专题2.3 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（举一反三
复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作
用和实际意义
(2)结合具体函数，了解奇偶性和对称性的概念和几何意义
(3)了解周期性的概念和几何意义
高考真题
考点
2024 年
2025 年
2026 年
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
统计
函数的性质：
单调性、奇偶
性、对称性与
周期性
新课标I 卷：第6 题，
5 分
新课标Ⅱ卷：第8 题，
5 分
全国一卷：第5 题，5
分
全国二卷：第10 题，6
分
天津卷：第3 题，5 分
全国一卷：第19 题，
17 分
全国二卷：第8 题，5
分
上海卷（秋考）：第5
题，4 分
上海卷（秋考）：第
21 题，18 分
北京卷：第5 题，5 分
命题规律
分析
1、函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性
函数的性质是历年高考的重点、热点内容，从近三年的高考情况来看，
函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调
性、奇偶性结合在一起进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思
想。题型主要以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中渗透考查；对于选择
题和填空题部分，重点考查函数的单调性问题，以及求函数的最值、解不等
式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，侧重考查函数新定义，试
题综合性强，考查难度较大。
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
知识点1
函数的单调性
1．求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2．函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)复合函数的单调性：函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循
“同增异减”的原则.
知识点2
函数的最值的求法
1．求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
2．复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
知识点3
函数的奇偶性及其应用
1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
2．函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数
或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
3．常见奇偶性函数模型
(1)奇函数：
①函数
1
( )
(
)
0
1
x
x
a
f x
m
x
a
(
)或函数
1
( )
(
)
1
x
x
a
f x
m a
．
②函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a
．
③函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
或函数
2
( )
log
log (1
)
a
a
x
m
m
f x
x
m
x
m
④函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
或函数
2
( )
log (
1
)
a
f x
x
x
．
(2)偶函数：
①函数
( )
(
)
x
x
f x
a
a
．
②函数
( )
log (
1)
2
mx
a
mx
f x
a
．
③函数
(|
|)
f
x
类型的一切函数．
④常数函数.
知识点4
函数的周期性与对称性的常用结论
1．函数的周期性常用结论(a 是不为0 的常数)
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=
，则T=2a；
(5)若f(x+a)=
，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2．对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线
对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点
对称.
3．函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数
( )
y
f x
有两条对称轴x
a
，
(
)
x
b a
b
，则函数
( )
f x 是周期函数，且
2(
)
T
b
a
；
(2)若函数
( )
y
f x
的图象有两个对称中心( , ),( , )(
)
a c
b c a
b
，则函数
( )
y
f x
是周期函数，且
2(
)
T
b
a
；
(3)若函数
( )
y
f x
有一条对称轴x
a
和一个对称中心( ,0)(
)
b
a
b
，则函数
( )
y
f x
是周期函数，且
4(
)
T
b
a
.
