0.81
ln0.9
2ln0.9
=
=
，所以ln0.9
2ln0.9
5
t =
，可得：
2
5
t =
，解得
10
t =
.
故该学生记忆38 个单词大约需要10min.
故答案为：10.
15．（24-25 高一上·广西玉林·期末）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读
名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间
0
150
x
x
£
£
（单位：分钟）的函数关系，
要求如下：
（i）函数的部分图象如图所示；
（ii）每天阅读时间为0 分钟时，当天得分为0 分；
（iii）每天阅读时间为30 分钟时，当天得分为50 分．
现有以下三个函数模型供选择：
15
2
1
(
0),
(
0),
log
2
(
0)
2
5
x
x
y
kx
m k
y
k
m k
y
k
m k
æ
ö
æ
ö
=
+
>
=
+
>
=
+
+
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)选出你认为最符合要求的函数模型，并求出相应的函数解析式；
(2)若学校要求每天的得分不少于75 分，则每天至少阅读多少分钟？
【答案】(1)选对数型模型，
2
log
2
5
x
y
k
m
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
；
2
25log
2
25,0
150
5
x
y
x
æ
ö
=
+
-
£
£
ç
÷
è
ø
(2)70 分钟
【详解】（1）根据图象是曲线且单调递增，
故选对数型模型，
2
log
2
5
x
y
k
m
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
；
由题意可知(0,0),(30,50) 在
2
log
2
5
x
y
k
m
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø
上，
所以
0
3
50
k
m
k
m
+
=
ì
í
+
=
î
，解得
25,
25
k
m
=
= -
，
所以
2
25log
2
25
5
x
y
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
所以函数的解析式为
2
25log
2
25,0
150
5
x
y
x
æ
ö
=
+
-
£
£
ç
÷
è
ø
；
（2）令
2
25log
2
25
75
5
x
y
æ
ö
=
+
-
³
ç
÷
è
ø
，可得
2
2 6
log
2
4
log
5
1
x
æ
ö
+
³
=
ç
÷
è
ø
，
即解得
70
x ³
，所以每天得分不少于75 分，至少需要阅读70 分钟．
16．（24-25 高一上·福建南平·期末）某湖泊2024 年2 月底测得水草覆盖面积为48
2
m ，2024 年3 月底测得水草覆
盖面积为64
2
m ，水草覆盖面积y
2
m 与月份x 的关系有以下两个函数模型可供选择：①
2
(
0)
y
ax
b a
=
+
¹
；②
(
0,
1)
x
y
kc
k
c
=
>
>
.
(1)求两个函数模型的解析式；
(2)若2024 年1 月底测得水草覆盖面积为36
2
m ，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，请说明理由，并
估算至少到哪一年的几月底水草覆盖面积能达到1080
2
m ？
（参考数据：lg 2
0.30
»
，lg3
0.48
»
，lg7
0.85
»
）
【答案】(1)①
2
16
176
5
5
y
x
=
+
，②
4
27 ( )
3
x
y =
×
(2)选择模型②
4
27 ( )
3
x
y =
×
更合适，理由见解析，2025 年2 月底
【详解】（1）若选择模型①
2
(
0)
y
ax
b a
=
+
¹
，则
4
48
9
64
a
b
a
b
+
=
ì
í
+
=
î
，解得
16
5
a =
，
176
5
b =
，
所以函数模型①的解析式为
2
16
176
5
5
y
x
=
+
；
若选择模型②
(
0,
1)
x
y
kc
k
c
=
>
>
，则
2
3
48
64
kc
kc
ì
=
í
=
î
，解得
27
k =
，
4
3
c =
，
所以函数模型②的解析式为
4
27 ( )
3
x
y =
×
.
（2）把
1
x = 代入函数模型①
2
16
176
5
5
y
x
=
+
，得
192
38.4
5
y =
=
，
再把
1
x = 代入函数模型②
4
27 ( )
3
x
y =
×
，得
36
y =
，
因此选择模型②
4
27 ( )
3
x
y =
×
更合适，
由
4
27 ( )
1080
3
x
×
³
，得4
( )
40
3
x ³
，两边取对数得
4
lg
lg 40
3
x×
³
，
即
lg 40
2lg 2 1
2 0.3 1
13.33
4
2lg 2
lg3
2 0.3
0.48
lg 3
x
+
´
+
³
=
»
»
-
´
-
，
所以至少到2025 年2 月底水草覆盖面积能达到1080
2
m .
