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第二章 函数
专题2.10 函数模型的应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.
2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.
3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
考点一 用函数图象刻画变化过程
考点二 已知函数模型的实际问题
考点三 构造函数模型的实际问题
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x 的增大逐渐表现
为与y 轴
平行
随x 的增大逐渐表现为与
x 轴
平行
随n 值的变化而各有
不同
2．常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b 为常数，k≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，a>0 且a≠1，b≠0)
幂函数模型
f(x)＝axα＋b(a，b，α 为常数，a≠0，α≠0)
第一部分 核心典例
1
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题型一 用函数图象刻画变化过程
1．为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含
药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为
（a 为常数）.
据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg 以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过
小时后，学生才能回到教室，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【详解】当
时，
，代入解析式得
，得
，
令
，解得
，即
，
，
故选；C
2．甲、乙二人从A 地沿同一方向去B 地,途中都使用两种不同的速度v1与v2（v1＜v2）,甲前一半的路程使
用速度v1,后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1,后一半的时间使用速度v2,关于甲、乙二
人从A 地到达B 地的路程与时间的函数图象及关系,有如图所示的四个不同的图示分析（其中横轴t 表示时
间,纵轴s 表示路程,C 是AB 的中点）,则其中可能正确的图示分析为
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可知,开始时,甲、乙速度均为v1,所以图象是重合的线段,由此排除C,D,再根据v1＜v2可知两
人的运动情况均是先慢后快,图象是折线且前“缓”后“陡”,故图示A 正确．
故选:A.
3．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（立方
米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设
，由题图可知，点
在函数图像上，所以
，解得
，故
．
故选：D．
题型二 已知函数模型的实际问题
4．北京时间2020 年11 月24 日4 时30 分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥
五号月球探测器送人地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度
和燃料的质量
、火箭（除燃料外）的质量
的函数关系是
．按照
这个规律，若火箭的最大速度可达到第三宇宙速度
，则火箭的燃料质量
与火箭质量
之比
（ ）（参考数据：
）
A．0.008350
B．1.008385
C．1.000035
D．0.008385
【答案】D
3
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【详解】由题意得
，解得
.
故选：D
5．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
℃，空气温度为
℃，则分钟后物体的温度
（单位：℃，满足：
)若常数
，空气温度为
℃，
某物体的温度从
℃下降到
℃，大约需要的时间为（ ）（参考数据：
）
A．39 分钟
B．41 分钟
C．43 分钟
D．45 分钟
【答案】B
【详解】由题知
，
，
，
，
，
，
，
.
故选：B.
6．某地有一片长期被污染水域，经过治理后生态环境得到恢复，在此水域中生活的鱼类数量可以采用阻
滞增长模型
进行预测，其中
为年后的鱼类数量，为自然增长率，
（单位：
万条）为饱和量，
（单位：万条）为初始值.已知2022 年底该水域的鱼类数量为20 万条，以此为初始值，
若自然增长率为
，饱和量为1600 万条，那么预计2032 年底该水域的鱼类数量约为（参考数据
）（ ）
A．68 万条
B．72 万条
C．77 万条
D．83 万条
【答案】C
【详解】根据题中所给函数模型，代入有关数据，以2022 年的数量为初始值，
所以有
，
所以预计2032 年底该水域的鱼类数量约为77 万条，
故选：C
题型三 构造函数模型的实际问题
7．关于数学建模的认识：①数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与
4
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方法构建模型解决问题的过程；②数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、
模型分析与检验和推广应用；③数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现
有方法求解的合理数学模型是解决实际问题的关键步骤之一；④按照数学建模的流程，模型求解之后，还
需要对模型解的正确性进行检验.以上说法正确的是（ ）
A．②
B．①②
C．①②③
D．①②③④
【答案】D
【详解】对于①，数学建模活动是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模
型解决问题的过程，正确，
对于②，数学建模过程主要包括：问题描述、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验和推广应
用，正确，
对于③，数学建模作为连接数学与实际问题的桥梁，建立既符合实际又能够利用现有方法求解的合理数学
模型是解决实际问题的关键步骤之一，正确，
对于④，按照数学建模的流程，模型求解之后，还需要对模型解的正确性进行检验，正确，
故选：D
8．如图（俯视图），学校决定投资12000 元在风雨操场建一长方体状体育器材仓库，利用围墙靠墙角（直
角）而建节省成本（长方体一条长和一条宽靠墙角而建），由于要求器材仓库高度恒定，不靠墙的长和宽
所在的面的建造材料造价每米100 元（不计高度，按长度计算），顶部材料每平方米造价300 元.在预算允
许的范围内，仓库占地面积最大能达到平方米（ ）
A．32
B．36
C．38
D．40
【答案】B
【详解】设仓库不靠墙的长为x 米，宽为y 米，
，
，
则
，整理得
，
，
，
∴由基本不等式可得
，
，
，解得：
，
故
，当且仅当
时等号成立，
所以仓库占地面积最大能达到
平方米.
