专题2.7 指数与指数函数（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)了解根式的概念及性质，了解分数指数幂的含义，掌握指数幂的运算性质
(2)熟练掌握指数函数的图象与性质
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
指数与指数
函数
天津卷：第2 题，5 分
天津卷：第5 题，5 分
北京卷：第4 题，4 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷（秋考）：第
13 题，4 分
天津卷：第6 题，5 分
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命题规律
分析
1、指数与指数函数
指数函数是常见的重要函数，指数与指数函数是高考常考的热点内容，
从近三年的高考情况来看，主要考查指数幂的运算、指数函数的性质，指数
函数较少单读考查，常结合幂函数与对数函数的图象与性质解决具体的问
题，包括：比较指对幂数的大小、解不等式等题型，主要以单选题的形式考
察，难度较易。
知识点1
指数运算的解题策略
1．根式与分数指数幂
(1)根式的定义：式子
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
(2)分数指数幂
①正数的正分数指数幂：
；
②正数的负分数指数幂：
；
规定：0 的正分数指数幂等于0；0 的负分数指数幂没有意义.
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2．指数幂运算的一般原则
(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底
数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序.
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
知识点2
指数函数的常见问题及解题思路
1．比较指数式的大小
比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“0 或1”等中间量比较大小.
2．指数方程(不等式)的求解思路
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化.
3．指数型函数的解题策略
涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单
调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【题型1
指数幂的运算】
【例1】（2026·北京大兴·三模）已知2�= 3, log25 = �，则2�−�的值为（
）
A．15
B．
5
3
C．
3
5
D．−2
【答案】C
【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【解答过程】因为log25 = �，所以2�= 5，
又2�= 3，所以2�−�=
2�
2�=
3
5.
故选：C.
【变式1-1】（2026·四川自贡·一模）已知�> �> 1，若log��+ log��=
5
2，��= ��，则��=（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用对数运算性质及指数运算求解.
【解答过程】由�> �> 1，得log��> log��= 1，由log��+ log��=
5
2，得
1
log��+ log��=
5
2，
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则log��= 2，即�= �2，又��= ��，因此(�2)�= ��2，即�2�= ��2，解得�2 = 2�, �= 2，
所以��= �3 = 8.
故选：A.
【变式1-2】（2026·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不
断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增
长符合模型：��= �0e��，其中�0为种群起始个体数量，�为增长系数，��为�时刻的种群个体数量.当�= 3
时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.若�4 = 150，则�10 =（
）
A．300
B．450
C．600
D．750
【答案】C
【解题思路】根据已知函数模型计算得出e3�= 2，再结合指数运算计算求解.
【解答过程】因为模型：��= �0e��，其中�0为种群起始个体数量，�为增长系数，
因为当�= 3 时，种群个体数量是起始个体数量的2 倍.
所以�3 = �0e3�=2�0，所以e3�=2，
若�4 = �0e4�= 150，则�10 = �0e10�= �0e4�×e6�= 150 × 22 = 600.
故选：C.
【变式1-3】（2026·浙江嘉兴·二模）若实数�, �满足e�e2�−1 = 1，则��的最大值为（
）
A．
1
16
B．
1
2
C．
1
4
D．
1
8
【答案】D
【解题思路】由指数运算可得�+ 2�= 1，再由二次函数可得��的最大值.
【解答过程】因为e�e2�−1 = 1，所以e�+2�−1 = e0，即�+ 2�= 1，
故��= �1 −2�=−2 �−
1
4
2
+
1
8 ≤
1
8，即��≤
1
8，当且仅当�=
1
4时等号成立，
故��的最大值为
1
8，
故选：D.
【题型2
指数函数的图象及应用】
【例2】（2026·安徽合肥·三模）当�< 0 时，函数��=
e�
�2−��的图象大致是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】求出函数��的定义域，结合�< �时，��的符号，结合排除法可得出合适的选项.
【解答过程】对于函数��，因为�< 0，由�2 −��≠0 可得�≠�且�≠0，
故函数��的定义域为−∞, �∪�, 0 ∪0, + ∞，排除AC，
当�< �时，��=
e�
��−�> 0，排除D.
故选：B.
