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2.6 幂函数
思维导图
知识点总结
知识点一 幂函数的概念
一般地，函数y ＝
x α 叫做幂函数，其中x 是自变量，α 是常数．
知识点二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝
；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象
如图．
2．五个幂函数的性质
1
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y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{ x | x ≠
0}
值域
R
[0
，＋
∞
)
R
[0
，＋
∞
)
{ y | y ≠
0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
在[0，＋∞) 上
增，
在(－∞，0] 上减
增
增
在(0，＋∞)上
减，
在(－∞，0)上减
知识点三 一般幂函数的图象特征
1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)
．
2．当α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1
时，幂函数的图象下凸；当0<α<1 时，幂函数的图象上凸．
3．当α <0
时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．
4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x 对称．
5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂
指数按从小到大的顺序排列．
典型例题分析
考向一 幂函数的概念
例1 (1)下列函数：
①y＝x3；②y＝x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中幂
函数的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 幂函数有①⑥两个．
(2)已知
是幂函数，求m，n 的值．
考点 幂函数的概念
题点 由幂函数定义求参数值
解 由题意得
解得或
2
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所以m＝－3 或1，n＝.
反思感悟 判断函数为幂函数的方法
(1)自变量x 前的系数为1.
(2)底数为自变量x.
(3)指数为常数．
考向二 幂函数的图象及应用
例2 (1)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点P，试画出f(x)的图象并指出该函数的定义域与单
调区间．
解 因为f(x)＝xα的图象过点P，
所以f(2)＝，即2α＝，
得α＝－2，即f(x)＝x－2，
f(x)的图象如图所示，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，单调减区间为(0，＋∞)，单调增区间为(－∞，0)．
(2)下列关于函数y＝xα与y＝αx 的图象正确的是( )
答案 C
反思感悟 (1)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α 的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图
象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他
象限内的图象．
(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α∈R)，由于α 的取值不同，所以相应幂函数
的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．
3
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考向三 比较幂值的大小
例3 比较下列各组数的大小．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)
与
.
解 (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为
在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以
＝1，
又
在(0，＋∞)上是单调递增的，
所以
＝1，所以
.
反思感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主
要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0 和1 是常用的中
间量．
考向四 幂函数性质的应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y 轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a 的取值范围．
考点 幂函数的性质
题点 利用幂函数的性质解不等式
解 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，
解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y 轴对称，
所以3m－9 为偶数，故m＝1.
4
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则原不等式可化为
因为
在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，
所以a＋1>3－2a>0 或3－2a<a＋1<0 或a＋1<0<3－2a，
解得<a<或a<－1.
故a 的取值范围是.
通过具体事例抽象出幂函数的概念和性质，并应用单调性求解，所以，本典例体现了数学
中数学抽象与直观想象的核心素养．
基础题型训练
一、单选题
1．已知函数
是幂函数，则函数
(
，且
)的图象所过定点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】先由函数是幂函数，求出
，再由对数函数的特征，即可判断定点坐标.
【详解】因为函数
是幂函数，
所以
，因此
，
所以
，
由
可得
，
，
5
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所以函数
(
，且
)的图象所过定点
的坐标是
.
故选：A.
2．函数
的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
和
【答案】D
【分析】利用f（x）
与y
的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．
【详解】根据题意，函数f（x）
的图像是由y
的图像向下平移一个单位得到的，
∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y
的单调性相同，
而函数y
的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），
∴函数f（x）
的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；
故选D．
【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于
基础题．
3．已知幂函数y＝
(m∈Z)的图象与x 轴和y 轴没有交点，且关于y 轴对称，则m 等
于（ ）
A．1
B．0，2
C．－1，1，3
D．0，1，2
【答案】C
【分析】由幂函数的图象的性质得到指数小于零，且为偶数，解不等式得m 的可能值，然
后再进行检验.
【详解】∵幂函数y＝
(m∈Z)的图象与x 轴、y 轴没有交点，且关于y 轴对称，
∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数，
由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，
∴m＝－1，0，1，2，3.
当m＝－1 时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意；
6
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当m＝0 时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝1 时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意；
当m＝2 时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意；
当m＝3 时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意．
综上所述，m＝－1，1，3.