17．（24-25 高一上·云南保山·期末）数控机床（Computer Numerical Control Machine Tools，简称CNC 机床）是一
种通过计算机程序控制，具有高精度、高效率的自动化机床，广泛应用于机械制造、汽车制造、航空制造等领
域．某机床厂今年年初用50 万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用．已知该机床在使用过程中所需要的各
种支出费用总和t （单位：万元）与使用时间x （
*
xÎN ，
20
x £
，单位：年）之间满足函数关系式为：
2
4
t
x
x
=
+
．该机床每年的生产总收入为24 万元．设使用x 年后数控机床的盈利额为y 万元．（盈利额等于总收入
减去购买成本及所有使用支出费用）．
(1)写出y 与x 之间的函数关系式；
(2)从第几年开始，该机床开始盈利？
(3)该机床使用过程中，已知年平均折旧率为4%（固定资产使用1 年后，价值的损耗与前一年价值的比率）．现对
该机床的处理方案有两种：
第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出；
第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出．
以总获利为选取方案的依据，研究一下哪种处理方案较为合理？请说明理由．（总获利= 盈利额+ 机床剩余价值）
（参考数据：
2
1.414
»
，
7
0.96
0.751
»
，
8
0.96
0.721
»
，
9
0.96
0.693
»
，
10
0.96
0.665
»
）
【答案】(1)
2
20
50,
N ,
20
y
x
x
x
x
*
= -
+
-
Î
£
(2)第3 年
(3)第一方案
【详解】（1）由盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用，可得：
2
2
24
50
4
20
50,
N ,
20
y
x
x
x
x
x
x
x
*
=
-
-
+
= -
+
-
Î
£
.
（2）令
0
y >
，即
2
20
50
0
x
x
-
-
>
+
，即
2
20
50
0
x
x
-
+
<
，
对于方程
2
20
50
0
x
x
-
+
=
，由求根公式可得
20
200
10
5 2
2
x
±
=
=
±
，
又
2
1.414
»
，则10
5 2
10
5 1.414
17.07
+
»
+ ´
=
，
10
5 2
10
5 1.414
2.93
-
»
- ´
=
，
所以不等式的解为2.93
17.07
x
<
<
，
且
N
x
*
Î
，所以从第3 年开始盈利.
（3）第一方案：对于
2
20
50
y
x
x
= -
+
-
，对称轴为
20
10
2
1
x = -
=
´ -
，
当
10
x =
时，
2
max
10
20 10
50
50
y
= -
+
´
-
=
（万元），
此时机床剩余价值为
10
50 0.96
50 0.665
33.25
´
»
´
=
，
总获利为50
33.25
83.25
+
=
（万元）；
第二方案：年平均盈利额为
2
20
50
50
20
y
x
x
x
x
x
x
-
+
-
æ
ö
=
=
-
+
ç
÷
è
ø
其中
50
50
2
10 2
10 1.414
14.14
x
x
x
x
+
³
×
=
»
´
=
，
当且仅当
50
x
x
=
时，即
50
7.07
x =
»
时，等号成立，
且
N
x
*
Î
，则
7
x =
或
8
x =
，
当
7
x =
时，
50
41
20
7
5.86
7
7
7
y
æ
ö
=
-
+
=
»
ç
÷
è
ø
（万元），
当
8
x =
时，
50
46
20
8
5.75
8
8
8
y
æ
ö
=
-
+
=
=
ç
÷
è
ø
（万元），
所以
7
x =
时，年平均盈利额最大，此时盈利额
2
7
20 7
50
41
y = -
+
´ -
=
（万元），
机床剩余价值为
7
50 0.96
50 0.751
37.55
´
»
´
=
（万元），
总获利为41 37.55
78.55
+
=
（万元），
因为83.25
78.55
>
，所以第一方案较为合理.
1．（24-25 高二下·北京西城·期中）下列函数中，图象存在与x 轴平行的切线的是（ ）
A．y
x
=
B．y
x
=
C．
ln
y
x
x
=
+
D．
ex
y
x
=
【答案】D
【详解】对于A 选项，已知
1
2
y
x
x
=
=
，对y 求导可得
1
2
1
1
2
2
x
y
x
-
¢ =
=
.
令
0
y¢ =
，即
1
0
2 x
=
，此方程无解，所以y
x
=
的图象不存在与x 轴平行的切线，A 选项错误.