【题型1
确定函数的单调性（区间）】
【例1】（2026·山西·模拟预测）函数�= |�−3|的单调递减区间为（
）
A．−∞, + ∞
B．3, + ∞
C．−∞, 3
D．−∞, −3
【变式1-1】（25-26 高一上·青海·期中）函数�=
�2 −5�+ 4的单调递减区间是（
）
A．
5
2 , + ∞
B．−∞, 1
C．[4, + ∞)
D．−∞,
5
2
【变式1-2】（25-26 高一上·全国·课后作业）设��= �，��=−
1
�，则（
）
A．��+ ��在区间0, + ∞上单调递增
B．��+ ��在区间0, + ∞上单调递减
C．��−��在区间0, + ∞上单调递增
D．��−��在区间0, + ∞上单调递减
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式1-3】（25-26 高一上·广东深圳·期中）已知函数��= �−2 3 −�，则函数��的单调增区间是（
）
A．−∞, 2.5 和3, + ∞
B．−∞, 2.5
C．2,2.5 和3, + ∞
D．2,2.5
【题型2
根据函数的单调性求参数】
【例2】（2026·广东茂名·一模）已知函数��=
�2 −6�+ 5在区间�, + ∞上单调递增，则�的取值范围
为（
）
A．−∞, 1
B．−∞, 3
C．3, + ∞
D．5, + ∞
【变式2-1】（2026·山西·二模）若函数�(�) =
�+
�
�在(0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是（
）
A．(0,2]
B．(0,4]
C．[2, + ∞)
D．[4, + ∞)
【变式2-2】（2026·甘肃白银·三模）“�> 0”是“函数��= �+ �在0, + ∞上单调递增”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-3】（2026·安徽合肥·一模）若��=
��+ 1，�< 1
ln�+ 2�，�≥1
是R 上的增函数，则实数�的取值范围为（
）
A．1, + ∞
B．1, + ∞
C．2, + ∞
D．2, + ∞
【题型3
求函数的最值】
【例3】（2026·江西南昌·二模）已知函数�(�) =
�−�, �< 0
�+
4
�, �> 0 在定义域内有最小值，则实数�的取值范围是
（
）
A．−∞, 2
B．2, + ∞
C．−∞, 4
D．4, + ∞
【变式3-1】（2026·湖南·模拟预测）已知函数��，则“∀�∈0, + ∞，��≥2”是“��在0, + ∞上的最
小值为2”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式3-2】（25-26 高一上·辽宁锦州·期末）若函数��=
2�+�
�+1 在区间0,1 上的最大值为1，则实数�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．0 或1
【变式3-3】（25-26 高一上·河北张家口·期末）函数��=
�
�+2在区间2,4 上的最大值、最小值分别为（
）
A．
3
5，
1
2
B．
2
3，
1
2
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
C．
2
3，
1
3
D．
3
5，
1
3
【题型4
函数单调性的应用：比较大小、解不等式】
【例4】（25-26 高一上·四川眉山·阶段检测）已知函数��的定义域为R，且它的图象关于�=−2 对称，当
�1 < �2 <−2 时，
��1 −��2
�1−�2
> 0 恒成立，设�= �−3 ，�= �0 ，�= �2 ，则�，�，�的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式4-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在�上的函数��满足∀�1, �2 ∈�，�1 ≠�2，都有
��2 −��1
�2−�1
> 0
成立，则不等式�−1 ⋅��−�4 −�
< 0 的解集为（
）
A．1,2
B．−∞, 1
C．2, + ∞
D．−∞, 0 ∪1,2
【变式4-2】（25-26 高一·江苏·寒假作业）已知定义在R 上的函数��满足：�−�+ ��= 0，
�2 −�= ��，且��在−1,1 内单调递增，则（
）
A．�8 < �5.5 < �−3
B．�8 > �5.5 > �−3
C．�8 > �−3 > �5.5
D．�8 < �−3 < �5.5
【变式4-3】（2026·河北石家庄·三模）已知��是定义在�上的奇函数，当�1、�2 ∈0, + ∞且�1 ≠�2时，
都有
�2��1 −�1��2
�1�2 �1−�2
> 0 成立，�2025 = 2025，则不等式��−�> 0 的解集为（
）
A．−∞, −2025 ∪2025, + ∞
B．−2025, 0 ∪2025, + ∞
C．−2025, 2025
D．−
1
2025 ,
1
