平面向量：平面向量的线性运算与基本定理、数量积、坐标运算、新定义问题
专项训练
1．（2025·海南三亚·一模）已知ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，记
,
AB
a AD
b
=
=
uuur
uuur
r
r
，则BE =
uuur
（ ）
A．
1
2
a
b
+
r
r
B．
1
2
a
b
-
r
r
C．
1
2 a
b
-
+
r
r
D．
1
2 a
b
-
-
r
r
【答案】C
【详解】因为E 为CD 的中点，所以
1
2
CE
CD
=
uuur
uuur
，
所以
2
1
2
1
1
2
b
BE
BC
CE
BC
CD
AD
AB
a
=
+
=
+
-
=
= -
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
r
r
.
故选：C
2．（2024·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，AE 与BD 交于点F ，则AF =
uuur
（ ）
A．3
1
4
4
AB
AD
+
uuur
uuur
B．1
2
3
3
AB
AD
+
uuur
uuur
C．2
1
3
3
AB
AD
+
uuur
uuur
D．1
3
4
4
AB
AD
+
uuur
uuur
【答案】B
【详解】因为在平行四边形ABCD 中，
//
AB CD ，所以V
:V
DEF
BAF ，
因为E 是CD 的中点，所以
1
2
DF
DE
BF
AB
=
=
，即
2
BF
DF
=
，
2
3
BF
BD
=
uuur
uuur
，
根据向量的加法法则，
2
2
1
2
(
)
3
3
3
3
AF
AB
BF
AB
BD
AB
BA
AD
AB
AD
=
+
=
+
=
+
+
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
故选：B.
3．（24-25 高一下·四川成都·期末）设D 为
ABC
V
所在平面内一点，
3
CD
BD
=
uuur
uuur ，则（
）
A．
1
4
3
3
AD
AB
AC
= -
+
uuur
uuur
uuur
B．
3
1
2
2
AD
AB
AC
=
-
uuur
uuur
uuur
C．
3
1
2
2
AD
AB
AC
= -
+
uuur
uuur
uuur
D．
4
1
3
3
AD
AB
AC
=
-
uuur
uuur
uuur
【答案】B
【详解】根据题意可知
3
3
3
1
2
2
2
2
AD
AC
CD
AC
CB
AC
CA
AB
AB
AC
=
=
+
+
+
=
+
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuu
uuur
uuur
uu
r
u r
.
故选：B.
考点一
平面向量的线性运算与基本定理
4．（24-25 高一下·甘肃兰州·期末）如图，在
OAB
△
中，P 为线段AB 上的一点，且
4
BA
PA
=
uuur
uuur .若
OP
xOA
yOB
=
+
uuur
uuur
uuur
，则（ ）
A．
3
1
,
4
4
x
y
=
=
B．
2
1
,
3
3
x
y
=
=
C．
1
2
,
3
3
x
y
=
=
D．
1
3
,
4
4
x
y
=
=
【答案】A
【详解】由
4
BA
PA
=
uuur
uuur ，可得
3
4
BP
BA
=
uuur
uuur
，
所以
3
3
1
4
4
4
OP
OB
BP
OB
OA
OB
OA
OB
=
+
=
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
3
4
x
\
=
，
1
4
y =
．
故选：A
5．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，
2
,
BM
MC N
=
uuuur
uuuur
为线段AM 上一点，且
(1
)
3
AN
AB
AC
l
l
=
-
+
uuur
uuur
uuur
，则实数l 的值为（ ）
A．3
4
B．2
5
C．5
6
D．6
7
【答案】D
【详解】因
2
BM
MC
=
uuuur
uuuur
，则
2
3
BM
BC
=
uuuur
uuur
，
故
3
1
2
2
2
(
)
3
3
3
AM
AB
BM
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
=
+
=
+
=
+
-
=
+
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
因,
,
A N M 三点共线，故设AN
t AM
=
uuur
uuuur
，则
2
3
3
t
t
AN
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
因
(1
)
3
AN
AB
AC
l
l
=
-
+
uuur
uuur
uuur
，则
1
3
2
3
3
t
t
l
l
ì -
=
ïïí
ï
=
ïî
，解得
6
7
l =
．
故选：D．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，已知EC
BE
=
uuur
uur ，
2
DF
FC
=
uuur
uuur
，则FE =
uuur
（ ）
A．
1
1
3
2
AB
AD
-
+
uuur
uuur
B．
1
1
3
2
AB
AD
-
-
uuur
uuur
C．1
1
3
2
AB
AD
+
uuur
uuur
D．1
1
3
2
AB
AD
-
uuur
uuur
【答案】D
【详解】在平行四边形ABCD 中，有
,
AB
DC AD
BC
=
=
uuur
uuur uuur
uuur
.