【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数�=
�2
e|�|−2的图象大致为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解题思路】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【解答过程】∵�=
�2
e|�|−2，
∴e|�| −2 ≠0，则�≠± ln2，即定义域为{�|�≠± ln2}，
设��= �=
�2
e|�|−2，则�−�=
−�2
e|−�|−2 =
�2
e|�|−2 = ��，
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故��= �=
�2
e|�|−2为偶函数，图象关于�轴对称，排除BC，
当�> ln2 时，e|�| > 2，e|�| −2 > 0，
�2
e|�|−2 > 0，��> 0，排除A，
所以选项D 正确.
故选：D.
【变式2-2】（2026·河南·三模）函数��= 2−�−2�
�
�的大致图象是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解题思路】根据函数的定义域可判排除D，根据图象对称性排除C，根据�> 0 时函数值的符号排除A，
故可得正确的选项.
【解答过程】��的定义域为−∞, 0 ∪0, + ∞，排除D；
因为�−�= 2�−2−�
−�
−�= 2−�−2�⋅
�
�= ��，所以��为偶函数，
图象关于y 轴对称，排除C；
当�> 0 时，��= 2−�−2�
�
�= 2−�−2�< 0，排除A．
故选：B.
【变式2-3】（25-26 高一上·湖南常德·阶段检测）函数��=
2�−2−�
�2−1 的大致图象为（
）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【解题思路】利用函数的定义域，奇偶性，特殊值选出答案
【解答过程】由题意知，函数��的定义域为�∣�≠± 1 ，
因为�−�=
2−�−2�
�2−1 =−��，所以��为奇函数，排除A，
�2 =
5
4 > 0，排除B，�
1
2 =−
2 2
3 < 0，排除C，故D 正确.
故选：D.
【题型3
比较指数幂的大小】
【例3】（2026·重庆北碚·模拟预测）设�=
2
3 ，�=
1
2
2
3，�=
2
3
1
2，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】C
【解题思路】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解
【解答过程】构造指数函数��=
2
3
�
，底数0 <
2
3 < 1，
所以��单调递减，即
2
3
1
2 >
2
3
1
, �> �；
�3 =
2
3
3
=
8
27 , �3 =
1
2
2
3
3
=
1
4 ,
8
27 >
1
4 ⇒�> �，即�> �> �.
故选：C.
【变式3-1】（2026·天津河西·三模）设�= 2.10.7，�= 0.72.1，�= log2.10.7，则�，�，�的大小关系是（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】D
【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质，分别求得�> 1，0 < �< 1 和�< 0，即可求解.
【解答过程】由指数函数的性质，可得�= 2.10.7 > 2.10 = 1，即�> 1，
�= 0.72.1 < 0.70 = 1 且�= 0.72.1 > 0，即0 < �< 1，
又由对数函数的性质，可得�= log2.10.7 < log2.11 = 0，即�< 0，
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所以�< �< �.
故选：D.
【变式3-2】（2026·河南·模拟预测）已知�= log0.50.4，�= 0.50.4，�= log45，则（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】A
【解题思路】利用对数函数、指数函数的单调性，结合换底公式比较大小.
【解答过程】由对数换底公式得：�= log0.50.4 = log2−10.4 =−log20.4 = log22.5，
�= log45 =
log25
log24 =
1
2 log25 = log2 5，
因为�= log2�是增函数，且2.5 >
5 > 2，
所以：log 22.5 > log 2 5 > log 22 = 1，即�> �> 1，
指数函数�= 0. 5�是减函数，因此0 < 0. 50.4 < 0. 50 = 1，即�< 1，
综上可得�> �> �.
故选：A.
【变式3-3】（2026·天津东丽·一模）已知�= ( 0.25)0.6, �= log40.6, �=
1
4
−0.3
则a，b，c 的大小关系是（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】D
【解题思路】根据指数函数、对数函数单调性比较大小
【解答过程】�=
1
4
0.6
=
1
2
0.6
，因为�=
1
2
�
在�上单调递减，所以0 <
1
2
0.6
<
1
2
0
= 1，即0 < �< 1，
�= log4 �在0, + ∞上单调递增，所以log4 0.6 < log4 1 = 0，即�< 0，
�= 40.3，因为�= 4�在�上单调递增，所以40.3 > 40 = 1，所以�> 1，
所以�< �< �，
故选：D.
【题型4
解指数不等式】
【例4】（2026·重庆·模拟预测）已知集合�= {�|�≤3}，�= {�|2�> 1}，则�∩�=(
)
A．(1,3]
B．(0,3]
C．(0, + ∞)
D．( −∞, 3]
【答案】B
【解题思路】解不等式求得集合�，进而求得�∩�.