对于B 选项，
,
0
,
<0
x
x
y
x
x
x
³
ì
=
= í-
î
.
当
0
x> 时，
1
y¢ = ；当<0
x
时，
1
y¢ = - ；在
0
x =
处，函数不可导.
令
0
y¢ =
，方程无解，所以
|
|
y
x
=
的图象不存在与x 轴平行的切线，B 选项错误.
对于C 选项，已知
ln
y
x
x
=
+
，其定义域为(0,
)
+¥ .对y 求导可得
1
1
y
x
¢ = +
.
令
0
y¢ =
，即
1
1
0
x
+
=
，移项可得1
1
x = - ，解得
1
x = - ，但
1
x = - 不在定义域(0,
)
+¥ 内，所以方程无解，
ln
y
x
x
=
+
的图象不存在与x 轴平行的切线，C 选项错误.
对于D 选项，已知
ex
y
x
=
，则
e
e
(
1)e
x
x
x
y
x
x
¢ =
+
=
+
.
令
0
y¢ =
，即(
1)
0
ex
x +
=
，因为e >0
x
恒成立，所以
1
0
x + =
，解得
1
x = - ，所以
ex
y
x
=
的图象存在与x 轴平行的切
线，D 选项正确.
故选：D.
2．（24-25 高二下·北京延庆·期末）下列函数中，图象存在与x 轴平行的切线的是（ ）
A．
2
y
x
x
=
+
B．y
x
=
C．
ln
y
x
x
=
-
D．
cos
2
y
x
x
=
+
【答案】C
【详解】对于A 选项，对求导可得
1
2
3
y¢ = +
=
.所以
2
y
x
x
=
+
的图象不存在与x 轴平行的切线，A 选项错误.
对于B 选项，已知
1
2
y
x
x
=
=
，对求导可得
1
2
1
1
2
2
x
y
x
-
¢ =
=
.
令
0
y¢ =
，即
1
0
2 x
=
，此方程无解，所以y
x
=
的图象不存在与x 轴平行的切线，B 选项错误.
对于C 选项，已知
ln
y
x
x
=
-
，其定义域为
0, ¥
+
.求导可得
1
1
y
x
¢ = -
.
令
0
y¢ =
，即
1
1
0
x
-
=
，解得
1
x = ，在定义域内，所以
ln
y
x
x
=
-
的图象存在与x 轴平行的切线，C 选项正确.
考点三
切线问题
对于D 选项，求导函数得
sin
2
y
x
¢ = -
+
，令
0
y¢ =
，即sin
2
0
x
-
+
=
，
因为此方程无解，所以
cos
2
y
x
x
=
+
的图象不存在与x 轴平行的切线，D 选项错误.
故选：C.
3．（24-25 高二下·河南·期末）若曲线
ln
=
+
f x
x
a 在
1
x = 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为2，则a 的值为
（ ）
A．1 或3
B．3
C．3 或1
-
D．1
-
【答案】C
【详解】由题意可得
1
ln1
f
a
a
=
+
=
，
因为
1
f
x
x
¢
=
，所以
1
1
k
f
=
¢
= ，
即切线方程为
1
y
a
x
-
=
- ，即
1
0
x
y
a
-
+
- =
，
切线与x 轴交点坐标为
1
,0
a
-
，与y 轴交点坐标为
0,
1
a -
，
因为切线与坐标轴围成的三角形面积为2，
所以1 1
1
2
2
a a
-
-
=
，解得
1
a = - 或
3
a =
.
故选：C
4．（24-25 高二下·广东·阶段练习）过点
, 2
P t
t
-
作曲线
3
2
y
x
= -
的切线，若切线有3 条，则t 的取值范围是（ ）
A．
, 1
1,
-¥ -
È
+¥
B．
1,1
-
C．
,1
-¥
D．
, 1
¥
-
-
【答案】A
【详解】设
3
2
f x
x
= -
，则
2
6
f
x
x
¢
= -
，设切点为
3
, 2
s
s
-
，则切线斜率
3
2
2
s
t
k
f
s
s
t
-
+
=
¢
=
-
，
即
3
2
2
2
6
s
t
s
s
t
-
+
-
=
-
，整理得
3
2
4
6
2
0
s
ts
t
-
+
=
，
设
3
2
4
6
2
g s
s
ts
t
=
-
+
，由题意可知
g s 有3 个零点，
2
12
12
g
s
s
ts
-
¢
=
，显然
0
t ¹
，
由
0
g
s
¢
=
，得
0
s =
或s
t
= ，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以
3
0
2
2
2
0
g
g t
t
t
t
=
-
+
<
，所以
1
t < - ，或
1
t > .