已知EC
BE
=
uuur
uur ，
2
DF
FC
=
uuur
uuur
，
法一：
1
2
2
3
FE
AE
AF
AB
BE
AD
DF
AB
BC
AD
DC
æ
ö
æ
ö
=
-
=
+
-
+
=
+
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uur
uuur
uuur
uuur
uur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
2
1
1
2
3
3
2
AB
AD
AD
AB
AB
AD
æ
ö
æ
ö
=
+
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
法二：FE
FC
CE
=
+
uuur
uuur
uuur
1
1
3
2
DC
CB
=
+
uuur
uur
1
1
3
2
AB
AD
=
-
uuur
uuur
.
故选：D
7．（24-25 高一下·云南昭通·期末）在
ABC
V
中，D 为BC 的中点，设
,
AB
a AD
b
=
=
uuur
r uuur
r
，且AC
a
b
l
m
=
+
uuur
r
r
，则
lm =
．
【答案】2
-
【详解】由于D 为BC 的中点，故
1
1
1
1
2
2
2
2
AD
AB
AC
a
AC
b
=
+
=
+
=
uuur
uuur
uuur
r
uuur
r
,
故
2
AC
b
a
a
b
l
m
=
-
=
+
uuur
r
r
r
r
，故
1,
2
l
m
= -
=
，
进而lm =
2
- ，
故答案为：2
-
8．（24-25 高一下·陕西渭南·期末）在
ABC
V
中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F .若
3
1
7
7
AF
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，则AC
AD 的值为
.
【答案】4
【详解】设AC
AD
l
=
uuur
uuur
，
因为
3
1
7
7
AF
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
3
1
7
7
AF
AB
AD
l
=
+
uuur
uuur
uuur
，
因为B ，F ，D 三点在同一条直线上，
所以3
1
1
7
7 l
+
= ，所以
4
l =
，
所以
4
AC
AD =
．
故答案为：4.
9．（24-25 高一下·北京丰台·期末）如图，在
ABC
V
中，已知
6
AB =
，
8
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，
,
AB AC 边上的两条中
线
,
CM BN 交于点P ，则BC =
，cos MPN
Ð
=
．
【答案】
2 13
10 7
49
-
/
10
7
49
-
【详解】由题可知：
2
2
2
2
2
2
cos
6
8
2 6 8 cos60
52
2 13
BC
AB
AC
AB AC
BAC
BC
=
+
-
×
Ð
=
+
- ´ ´ ´
=
Þ
=
o
，
cos
24
AB AC
AB
AC
BAC
×
=
×
Ð
=
uuur uuur
uuur
uuur
由
,
AB AC 边上的两条中线
,
CM BN 交于点P ，所以P 为
ABC
V
的重心，
1
1
1 1
3
3
3 2
PM
CM
AM
AC
AB
AC
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
uuuur
uuuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
，
1
1
1 1
3
3
3 2
PN
BN
AN
AB
AC
AB
æ
ö
=
=
-
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
2
2
2
1 1
1
1
1
1
1
7
36
64
6 8
3 2
3
4
3
4
2
3
PM
AB
AC
AB
AC
AB AC
é
ù
æ
ö
=
-
=
+
-
×
=
´
+
- ´ ´
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
2
2
2
1 1
1
1
1
1
1
2 7
64
36
6 8
3 2
3
4
3
4
2
3
PN
AC
AB
AC
AB
AB AC
é
ù
æ
ö
=
-
=
+
-
×
=
´
+
- ´ ´
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
,
2
2
1 1
1 1
1
1
1
5
20
3 2
3 2
9
2
2
4
9
PM PN
AB
AC
AC
AB
AB
AC
AC AB
æ
ö
æ
ö
æ
ö
×
=
-
×
-
=
-
-
+
×
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
所以
20
10 7
9
cos
49
7
2 7
3
3
PM PN
MPN
PM
PN
-
×
Ð
=
=
= -
×
´
uuuur uuur
uuuur
uuur
.