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【解答过程】由2�> 1 = 20，得�> 0，即�= {�|�> 0}.
已知�= {�|�≤3}，
因此，�∩�= {�|0 < �≤3} = (0,3].
故选：B.
【变式4-1】（2026·广东汕头·一模）“log3�> log3�”是“3�> 3�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解题思路】根据指、对数函数性质解不等式，结合充分、必要条件分析判断.
【解答过程】因为log3�> log3�，等价于�> �> 0，
且3�> 3�，等价于�> �，
又因为�> �> 0 可以推出�> �，�> �不能推出�> �> 0，
所以“log3�> log3�”是“3�> 3�”的充分不必要条件.
故选：A．
【变式4-2】（2026·陕西咸阳·二模）已知集合�= �∈��2 −2�−3 ≤0 ，�= �2�≤4 ，则�∩�=（
）
A．1,2
B．−1,0,1,2
C．0,1,2
D．0,1,2,3
【答案】C
【解题思路】根据一元二次不等式的解法及指数函数的性质求出集合�，�，再根据交集的概念求解即可.
【解答过程】�= �∈��2 −2�−3 ≤0
= �∈�−1 ≤�≤3
= 0,1,2,3 ，
�= �2�≤4
= ��≤2 ，
所以�∩�= 0,1,2 ，
故选：C．
【变式4-3】（2026·江西南昌·一模）已知��=
2−�, �≤−1
−�2 + 4�+ 1, �>−1 ，则不等式��< 1 的解集为（
）
A．−∞, −1
B．4, + ∞
C．−∞, 0 ∪4, + ∞
D．−1,0 ∪4, + ∞
【答案】D
【解题思路】结合指数函数的性质及一元二次不等式的解法分情况解不等式即可.
【解答过程】当�≤−1 时，原不等式可化为2−�< 1，解得�> 0，此时解集为∅.
当�>−1 时，原不等式可化为−�2 + 4�+ 1 < 1，即�2 −4�> 0，解得�< 0 或�> 4.
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又�>−1，所以−1 < �< 0 或�> 4.
综上，不等式��< 1 的解集为−1,0 ∪4, + ∞.
故选：D．
【题型5
指数（型）函数的单调性问题】
【例5】（2026·广东广州·模拟预测）若函数��=
1
3
��+�
在区间0,2 单调递增，则a 的取值范围是（
）
A．−∞, 4
B．4, + ∞
C．−4, + ∞
D．−∞, −4
【答案】D
【解题思路】根据指数复合函数的区间单调性，结合二次函数的性质有−
�
2 ≥2，即可得.
【解答过程】令�= �(�+ �)，又�=
1
3
�
在R 上单调递减，
所以要使��=
1
3
��+�
在区间0,2 单调递增，
则�= �(�+ �)在区间0,2 单调递减，
所以由�= �(�+ �) = (�+
�
2 )2 −
�2
4 的开口向上且对称轴为�=−
�
2得−
�
2 ≥2，解得�≤−4.
故选：D.
【变式5-1】（2026·河南南阳·模拟预测）函数�(�) = 2 �2−4�−21的单调递减区间为（
）
A．( −∞, 2]
B．( −∞, −3]
C．[2, + ∞)
D．[7, + ∞)
【答案】B
【解题思路】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可.
【解答过程】对于函数�(�) = 2 �2−4�−21，令�2 −4�−21 ≥0，即�−7
�+3 ≥0，解得�≥7 或�≤−3，
所以函数�(�) = 2 �2−4�−21的定义域为−∞, −3 ∪7, + ∞，
又函数�= �2 −4�−21 在( −∞, −3]上单调递减，在7, + ∞上单调递增，
�=
�在定义域上单调递增，
所以函数�=
�2 −4�−21在( −∞, −3]上单调递减，在7, + ∞上单调递增，
又�= 2�在定义域上单调递增，
所以�(�) = 2 �2−4�−21在( −∞, −3]上单调递减，在7, + ∞上单调递增，
即函数�(�) = 2 �2−4�−21的单调递减区间为( −∞, −3].
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故选：B.