故选：C.
4．已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
若
，
，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的解析式，分
、
和
三种情况分类讨论，得
出函数的解析式，结合函数的图象，即可求解.
【详解】由题意，当
时，
，
所以当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上，函数
，
在
时的解析式等价于
.
根据奇函数的图像关于原点对称作出函数
在
上的大致图像如图所示，
观察图像可知，要使
，
，则需满足
，
7
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解得
.
故选：B.
5．下列比较大小中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的单调性进行判断即可.
【详解】解：对于A 选项，因为
在
上单调递增，所以
，故A 错
误，
对于B 选项，因为
在
上单调递减，所以
，故B 错误，
对于C 选项，
为奇函数，且在
上单调递增，所以
在
上单调递增，
因为
，又
，
所以
，故C 正确，
对于D 选项，
在
上是递增函数，
8
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又
，所以
，所以
，故D 错误.
故选：C.
6．“
”是“函数
在
上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得：
，然后根据充分、必要条件的判断即可求解.
【详解】由函数的性质可得：
，
因为由
一定能推出
，但由
不一定能推出
，
所以“
”是“函数
在
上单调递增”的充分不必要条件，
故选：
.
二、多选题
7．关于幂函数
是常数），结论正确的是（ ）
A．幂函数的图象都经过原点
B．幂函数图象都经过点
C．幂函数图象有可能关于
轴对称
D．幂函数图象不可能经过第四象限
【答案】BCD
【分析】根据幂函数的性质逐一判断.
【详解】对于A：幂函数
不经过原点
，A 错误
对于B：对于幂函数
是常数），当
时，
，经过点
，B 正确；
对于C：幂函数
的图像关于
轴对称，C 正确；
对于D：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.
9
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故选：BCD.
8．已知函数
的图象经过点
，则（ ）
A．
的图象经过点（2，4）
B．
的图象关于原点对称
C．
在
上单调递减
D．
在
内的值域为
【答案】BCD
【分析】由题意得
，结合幂函数与反比例函数的图象与性质即可求解
【详解】将点
代入
，可得
，则
，
f（x）的图象不经过点（2，4），A 错误；
根据反比例函数的图象与性质可得B，C，D 正确.
故选：BCD
三、填空题
9．已知幂函数
在
上单调递增，则m＝______．
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解.
【详解】由题意可得
，解得
故答案为：4.
10．已知
是奇函数，且当
时，
.若
，则
__________.
【答案】-3
【分析】当
时
，
代入条件即可得解.
【详解】因为
是奇函数，且当
时
，
．
10
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又因为
，
，
所以
，两边取以为底的对数得
，所以
，即
．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用
转化思想得出答案．
11．若函数
为奇函数，则
的取值范围为__________．
【答案】
【详解】分析：
中，
，由
在定义域内是一个偶函数，
，知
为奇函数，由此能求出
的取值范围.
详解：
中，
，
，
在定义域内是一个偶函数，
，
要使函数
为奇函数，则
为奇函数，
①当
时，
；
②当
时，
；
③当
时，
.
只有定义域为
的子区间，且定义域关于0 对称，
才是奇函数，
，即
，
.
11
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故答案为
.
点睛：本题考查函数的奇偶性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想
的灵活应用.
12．已知幂函数
为偶函数，且在区间
上是单调增函数，则
的值为_________．
【答案】
【详解】试题分析：因为幂函数
在区间
上是单调增函数，所以
，解得：
，因为
，所以
或
或．因为幂函数
为偶函数，所以
是偶数，当
时，
，不符合，舍去；
当
时，
；当
时，
，不符合，舍去．所以
，故
．
考点：1、幂函数的性质；2、函数值．
四、解答题
13．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（1）
，
；
（2）
，
.
【答案】（1）答案解详解；（2）答案见详解.
【分析】（1）利用幂函数的图象与性质即可求解.
（2）利用幂函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）图象如图（1），
仅在
上存在图象，
12
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在
上存在图象，且在第一象限内，两图象交于点
，
当
时，
的图象在
图象的上方，
当
时，
的图象在
图象的下方，
的图象在
图象的下方，
（2）图象如图（2），
仅图象在第一、三象限，
图象在第一、二象限内，且在第一象限内，两图象交于点
，
当
时，
的图象在
图象的下方，
当
时，
的图象在
图象的上方，
13
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14．已知函数
为幂函数，且为奇函数.