故答案为： 2 13 ，
10 7
49
-
10．（2025·宁夏银川·三模）在直角梯形ABCD 中，AB
CD
∥
，
2
CD
AB
=
，AB
AD
^
，E 是CD 的中点，若
AC
BD
AE
l
m
=
+
uuur
uuur
uuur
，则l
m
+
=
.
【答案】1
【详解】
1
1
1
1
2
2
2
2
AC
BD
AE
DC
AD
AD
DC
DC
AD
l
m
l
m
m
l
l
m
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
=
-
+
+
+
=
-
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
而AC
AD
DC
=
+
uuur
uuur
uuur
，所以
1
1
1
2
2
1
m
l
m
l
ì
-
=
ïí
ï
+
=
î
，解得
3
2
1
2
m
l
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
.
所以
1
l
m
+
= .
故答案为：1.
1．（2025·广东惠州·模拟预测）已知向量a
r
，b
r
满足
4
a =
r
，
2
b =
r
，a
r
与b
r
的夹角为π
3 ，则a
b
-
=
r
r
（ ）
A．2
B．4
C．2 3
D．2 5
【答案】C
【详解】法一：
2
2
2
1
2
16
4
2 4 2
12
2
a
b
a
b
a b
-
=
+
-
×
=
+
- ´ ´ ´
=
r
r
r
r
r
r
，
即
2 3
a
b
-
=
r
r
；
法二
由向量减法的几何意义和已知条件易知，如图，
若a
AC
=
r
uuur ，
4
AC =
，b
AB
=
r
uuur
，
2
AB =
，
60
A
Ð
=
o ，
则
90
B =
o
∠
，a b
BC
- =
r
r
uuur
，故
2
2
4
2
2 3
a
b
-
=
-
=
r
r
.
故选：C.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知向量,a b
r r
满足
1
a
b
=
=
r
r
，
2
a
b
+
=
r
r
，则a
b
-
=
r
r
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
1
a
b
=
=
r
r
，
2
a
b
+
=
r
r
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
a
b
a
a b
b
a b
+
=
+
×
+
=
+
×
=
r
r
r
r
r
r
r
r
，
可得
0
a b
×
=
r r
，
则
2
2
2
2
2
2
a
b
a
a b
b
a b
-
=
-
×
+
=
-
×
=
r
r
r
r
r
r
r
r
.
故选：D.