【变式5-2】（2026·江西·二模）若函数��= 2025∣�−�∣在区间[2026, + ∞)上单调递增，则a 的取值范围为
（
）
A．[2026, + ∞)
B．(0,2026]
C．( −∞, 2026)
D．( −∞, 2026]
【答案】D
【解题思路】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【解答过程】根据函数��= 2025∣�−�∣在区间[2026, + ∞)上单调递增，且�= 2025�单调递增，
可得�= |�−�|在区间[2026, + ∞)上单调递增，所以�≤2026.
故选:D.
【变式5-3】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数��= 2�2+��−3在1, + ∞上单调，则�的取值范围是（
）
A．−2, + ∞
B．−1, + ∞
C．−∞, −2
D．−∞, −1
【答案】A
【解题思路】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可.
【解答过程】因为函数�= 2�在R 上为增函数，�= �2 + ��−3 在−∞, −
�
2 上为减函数，在−
�
2 , + ∞上为
增函数，
且函数��= 2�2+��−3在1, + ∞上单调，
根据复合函数的单调性，可得−
�
2 ≤1，即�≥−2，
所以�的取值范围是−2, + ∞.
故选：A.
【题型6
指数（型）函数的最值（值域）问题】
【例6】（2026·云南昆明·二模）已知函数��= 2 �+ �, �∈−1,2 ，则��的最大值与最小值之差为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【解题思路】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解.
【解答过程】函数��= 2 �+ �=
2�+ �, �∈0,2
2−�−�, �∈[ −1,0) ，
因为�∈0,2 , ��= 2�+ �单调递增，所以1 ≤��≤6；
因为�∈[ −1,0), ��= 2−�−�单调递减，所以1 < ��≤3；
所以当�= 0 时，��min = 1；当�= 2 时，��max = 6；
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则��的最大值与最小值之差为6 −1 = 5.
故选：D.
【变式6-1】（2026·海南·一模）若函数��= �
�
2 −1(�> 0 且�≠1)在区间0,4 上的值域为0,4 ，则�=（
）
A．3
B．5
C．3
D．5
【答案】B
【解题思路】利用指数函数性质计算即可得.
【解答过程】由指数函数的性质知��必是单调函数，
又�0 = �0 −1 = 1 −1 = 0，
因为值域为[0,4]，所以函数�(�)在[0,4]上单调递增，故�(4) = 4，
即�2 −1 = 4，解得�=±
5，又�> 0，故�=
5.
故选：B.
【变式6-2】（2026·湖南岳阳·模拟预测）若函数�= 3�+ �在0,2 上的最小值与最大值的和等于24，则�=
（
）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解题思路】根据指数函数的单调性求出最值即可得解.
【解答过程】因为函数�= 3�+ �在[0,2]上是增函数，
所以�min = 30 + �= 1 + �, �max = 32 + �= 9 + �，
则1 + �+ 9 + �= 24，所以�= 7.
故选：C.
【变式6-3】（2026·安徽六安·模拟预测）若�(�)是定义在R 上的偶函数，当�≤0 时，�(�) = |2�−4|，则
函数�(�)在[ −1,1]上的值域为（
）
A．[3,
7
2 ]
B．[ −3,0] ∪[3, + ∞)
C．[ −2,
7
2 ]
D．[ −3,2]
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，结合指数函数单调性求出�(�)在[ −1,0]上的值域，再利用偶函数的性质求出指
定区间上的值域.
【解答过程】当�≤0 时，0 < 2�≤1，�(�) = 4 −2�，函数�(�)在( −∞, 0]上单调递减，
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当−1 ≤�≤0 时，�(�) ∈[3,
7
2 ]，又函数�(�)是R 上的偶函数，
则当0 ≤�≤1 时，�(�) ∈[3,
7
2 ]，所以函数�(�)在[ −1,1]上的值域为[3,
7
2 ].
故选：A.
一、单选题
1．（2026·重庆·模拟预测）已知集合�= �∈��2 −�−12 < 0 , �= �2�< 8 ，则�∩�=（
）
A．−2, −1, 0, 1, 2
B．0, 1, 2
C．1, 2
D．−3, 3
【答案】B
【解题思路】解不等式求得集合�, �，进而求得�∩�.
【解答过程】�2 −�−12 = �−4
�+ 3 < 0, −3 < �< 4，则�= 0,1,2,3 .
2�< 8 = 23, �< 3，所以�= �|�< 3 ，
所以�∩�=
0, 1, 2 .
故选：B.