（1）求
的值；
（2）求函数
在
的值域.
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）首先根据幂函数的定义得到
，从而得到
或
，再根
据
为奇函数，即可得到答案.
（2）首先根据题意得到
，再利用换元法求值域即可.
【详解】（1）因为函数
为幂函数，
所以
，解得
或
.
14
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即
或
.
又因为函数
为奇函数，所以
，
.
（2）
，
设
，因为
，所以
，
.
所以
，
当
时，
，当
时，
，故值域为
.
15．已知幂函数
（m 为正整数）的图像关于y 轴对称，且在
上是严格
减函数，求满足
的实数a 的取值范围．
【答案】
【分析】根据函数为幂函数以及函数的性质，可确定参数m 的取值，结合幂函数
的
单调性，分类讨论求解不等式，可得答案.
【详解】因为函数
在
上是严格减函数，所以
，解得
．
由m 为正整数，则
或
,
又函数
的图像关于y 轴对称，得
是偶函数，
而当
时，
，
为奇函数，不符题意，
当
时，
，
为偶函数，于是
．
因为
为奇函数，在
与
上均为严格减函数，
所以
等价于
或
或
，
15
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解得
或
，即
.
16．已知函数
为奇函数，其中
求
的值；
求使不等式
成立的
的取值范围.
【答案】（1）
，
.（2）
【分析】（1）根据
，可化简为
，已知
，解
出
的值；（2）根据（1）的结果，解不等式
，求
的取值范围.
【详解】解：
因为
为奇函数，所以
对定义域内任意的
恒成立
即
化简得
故
，
，解得
，
.
由
知
由
，得
解得
综上，满足题意的
的取值范围是
【点睛】本题考查了对数型函数是奇函数求参数取值的问题，属于基础题型，当对数型函
数是奇函数时，经常利用
，计算求解.
16
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提升题型训练
一、单选题
1．幂函数f（x）的图象过点
，则f（x）的一个单调递减区间是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（﹣∞，0]
D．（﹣∞，0）
【答案】A
【分析】设
,根据
,解出
,根据幂函数的单调性可得答案.
【详解】设
,则
,即
,
所以
,所以
,
所以
的递减区间为
,
故选:A
【点睛】本题考查了求幂函数的解析式,考查了幂函数的单调性,属于基础题.
2．数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用
数学语言表达世界.“双11”就要到了，电商的优惠活动很多，某同学借助于已学数学知识对
“双11”相关优惠活动进行研究.已知2019 年“双11”期间某商品原价为
元，商家准备在
节前连续2 次对该商品进行提价且每次提价
，然后在“双11”活动期间连续2 次对该商
品进行降价且每次降价
.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格
元相比.
A．相等
B．略有提高
C．略有降低
D．无法确定
【答案】C
【分析】先阅读题意，再列出现价，再比较大小即可.
【详解】解：设现价为
，则
，则
，则该商品的价
格与原来价格相比略有降低，
故选C.
【点睛】本题考查了函数的实际应用，重点考查了阅读能力，属基础题.
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3．已知
是幂函数，且
、
，
都有
，
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用函数
是幂函数且在
为增函数可求得
的值，将所求不等式变形为
，由此可得出关于实数
的不等式，由此可解得实数
的取值范围.
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
或
.
又因为
、
，
都有
，
可设
，则
，所以，函数
是单调递增函数，
当
时，
，该函数在
上不单调，不合乎题意；
当
时，
，该函数在
上为增函数.
所以
等价于
，所以
，解得
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求解函数不等式，同时也考查了利用幂函数求参数，
考查计算能力，属于中等题.
4．已知幂函数
为偶函数，则关于函数
的下列四个结论中
正确的是（ ）
A．
的图象关于原点对称
B．
的值域为
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C．
在
上单调递减
D．
【答案】D
【分析】根据
为幂函数且为偶函数可得
，进而得
，根据奇偶性的判
断可判断A，根据单调性确定值域可判断B，C,代入计算
进而可判断D.
