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第 47 讲 二项展开式问题
1.二项式定理
(1)二项式定理： ；
(2)二项展开式的通项公式： ，它表示第 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数 .
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 .
(2)增减性：
当 时， 随 的增加而增大；
当 时， 随 的增加而减小.
(3)最大值：
当n为偶数时，中间的一项 取得最大值；
当n为奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值
3.三项（及以上）展开式问题
基本题型：求 的展开式中含有 的项.
解决思路1：利用完全平方公式将三项式转化为二项式，从而用二项式定理解决即可.
解决思路2：从 个 中取出 个 ，再从剩下的 个 中取出 个 ，剩下的 个
中全部取出 ，从而含有 的项为： .
4.常用结论
(1) .(2) .
考点一 二项展开式问题
考点二 三项（及以上）展开式问题
考点三 利用项的系数求参数
考点四 赋值法求部分项系数或二项式系数和
考点一：二项展开式问题
例1．（2023·山东烟台·统考二模）设 ，若 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据二项式展开式的通项公式求 ，列方程求 .
【详解】二项式 的展开式的通项为 ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
例2．（2023·四川绵阳·统考二模）已知 的展开式中常数项为24，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，可得 ，解出即可得到结果.
【详解】 的展开式的通项 ， .
令 ， ，可得常数项为 .由已知得， ，解得 .
故选：D.
考点二：三项（及以上）展开式问题
例3．（2023·全国·校联考三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A．18 B．135 C．540 D．1215
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.
【详解】 ，
的展开式的通项为 .
因为 的展开式中没有 项，
的展开式中 项为 ，
所以 的展开式中 的系数为540.
故选：C.
例4． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．30 D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答.
【详解】因为 ，于是在5个多项式 中，取2个用 ，再从余下3个多项式中取2
个用 ，
最后1个多项式用常数项相乘，因此含 的项为 ，
所以 的系数为60.故选：A
考点三：利用项的系数求参数
例5．（2023·江西新余·统考二模）二项式 的展开式中含有常数项，则 的最小值等于
________.
【答案】3
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令 的指数为0，再根据 的取值范围可求得结果
【详解】二项式 的展开式为 ，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以当 时， 取得最小值3，
故答案为：3
例6．（2023·四川达州·统考二模）若 展开式的二项式系数和为64，则展开式中 系数为
___________.
【答案】
【分析】根据二项式系数和求得 ，根据二项式展开式的通项公式求得 的系数.
【详解】依题意 的展开式的二项式系数和为 ，所以 ，即 .
二项式 展开式的通项公式为 .
令 ，所以展开式中含 的系数为 .
故答案为：
考点四：赋值法求部分项系数或二项式系数和例7．（2023·陕西安康·统考三模）在 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为1 B．第4项和第5项的二项式系数最大
C．所有项的系数和为128 D．第4项的系数最大
【答案】B
【分析】展开式所有项的二项式系数和为 ，A错误，展开式共有8项，第4项和第5项二项式系数
最大，B正确，令 得C错误，第4项系数小于0，第3项系数大于0，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：展开式所有项的二项式系数和为 ，错误；
对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确；
对选项C：令 得所有项的系数和为 ，错误；
对选项D： ， ，系数小于0， ，
系数大于0， D错误.
故选：B
一、单选题
1．（2023·四川攀枝花·统考三模） 的展开式中，常数项是（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】A
【分析】由二项式定理的通项公式计算可得结果.
【详解】∵ ，
第 项为： ， ，
的第 项为： ，
∴展开式中的常数项 .故选：A.
2． 的展开式中 的系数是（ ）
A．20 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】先把二项式分为三部分 ，分别求每个二项式展开式
中 的系数计算即可.
【详解】因为 ,
展开式中 的项是 ,
则展开式中 的系数是 .
故选:D.
3．设 ，若 ，则实数a的
值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令 ，建立方程即可求解.
【详解】对已知关系式两边同时求导可得：
，
令 ，则 ，
，即 ，解得： .