2．（2026·山西忻州·模拟预测）设�= 40.1，�= 20.3，�= log43，则a，b，c 的大小关系为（）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】B
【解题思路】根据�= 40.1 = 20.2，利用指数函数�= 2�的单调性比较a，b，再与“1”比较即可.
【解答过程】�= 40.1 = 20.2，�= 20.3．
因为指数函数�= 2�单调递增，且0.3 > 0.2，
所以�> �．
又�= 20.2 > 1，�= log43 < log44 = 1．
所以�> �> �．
故选：B.
3．（2026·安徽合肥·模拟预测）函数�=
4
3
�
,
−1 ≤�≤0
�
4
3,
0 < �≤1
的值域为（
）
A．(0,1]
B．
3
4 , 1
C．(
3
4 , 1]
D．0,1
【答案】A
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【解题思路】分别求出�=
4
3
�
在−1,0 上的值域以及�= �
4
3在0,1 上的值域可得答案.
【解答过程】因�=
4
3
�
在−1,0 上单调递增，则�∈−1,0 时，
4
3
�
∈
3
4 , 1 ，
又�= �
4
3在0,1 上单调递增，则�∈(0,1]时，�
4
3 ∈(0,1]，
则�=
4
3
�
,
−1 ≤�≤0
�
4
3,
0 < �≤1
的值域为(0,1] ∪
3
4 , 1 = (0,1]，故A 正确．
故选：A.
4．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数�, �, �满足�= 0.5�，�= 0.5
1
�2，�= ln�，则�, �, �的大小关系为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】D
【解题思路】先构造函数确定�的取值范围，再利用指数函数单调性比较�与�的大小，结合对数函数性质判
断�的符号，最终得到三者大小关系．
【解答过程】令��= �−0.5�，因为�= �是�上的增函数，�= 0.5�是R 上的减函数，
所以��= �−0.5�为�上的单调递增函数，
计算得�0.5 = 0.5 −0.50.5 = 0.5 −
2
2 < 0，�1 = 1 −0.51 = 0.5 > 0，
由零点存在性定理可得方程�= 0.5�得解�∈0.5,1 ，
由�∈0.5,1 ，得�2 ∈0.25,1 ，所以
1
�2 > 1 > �，
又�= 0.5�为�上的单调递减函数，�= ln�在0, + ∞上单调递增，
所以�= 0.5
1
�2 < 0.5�= �，�= ln�< ln1 = 0，
所以�< �< �．
故选：D.
5．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数��= 3��2−2�在−1, + ∞上单调递减，则实数�的取值范围为（
）
A．−1, + ∞
B．−∞, −1
C．−1,0
D．−1,0
【答案】C
【解题思路】利用复合函数的单调性求解即可.
【解答过程】因为�= 3�为R 上的增函数，
所以由复合函数的单调性知�= ��2 −2�在−1, + ∞上单调递减，
当�= 0 时，�=−2�在−1, + ∞上单调递减，满足题意；
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当�≠0 时，�= ��2 −2�在−1, + ∞上单调递减，则
�< 0
1
�≤−1 ，
解得−1 ≤�< 0.
综上，−1 ≤�≤0.
故选：C.
6．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是�0，�min
后的温度是�，则
�−��
�0−��= 2−�
ℎ，其中��表示环境温度，ℎ称为半衰期．现有一杯88∘C 的咖啡放在24∘C 的房间
中，如果咖啡降温到40∘C 大约需要20min，那么降温到30∘C 大约需要（
）（参考数据；lg2 ≈0.301, lg3 ≈
0.477）
A．33min
B．34min
C．35min
D．36min
【答案】B
【解题思路】先求出半衰期ℎ，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可.
【解答过程】由题意可得
40−24
88−24 = 2−20
ℎ=
1
2
20
ℎ，即
16
64 =
1
4 =
1
2
2
=
1
2
20
ℎ，解得ℎ= 10.
设降温到30∘C 大约需要�min，则
30−24
88−24 =
1
2
�
10，即
6
64 =
3
32 =
1
2
�
10，
所以
�
10 = log1
2
3
32 =
lg 3
32
lg1
2
=
lg3−5lg2
−lg2
= 5 −
lg3
lg2 ≈5 −
0.477
0.301 ≈5 −1.585 ≈3.415，
解得�≈34.15，所以大约需要34min.
故选：B.
7．（2026·天津·模拟预测）已知�，�> 0，则“�0.5 < �0.5 < 1”是“0.5�< 0.5�”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立.
