文档文本内容
专题 02 函数概念与基本初等函数
（新定义，高数观点，选填压轴题）
目录
一、函数及其表示.........................................................................................................1
二、函数的基本性质.....................................................................................................4
三、分段函数...............................................................................................................10
四、函数的图象...........................................................................................................14
五、二次函数...............................................................................................................18
六、指对幂函数...........................................................................................................20
七、函数与方程...........................................................................................................24
八、新定义题...............................................................................................................29
一、函数及其表示
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ， ，若对任意的 ，存在
，使 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数 ，
当 时， ，则 ，则 ，
函数 在 的值域记为 ，
对任意的 ，存在 ，使 ，则 ，①当 时， ，则 ，则 ；
②当 时，因为 ，则 ，则 ，
所以， ，解得 ；
③当 时，因为 ，则 ，即 ，
所以， ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：B.
2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知函数 的定义域为 则 的定义域为
【答案】
【详解】由已知， 的定义域为 ，所以对于
需满足 ,解得
故答案为： .
3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末）已知函数 定义域为 ，则函数
的定义域为 .
【答案】
【详解】因为函数 定义域为 ，由 得
定义域为
则函数 的定义域满足 ，解得
定义域为 .
故答案为： .
4．（2023·全国·高一专题练习）已知函数 的值域为 ，则常数 ．
【答案】7或【详解】因为 ，所以 ，
，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ， ，
解得 或 ，所以 7或 .
故答案为：7或 .
5．（2023·全国·高三专题练习）求函数 的值域.
【答案】
【详解】由 ，可令
原函数可整理为：
因为 ，所以 ，则 ，
当 ；当 ，
所以函数 的值域为 .
6．（2023·全国·高三专题练习）当 时，求函数 的最小值.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数 的最小值为 .
7．（2023·高一课时练习）若函数 满足方程 且 ，则：
（1） ；（2） ．
【答案】【详解】令 可得： ，所以 ；
由 ①得， ②，
联立①②可得： .
故答案为：① ；② .
8．（2023·全国·高三专题练习）若 满足关系式 ，则 ，若
，则实数m的取值范围是 ．
【答案】 ； 或 ．
【详解】解：∵ 满足关系式 ，
∴ ，
①+②×2，得 ，∴ ，
∴ .
，即
解得 或 ，所以m的取值范围是 或 ．
故答案为： ； 或 ．
二、函数的基本性质
1．（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期末）已知函数 ，则不等式
的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】设 ，
因为 ，可得 是R上的奇函数，
且 在R上单调递增，则 在R上单调递增，
又因为 ，则 ，
即 ，所以 ，
则 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故选：B.
2．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知定义在 上的函数 在 单调递增，且 是偶
函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵ 为偶函数，
∴ ，即函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，
∴函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，
整理得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：B.
3．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考期末）若定义在 的奇函数 在 单调递减，
且 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，所以 在 上也是单调递减，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得： 或 或 ,
解得 或 ，所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 的定义域满足
设 ，
易知： 单调递减， 在 单调递增，在 上单调递减.
根据复合函数的单调性得到： 在 上单调递增
故选：
5．（2023春·河北唐山·高二校联考期末）已知函数 ， ，若 ，
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 得， ，当 时， ，
∴ 在 单调递减，∴ 是函数 的最小值，
当 时， 为增函数，∴ 是函数 的最小值，
又∵ ，都 ，使得 ，
可得 在 的最小值不小于 在 的最小值，
即 ，解得 ，
故选：A．
6．（2023春·广西北海·高二统考期末）设函数 的定义域为 ，满足 ，且当时， .若对任意 ，都有 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为当 时， ，
当 时，对任意 ，因此不可能；
当 时， ，
同理当 时， ，
以此类推，当 时，必有 .
当 时，令 ，则 或 ，
因为当 恒成立，
所以
故选：B
7．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数 ， 的定义域均为 ，
， 是偶函数，且 ， ，则（ ）
A． 关于直线 对称 B． 关于点 中心对称
C． D．
【答案】C
【详解】对于A， 是偶函数， ，
又 ，
， 是偶函数，∴ 关于直线 对称，所以A错误，
对于B， 关于点 中心对称，所以B错误，
对于CD，又 ，即 4是 的一个周期；
令 ，可得
，又 ，，
，
所以C正确，D错误，
故选：C.