故选：A.
5．（2025·江苏南通·模拟预测）若曲线
4
y
x
=
的一条切线1l 与直线2l ：4
20
0
x
y
-
-
=
平行，则1l 与2l 之间的距离为
（ ）
A．17
B．2 17
C．5
D．10
【答案】A
【详解】设直线1l 与曲线
4
y
x
=
切于点
0
0
,
P x
y
，直线2l 的斜率为4，
由导数的几何意义可知，
3
0
4
4
x =
，得
0
1
x = ，则
0
1
y = ，
所以直线
1 :
1
4
1
l
y
x
- =
-
，即4
3
0
x
y
-
-
=
，
所以直线1l 与2l 之间的距离为
2
2
20
3
17
4
1
-
+
=
+
.
故选:A
6．（24-25 高二下·广东深圳·期末）设曲线
ln(
),(
0)
y
ax
a
=
>
在x
a
=
处的切线与
2
1
0
x
y
+
+ =
垂直，则a =（ ）
A．
2
2
B．2
C．
1
2
D．2
【答案】C
【详解】因为
ln(
),(
0)
y
ax
a
=
>
，所以
1
1
·
y
ax
ax
x
¢
¢ =
=
，
所以曲线在x
a
=
处的切线斜率为：
1
1
k
a
=
，
由直线
2
1
0
x
y
+
+ =
的斜率为：
2
1
2
k = -
，
又因为曲线
ln(
)
y
ax
=
在x
a
=
处的切线与
2
1
0
x
y
+
+ =
垂直，
所以
1
2
1
1
·
1
1
2
k k
a
æ
ö
= - Þ -
´
= -
ç
÷
è
ø
，
所以
1
2
a =
，
故选：C.
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知直线
3
2
y
x
a
=
+
是函数
ln
y
x
x
=
+
在某点处的切线，则实数a 的值为
（ ）
A．1
B．-1
C．
1
2
D．
1
2
-
【答案】D
【详解】由题可得
1
1
2
y
x
x
¢ =
+
，设切点坐标为
0
0
,
x
y
，
则
0
0
0
0
0
0
0
3
2
ln
1
1
3
2
2
y
x
a
y
x
x
x
x
ì
=
+
ï
ïï
=
+
í
ï
ï
+
=
ïî
，
所以
0
1
x = ，
0
1
y = ，
1
2
a = -
，故D 正确.
故选：D.
8．（2025·海南儋州·模拟预测）若直线y
kx
=
是函数
ln
1
y
x
x
=
+ 的图象的一条切线，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．e
D．1
e
【答案】A
【详解】
ln
1
f x
x
x
=
+
Q
，
ln
1(
0)
f
x
x
x
¢
\
=
+
>
，
设切点坐标为
0
0
(
,
)
x kx
，则
0
0
0
0
ln
1
ln
1
x
k
x
x
kx
+ =
ì
í
+ =
î
，
消去k，得
0
1
x = ，所以
1
k = .
故选：A
9．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设
0
a ¹
，若曲线
ln
1
f x
a
x
=
-
在点
2
2
f,
处的切线也是曲线
2
eax
g x
-
=
的
切线，则a = ．
【答案】1
2 /0.5
【详解】因为
1
a
f
x
x
¢
=
- ，所以
2
,
2
ln1
0
f
a f
a
=
=
=
¢
.
所以曲线
f x 在点
2,
2
f
的切线方程为：
2
y
a x
=
-
.
因为
2
eax
g
x
a
-
=
¢
，设曲线
g x 与该切线的切点为
0
0
,
2
x a x -
.
所以
0 2
0
eax
g
x
a
a
-
¢
=
=
，所以
0
2
0
ax -
=
，即
0
2
ax =
.
又
0 2
0
0
0
e
2
2
2
e
ax
g x
a x
a
-
=
=
-
=
-
=
，
所以
1
2
a =
.
故答案为：1
2 .