故选：B
9．在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为
，
5
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个感染者在每个传染期会接触到
个新人，这
个人中有
个人接种过疫苗（
称为接种率），那么个
感染者传染人数为
.已知某种传染病在某地的基本传染数
，为了使个感染者传染人数不
超过，则该地疫苗的接种率至少为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】为了使得个感染者传染人数不超过，只需
，即
，
因为
，故
，可得
.
故选：D.
第二部分 课堂达标
一、单选题
1．下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】指数函数
时呈爆炸式增长，并且随
值的增大，增长速度越快，在一次函数，指数函
数，对数函数以及幂函数中，增长速度最快的是指数函数.
故选：A
2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20 分钟到一个离家900 米的报亭看20 分钟报纸后，用20 分钟返
回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间x 与距离y 之间的关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6
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【答案】A
【详解】小明父亲行走的前20 分钟路程一直在增加，到900 米之后停下看报纸，20 分钟至40 分钟路程不
增加，
40 分钟至60 分钟回家过程中，路程减少至0，因此A 中图象符合题意.
故选：A
3．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：
）可以表示为函数
，其中
表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度
时，
它的耗氧量为（ ）
A．30
B．60
C．40
D．80
【答案】C
【详解】因为
，将
代入，则
，
则
，所以
，
所以
，
故选：C
4．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长
，专家预测经过x 年可能增长到原
来的y 倍，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题设
，由
，结合指数函数的图象知：D 符合要求.
故选：D
5．设某批产品的产量为
（单位：万件），总成本
（单位：万元），销售单价
（单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总利润（总利润
销售收入-总成本）最大时的
7
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产量为（ ）
A．7 万件
B．8 万件
C．9 万件
D．10 万件
【答案】B
【详解】总利润
，当且仅当
，
即
时，
最大，故总利润最大时的产量为8 万件．
故选：B．
6．新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室内空气排向室外．假设
某房间的体积为
，初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为m．已知某款新风机工作时，单位时间内从
室外吸入的空气体积为v（
），室内空气中颗粒物的浓度与时刻t 的函数关系为
，其中常数
为过滤效率．若该款新风机的过滤效率为
，且
时室内空气中
颗粒物的浓度是
时的
倍，则v 的值约为（ ）
（参考数据：
，
）
A．1.3862
B．1.7917
C．2.1972
D．3.5834
【答案】B
【详解】由题意得
，
，
因为
，所以
，
整理得
，
令
，
因为
，所以
，
则
，解得
（舍去）或
，
故
，解得
.
故选：B
7．2023 年7 月12 日9 时0 分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆
满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进
剂应用方面取得重大突破.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重
8
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要.其公式为
，其中v 为单级火箭的最大理想速度（单位:
），q 为发动机的喷射速度（单
位:
），
，
分别为火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量（单位:kg），
称
为火箭的初末质量比．要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可
能的结构（各类动力、连接装置等）所制约，初末质量比不可能大于10．现有某型号单级火箭的发动机能
获得的最大喷射速度约为
，那么它能获得的最大理想速度约为（ ）（参考数
据:
，
）
A．4.44
B．7.2
C．9.2
D．8.8
【答案】C
【详解】由题意得
，初末质量比最大为10，
则该型号单级火箭能获得的最大理想速度
．
故选：C．
8．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中
污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为
，其中
为初始污染物的数量，k
为常数．若在某次过滤过程中，前2 个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6 小时共能过滤掉污染物
的（ ）
A．49%
B．51%
C．65.7%
D．72.9%
【答案】C
【详解】依题意，前2 个小时过滤后剩余污染物数量为
，于是
，解得
，
因此前6 小时过滤后剩余污染物数量为
，
所以前6 小时共能过滤掉污染物的
.