8．（2023春·新疆·高二统考期末）若奇函数 的定义域为 ，且 时，
，则 时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设 ，则 ，
则 ，
因为函数 为奇函数，所以 ，
即 时 .
故选：D
9．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）已知函数 是定义域为 上的奇函数，满足
，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】因为函数 是定义域为 上的奇函数，则 ，即 ，
由 ，得 ，因此 ，即 ，
则 ，于是函数 是以4为周期的周期函数，
由 ，得 ，由 ，得 ， ，
从而 ，
所以 .
故选：A
10．（2023春·安徽黄山·高二统考期末）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意 关于 对称，即 ，且 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故 的周期为4，
则 .
故选：B
11．（多选）（2023秋·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为 ，且
， ， ，则（ ）
A． B． 是偶函数
C． 的一个周期 D．
【答案】AC
【详解】对于A，由 ，得 ，由 ，得
，
又 ，所以 ，所以 ，因此A选项正确；
对于B，因为 ，所以函数 为奇函数，因此B选项错误；
对于C，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以函数 的周期 ，因此C选项正确；
对于D，将 代入 ，得 ， ，而
，
将 代入 ，得 ，将 代入 ，得
，
所以 因此D选项错
误.
故选：AC.12．（2023春·河北保定·高二校联考期末）定义在 上的奇函数 满足 ，当
时， ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 的最小正周期为4
C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】AC
【详解】由 为 上的奇函数，且 ，得 ，
即有 ，因此 ，即 的周期为8，
对于A，显然 ，函数 是奇函数，A正确；
对于B，当 时， ，则 ， ，
显然4不是 的周期，B错误；
对于C，由选项A知， ，因此 的图象关于点 对称，C错误；
对于D， ，D错误.
故选：AC
13．（2023春·辽宁沈阳·高二校考期末）已知定义在 上的函数 满足 ，且
关于 对称，当 时， .若 ，则 .
【答案】
【详解】因为函数 关于 对称，则 ，即 ，
所以， ，即函数 为 上的偶函数，
又因为 ，则 ，
即 ，所以， 。则 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
又因为当 时， ，
则 ，①
在等式 中，令 可得 ，即 ，②
联立①②可得 ， ，故当 时， ，
所以， .故答案为： .
三、分段函数
1．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）设函数 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【详解】∵ ，
∴ .
故选：A．
2．（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期末）已知函数 是 上的增函数，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数 为 上的增函数，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
故选：A.
3．（2023春·吉林长春·高一校考开学考试）已知函数 满足对任意实数 ，都
有 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为函数 满足对任意实数 ，都有 成立，所以函数 在R上递减，
所以 ，
解得：
故选：D.
4．（2023春·吉林长春·高二长春外国语学校校考期末）已知定义在R上的奇函数满足 ，
当 时， ，则 （ ）
A．2 B． C．－2 D．－
【答案】A
【详解】依题意， ， ，
函数 的周期为6，
故 ，
在R上的奇函数, ，
又 ，则 ．
故选：A．
5．（2023春·江苏苏州·高一校联考期末）已知函数 ，则下列
说法错误的是（ ）
A． 是单调递增函数 B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A，函数 为连续函数，且当 时斜率为正，当 时斜率为正，
A正确；
对于B， ，即 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
即 ，则 ，故B正确；
对于C， , 故C错误；
对于D，
所以 ，故D正确.
故选：C
6．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数 的最大值为0，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若 ， 即当 时 ，∴ 的最大值为0，满足题意；
若 ，当 时， ，不满足题意；
若 ，当 时 ，当 时 ，当 时等号成立，满足题意；若 ，当 时， ，当 时， ，当 时等号成立，满足题
意；
若 ，当 时， ，当 时， ，不满足题意；
所以 ；
故选：A.