2025
【题型5
函数的奇偶性及应用】
【例5】（2026·山东潍坊·三模）已知�> 1，函数��= ��+�−3�2−�，�∈�为奇函数，则�2 =（
）
A．13
B．24
C．80
D．240
【变式5-1】（2026·四川成都·三模）已知奇函数��满足��+ 2 =−��，当�∈0,1 时，��= 4�+ �，
则�101.5 =（
）
A．0
B．1
C．3
D．5
【变式5-2】（2026·天津北辰·三模）函数�(�) =
�cos2�
ln(�2+1)的图象大致是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】（2026·安徽安庆·三模）定义在�上的偶函数��，当�≥0 时，��= e�，则满足�1 −2�< �3
的�的取值范围是（
）
A．−1,2
B．−2,1
C．−1,2
D．−2,1
【题型6
函数的周期性及应用】
【例6】（2026·福建南平·二模）已知��是定义在�上且周期为4 的奇函数，当−2 < �< 0 时，��= e�，
则�2 + �ln2 =（
）
A．-2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
【变式6-1】（2026·江西·模拟预测）已知�= ��是定义在�上周期为4 的奇函数，则�2 =（
）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式6-2】（2026·江苏南通·模拟预测）已知函数��的定义域为R，且��−2 是奇函数，�2�−1 是偶
函数，则�2026 =（
）
A．−2
B．0
C．1
D．2
【变式6-3】
（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在�上的函数��的图象关于�=
3
2对称，且��+ ��+ 3 =
�2031 ，若�7 = 1，则
�=1
2026 ��
σ
=（
）
A．0
B．1
C．-1
D．-2
【题型7
函数的对称性】
【例7】（2026·西藏日喀则·模拟预测）若曲线�= �−�log2 1 −
2
�关于直线�= �对称，则�−�=（
）
A．−2
B．2
C．0
D．1
【变式7-1】（2026·山东聊城·模拟预测）已知定义在�上的函数��，��的图象分别关于点1,2 ，1,3
对称，则下列点一定是函数ℎ�= ��+ ��的图象的对称中心是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．1,5
B．1,
5
2
C．1,1
D．2,5
【变式7-2】（2026·湖北宜昌·二模）已知函数��= (�−�)3ln
�+�
�的图象关于直线�= 1 对称，则�+ �=（
）
A．2
B．0
C．−1
D．−2
【变式7-3】（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数��, ��的定义域均为�，�4 −�+ ��= 2，��的
图象关于直线�= 4 对称，�4 = 1，且��= �4 + �+ 3，则�19 + �24 + �25 =（
）
A．−9
B．−4
C．1
D．4
【题型8
函数性质的综合应用】
【例8】
（2026·山东聊城·三模）已知函数��，��的定义域均为R，且��= ��−1 −1，��= �2 −�+
1，若��是偶函数，且�20 = 3，则�1 + �1 =（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式8-1】（2026·湖南·三模）已知��是定义在�上的奇函数，�2�+ 2 的图象关于�=−
1
2对称，
�−1 =−3，则�985 =（
）
A．0
B．−3
C．3
D．4
【变式8-2】
（2026·四川成都·三模）已知�= ��+ 1 是定义在R 上的周期为2 的偶函数，当�∈1,2 时，��=
log2�，设�= �
1
2 ，�= �
4
3 ，�= �−
5
4 ，则�, �, �的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【变式8-3】（2026·吉林·三模）已知函数��的定义域为�，�2�+ 1 为偶函数，�
1
2 −2�为奇函数，则（
）
A．��为奇函数
B．��为偶函数
C．��的最小正周期为4
D．��在1,2 上单调递增
【题型9
抽象函数的性质】
【例9】
（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数��满足：�2 �+ �2 �+ 2 = 4，且����+
1
2 > 0，若�2 < 0，
则�2025 =（
）
A．1
B．2
C．−
2
D．−1
【变式9-1】（2026·河南·模拟预测）已知��是定义在�上的奇函数，且对任意�, �，都有��+ ��= ��+
�+ �，则�=（
）
A．2
B．1
C．0
D．−1
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式9-2】