故选：A.
4．已知 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的特点，即可求解.【详解】 ，所以 ，
故选：C
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用二项式定理可得答案.
【详解】
.
故选：B
6．在 的二项展开式中，中间一项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二项展开式的性质，即可求得中间一项的二项式系数，得到答案.
【详解】由二项式 的展开式为 ，
又由二项式 的展开式共有 项，所以中间一项为第 项，
所以中间一项的二项式系数为 .
故选：D.
7．若 的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中 项的系数为（ ）
A．-960 B．960 C．448 D．-448
【答案】D
【分析】根据二项式系数的性质得到 的值，再求 项的系数.
【详解】依题意只有 时第5项的二项式系数最大，项的系数为 .
故选：D
8．已知 ，若 ，则自然数 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】赋值法可得方程进而求解,
【详解】令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以 ， .
故选：B.
9．设 ，则 的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意令 ，即可求解.
【详解】由题意知，
，
令 ，得 .
故选：B．
10．（2023·山东日照·统考二模）已知 ，则
（ ）
A．-54 B．-52 C．–50 D．-48
【答案】A
【分析】分别赋值 ， ，代入原式，再将两式相加即可得答案.
【详解】 ，令 ，得 ；
令 ，得 ；
由两式相加得 ，
所以 .
故选：A.
11．已知 ，则 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】先根据二项展开式的通项公式求得 ，再利用赋值法，令 ，进而即可求解．
【详解】由 ，
则 ，得 ，
令 ，得 ，
左右两边除以 ，得 ，
所以 ．
故选：D．
二、填空题
12．（2023·上海浦东新·统考三模） 的二项展开式中 项的系数为__________．
【答案】210
【分析】利用二项式定理得展开式 进行运算，得到 项的系数.【详解】二项式定理得展开式 可得，
，
令 ，即 ， 项的系数为 ，
故答案为：210.
13．（2023·天津河东·一模） 的展开式中， 项的系数为________．（用数字作答）
【答案】90
【分析】求出 展开式的通项公式，可得展开式为 时 的值，代入可得展开式中 项的系数.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
得 ，所以 项的系数为
故答案为：90
14．（2023·安徽黄山·统考三模）将 展开后按 的升幂排列，则第3项为____________.
【答案】
【分析】 展开后按 的升幂排列，则第3项即为含 的项，求出 的通项公式，令
和 ，求解即可得出答案.
【详解】 的通项公式为 ，
展开后按 的升幂排列，则第3项即为含 的项，
，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 的系数为： .
故答案为：15．（2023·福建漳州·统考三模） 的展开式中 项的系数为_________.
【答案】240
【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程，可得答案.
【详解】由 ，则其展开式的通项 ，
化简可得 ，令 ，则 ，
即 .
故答案为：240.
16． 的展开式中,有理项是______.（用关于x的式子表示）
【答案】 和
【分析】先写出 展开式的通项,使 的幂次为整数,解得项数,代入通项即可求得有理项.
【详解】解:由题知,记 展开式的通项为 ,
则 ,
由 ,得 或8,
所以 ,
故有理项是 和 .
故答案为: 和
17．在 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则 ______．
【答案】 或【分析】利用赋值法确定各项系数的和，由二项式的性质得各二项式系数的和，利用比值为 ，列出关于
的方程，解方程即可.
【详解】因为 的展开式中各项系数的和为 ，各二项式系数的和为 ，
所以由题意得 ，
所以 ，或 ，解得 ，或 ．
故答案为： 或 ．
18．已知 ，则 ______．
【答案】
【分析】用赋值法，令 和 ，分别求出 和 ，即可求出答案．
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，
故答案为： ．
19．已知 a>0，若 ，且 ，则a=______.
【答案】2
【分析】依据题给条件列出关于a的方程，解之即可求得a的值.
【详解】因为 ，
又 ，展开式通项为 ，
对应 的系数，故得到 ，解得 ，
其系数为 或 .
又a>0，故实数a的值为2.
故答案为：2.