【解答过程】由题意得�，�> 0，�0.5 < �0.5 < 1 = 10.5，
而�= �0.5在0, + ∞上单调递增，故�< �< 1，
而�= 0.5�在0, + ∞上单调递减，故0.5�< 0.5�，充分性成立，
0.5�< 0.5�，不妨设�= 2, �= 1，满足要求，
但此时1 = �< �，不满足�0.5 < �0.5 < 1，必要性不成立，
故“�0.5 < �0.5 < 1”是“0.5�< 0.5�”的充分不必要条件.
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故选：A.
8．（2026·河南驻马店·模拟预测）关于函数��=
2�
2�+1，有如下描述：①��的定义域为�；②��的值域
为0,1 ；③��是减函数；④��的图象关于点0,
1
2 对称．其中描述正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据指数函数的性质，及函数的对称性逐一判断即可．
【解答过程】由��=
2�
2�+1 = 1 −
1
2�+1，
对于①，由2�∈0, + ∞，则分母2�+ 1 > 1 对全体实数都成立，所以��的定义域为�，故①正确；
对于②，由2�∈0, + ∞，则2�+ 1 ∈1, + ∞，则
1
2�+1 ∈0,1 ，所以��的值域为0,1 ，故②正确；
对于③，由�= 2�是增函数，则�=
1
2�+1是减函数，所以��= 1 −
1
2�+1是增函数，故③错误；
对于④，由�−�=
2−�
2−�+1 =
1
1+2�，则��+ �−�= 1，所以��的图象关于点0,
1
2 对称，故④正确．
综上描述正确的个数是3．
故选：C.
二、多选题
9．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）以下运算正确的是（
）
A．
5
−0.1 5 = 0.1
B．lg2 2 + lg2lg25 + lg5 2 = 1
C．
16
81
−3
4 =
8
27
D．e2+ln2 = 2e2
【答案】BD
【解题思路】根据指数幂运算和对数的计算公式逐一判断即可.
【解答过程】
5
−0.1 5 =−0.1，A 错误；
lg2 2 + lg2lg25 + lg5 2 = lg2 2 + 2lg2lg5 + lg5 2 = lg2 + lg5 2 = 1，B 正确；
16
81
−3
4 =
2
3
4 −3
4 =
2
3
−3
=
27
8 ，C 错误；
e2+ln2 = e2·eln2 = 2e2，D 正确.
故选：BD.
10．（25-26 高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知函数��= ��(�> 0，且�≠1)，若�3 = 8，则下列说法正
确的有（
）
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A．�−1 =
1
2
B．�5 = 16
C．��是增函数
D．不等式��2 + 3�+ 1 < 32 的解集是−4,1
【答案】ACD
【解题思路】根据题意，由�3 = 8，得�= 2，所以得函数��= 2�，即可判断A，B，由指数函数的性质
可判断C，由函数的单调性将不等式化为�2 + 3�+ 1 < 5，解该不等式即可判断D.
【解答过程】依题意，�3 = �3 = 8，解得�= 2，
所以��= 2�，
所以�−1 =
1
2，�5 = 25 = 32，故A 正确，B 错误，
因为��= 2�是增函数，故C 正确，
又��2 + 3�+ 1 < 32 = �5 ，
所以�2 + 3�+ 1 < 5，即�2 + 3�−4 = �+ 4
�−1 < 0,，
解得−4 < �< 1，故D 正确，
故选：ACD.
11．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数��=
e�−1
e�+1，则下列结论正确的是（
）
A．函数��的定义域为R
B．函数��的值域为−1,1
C．��+ �−�= 0
D．函数��为减函数
【答案】ABC
【解题思路】根据指数幂运算性质，结合指数函数的单调性逐一判断即可.
【解答过程】A：因为e�> 0，所以e�+ 1 ≠0，因此函数��的定义域为R，所以本选项说法正确；
B：��=
e�−1
e�+1 =
e�+1−2
e�+1 = 1 −
2
e�+1，
因为e�> 0，所以e�+ 1 > 1 ⇒0 <
1
e�+1 < 1 ⇒−2 <
−2
e�+1 < 0 ⇒−1 < 1 −
2
e�+1 < 1，
因此函数��的值域为−1,1 ，所以本选项说法正确；
C：因为��+ �−�=
e�−1
e�+1 +
e−�−1
e−�+1 =
e�−1
e�+1 +
1−e�
1+e�= 0，
所以本选项说法正确；
D：因为�0 = 0, �1 =
e−1
e+1 > 0，
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所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确，
故选：ABC.