3．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知正六边形ABCDEF 边长为2，下列说法正确的是（ ）
A．AC
AE
BF
-
=
uuur
uuur
uuur
B．|
| 4
AC
AE
+
=
uuur
uuur
C．AD ED
AD DE
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
D．AD
uuur 在AB
uuur 上的投影向量为AB
uuur
考点二
平面向量的数量积
【答案】D
【详解】在正六边形ABCDEF 中，以点A 为原点，直线
,
AB AE 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，
则
(0,0),
(2,0),
(3, 3),
(2,2 3),
(0,2 3),
( 1, 3)
A
B
C
D
E
F -
，
对于A，
(3, 3),
(0,2 3)
AC
AE
=
=
uuur
uuur
，
(3,
3)
AC
AE
-
=
-
uuur
uuur
，
( 3, 3)
BF = -
uuur
，A 错误；
对于B，
(3,3 3)
AC
AE
+
=
uuur
uuur
，
2
2
|
|
3
(3 3)
6
AC
AE
+
=
+
=
uuur
uuur
，B 错误；
对于C，
(2,2 3),
(2,0)
AD
ED
=
=
uuur
uuur
，
2
8
0
AD ED
AD DE
AD ED
×
-
×
=
×
=
¹
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
，C 错误；
对于D，
(2,0)
AB =
uuur
，AD
uuur 在AB
uuur 上的投影向量为
2
2
4
2
|
|
AD AB AB
AB
AB
AB
×
=
=
uuur uuur uuur
uuur
uuur
uuur
，D 正确.
故选：D
4．（24-25 高三上·山西太原·期末）已知向量,a b
r
r
满足
2
3
a
b
a
b
-
×
+
=
r
r
r
r
，且| | 2,| | 1
a
b
=
=
r
r
，则ar 与b
r 的夹角为
（ ）
A．30o
B．60o
C．120o
D．150o
【答案】C
【详解】由
2
3
a
b
a
b
-
×
+
=
r
r
r
r
，可得
2
2
2
2
2
2
2
3
a
a b
a b
b
a
a b
b
+
×
-
×
-
=
-
×
-
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
又| | 2,| | 1
a
b
=
=
r
r
所以
2
2
2
2 1
3
a b
-
×
- ´
=
r
r
解得：
1
a b
×
= -
r
r
所以
1
cos
,
2
a b
a b
a b
×
=
= -
r
r
r
r
r
r
又0
,
180
a b
£
£
o
o
r
r
所以
,
120
a b =
°
r
r
所以ar 与b
r 的夹角为120°．
故选：C.
5．（24-25 高一下·北京大兴·期末）若向量a
r
与b
r
满足
2
2
a
b
b
-
×
=
r
r
r
，且
2
b =
r
，则a
r
在b
r
上的投影向量的模为
（ ）
A．2
B．4
C．5
D．8
【答案】C
【详解】由
2
2
a
b
b
-
×
=
r
r
r
，可得：
2
2
2
a b
b
×
=
+
r r
r
因为
2
b =
r
，
所以
2
2
2
2
2
2 2
10
a b
b
×
=
+
=
+ ´
=
r
r
r
.
又因为a
r
在b
r
上的投影向量为
· ·
a b b
b
b
r r
r
r
r ，
所以a
r
在b
r
上的投影向量的模
10
5
2
a b
b
×
=
=
r
r
r
.
故选：C.
6．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知ar ，b
r 是单位向量，且
1
2
a b
×
=
r
r
．若平面向量pr 满足
2
p a
p b
×
=
×
=
r
r r
r
，则pr
的值为（ ）
A．2 2
3
B．4 3
3
C．
3
D．2
【答案】B
【详解】由题意，得
1
a
b
=
=
r
r
，设向量ar 、b
r 的夹角为θ，
因为
1
2
a b
×
=
r
r
，所以
1
cos
2
q =
，故
π
3
q =
．
以O 为原点，以ar 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，
使b
r 的起点与O 重合，终点在第一象限，则
1,0
a =
r
，
1
3
,
2
2
b
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，
设
,
p
x y
=
r
，则
2
1
3
2
2
2
p a
x
p b
x
y
×
=
=
ìïí ×
=
+
=
ïî
r r
r
r
，故
2
2 3
3
x
y
=
ìïí
=
ïî
，
所以
2 3
2,
3
p
æ
ö
= ç
÷
ç
÷
è
ø
r
，故
2
2
2 3
4 3
2
3
3
p
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
r
．
故选：B
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知AD 为
ABC
V
的高，且
2
AD =
，则BA AD
×
=
uuur uuur
（ ）
A．2
-
B．2
C．2 2
D．2 2
-
【答案】A
【详解】
因为AD 为
ABC
V
的高，所以
0
BD AD
×
=
uuur uuur
2
2
0
2
2
BA AD
BD
DA
AD
BD AD
DA AD
BD AD
AD
×
=
+
×
=
×
+
×
=
×
-
=
-
= -
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
,
故选：A.