7．（2023春·辽宁·高二校联考阶段练习）已知函数 若 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】当 时， 的值域为 ，
当 时， 的值域为 ；
当 时， 的值域为 .
要使 ，则 ，所以 ，解得 .
故选：D.
8．（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，
且 .
所以函数 在 上为减函数.
由 得 .解得 .
故选:A.四、函数的图象
1．（2023春·云南保山·高二校联考期末）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 定义域为 ，
对于AB， ，
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故 都不正确；
对于C， 时， ，所以 ，
所以 ，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合 时， ，故D正确.
故选：D.
2．（2023春·广东韶关·高二统考期末） 部分图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
又 ，可化为
所以 ，
故 为偶函数，图形关于y轴对称，排除B，D选项；
令 可得， 或 ，
由 ，解得 ， ，
由 ，解得 ，
所以函数最小的正零点为 ，
当 时， ， ， ，排除A，
故选：C.
3．（2023春·云南楚雄·高二统考期末）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
所以 是偶函数，排除C，D；
当 时， ，排除A，故选：B.
4．（2023春·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）下列四个函数中的某个函数在区间 上的大
致图象如图所示，则该函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】当 时， ， .排除A；
由偶函数定义可得 为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当 时， .排除D；
为奇函数，且当 时， ，
当 时， .B均符合题给特征.
故选：B.
5．（2023春·河北沧州·高二统考期中）函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】因为 ，
当 时， ，所以 ，
所以， ，所以
所以 ，
即 在 上恒成立，故B、D项错误；
，
由 可得， ， .
由 可得， ，所以 在 上单调递减；
由 可得， ，所以 在 上单调递增.
所以， 在 处取得唯一极大值，也是最大值，故A、B错误.
故选：C.
6．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
则则 为偶函数，其图像关于y轴对称，排除AB；
又 时 ，排除C,
故选：D
五、二次函数
1．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数 与 的图象上不存
在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 与 的图象上不存在关于 轴对称的点，
直线 关于 轴对称的直线方程为 ，
则方程 在 上无解，即 在 上无解，
又函数 在 上单调递增，在 上单调递减，又 时， ， 时， ，
时， ，所以 的值域为
故实数 的取值范围是 .
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围是 ．
【答案】 .
【详解】当 时， 在区间 上单调递减，符合题意；
当 时，函数图象的对称轴为直线 ，
因为f（x）在区间 上单调递减，所以 ，得 ，所以 ；
当 时，函数 在区间 上单调递减，符合题意．
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为：3．（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知函数 在区间 上的
最小值为1，则实数 的值为 .
【答案】
【详解】函数 图象的对称轴为 ，
当 ，即 时， ，解得 ；
当 ，即 时， ，解得 （舍去）或 （舍去），
综上： .
故答案为：
4．（2023·江苏·高一假期作业）如果函数 定义在区间 上，求 的值域．
【答案】答案见解析
【详解】函数 ，其对称轴方程为x＝1，顶点坐标为 ，图象开口向上．
如图所示，
若顶点横坐标在区间[t，t＋1]左侧时，有 ，此时，当 时，函数值最小，
，当 时，函数值最大， .
∴函数的值域为 .
如图所示，
若顶点横坐标在区间 上时，有 ，即 .
当 时，函数的最小值为 ，当 时，最大值为 ，
∴函数的值域为 ；当 时，最大值为 ，
所以 在 上的值域为 .
如图所示，若顶点横坐标在区间 右侧时，有 ，即 .
当 ，函数的最小值为 ，最大值为 ，
所以函数 的值域为 .
综上，当 时，函数 的值域为 .
当 时，函数 的值域为 ；当 时，函数 的值域为 ；当 时，
函数 的值域为 .
六、指对幂函数
1．（多选）（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）已知 ，则实数 ， 满足（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，因为
，所以 ，所以 ，所以A正确；
对于C，由 ，得 ，所以
，所以C错误；
对于D，因为 ，所以 ，得 ，所以D正确；
对于B，因为 ，所以 ，所以B错误.