10．（24-25 高二下·贵州六盘水·阶段练习）过原点引
ex
y
t
=
+ 的切线，若切线斜率为1
e ，则t =
．
【答案】
2
e
-
【详解】因为切线过原点且切线斜率为1
e ，所以切线方程为
1
e
y
x
=
，
又
ex
y
t
=
+ ，所以
ex
y¢ =
，
令
1
e
1
e
x
x
=
Þ
= - ，\切点为
1
1,
e
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø ，
切点
1
1,
e
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø 一定在
ex
y
t
=
+ 上，所以
1
1
2
e
e
e
t
t
- + = -
Þ = -
.
故答案为：
2
e
-
.
11．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数
2
1 ex
f x
x
ax
=
+
+
在
0
x =
处的切线与直线2
2
0
x
y
-
+
=
平行，则实数
a =
.
【答案】1
【详解】因为
2
1 ex
f x
x
ax
=
+
+
，所以
2
2
1
ex
f
x
x
a x
a
¢
é
ù
=
+
+
+ +
ë
û
，
依题意可得
0
2
f ¢
=
，即
2
0
0
0
2
0 1
e
2
f
a
a
¢
é
ù
=
+
+
´ + +
=
ë
û
，解得
1
a = .
故答案为：1.
12．（24-25 高二下·安徽合肥·期末）若直线
2
1
y
x
=
-
是曲线
ln
y
x
x
a
=
+
+
的切线，则a =
.
【答案】1
-
【详解】因为
ln
y
f x
x
x
a
=
=
+
+
，所以
1
1
f
x
x
¢
=
+ ，
设
2
1
y
x
=
-
与曲线
ln
y
x
x
a
=
+
+
切于点
,ln
t
t
t
a
+ +
，
所以
1 1
2
f
t
t +
¢
=
=
，所以
1
t = ，
所以切点为
1,
1
a +
，又该点在
2
1
y
x
=
-
上，
所以
1
0
a + =
，所以
1.
a = -
故答案为：1
- .
13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知函数
sin
f x
x
=
，
2
ax
g x
a
x
a
=
Î
+
R ．
(1)当
4
a =
时，求
g x 在
0,4 上的值域；
(2)证明：曲线
y
f x
=
与
y
g x
=
在点
0,0 处存在公切线.
【答案】(1)
0,1 ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）若
4
a =
，则
2
4
4
x
g x
x
=
+
，得
2
2
2
4 4
4
x
g
x
x
¢
-
=
+
，
0,4
xÎ
令
0
g
x
¢
=
，解得
2
x =
，
所以当
0,2
xÎ
时，
0
g
x
¢
³
，则
g x 单调递增，
当
2,4
Î
x
时，
0
g
x
¢
<
，则
g x 单调递减，
所以当
2
x =
时，
g x 有最大值，
2
4 2
2
1
2
4
g
´
=
=
+
，
当
0
x =
时，
2
4 0
0
0
0
4
g
´
=
=
+
，当
4
x =
时，
2
4 4
4
4
4
4
5
g
´
=
=
+
，
故
g x 在
0,4 上的值域为
0,1 ．
（2）证明：由
sin
f x
x
=
，得
cos
f
x
x
¢
=
，则
0
1
f ¢
= ，
又
0
0
f
=
，故
f x 在点
0,0 处的切线方程为y
x
=
．
同理，由
2
ax
g x
x
a
=
+
，得
2
2
2
2
a
ax
g
x
x
a
-
=
+
¢
，则
0
1
g¢
= ，
又
0
0
g
=
，故
g x 在点
0,0 处的切线方程为y
x
=
，
所以
f x 与
g x 在
0,0 处存在公切线y
x
=
．
14．（24-25 高二下·湖北黄冈·期末）已知函数
( )
e ( sin
cos ),
x
f x
a
x
x a
=
+
ÎR .
(1)当
1
a = 时，求
( )
f x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域；
(2)若曲线
( )
y
f x
=
在点(0,
(0))
f
处的切线与坐标轴围成的图形面积为1
6 ，求a 的值.
【答案】(1)
π
2
1,e
é
ù
ê
ú
ë
û
(2)
4
a = - 或
2
a =
【详解】（1）当
1
a = 时，
( )
e (sin
cos )
x
f x
x
x
=
+
，
\
( )
e (sin
cos )
e (cos
sin )
2e cos
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
¢
=
+
+
-
=
，
π
0, 2
x
é
ù
Îê
ú
ë
û
Q
，
cos
0
x
\
>
，
( )
0
f
x
¢
\
>
，故
( )
f x 在
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 单调递增，
又
π
2
π
(0)
1,
e
2
f
f æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，
( )
f x
\
π
0, 2
é
ù
ê
ú
ë
û 上的值域为
π
2
1,e
é
ù
ê
ú
ë
û
.