8．（2025·河北·模拟预测·多选）已知
2
2
a
b
=
=
r
r
，且向量,a b
r
r
的夹角为π
3 ，下列说法正确的是（ ）
A．
2
2 5
a
b
+
=
r
r
B．
4
a
b
a
-
^
r
r
r
C．向量
2
a
b
-
r
r
和ar 的夹角为π
2
D．若
2
/ /
3
a
b
a
b
l +
-
r
r
r
r
，则
2
3
l = -
【答案】BD
【详解】因为
2
2
a
b
=
=
r
r
，且向量,a b
r
r
的夹角为π
3 ，
对于选项A：
2
2
2
π
2
2
4
4 ·
4
4
4 2 1 cos
2 3
3
a
b
a
b
a
b
a b
+
=
+
=
+
+
=
+
+ ´ ´ ´
=
r
r
r
r
r
r
r
r
，则A 错误；
对于选项B：
要使得
4
a
b
a
-
^
r
r
r ，则它们的数量积为0.
即
π
4
4
4 2 1 cos
0
3
a
b
a
-
×
=
- ´ ´ ´
=
r
r
r
，则B 正确；
对于选项C：
因为
π
4
2 2 1 cos
2
·
2
1
3
cos
2 ,
4
2
π
2
4
4
4 2 1 cos
2
3
a
b
a
a
b a
a
b a
- ´ ´ ´
-
-
=
=
=
=
-
+
- ´ ´ ´
´
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，则
π
2 ,
3
a
b a
<
-
>=
r
r
r
，则C 错误；
对于选项D：因为
2
/ /
3
a
b
a
b
l +
-
r
r
r
r
，
所以
2
3
a
b
k a
b
l +
=
-
r
r
r
r
，解得
2
3
k
l =
= -
，则D 正确．
故选：BD ．
9．（2025·江西新余·模拟预测·多选）已知矩形ABCD 中，
10
AB =
，
8
BC = ，BM
BC
l
=
uuuur
uuur
，DN
DC
m
=
uuur
uuur
，其中
0
l
£
，
1
m £ ，
5
MN =
uuuur
，则（ ）
A．l
m
+
是定值
B．若
3
5
m =
，则
5
3
8
5
AN
AD
AM
=
+
uuur
uuur
uuuur
C．
90
AM AN
×
>
uuuur uuur
D．
2
521
AM
AN
+
£
uuuur
uuur
【答案】BCD
【详解】当
5
CM =
时，N 与C 重合，
3
11
1
8
8
l
m
+
=
+ =
，当
5
CN =
时，，M 与C 重合，
1
3
1
2
2
+
=
，故A 错误；
当
3
5
m =
时，
4
CN =
uuur
，而
5
MN =
uuuur
，故
3
CM =
uuuur
，
则
3
5
3
3
5
3 5
5
8
8
5
8
5 8
AN
AD
DN
AD
AB
AD
AD
AB
AD
AD
AB
æ
ö
=
+
=
+
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
5
3 5
5
3
5
3
8
5 8
8
5
8
5
AD
BC
AB
AD
BM
AB
AD
AM
æ
ö
=
+
+
=
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuuur
，故B 正确；
取线段MN 的中点P ，因为
1
5
2
2
CP
MN
=
uuur
uuuur
，故点P 在以C 为圆心、5
2 为半径的圆上,与
,
BC DC 分别交于H
I
、，且
在矩形ABCD 内（含边上位置），
AP
PC
AC
+
³
uuur
uuur
Q
uuur
，
5
2 41
2
AP
AC
PC
\
³
-
=
-
uuur
uuur
uuur
，
当点P 在H 处时，AP
uuur
取得最大值
2
5
521
100
8
2
2
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
5
25
(
) (
)
2 41
164 10 41
90
2
4
AM AN
AP
PM
AP
PM
AP
PM
æ
ö
×
=
+
×
-
=
-
³
-
-
=
-
>
ç
÷
è
ø
uuuur uuur
uuur
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuuur
，故C 正确；
2
2
2
2
521
2
4 |
|
4
4
521
4
AM
AN
AP
AP
AH
+
=
=
£
=
´
=
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，故D 正确.
