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2026 年高考数学一轮复习
专题18：数列的通项公式
知识点一：
n
S 与
型求通项公式
（1 ）使用范围：若已知数列的前n 项和
n
S 与
的关系，求数列
的通项
可用公式
，构造两式作差求解．
（2）要点：用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为
一”，即
和
合为一个表达，（要先分
和
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
知识点二：累加法求通项公式
（1）使用范围：an＋1＝an＋f(n)，可变形为an＋1－an＝f(n)
（2）要点：利用恒等式
(n≥2，n N
∈
*)求解
可构造：
将上述
个式子两边分别相加，可得：
1
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知识点三：累乘法求通项公式
（1）使用范围：an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n)
（2）要点：利用恒等式
…
(an≠0，n≥2，n N
∈
*)求解
可构造：
将上述
个式子两边分别相乘，可得：
知识点四：构造法求通项公式（构造等差、等比数列）
（1）使用范围：对于不满足an＋1＝an＋f(n)，an＋1＝f(n)an形式的递推关系，常采用构造法
（2）要点：对所给的递推公式进行变形构造等差数列或等比数列进行求解
知识点五：取倒数法求通项公式
（1）使用范围：an＋1＝(p，q，r 是常数)，可变形为＝·＋
（2）要点：①若p＝r，则是等差数列，且公差为，可用公式求通项；
②若p≠r，则转化为an＋1＝san＋t 型，再利用待定系数法构造新数列求解
知识点六：三项递推法求通项公式
（1）使用范围：适用于形如
型的递推式
（2）要点：用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，
比较系数得
，可解得
，于是
是公比为
的等比数列，这样就化归为
型．
2
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构造法求通项的几种常见类型及技巧
1、形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法
有如下：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待
定系数法）得
，即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整
理可得
2、形如
型的递推式：
递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常数）时，要
先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），得：
，再结合“
”类型。
考点一 Sn 与an型求通项公式
【例1】记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
3
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【详解】（1）当
时，
，解得
．
当
时，
，所以
即
，
而
，故
，故
，
∴数列
是以4 为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
【变式1-1】已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
,故
，所以
即
故等比数列
的公比为
，故
，故
，故
.
【变式1-2】已知各项均为正数的数列
前
项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）因为
①，所以
②，
③，
4
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由③得：
，所以
，
-
②①得：
，整理得：
，
又因为
各项均为正数，所以
，
所以
是公差
的等差数列，
．
【变式1-3】已知数列
满足
，
，
是数列
的前
项和，对任意
，有
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
；
【分析】（1）根据
作差得到
，从而得到
，结合等差数列的定义计算可得；
【详解】（1）由
，
，两式相减得
，
即
，因为
，所以
，即
，
故
是首项为，公差为
的等差数列，所以
；
考点二 累加法求通项公式
【例2】已知数列
满足
，
（
）．
5
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(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
，
；
【分析】（1）根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前
项和公式求解即得.
【详解】（1）数列
中，当
时，
，即
，
则
，而
满足上式，
所以数列
的通项公式是
，
．
【变式2-1】已知数列{an}满足
，
，求an．
解析：
上述
个等式相加可得：
【变式2-2】南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录
于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中
的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等
差数列的前4 个为1，3，7，13，则该数列的第13 项为（ ）
A．156 B．157 C．158 D．159
【答案】B【解析】设该二阶等差数列为
，则
；由二阶等差数列的定义可
知，
所以数列
是以
为首项，公差
的等差数列，
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即
，所以
将所有上式累加可得
，所以
；即该数列的第13 项为
.故选：B
【变式2-3】已知定义数列
为数列
的“差数列”，若
的“差数列”的第
项为
，则数列
的前2026 项和
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【解析】依题意，
，当
时，
，
而
满足上式，因此
，所以.
故选：D
考点三 累乘法求通项公式
【例3】记数列
的前
项和
，对任意正整数
，有
，且
.
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由
得出数列
的递推关系，然后由连乘法求得通项
；
【详解】（1）由
，则
，两式相减得：
，
整理得：
，即
时，
，
所以
时，
，
又
时，
，得
，也满足上式.故
.