故选：AD2．（多选）（2023春·福建福州·高二福州三中校考期末）已知函数 ，设 （ ，2，3）为
实数， ，且 ，则（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．不等式 的解集为
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对A， ， 函数 的图象关于点 对称，
故A正确；
对B， 在 上单调递增，且 ，则 化为 ，则
，解得 ，故不等式 的解集为 ，故B正确；
对CD， ，则可得 ，且 关于点 对称，在 上单调递增，可得 函数图
象如下：
均在直线 上方，其中直线 的方程为 ，
则可得 ， ，
所以 ，
，，即 ，故C错误，D正确.
故选：ABD.
3．（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）已知定义在 上的函数 满足: 为奇函数， 为偶函数，
当 时， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】定义在 上的函数 满足： 为奇函数， 为偶函数，
可得 ， ，
则 ，故 ，
可得 的最小正周期为4，
由于 ，则 ，
当 时， ，
所以 ，
则 ,
故选:A
4．（2023·河南·校联考模拟预测）已知幂函数 的图象过 ， ， （ ）是
函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设幂函数 ，图象过 ，则 ，即 ，
所以 且 ，
为增函数， ，故有 .
为增函数， ，故有 .
所以A、B、C错，D对.故选：D
5．（2023·吉林白山·统考二模）函数 的定义域为R，则实数a的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ，符合题意；
当 时，由 ，得 ．综上所述， ．
故选：A
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）已知函数 ，且 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】函数 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数，
又函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，则 在 上单调递减，
所以不等式 ，即 ，
等价于 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D七、函数与方程
1．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）若函数 有唯一零点，则实数
（ ）
A．2 B． C．4 D．1
【答案】A
【详解】由
，
得 ，即函数 的图象关于 对称，
要使函数 有唯一的零点，
则 ，即 ，得 ．
故选：A．
2．（2023春·福建福州·高二校考期末）已知函数 ，则方程 的解的个数是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 可得 ，
则方程 的解的个数等于函数 的函数 图象交点的个数，
作出函数 的函数 图象如下图所示：
由图可知，函数 的函数 图象有且只有一个交点，
即方程 的解的个数为 .故选：B.
3．（2023春·江西南昌·高二南昌二中校考期末）已知函数 ，若 有四个不同的
解 且 ，则 可能的取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 的图象如下，
则由图象可知， 的图象与 有4个交点，分别为 ，
因为 有四个不同的解 且 ，
所以 ，且 ，且 ， ，
又因为
所以 即 ，所以 ，
所以 ，且 ，
构造函数 ，
因为函数 在 上都是减函数，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，所以 .
故选：BC.
4．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）已知函数 ，若函数
有五个零点，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【详解】当 时， 则 ，
此时 ，则 或 ，
当 时， 则 ，
此时 ，则 ，
故问题转为 ， 共有四个零点，
画出函数图像如下可知：则 ，
故答案为：
5．（2023春·广东广州·高一校考期中）已知函数 ，若关于x的方程 有
四个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设 ，该直线恒过点 ，方程 有四个不同的实数根，
如图作出函数 的图象，结合函数图象，则 ，
所以直线 与曲线 有两个不同的公共点，
所以 在 有两个不等实根，
令 ，实数a满足 ，
解得 ．
故答案为：
6．（2023春·辽宁大连·高二统考期末）已知函数 ，若存在区间 ，当 时，
的值域为 ，且 ，其中 表示不超过 的最大整数，则 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意可知， 有两个实数根，
即 ，设 ，即 与 有2个交点，并且满足
， ， ，
当 ， ，函数 单调递增，
当 ， ，函数 单调递减，
并且 ，当 时， ，
如图，画出函数 的图象，
因为 ，当 时， ，则 ，不满足 ，
当 ， ，则 ，不满足 ，
当 ，此时 ，满足 ，
， ，所以 .
故答案为：
7．（2023春·河北唐山·高二校联考期末）已知定义在 上的函数 ，满足 ，当
时， ，若方程 在区间 内有实数解，则实数 的取值范围为
.