故选：C
二、多选题
9．设
，当
时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列结论
中，错误的是 （ ）
A．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
B．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
C．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
D．
的增长速度最快，
的增长速度最慢
9
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【答案】ACD
【详解】画出函数
的图象，如图所示，
结合图象，可得三个函数
中，
当
时，函数
增长速度最快，
增长速度最慢.
所以选项B 正确；选项ACD 不正确.
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若
，则：
B．若
，则
的最小值为2
C．若
都是正数，且
，则
的最小值是3
D．下列选项是四种生意预期的收益
关于时间
的函数，从足够长远的角度看，更有前途的生意是：
②；①
②
③
④
【答案】AC
【详解】对于A，因为
，所以
，所以
，A 正确；
对于B，
，
当且仅当
即
不成立，
所以
，无最小值，B 错误；
对于C，因为
，所以
，
10
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，
当且仅当
即
时取得等号，
所以
的最小值是3，C 正确；
对于D，指数函数
的底数大于1，
随着时间的推移增长速度越来越快，所以最有前途的生意是①，D 错误，
故选:AC.
三、填空题
11．用指数模型：
描述累计一个池塘甲种微生物的数量y 随时间t（单位：天）的变化规律，则该
池塘甲种微生物的数量增加到原来的3 倍需要的时间约为 天.（
，结果精确到0.1）.
【答案】2.5
【详解】由题意，池塘甲种微生物的数量增加到原来的3 倍，
则
，即
，
所以
，则有
，
所以
（天）.
故答案为：2.5
12．中美关系日趋严峻，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装
箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本
（单位：万元）与货物量
（单位：
吨）满足函数关系式
，单次装箱收入（单位：万元）与货物量
的函数关系式
，已知单次装箱的利润
，且当
时，
,则单次装箱利润最大值
为 ．
【答案】6
【详解】由题意可得单次装箱的利润
与货物量
的函数关系式为
，
因为当
时，
,即
，解得
，
11
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即
，
当
时，
为单调递减函数，
故当
时，
的最大值为
，
当
时，
，
当且仅当
，即
时，
取最大值，
综上所述，当每日产量为吨时，单次装箱利润取得最大值，
故答案为：
四、解答题
13．甲市民计划对长6 米，宽2 米的阳台进行改造，设计图如图所示，
区域用来打造休闲区域，
区域
用来种植辣椒，
区域用来种植青菜，
区域用来种植大蒜.已知
，
两区域是边长为
米的全等正方形，
打造体闲区域每平方米需花费30 元，打造辣椒区域每平方米需花费40 元，打造青菜区域每平方米需花费
20 元，打造大蒜区域每平方米需花费25 元.
(1)用
（单位：平方米）表示
区域的而积，求
关于
的函数解析式；
(2)当
为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？
【详解】（1）由题意得区域
为长宽分别为
的长方形，所以
，
.
（2）设阳台改造的总费用为
（单位：元），
则
，
，
当
时，
有最小值，
.
所以当
时，阳台改造的总费用最少，最少为324 元.
14．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000 元，每生产一台仪器需增加投入100 元，已知总收益函
数为
，其中x 是仪器的产量（单位：台）；
(1)将利润
表示为产量x 的函数（利润＝总收益﹣总成本）；
12
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(2)当产量x 为多少台时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
【详解】（1）当
时，
，
当
时，
，
所以
.
（2）当
时，
，
所以当
时，
取得最大值25000，
当
时，
，
综上，当产量x 为300 台时，公司获利润最大，最大利润为25000 元.
15．某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，
发现该商品每日的销售量
单位：千克与销售价格
单位：元千克近似满足关系式
，其中，
，
，
为常数，已知销售价格为
元千克时，每日可售出
千克，销售价格为元千克时，每日可售出
千克．
(1)求
的解析式；
(2)若该商品的成本为元千克，请你确定销售价格
的值，使得商家每日获利最大．
【详解】（1）由题意可知，当
时，
，
当
时，
，
即
，解得
，
所以
，
，
（2）设每日销售该商品获利
元，则
，
则
，
令
，得
或
舍去，
13
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所以
时，
，
为增函数，
时，
，
为减函数，
所以
时，
取得最大值，
，
所以销售价格定为
元千克，商家每日获利最大．
14