【变式3-1】已知数列
满足
，
，则
=（ ）
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A．2026 B．2027 C．4051 D．4053
【答案】C
【解析】
，
，即
，
可得
，
.故选：
C.
【变式3-2】设数列
的前
项和为
，满足
.
（1）求数列
的通项公式；
【答案】（1）
；
【详解】（1）当
时，
，即
，
当
时，
，即
，因此
，
所以
，经检验，
时成立，所以
；
考点四 构造法求通项公式
【例4】已知数列
满足
，记
．
(1)求数列
的通项公式；
【答案】(1)
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【详解】（1）由
，则
．又
，
所以数列
是以1 为首项，3 为公比的等比数列，所以
．
所以
．
【变式4-1】在数列
中，
，且
，其中
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）由已知
， 得
，
所以数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，所以
，
所以
；
【变式4-2】在数列
中,
,
,则（ ）
A．
是等比数列 B．
是等比数列
C．
是等比数列 D．
是等比数列
【答案】B【解析】由题知
,所以
,又因为
,所以
是等
比数列,且首项为4,公比为2.故选:B
【变式4-3】已知数列
满足
，则数列
的通项公式为 .
【答案】
【解析】解法一：设
，整理得
，可得
，
即
，且
，则数列
是首项为
，公比为
的等比
数列，所以
，即
；
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解法二：(两边同除以
) 两边同时除以
得：
，整理得
，且
，则数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以
，即
；
解法三：(两边同除以
)两边同时除以
得：
，即
，当
时，则
，故
，显然当
时，
符合上式，故
.故答案为：
.
考点五 取倒数法求通项公式
【例5】数列
中，
，
，则
．
【答案】
【解析】由
，
，可得
，所以
，即
(定值)，
故数列
以
为首项，
为公差的等差数列，所以
，
所以
，所以
．故答案为：
．
【变式5】已知数列
满足
,若
，则
=
【答案】
考点六 三项递推构造求通项公式
【例6】已知数列
满足：
，
，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意
，由
得
，即
，
所以数列
是等比数列，仅比为4，首项为4，所以
．故选：C．
【变式6】数列
满足
，且
，求通项
.
【答案】
【解析】因为
，所以
，又
，所以
，
由等比数列定义知，数列
是以
为首项，3 为公比的等比数列，所以
，
累加法可得：
，所以
，又
符合该式，故
.
1.若数列
满足：
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】由
①得，当
时
②
由①
②得
当
时
也满足上式故选：D
2.数列
中，
，
，若
，则
（ C ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3.已知数列
的前n 项和为
，
，对任意的
都有
，则
=（ ）
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A．
B．
C．
D．
【详解】数列
满足
，对任意的
都有
，则有
，
可得数列
为常数列，有
，得
，得
，
又由
，所以
．
故选：D
4.已知数列
的首项
，其前
项和为
，若
，则
__________．
【详解】因为
，所以
，两式相减得
，
又因为
，
，得
，所以数列
从第二项开始成等比数列，
因此其通项公式为
，所以
，故答案为：96.
5.已知数列
满足
，
，且
=
+
-
（n≥2），则数列
的
通项公式为_____________.
【详解】由题意，数列
满足
（
），两侧同除
，
可得
，即
，所以数列
是以
为首项，
为
公
差
的
等
差
数
列
，
则
，
所
以
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（
），当
时，
适合上式，所以
，所
以数列
的通项公式
.故答案为：
6.在数列
中，
，当
时，有
，求数列
的通项公式。
解析：设
，则
，于是
是以
为首项，以3 为公比的等比数列。
7.已知数列
满足
．
(1)求
；
(2)证明：
．
【答案】(1)
，
；(2)证明见解析.
【分析】(1)将
代入递推式求解即可；(2)用累加法求出数的通项公式即得证明.
【详解】（1）解：因为
，
所以
，
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；
（2）证明：因为
，
所以
，
，
，…
，将以上
个式子相加，得
.
也满足所以
．
8.设数列
满足
，且
．
(1)求
的通项公式；
【答案】(1)
【分析】（1）由已知可得
，累乘法可求
的通项公式；
【详解】（1）由题易知
，且
，
所以
，所以
，
所以
也满足该式，
所以
．
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