（2026·辽宁抚顺·一模）已知定义域为��≠0 的函数��满足��+ ���+ ��
= ����，
�1 = 2，且当�∈0, + ∞时，��> 0 恒成立，则下列结论正确的是（
）
A．�
2
3 = 6
B．�2�= 2��
C．��为奇函数
D．��在区间0, + ∞是单调递增函数
【变式9-3】（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数��的定义域为�，函数��= �1 + �−1 + �为偶函
数，函数��= �2 + 3�−1 为奇函数，则下列说法错误的是（
）
A．函数��的一个对称中心为2,1
B．�0 =−1
C．函数��为周期函数，且一个周期为4
D．�1 + �2 + �3 + �4 = 6
【题型10
函数新定义】
【例10】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在�上的函数��满足对任意�, �∈�均有��+ �= ���2 −
�+ �2 −���，则称��为“�−2 函数”.已知��为“�−2 函数”，且�2 = 1，�−1 < 0，则�0 +
�47 =（
）
A．−
2
2
B．0
C．
2
2
D．1
【变式10-1】（2026·上海闵行·一模）如果“若�，则�”和“若�，则�”中有且仅有一个真命题，称�与�具有“�－
关系”．已知函数�= �(�)的定义域为�，�: �= �(�)为偶函数，则�与下列选项中的�具有“�－关系”的为
（
）
A．�：对任意�∈�都有−�(�) ≥�(�)
B．�：对任意�∈�都有�( −�) ≥�(�)
C．�：对任意�∈�都有�( −�) = �(�)
D．�：对任意�∈�都有�( −�) = �(|�|)
【变式10-2】
（2026·上海·三模）设�, �∈R，对于定义域为D 的函数�= ��与�= ��，ℎ�= ���+ ���，
若函数�= ℎ�是区间D 上的单调函数，则称�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”．
(1)设�= 2, + ∞，��= �2，��= �，若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质�1, �”，求t 的取
值范围；
(2)设�> 0，�= 0,1 ，��= �，��=−
3
2�．若�= ��与�= ��在区间D 上满足“性质��, �”，求
�
�
的取值范围；
(3)设�= R，若对任意s、t，函数�= ��与�= ��在R 上都满足“性质��, �”．求证：存在不全为零的
实数A、B，使得函数�= ���+ ���为常值函数．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式10-3】（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：若定义域为R 的连续函数��满足对任意�1，�2 ∈R，当
�1 ＜�2 时，都有��1 ＜��2 ，则称函数��为“绝对值严格增函数”．
(1)若��为“绝对值严格增函数”，试判断��是否可能具有周期性；
(2)求证：��= ��为“绝对值严格增函数”是��= ln �−1 +
2��2−1
�−1
始终在ℎ�= 2�+ 3 图像上方的充
要条件；
(3)若“绝对值严格增函数”��的值域为�, 1 且在0, ﹢∞上为严格增函数，试讨论��的奇偶性．
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）已知定义在�上的函数�(�)满足：�(�+ 1)为奇函数，且�(0) = 2，则�(2) =（
）
A．-2
B．0
C．1
D．2
2．（25-26 高一上·重庆·期末）函数��= ��2 −�−1 �−2 在区间−∞, 2 上是增函数，则实数�的取值
范围是（
）
A．−
1
3 , 0
B．−
1
3 , + ∞
C．−∞, −
1
3
D．−
1
3 , 0
3．（2026·云南·模拟预测）函数��=
�
2�, �> 1
3 −2�, �≤1
是R 上的严格减函数，则实数�的取值范围是（
）
A．−∞, 0
B．−∞, 2
C．0,2
D．0, + ∞
4．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为�的函数�(�)满足�(�) = �(4 −�)，且对任意�1，�2 ∈( −∞, 2]，
当�1 ≠�2时，都有
��1 −��2
�1−�2
< 0，则（
）
A．�(2) < �( −3) < �(4)
B．�(2) < �(4) < �( −3)
C．�(4) < �(2) < �( −3)
D．�(4) < �( −3) < �(2)
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
5．（2026·北京西城·二模）已知函数��在�上单调递增，设��= �−�−��，则函数��是（