三、填空题
12．（2026·上海闵行·一模）已知�> 0，�> 0，化简：
3 �
3 �13 ⋅�2−3�
2+ 3
⋅�2−3 =__________.
【答案】�
【解题思路】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可.
【解答过程】∵�> 0, �> 0，
∴
3 �
3 �13 ⋅�2−3�
2+ 3
⋅�2−3 =
�
1
3
�
13
3
·�2−3
2+ 3 ·�2−3 + 2+ 3 = �
1
3−13
3 ��4 = �.
故答案为：�.
13．（2026·云南昭通·模拟预测）已知函数�= ��−2025 + 2025（�> 0，且�≠1）的图象恒过定点P，则点
P 的坐标为__________．
【答案】(2025,2026)
【解题思路】根据指数函数性质求解即可.
【解答过程】令�−2025 = 0，解得�= 2025，此时�= �0 + 2025 = 2026，
所以函数�= ��−2025 + 2025（�> 0，且�≠1）的图象恒过定点�(2025,2026)．
故答案为：(2025,2026).
14．（2026·吉林长春·二模）已知函数��= 2�−2−�，若�2�+ �−4 > 0，则�的取值范围是___________．
【答案】2, + ∞
【解题思路】先判断函数��的奇偶性，再判断函数��的单调性，利用函数性质求�的范围即可.
【解答过程】已知函数��= 2�−2−�，则�−�= 2−�−2�=−2�−2−�=−��，
∴��是奇函数，
∵�= 2�是增函数，�=−2−�=−
1
2
�
是增函数，
∴��= 2�−2−�是增函数，
因为�2�+ �−4 > 0，
∴�2�+ �−4 = �2�−�4 > 0，即�2�> �4 ，
∵��是单调递增函数，
∴2�> 4 = 22，解得�> 2．
所以�的取值范围是2, + ∞.
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故答案为：2, + ∞.
四、解答题
15．（2026·四川眉山·一模）计算下列各式的值：
(1) log105 2 + 2log102 −log102 2；
(2) 2
1
4
1
2 −−7.8 0 −3
3
8
2
3+
2
3
−2
.
【答案】(1)1
(2)
1
2
【解题思路】（1）利用对数的运算法则计算求解；
（2）运用指数的运算法则计算每一项，再合并计算求解．
【解答过程】（1）原式= log105 2 + 2 −log102 log102
= log105 2 + 1 + log105 log102
= log105 2 + log102 ⋅log105 + log102
= log105 + log102 ⋅log105 + log102
= log105 + log102 = 1．
（2）原式=
3
2
2×1
2 −1 −
3
2
3×2
3 +
3
2
2
=
3
2 −1 −
9
4 +
9
4 =
1
2.
16．（2026·上海黄浦·二模）已知��= 2�．
(1)若��−�2 −�= 3，求�的值；
(2)是否存在实数�，使函数�= ��+ ��−�是奇函数？请说明理由．
【答案】(1)�= 2；
(2)存在实数�=−1，使函数�= ��+ ��−�是奇函数.
【解题思路】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解.
（2）利用奇函数在�= 0 处的特殊性质求出�的可能值，再将�的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可.
【解答过程】（1）由题意，��−�2 −�= 2�−22−�= 2�−
4
2�= 3，
令�= 2�, �> 0，则有�−
4
�= 3，即�2 −3�−4 = 0，得�−4
�+ 1 = 0，解得�= 4 或�=−1（舍去），
所以�= 2�= 4，则�= 2.
（2）假设存在实数�，使函数�= ��+ ��−�= 2�+ �⋅2−�是奇函数，
则�= 0 时，�= 1 + �= 0，解得�=−1.
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当�=−1 时，函数�= ��+ ��−�= 2�−2−�，定义域为�.
设函数��= �= 2�−2−�, �∈�.
对任意�∈�，�−�= 2−�−2�=−��，故函数��= 2�−2−�为奇函数.
综上，存在实数�=−1，使函数�= ��+ ��−�是奇函数.
