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第 47 讲 二项展开式问题
1.二项式定理
(1)二项式定理： ；
(2)二项展开式的通项公式： ，它表示第 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 .
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 .
(2)增减性：
当 时， 随 的增加而增大；
当 时， 随 的增加而减小.
(3)最大值：
当n为偶数时，中间的一项 取得最大值；
当n为奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值
3.三项（及以上）展开式问题
基本题型：求 的展开式中含有 的项.
解决思路1：利用完全平方公式将三项式转化为二项式，从而用二项式定理解决即可.
解决思路2：从 个 中取出 个 ，再从剩下的 个 中取出 个 ，剩下的 个
中全部取出 ，从而含有 的项为： .
4.常用结论
(1) .(2) .
考点一 二项展开式问题
考点二 三项（及以上）展开式问题
考点三 利用项的系数求参数
考点四 赋值法求部分项系数或二项式系数和
考点一：二项展开式问题
例1．（2023·山东烟台·统考二模）设 ，若 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
例2．（2023·四川绵阳·统考二模）已知 的展开式中常数项为24，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
考点二：三项（及以上）展开式问题
例3．（2023·全国·校联考三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．18 B．135 C．540 D．1215
例4． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．30 D．
考点三：利用项的系数求参数
例5．（2023·江西新余·统考二模）二项式 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于
________.
例6．（2023·四川达州·统考二模）若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中 系数为
___________.
考点四：赋值法求部分项系数或二项式系数和例7．（2023·陕西安康·统考三模）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1 B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128 D．第4项的系数最大
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考三模） 的展开式中，常数项是（ ）
A． B． C．9 D．10
2． 的展开式中 的系数是（ ）
A．20 B． C．10 D．
3．设 ，若 ，则实数a的
值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
4．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．在 的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
7．若 的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．448 D．-448
8．已知 ，若 ，则自然数 （ ）A．6 B．5 C．4 D．3
9．设 ，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
10．（2023·山东日照·统考二模）已知 ，则
（ ）
A．-54 B．-52 C．–50 D．-48
11．已知 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
二、填空题
12．（2023·上海浦东新·统考三模） 的二项展开式中 项的系数为__________．
13．（2023·天津河东·一模） 的展开式中， 项的系数为________．（用数字作答）
14．（2023·安徽黄山·统考三模）将 展开后按 的升幂排列，则第3项为____________.
15．（2023·福建漳州·统考三模） 的展开式中 项的系数为_________.
16． 的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示）
17．在 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则 ______．
18．已知 ，则 ______．
19．已知 a>0，若，且，则a=______.