【答案】
【详解】当 时，则 ，
所以 ，即 ，
当 时，则 ，
所以 ，即 ，
则 ，
当 时，则 ，
所以 ，即 ，
画出 的图象如下：
由图象可知，当 时，方程 在区间 内有实数解，
所以实数 的取值范围为 .故答案为：
八、新定义题
1．（2023春·广东·高一统考期末）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下
图 是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图 是由此抽象出来的一个“心形”图形，这
个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在 轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对于A， （当且仅当 ，即 时
取等号），
在 上的最大值为 ，与图象不符，A错误；
对于B，当 时， ，与图象不符，B错误；
对于C， ， 当 时， ；
又 过点 ；
由 得： ，解得： ，即函数定义域为 ；
又 ，
为定义在 上的偶函数，图象关于 轴对称；
当 时， ，则函数在 上单调递增，在 上单调递减；综上所述： 与图象相符，C正确；
对于D，由 得： ， 不存在 部分的图象，D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布
劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x，使得
0
f(x)=x，那么我们称该函数为“不动点“函数.下列为“不动点”函数的是（ ）
0 0
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据题意，即存在 使得 有解，则函数为“不动点”函数，
对A，令 ，可得 ，该方程无解，
所以 不是“不动点”函数，A错误.
对B，令 ，
即 ，
由 可得该方程无解，所以 不是“不动点”函数，B错误.
对C，令 ，
即 ，显然 无解，所以 不是“不动点”函数，C错误.
对D，令 ，可得 ，所以 为“不动点”函数，D正确.
故选：D.
3．（2023春·云南红河·高一统考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发
现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）
的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石
样本中的碳14质量约是原来的 倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据：
， ）
A．8037年 B．8138年 C．8237年 D．8337年
【答案】B【详解】由题意， ，即 ，
∴ ，∴ ，
故选：B.
4．（2023春·江苏南京·高一校考期中）冈珀茨模型 是由冈珀茨 提出，可作为动物种
群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种 年后的种群数量 近似满足冈珀茨模型：
（当 时，表示2020年初的种群数量），请预测从哪一年年初开始，该物种的种群数量
将不足2022年初种群数量的一半（ ）
A．2031 B．2020 C．2029 D．2028
【答案】D
【详解】 ，
当 时， ，
当 时， ，
年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，
，
由题可知， 是大于0的常数，即 ，两边取对数可得， ，
，
，两边取对数可得， ，解得 ， ，
故 的最小值为6.
故选：D.
5．（多选）（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠
基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高
斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，如： ，
， 又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按
“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ，若 ，则有 D．方程 的解集为
【答案】CD【详解】对选项A：取 ，则 ， ，错误；
对选项B：取 ， ， ，错误；
对选项C： ，则 ， ，故 ，正确；
对选项D： ，故 ，解得 ，
故 或 ，故 或 ，正确.
故选：CD
6．（2023春·广东汕头·高一校考阶段练习）德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解
析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为 ，狄利克雷函数的发现改
变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数 有
以下四个命题，其中真命题是（ ）
A．函数 是奇函数 B． ，
C．函数 是偶函数 D． ， ，
【答案】BCD
【详解】若 是有理数，则 也是有理数，可得 ，则 不是奇函数，故A错误；
当 时， ， ， ，此时
，故B正确；
若 是有理数，则 ；若 是无理数， ，则
，又 ，则 ，因此 ，所以函数 是偶函数，
故C正确；
若 是有理数， ，则 均是有理数，故 ；若 是无理数， ，则
均是无理数，故 ，所以 ， ， ，故D正确．
故选：BCD.
7．（2023·全国·高三专题练习）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高
等数学中有着广泛应用，其定义为: 时， .若数列
，则下列结论:① 的函数图象关于直线 对称；② ；③ ；④；⑤ .其中正确的是 （填写序号）.
【答案】①④⑤
【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若 为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且 是既约的真分数，则 ，并且 是互质的 ， ，
也是真分数，若 不是既约分数，则 与 必定存在公约数 ，不妨
假设 ，则有 ，即 存在大于1的公约数，
与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ， ， ，但当 时 ，故③错误；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即当 时 ， ，
，
当 时， ， ， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故答案为：①④⑤