（2）Q
( )
e ( sin
cos )
e ( cos
sin )
x
x
f
x
a
x
x
a
x
x
¢
=
+
+
-
，
(0)
1
f
a
¢
\
=
+ ，
又
(0)
1
f
= ，
\曲线
( )
y
f x
=
在点
0,1 处切线方程为
(
1)
1
y
a
x
=
+
+ ，
\切线与x 轴交点为
1
,0
1
a
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø ，
\切线与坐标轴围成的图形面积为1
1
1
1
2
|
1|
6
a
´ ´
=
+
，
|
1| 3
a
\
+
= ，解得
2
a =
或
4
a = - .
15．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数
e
0
x
f x
a
a
=
¹
，
2
1
2
g x
x
=
．
(1)当
2
a = - 时，求曲线
f x 与
g x 的公切线的方程；
(2)若
y
f x
g x
=
-
有两个极值点
1
x 和
2x ，且
2
1
2
x
x
³
，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
y
x
= -
-
(2)
ln 2
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】（1）当
2
a = - 时，
2ex
f x = -
，所以
2ex
f
x
¢
= -
，
因为
2
1
2
g x
x
=
，所以
g
x
x
¢
=
，
设曲线
f x 上的切点为
1
1, 2ex
x -
，则切线方程为
1
1
1
2e
2e
x
x
y
x
x
+
= -
-
，
设曲线
g x 上的切点为
2
2
2
1
, 2
x
x
æ
ö
ç
÷
è
ø，则切线方程为
2
2
2
2
1
2
y
x
x
x
x
-
=
-
，
由两条切线重合得
1
1
2
2
1
2
2e
1
2e
1
2
x
x
x
x
x
ì-
=
ïí
-
= -
ïî
，解得
1
2
0
2
x
x
=
ì
í
= -
î
，
所以曲线
f x 与
g x 的公切线的方程为
2
2
y
x
= -
-
，
（2）由题意可知，
2
1
e
2
x
y
f x
g x
a
x
=
-
=
-
，
所以
ex
y
a
x
¢ =
-
，
因为
2
1
e
2
x
y
a
x
=
-
有两个极值点
1
x 和
2x ，
所以
ex
y
a
x
¢ =
-
有两个零点
1
x 和
2x ，
所以
1
2
1
2
e
0
e
0
x
x
a
x
a
x
ì
-
=
í
-
=
î
，即
1
2
1
2
e
e
x
x
x
x
a =
=
，
令
2
1
2
x
kx k
=
³
，则
1
1
1
1
e
e
x
kx
x
kx
=
，解得
1
ln
1
k
x
k
=
- ，
设
ln
2
1
x
h x
x
x
=
³
-
则
2
1
1
ln
1
x
x
h x
x
-
-
-
¢
=
，
又令
1
1
ln
2
t x
x x
x
= -
-
³
，则
2
1
0
x
t
x
x
-
¢
=
<
，
所以
t x 在
2,+¥ 上单调递减，
所以
1
3
ln 2
0
2
t x
t
£
=
-
<
，所以
0,
h x
¢
<
所以
h x 在
2,+¥ 上单调递减，
所以
ln 2
2
ln 2
2 1
h x
h
£
=
=
-
，
易知( )
0,
h x >
所以
1
0,ln 2
x Î
，
令
ex
x
x
j
=
，则
1
x
x
x
e
j
=
¢
-
，
当0
ln 2
x
<
<
时，
0
x
j¢
>
，
所以
x
j
在
0,ln 2 上单调递增，
又
ln2
ln 2
ln 2
ln 2
.
e
2
j
=
=
所以
1
1
ln 2
0,
e
2
x
a
æ
ù
=
Îç
ú
è
û ，
故实数a 的取值范围为
ln 2
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û .
16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数
ln
1,
e
1
x
f x
x
g x
=
+
=
- .
(1)求曲线
y
f x
=
与
y
g x
=
的公切线的条数；
(2)若
2
2
0,
1,
,
1
1
a
x
f x
a g x
a
a
¥
>
" Î - +
+
£
+
-
+ ，求a 的取值范围.
