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专题14 平面中的轨迹方程问题
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题型01 直接法........................................................................................................................................................... 1
题型02 定义法........................................................................................................................................................... 2
题型03 相关点法....................................................................................................................................................... 4
题型04 交轨法........................................................................................................................................................... 5
题型01 直接法
【解题规律·提分快招】
1、曲线方程的定义
一般地，如果曲线
与方程
之间有以下两个关系：
①曲线
上的点的坐标都是方程
的解；
②以方程
的解为坐标的点都是曲线
上的点．
此时，把方程
叫做曲线
的方程，曲线
叫做方程
的曲线．
2、求曲线方程的一般步骤
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为
；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标
y
x、表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：建(建系)设(设点)现(限制条件)代(代点)化(化简)．
3、直接法
如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含
的等式，就可得到轨迹方程，且要注意等量关系中的限制条件（三角形、斜率等）
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·山东泰安·一模）在平面内，
是两个定点，
是动点，若
，则点
的轨迹为
1
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（ ）
A．椭圆
B．抛物线
C．直线
D．圆
2．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知两定点
，动点
满足
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）已知
是坐标原点，点
满足
，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三上·吉林通化·期中）在
中，
，
，
，则点
的轨迹方程为
．
5．（24-25 高三上·上海·随堂练习）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q，且
，则点P 的轨迹方程为 .
题型02 定义法
【解题规律·提分快招】
1、椭圆定义
如果动点
的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨
迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫
做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (0＜e＜1) ，则该动点的轨迹为椭圆，
该常数为椭圆离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③椭圆第三定义：A,B 为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B 两点的斜率之积为常数e
2−1，当0＜
e
2＜1 时，该动点的轨迹为椭圆。
2、双曲线定义
①第一定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这
两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距
②第二定义：平面内一动点到定点与定直线的距离之比等于常数e (e＞1) ，则该动点的轨迹为双曲线，该
2
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常数为双曲线离心率，定点为焦点，定直线为该焦点对应的准线。
③第三定义：A,B 为关于原点对称的两个定点，一动点到A，B 两点的斜率之积为常数e
2−1，当e
2＞1
时，该动点的轨迹为双曲线。
3、抛物线定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的
焦点,直线l 叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l 不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·重庆沙坪坝·期末）点
的坐标分别是
，直线
相交于点
，且
它们的斜率之积是
，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川绵阳·期中）已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直
线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离大1，则
动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河南南阳·阶段练习）动点
与定点
的距离和
到定直线
的距离
的比是常数
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆
过定点
，且与已知圆
：
外切，
3
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则动圆圆心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三上·黑龙江·期中）已知圆
和圆
，若动圆P 与这
两圆一个内切一个外切，该动圆圆心P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 相关点法
【解题规律·提分快招】
如果动点
的运动是由另外某一点
的运动引发的，而该点的运动规律已知（该点坐标满足某已知曲线
方程），则可以设出
，用
表示出相关点
的坐标，然后把
的坐标代入已知曲线方程，即
可得到动点
的轨迹方程。
“相关点法”求轨迹方程的基本步骤
(1)设点：设被动点坐标为(x,y),主动点坐标为(x1,y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式{
x1= f ( x , y)
y1= g( x , y)
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程,便可得到所求动点的轨迹方程．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·广东·开学考试）在平面直角坐标系中，将圆
上所有点的横坐标伸长到原
来的2 倍，纵坐标缩短为原来的
，则得到的新曲线的曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·福建莆田·期末）在圆
上任取一点P，过点P 作x 轴的垂线段
，D 为垂足，
M 是线段
上的点，且
，当点P 在圆上运动时，则点M 的轨迹方程是（ ）
4
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A．
+
=1(y
)
B．
+
=1(y
)
C．
+
=1(y
)
D．
+
=1(y
)
3．（24-25 高三上·海南·阶段练习）已知椭圆
的短轴的两个端点分别为
、
，
为椭圆上一动
点，则
的重心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
4．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）如图，
轴，垂足为
，点
在
的延长线上，且
，当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为 ．
5．（23-24 高三上·山东烟台·阶段练习）已知定点B（3,0），点A 在圆x2＋y2＝1 上运动，∠AOB 的平分线
交线段AB 于点M，则点M 的轨迹方程是 ．
题型04 交轨法
【解题规律·提分快招】
求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数来
得到轨迹方程,称之交轨法.若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点的轨迹方程,也可
以解方程组先求出交点坐标的参数方程,再化为普通方程.
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系
中，
，动点
和
分别位
于
正半轴和负半轴上，若
，则
和
的交点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
5
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C．
D．
2．（2024 高三上·全国·专题练习）设
是椭圆
与x 轴的两个交点，
是椭圆上垂直于
的弦的端点，则直线
与
交点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（2024 高三·全国·专题练习）已知
是椭圆
中垂直于长轴的动弦，
是椭圆
长轴的两个端点，则直线
和
的交点
的轨迹方程为 ．
一、单选题
1．（24-25 高三上·福建福州·期末）已知
两点的坐标分别是
，直线
相交于点
，且
它们的斜率之和是2，则点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）若动点
满足方程
，则动点P 的轨
迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广西南宁·开学考试）已知
，
，在x 轴上方的动点M 满足直线AM 的斜率
与直线BM 的斜率之积为2，则动点M 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·山东菏泽·期中）已知曲线
，从曲线上任意一点P 向y 轴作垂线，垂足为
，
6
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且
，则点N 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·黑龙江鸡西·期中）当点
在圆
上运动时，它与定点
相连，则线段PQ
的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·广西·模拟预测）已知
，
分别为
轴、
轴上的动点，若以线段
为直径的圆过点
，
则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）.
A．
B．
C．
D．
7．（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则
顶点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·贵州铜仁·阶段练习）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
是一个
动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹为椭圆
B．若
，则点
的轨迹为圆
C．若
，则点
的轨迹为双曲线
D．若
，则点
的轨迹为一条线段
9．（24-25 高三上·河北·期中）已知圆
，点
，点
在圆
上运动，线段
的中垂线与
交于点
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7
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10．（2024·辽宁·模拟预测）已知
是椭圆
的长轴上的两个顶点，点
是椭圆上异于长轴
顶点的任意一点，点
与点
关于
轴对称，则直线
与直线
的交点
所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线
B．抛物线
C．椭圆
D．两条互相垂直的直线
二、填空题
11．（24-25 高三上·山西晋城·期中）已知平面内点
，
，平面内满足
的动点
的轨迹方程为 ．（化简成最简形式）
12．（24-25 高三上·江苏南通·阶段练习）已知点
是椭圆的一个焦点，且椭圆经过
，
两点，则椭圆的另一个焦点
的轨迹方程为 ．
13．（24-25 高三上·河北承德·期中）过曲线C 上一点P 作圆
的两条切线，切点分别为A，B，若
，则曲线C 的方程为 ．
14．（24-25 高三上·黑龙江黑河·阶段练习）已知
分别是直线
和
上的两个动点，线段
的长为
，
是
的中点，则动点
的轨迹方程是 .
15．（24-25 高三上·山西·期末）在平面直角坐标系
中，已知点
，
在椭圆
：
上，且直线
，
的斜率之积为
，则
中点的轨迹方程为 .
16．（23-24 高三上·四川成都·期中）关于直线
，有下列说法:
①对任意
，直线
不过定点；
②平面内任给一点，总存在
，使得直线
经过该点；
③当
时，点
到直线
的距离最小值为
；
④对任意
，且有
，则直线
与
的交点轨迹为一直线.
其中正确的是 .
8
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