17．（25-26 高一下·上海·期中）已知函数�= 1 −
�
5�+1 ，�∈R 是奇函数，�为实数．
(1)求�的值；
(2)当�∈[ −1,2)时，求函数�= 1 −
�
5�+1的值域．
【答案】(1)2
(2) −
2
3 ,
12
13
【解题思路】（1）由函数��是奇函数，有�0 = 0，解得�的值并检验即可；
（2）利用单调性求函数在区间内的值域．
【解答过程】（1）函数��= 1 −
�
5�+1 �∈R 是奇函数，则�0 = 1 −
�
50+1 = 0，解得�= 2，
当�= 2 时，��= 1 −
2
5�+1 =
5�−1
5�+1 ，�−�=
5−�−1
5−�+1 =
1−5�
1+5�=−��，
��为奇函数，所以�的值为2．
（2）由（1）知函数��= 1 −
2
5�+1，
由�= 5�是�上的增函数，可得�=
2
5�+1为�上的减函数，
所以��= 1 −
2
5�+1在[ −1,2)上是增函数，
可得�−1 ≤��< �2 ，
即−
2
3 ≤��<
12
13，故函数��的值域为−
2
3 ,
12
13 ．
18．（2026·上海黄浦·三模）已知函数��= �⋅2�+ 2−�．
(1)判断函数��= �⋅2�+ 2−�的奇偶性并说明理由；
(2)当�= 1 时，若存在�∈0, + ∞，使得��= �⋅2�+ 1 成立，求实数t 的取值范围.
【答案】(1)当�= 1 时，��为偶函数；
当�=−1 时，��为奇函数；
当�≠± 1 时，��既不是奇函数也不是偶函数.
(2)
3
4 , 1
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【解题思路】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解；
（2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解.
【解答过程】（1）��= �⋅2�+ 2−�，所以�−�= �⋅2−�+ 2�，
当�= 1 时，�−�= 2−�+ 2�= ��，��为偶函数，
当�=−1 时，�−�=−2−�+ 2�=−��，��为奇函数，
当�≠± 1 时，�−�≠± ��，所以��既不是奇函数也不是偶函数.
（2）当�= 1 时，��= 2�+ 2−�，存在�∈0, + ∞，使得2�+ 2−�= �⋅2�+ 1 成立，
化简可得�−1 =
1−2�
2�2 =
1
2�
2
−
1
2�，即�=
1
2�
2
−
1
2�+ 1 在0, + ∞上有解，
令�=
1
2�，因为�∈0, + ∞，所以�∈0,1 ，即�= �2 −�+ 1 在�∈0,1 上有解，
故实数�的取值范围为函数�= �2 −�+ 1,0 < �< 1 的值域，
�= �2 −�+ 1 = �−
1
2
2
+
3
4，因为�∈0,1 ，所以�∈
3
4 , 1 ，
即实数�的取值范围为
3
4 , 1 .
19．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知函数��= �⋅��（其中�，�为常数，且�> 0，�≠1）的图象经过
点�1,6 ，�3,24 ．
(1)求��的解析式；
(2)若不等式
1
�
�
+
1
�
�
−�≥0 在−∞, 1 上恒成立，求实数�的取值范围．
【答案】(1)��= 3 ⋅2�
(2) −∞,
5
6 ．
【解题思路】（1）根据题意，列出关于�, �的方程组，求得�= 2, �= 3，即可求解；
（2）根据题意，转化为�≤
1
2
�
+
1
3
�
在−∞, 1 上恒成立，结合�=
1
2
�
与�=
1
3
�
在−∞, 1 的单调性，求
得其有最小值，即可得到答案.
【解答过程】（1）解：因为函数��= �⋅��的图象过点�1,6 和�3,24 ，
可得
�⋅�= 6
�⋅�3 = 24 ，所以�2 = 4，
又因为�> 0，所以�= 2，则�= 3，所以��= 3 ⋅2�．
（2）解：由（1）知：�= 2，�= 3，
因为不等式
1
�
�
+
1
�
�
−�≥0 在−∞, 1 上恒成立，
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即当�∈−∞, 1 时，
1
2
�
+
1
3
�
−�≥0 恒成立，
即�≤
1
2
�
+
1
3
�
在−∞, 1 上恒成立，
又因为�=
1
2
�
与�=
1
3
�
在−∞, 1 上均单调递减，
所以�=
1
2
�
+
1
3
�
在−∞, 1 上也单调递减，
所以当�= 1 时，�=
1
2
�
+
1
3
�
有最小值
5
6，所以�≤
5
6，
所以实数�的取值范围是−∞,
5
6 ．
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