【答案】(1)2 条
(2)
1
a ³
【详解】（1）设
ln
1,
e
1
x
f x
x
g x
=
+
=
- 的切点分别为
1
1
2
2
,
,
,
x
f
x
x
g x
，
则
1 ,
( )
ex
f
x
g x
x
¢
¢
=
=
，
故
ln
1,
e
1
x
f x
x
g x
=
+
=
- 在切点处的切线方程分别为
1
1
1
1
1
1
1
ln
1
ln
y
x
x
x
y
x
x
x
x
=
-
+
+ Þ
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
e
e
1
e
e
e
1
x
x
x
x
x
y
x
x
y
x
x
=
-
+
- Þ
=
-
+
-
则需满足；
2
2
2
1
1
2
1
e
ln
e
e
1
x
x
x
x
x
x
ì
=
ïí
ï
= -
+
-
î
,故
2
2
2
2
2
2
1
ln
e
e
1
e
1
1
0
e
x
x
x
x
x
x
= -
+
- Þ
-
-
=
，
解得
2
0
x =
或
2
1
x = ，
因此曲线
y
f x
=
与
y
g x
=
有两条不同的公切线，
（2）由
2
2
1
1
f x
a g x
a
a
+
£
+
-
+ 可得
2
2
ln
1
1
e
1
1
x
x
a
a
a
+
+ £
-
+
-
+ ，
即
2
ln
1
ex
x
a
a
+
£
-
对于
1,
x
¥
" Î - +
恒成立，
2
0
ln 0 1
e
a
a
+
£
-
，结合
0,
a >
解得
1
a ³
设
( )
ln
1,
m x
x
x
=
-
+
，
则当
1
x > 时
1
( )
1
0,
m x
m x
x - <
¢
=
单调递减，当0
1
x
<
< 时，
( )
0,
m x
m x
>
¢
单调递增，
故当
( )
1
0
m x
m
£
=
，故ln
1,
x
x
£
-
因此
ln
1
x
x
+
£
，
1
x > -
，
令
2e
,
1
x
F x
x
a
a
x
=
-
+
> -
，则
2
1
ex
F
x
a
= -
¢
，
令
2
1
e
0
x
F
x
a
¢
= -
=
，得
2ln
x
a
= -
，
当2ln
1
a
-
£ - 时，此时
e
a ³
，
2
1
e
0
x
F
x
a
¢
= -
<
，故
F x 在
1
x > - 上单调递减，
所以
2
2
2
2
2
2
e
e
e
e
e
e
e
e
e
2
4
2
4
1
1
e
2
0
e
e
e
e
a
a
a
a
F x
F
a
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
-
-
+
+
ç
÷
ç
÷
-
+
-
è
ø
è
ø
<
-
= - -
+
=
=
£
=
-
<
，
所以
2e
0
x
F x
x
a
a
=
-
+
<
，由于
ln
1
x
x
+
£
进而
2
ln(
1)
e
0
x
x
a
a
+
-
+
<
，满足题意，
当2ln
1
a
-
> - 时，此时1
e
a
<
<
，
令
2
1
e
0
x
F
x
a
¢
= -
>
，解得
1
2ln ,
x
a F x
- <
< -
单调递增，
令
2
1
e
0
x
F
x
a
¢
= -
<
，解得
2ln ,
x
a F x
> -
单调递减，
故
max
2ln
2ln
1
F x
F x
F
a
a
a
£
=
-
= -
- +
，
令
2ln
1
p a
a
a
= -
- +
，则
2
2
1
a
p a
a
a
-
= -
+ =
¢
，
由于 1
e
a
<
<
，所以
2
2
1
0
a
p a
a
a
-
= -
+ =
<
¢
，
故
p a 在1
e
a
<
<
单调递减，故
1
p a
p
<
，即可
0
p a <
，
因此
max
2ln
2ln
1
0
0
F x
F x
F
a
a
a
F x
£
=
-
= -
- +
<
Þ
<
所以
2e
0
x
F x
x
a
a
=
-
+
<
，由于
ln
1
x
x
+
£
进而
2
ln(
1)
e
0
x
x
a
a
+
-
+
<
，满足题意，
综上可得
1
a ³
17．（24-25 高三下·山西晋中·阶段练习）已知函数
( )
ln
f x
x
mx
=
-
，
2
1
1
( )
2
2
g x
x
=
-
.