【详解】因为
是幂函数,所以
,解得
或
,
又
是偶函数,所以
,故
,
故
;
对于A;
,故
是偶函数，图象关于
轴对称，故A 错误，
对于B；
，由于
，所以
，故
，故值域为
，故B 错误,
对于C;
,由于
在
单调递增，故
在
单调递减，故
在
递增，故C 错误，
对于D；
从而
，故D 正确，
故选：D
5．定义在R 上的偶函数
在[0，＋∞)上是增函数，则方程
＝
的所有实
数根的和为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
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【分析】由函数
为R 上的偶函数，由偶函数的性质
有f(|x|)＝f(|2x
－3|)，再结合函数在[0，＋∞)上是增函数，列方程|x|＝|2x－3|求解即可.
【详解】解:由于函数f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(|2x－3|)，又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函
数，则|x|＝|2x－3|，整理得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，故x1＋x2＝4.
故选D.
【点睛】本题考查了偶函数的性质
及函数单调性，重点考查了函数的
性质，属基础题.
6．下列命题中，正确的有（ ）个
①对应：
是映射，也是函数；
②若函数
的定义域是（1,2），则函数
的定义域为
；
③幂函数
与
图像有且只有两个交点；
④当
时，方程
恒有两个实根.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可；
对于②，由抽象函数的定义求解即可；
对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；
对于④，将问题转化为
与
的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.
【详解】解：对于①，对应：
是映射，也是函数；符合映射，
函数的定义，故①对；
对于②，若函数
的定义域是（1,2），则
故函
20
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数
的定义域为
，故②对
对于③，幂函数
为偶函数，在
上单调递增，在
上单调递减且图
像过
，
为偶函数，在
上单调递减，在
上单调递增且图像过
所以两个图像有且只有两个交点；故③对；
于④，当
时，
单调递增，且函数值大于1，所以当
时，方程
只
有一个实根.故④错；
故选：C
二、多选题
21
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7．已知函数f（x）=xa 的图象经过点（
，2），则（ ）
A．f（x）的图象经过点（2，4）
B．f（x）的图象关于原点对称
C．f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．f（x）在（0，+∞）内的值域为
（0，+∞）
【答案】BD
【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．
【详解】将点
的坐标代入
，可得
，则
，
的图象不经
过点
，A 错误.
在
上单调递减，C 错误.根据反比例函数的图象与性质可得
B，D 正确.
故选：BD．
8．设函数
，则（ ）
A．存在实数
，使
的定义域为R
B．函数
一定有最小值
C．对任意的负实数
，
的值域为
D．若函数
在区间
上递增，则
【答案】ABD
【分析】对于A：当
时，
的定义域为R，所以A 正确；
对于B：
，所以
一定有最小值，所以B 正确；
对于C： 举例验证即可；
对于D：分两种情况，根据单调性求解，所以D 正确；
【详解】对于A：当
，即
时，若
，定义域为
，
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当
时，若
的定义域为R，则
，即
，即
，
，所以存在实数
，使
的定义域为R，所以A 正确；
对于B：
，所以
一定有最小值，所以B 正确；
对于C：当
时，
，所以
的值域为
，所
以C 不正确；
对于D：当
，即
时，若
，满足函数
在区间
上递增，
当
时，若函数
在区间
上递增，则
，解得
，
综上
，所以D 正确；
故选：ABD.
三、填空题
9．已知幂函数f(x)=xa 的图象过点(4,2),则a=_______
【答案】
【分析】直接把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.
【详解】由题得
所以
.
故答案为
【点睛】本题主要考查幂函数的解析式中参数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握
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水平.
10．实数
满足
，则实数
的取值集合为__________.
【答案】
【分析】首先分析出幂函数
的定义域和单调性，然后可解出不等式.
【详解】
，其定义域为
，且在定义域上单调递减，
因为
，所以
，解得
故答案为：
11．已知幂函数
的图像关于直线
对称，且在
上单调递
减，则关于
的不等式
的解集为______．
【答案】
【分析】由幂函数单调递减得
，结合图像关于
对称即为偶函数，
即可求得
，利用幂函数
的单调性即可解不等式.
