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专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式
考点一
知弦求弦、切或知切求弦
考点二
利用平方关系求参数
考点三
与
关系的应用
考点四
正余弦齐次式的运算
考点五
利用同角三角函数基本关系证明三角函数恒等式
考点六
利用诱导公式化简、求值
考点七
利用诱导公式证明三角函数恒等式
一、同角三角函数的基本关系式
平方关系
商的关系
二、三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
_____
余弦
_____
_____
正切
_____
口诀
奇变偶不变，符号看象限
考点一
知弦求弦、切或知切求弦
例1．（2022 秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知
，
，则
的
值为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
例2．（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）设
，
，且
，则
_______.
例3．（2023 春·上海杨浦·高三复旦附中校考期中）已知
，
，则
_________.
例4．已知
，
为第四象限角．
(1)求
的值；
(2)设
,求
的值．
例5．（2023 春·江西·高三校联考期中）已知
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二
利用平方关系求参数
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，则
___________.
例7．（2022 秋·广东深圳·高三深圳中学校考期末）已知
，
是关于x 的方程
的两
根，则实数
________．
2
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例8．（2022 秋·湖南邵阳·高三湖南省隆回县第二中学校考阶段练习）设
，且
，
（
为锐角），则
的取值范围是______.
例9．（2022 秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考开学考试）已知
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
例10．（2022 秋·湖北武汉·高三统考期末）已知
为正实数，且
对任意的实数
均成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．9
考点三
与
关系的应用
例11．（2023 春·北京·高三大峪中学校考期中）若
是
的一个内角，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例12．（2023 春·高三平湖市当湖高级中学校联考期中）已知
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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例13．（2023 春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）已知
，
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
例14．（2023·全国·高三专题练习）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例15．（2023 春·四川南充·高三四川省南充市第九中学校考阶段练习）（多选）
已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四
正余弦齐次式的运算
例16．（2023 春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
例17．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
例18．已知
，且
，求下列各式的值．
4
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(1)
；
(2)
．
例19．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知方程
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例20．（2023·河北·统考模拟预测）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五
利用同角三角函数基本关系证明三角函数恒等式
例21．（2023·高三课时练习）证明下列恒等式：
．
例22．（2023 春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考开学考试）证明：
．
例23．（1）若
，化简：
；
（2）求证：
.
例24．求证：
(1)
；
(2)已知
，求证：
.
5
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例25．（2021·高三单元测试）求证:
.
考点六
利用诱导公式化简、求值
例26．（2023 春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例27．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．-
D．
例28．（2023 春·北京·高一北京十四中校考期中）已知
.
(1)化简
；
(2)若
是第三象限角，且
，求
的值.
例29．（2023 春·北京海淀·高三人大附中校考期中）化简
______________．
例30．（2023 春·上海·高三上海市敬业中学校考期中）化简：
=______．
考点七
利用诱导公式证明三角函数恒等式
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例31．求证：
例32．（2021·高一课时练习）求证：当
或3 时，
.
例33．（1）求证：
；
（2）设
，求证
.
例34．已知
、
、
为
的三个内角，求证：
例35．（2023·高三课时练习）证明：
，
．
一、单选题
1．（2023 春·北京海淀·高三北大附中校考期中）已知
，则
（ ）
A．7
B．
C．1
D．
2．（2023 春·北京海淀·高一北大附中校考期中）已知
角的终边交单位圆于点A，将A 绕原点
顺时针
旋转
至
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
7
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C．
D．
3．（2023 春·辽宁鞍山·高三统考期中）已知
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2022 春·高三课时练习）求
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 春·安徽六安·高三六安市裕安区新安中学校考期中）已知角
终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023 春·海南·高三农垦中学校考阶段练习）已知角
的终边过点
，且
，则
（ ）
A．40°
B．50°
C．220°
D．310°
7．（2023 春·陕西宝鸡·高二宝鸡中学校考阶段练习）曲线
在
处切线的倾斜角为
，则
（ ）
A．2
B．
C．1
D．
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8．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2022 春·高三课时练习）已知
,且
和
是方程
的两个实数根,则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2021·高三课时练习）若
为锐角，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2022 秋·山东德州·高三校考阶段练习）下列三角函数值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023 秋·山东德州·高一德州市第一中学校考阶段练习）已知
，则
角
的终边可能在（ ）
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A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．
轴的负半轴上
三、填空题
13．（2023 春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知点
，
若
，则
__________.
14．（2023·江西赣州·统考二模）已知
为锐角，满足
，则
________．
15．（2023 春·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考期中）在平面直角坐标系xOy 中，若角
的顶点为坐标
原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与以点O 为圆心的圆交于点
，则
______．
16．（2023 春·辽宁大连·高三校联考期中）已知
，则
______．
四、解答题
17．证明：
18．已知
.
(1)若角
的终边经过点
，
，求
的值；
10
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(2)若
，求
的值.
19．（2023 春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考期中）已知
.
(1)化简
；
(2)若
为第四象限角，且
，求
的值.
11
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