(1)讨论
( )
f x 的单调性；
(2)若
0
m =
，求曲线
( )
y
f x
=
与曲线
( )
y
g x
=
的公切线；
(3)已知( )
( )
( )
h x
f x
g x
=
+
，若( )
h x 的两个极值点为
1
x ，
2
2
2
1
2
(
e
)
x
x
x
x
<
<
，求
1
2
(
)
(
)
h x
h x
-
的取值范围.
【答案】(1)当
0
m £
时，
( )
f x 在
0, ¥
+
单调递增；当
0
m >
时，
( )
f x 在
1
0, m
æ
ö
ç
÷
è
ø单调递增，在
1 ,
m
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø 单调递减
(2)
1
y
x
=
-
(3)
2
2
e
1
2
0
2
2e ,
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
【详解】（1）
1
1
( )
(
0)
mx
f
x
m
x
x
x
-
¢
=
-
=
>
，
当
0
m £
时，
( )
0
f
x
¢
>
在
0
x >
时恒成立，此时
( )
f x 在
0, ¥
+
单调递增；
当
0
m >
时，令
1
( )
0
f
x
x
m
¢
=
Þ
=
，
当
1
0,
x
m
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
( )
0
f
x
¢
>
，
( )
f x 单调递增，
当
1 ,
x
m
æ
ö
Î
+¥
ç
÷
è
ø 时，
( )
0
f
x
¢
<
，
( )
f x 单调递减，
综上当
0
m £
时，
( )
f x 在
0, ¥
+
单调递增；当
0
m >
时，
( )
f x 在
1
0, m
æ
ö
ç
÷
è
ø单调递增，在
1 ,
m
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø 单调递减；
（2）
0
( )
ln
m
f x
x
=
Þ
=
，
1
( )
(
0)
f
x
x
x
¢
=
>
，
( )
g x
x
¢
=
，
设公切线在
( )
f x 上的切点坐标为
,ln
t
t ，则切线的斜率为
1
( )
f
t
t
¢
= ，
0
t >
，
此时切线方程为
1
1
(
)
ln
1
ln
y
x
t
t
x
t
t
t
=
-
+
=
- +
，
设公切线在( )
g x 上的切点坐标为
2
1
1
, 2
2
p
p
æ
ö
-
ç
÷
è
ø，则切线的斜率为
( )
g p
p
¢
=
，
此时切线方程为
2
2
1
1
1
1
(
)
2
2
2
2
y
p x
p
p
px
p
=
-
+
-
=
-
-
，
所以
2
1
1
1
1
ln
2
2
p
t
t
p
ì
=
ïïí
ï- +
= -
-
ïî
，
2
1
1
ln
1
2
t
t
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø ，
0
t >
时两边都是单调的，
且
1
t = 时，等号成立，故
1
t = ，
公切线方程为
1
y
x
=
- ；
（3）
2
)
1
2
( )
(
1
2
)
(
ln
h x
f x
g x
x
mx
x
=
+
=
-
-
+
，
2
)
1
0
1
(
x
mx
x
x
m
x
h
x
¢
=
-
+
-
=
=
+
，即
2
1
0
x
mx
-
+ =
，
因为( )
h x 的两个极值点为
1
x ，
2
2
2
1
2
(
e
)
x
x
x
x
<
<
，
所以
2
1
0
x
mx
-
+ =
有两个不同的正数解，所以
1
2
1
x
x
×
=
又
2
2
1
2
0
e
x
x
x
<
<
<
，代入解得
1
(1,e)
x Î
，
2
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
(
)
(
)
ln
1
1
1
2
2
2
2
ln
h x
h x
x
mx
x
x
mx
x
-
=
-
-
-
-
+
+
+
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
2
ln
1
l
2
1
2
2
n
l
2
1
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
+
-
-
- +
+
-
=
-
+
，
1
(1,e)
x Î
，
令
2
2
1
1
2
)
2 n
2
(
l
p x
x
x
x
=
-
+
，
(1,e)
xÎ
，
2
4
2
2
3
3
3
2
1
2
1
(
1)
( )
0
x
x
x
p x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
¢
=
-
-
=
=
<
，所以
( )
p x 在
(1,e)
xÎ
单调递减，
( )
(e), (1)
p x
p
p
Î
2
2
e
1
2
0
2
2e ,
æ
ö
=
-
+
ç
÷
è
ø
，
故答案为
2
2
e
1
2
0
2
2e ,
æ
ö
-
+
ç
÷
è
ø
.