【详解】由
在
上单调递减得，
，故
，
又
，故
或2，当
时，
，满足条件；当
时，
，
图像不关于直线
对称，故
.
因为函数
在
为减函数，故由不等式
得，
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或
或
.
解得
或
，综上：
.
故答案为：
12．设函数
，则使
成立的
的取值范围是___________.
【答案】
【详解】分析：首先判断函数
为偶函数，再判断
在
单调递
减，得到
在
单调递增，从而将原不等式转化为
求解即可.
详解：因为函数
，所以
时，
,可得
在
单调递减，
，所以函数
为偶函数，所以
在
单调递增，又因为
，
，
，
，
，故答案为
.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合
考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇
偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区
间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.
四、解答题
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13．已知幂函数的图像经过点
，求这个幂函数的解析式.
【答案】
.
【解析】设出幂函数的解析式，把点的坐标代入求出参数即可.
【详解】解：设幂函数
，因为图像经过点
，所以
，所以
，所以
.
【点睛】本题考查了已知幂函数图像过点求解析式问题，属于基础题.
14．已知幂函数
图像不经过第三象限；
(1)求
的值；
(2)求函数
的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义可知
，再结合其图像不经过第三象限即可求
出；
（2）由（2）可知，
，定义域为
，再换元
，根据二
次函数的性质即可求出．
(1)
根据题意得
，
，解得
或
，又因为
的图象 不经过第
三象限，所以
．
(2)
由题意得
，
.令
，
，
在
单调递增，所以
的值域为
.
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15．已知函数
.
（1）若
是实数集
上的奇函数，求
的值；
（2）用定义证明
在实数集
上的单调递增；
（3）若
的值域为
，且[
，求
的取值范围.
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
.
【分析】（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求实数m 的值；
（2）利用函数的单调性定义证明即可；
（3）由
可得
，即
，解之即可.
【详解】（1）∵f（x）是R 上的奇函数，
f
∴（x）+f（﹣x）=m﹣
+m﹣
=0，
即2m﹣（
+
）=0⇒2m
1=0
﹣
，
解得m=
.
（2）设 x1＜x2 且x1，x2 R
∈，
则f（x1）﹣f（x2）=m﹣
﹣（m﹣
）=
，
x1
∵
＜x2∴
，
，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在R 上单调递增.
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（3）由
，所以m
1
﹣＜f（x）＜m，f（x）值域为D，
且
，∴D=（m
1
﹣，m），
∵
∴
，
∴m 的取值范围是
．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了集合之间的包含关系，考查了推理能
力，属于中档题．
16．已知幂函数
满足
．
(1)求函数
的解析式；
(2)若函数
，是否存在实数
使得
的最小值为0？若存在，
求出
的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数
，是否存在实数
，使函数
在
上的值域为
？若存在，求出实数
的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在
使得
的最小值为0
(3)存在，
【分析】（1）由题意可得
，从而可求出
，再由
可知幂函数为
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增函数，从而可确定出函数解析式，
（2）由（1）可得
，令
，则
，
，然后分
，
和
三种情况求函数的最小值，
（3）
，由题意可得
，令
，
，则得
，求得
，
，从而可求出范围
(1)
∵
为幂函数，∴
，∴
或
．
当
时，
在
上单调递减，
故
不符合题意．
当
时，
在
上单调递增，
故
，符合题意．∴
．
(2)
，令
．∵
，∴
，
∴
，
．
当
时，
时，函数有最小值，∴
，
．
②当
时，
时，函数有最小值．∴
，
（舍）．
③当
时，
时，函数有最小值，
∴
，
（舍）．
∴综上
．
(3)
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，易知
在定义域上单调递减，
∴
，即
，
令
，
，
则
，
，
∴
，∴
，
∴
．
∵
，∴
，
∴
，∴
，
∴
．
∵
，∴
，∴
，
∴
．
∴
．
【点睛】关键点点睛：此题考查幂函数的解析式的求法，考查二次函数的性质的应用，考
查函数值域的求法，考查数学分类思想，第（3）问解题的关键是由题意得
，
换元令
，
，进一步转化为求解得
，从而可得
，再
利用二次函数的性质可求得结果，属于较难题
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