）
A．奇函数，且在�上单调递增
B．偶函数，且在�上单调递增
C．奇函数，且在�上单调递减
D．偶函数，且在�上单调递减
6．（2026·山西大同·三模）已知��是定义在�上的奇函数，函数��= �−1 ��的图象关于点1,0 对
称，且满足
�=1
26 ��
σ
= 2 ，则�−1 =（
）
A．−4
B．−2
C．2
D．4
7．
（25-26 高一上·广东深圳·开学考试）已知定义在R 上的函数��满足：�−�+ ��= 0，�2 −�= ��，
且��在−1,1 内单调递增，则（
）
A．�8 < �5.5 < �−3
B．�8 > �5.5 > �−3
C．�8 > �−3 > �5.5
D．�8 < �−3 < �5.5
8．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在�上的函数��和��满足��+ 1 −��+ 4 =−1，��+ �1 −
�= 3，若��是偶函数，且�0 = 3，则
�=1
18 ��+ 1
σ
=（
）
A．34
B．36
C．38
D．40
二、多选题
9．（2026·河南南阳·模拟预测）已知函数�(�)满足�(1) =−10，�(�)�(�) = 10�(�+ �) + 10�(�−�)，则
（
）
A．�(0) = 20
B．�(2) = 10
C．�(�)为偶函数
D．�(�) = �(�+ 3)
10．（2026·陕西西安·三模）已知定义在�上的奇函数��满足对任意实数�，都有��+ 2 = �−�，且当�∈
0,1 时，��= 2�，则（
）
A．��是周期为4 的周期函数
B．�1 + �2 + �3 + ⋯+ �2026 = 2
C．��在1,2 上单调递增
D．��的图象关于直线�= 1 对称
11．（2026·河南濮阳·一模）已知函数�(�)的定义域为�，且��+ ���−�= �2 �−�2 �, �(1) = 2，
�(3�−1)为偶函数，则（
）
A．�(�)为偶函数
B．�(0) = 0
C．�(2 + �) =−�(2 −�)
D．
�=1
2026 �(�)
σ
= 2
三、填空题
12．（2026·河南·模拟预测）已知函数��的定义域为�，若��+ 2 =−��，�3 =−3，则
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
�2025 =__________.
13．（2026·全国·模拟预测）已知函数�(�)是定义域为R 的奇函数.设�(�) = �(�−1) + 1，若�(�)在(0, + ∞)
的最小值为2，则�(�)在( −∞, 1)的最大值为__________.
14．（2026·青海·模拟预测）已知�(�)是定义在(�−5,4�)上的偶函数，对任意的�1，�2 ∈[0,4�)，当�1 ≠�2
时，
�2
2+1 ��1 −�1
2+1 ��2
�1−�2
> 0 恒成立．若�(1) = 4，则关于�的不等式�(�−�) > 2�2 −4�+ 4 的解集为
__________．
四、解答题
15．（2026·四川绵阳·一模）设函数��= ��+ �.
(1)若�= 2，写出函数��的单调区间；
(2)当�∈1,2 时，��≤2，求实数�的取值范围.
16．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数��是定义在�上的奇函数，且它的图象关于直线�= 1 对称．
(1)求证：��是周期为4 的周期函数；
(2)若��=
�(0 < �≤1)，求�∈−5, −4 时，函数��的解析式．
17．（25-26 高一上·上海·阶段检测）设�= ��是定义在R 上的奇函数，且对于任意的实数�，恒有��+ 3 =
−��．当�∈0,3 时，��= �2 −3�．
(1)求证：�= ��是周期函数，并指出其最小正周期；
(2)求方程��=−2 在区间−12,12 上解的个数．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
18．（25-26 高一上·天津·阶段检测）已知��=
2��
�2+4在定义域2�, �+ 3 上为奇函数，且�
1
2 =
2
17.
(1)求�，�的值；
(2)判断并证明函数��在定义域内的单调性；
(3)若��2 −3 + �1 −�< 0，求实数�的取值范围.
19．（25-26 高一下·上海闵行·期中）已知定义域为�的函数�= ��为偶函数，它的图像是连续的曲线．任
取�∈�，定义��= ���≥��
．
(1)已知��= �4，求�2；
(2)若任取�∈�，都有�+ 2π ∈��，求证：函数�= ��，�∈�为周期函数；
(3)若任取�∈�，只要存在�∈��、�∈��且�≠�，都有�, �⊆��．试判断函数�= ��在−∞, 0 上的
单调性（填写“增函数”“严格增函数”“减函数”“严格减函数”“既存在严格增区间也存在严格减区间”之一），
并证明你的结论．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