故选：BCD.
10．（2025·湖北黄冈·模拟预测·多选）在直角梯形ABCD 中，AD ∥
,
,
2
2
4,
BC AB
BC BC
AB
AD
E
^
=
=
=
为BC 的
中点，则（ ）
A．AE
DC
=
uuur
uuur
B．
8
AD AC
×
=
uuur uuur
C．
2 5
DE AC
×
=
uuur uuur
D．
2
4
AD
AB
AC
-
^
uuur
uuur
uuur
【答案】ABD
【详解】
对于A，由
/ /
AD
EC ，且
2
AD
EC
=
=
，
得四边形AECD 为平行四边形，因此AE
DC
=
uuur
uuur
，故A 正确；
对于B，
2
2
2
8
AD AC
AD
AD
AB
AD
×
=
×
+
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，故B 正确；
对于C，
2
4
DE AC
AB
AB
BC
AB
×
=
×
+
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，故C 错误；
对于D，(2
4
)
2
4
16 16
0
AD
AB
AC
AD AC
DE AC
-
×
=
×
-
×
=
-
=
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
因此
2
4
AD
AB
AC
-
^
uuur
uuur
uuur
，故D 正确.
故选：ABD
11．（24-25 高一下·江苏盐城·期中·多选）已知
2
OM
ON
=
=
uuuur
uuur
，OM
uuuur
与ON
uuur
夹角为π
3 ，若
2
OP =
uuur
且
0,
0
OP
xOM
yON x
y
=
+
³
³
uuur
uuuur
uuur
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
0
y =
时，OP
uuur
在ON
uuur
上的投影向量为
3
2 ON
uuur
B．当x
y
=
时，
0
OP MN
×
=
uuur uuuur
C．当
1
2
x =
时，
13
1
4
y
-
=
D．PM PN
×
uuuur uuur 的最大值为0
【答案】BCD
【详解】由题设，OMN
V
是边长为2 的等边三角形，且
2 2 cos60
2
OM ON
×
=
´ ´
° =
uuuur uuur
，
A：当
0
y =
时，OP
xOM
=
uuur
uuuur
，又
2
OM
OP
=
=
u
u u
uuur
ur
，即OP
OM
=
uuur
uuuur
，故OP
uuur
在ON
uuur
上的投影向量为1
2 ON
uuur
，错；
B：当x
y
=
时，
(
)
OP
x OM
ON
=
+
uuur
uuuur
uuur
，即P 在OMN
V
中边MN 的中线上，
又OMN
V
为等边三角形，故OP
MN
^
，即
0
OP MN
×
=
uuur uuuur
，对；
C：当
1
2
x =
时，
1
2
OP
OM
yON
=
+
uuur
uuuur
uuur
，则
2
|
2
|
)
1
(
OP
OM
yON
=
+
uuur
uuuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
|
|
1
4
2
1
2
4
OP
OM
yOM O
O
y
y
y
N
N
×
=
+
+
+
=
=
+
uuur
uuuur
uuuur uuur
uuur
，
所以
2
1
4
2
4
y
y
+
+
=
，即
2
4
2
3
0
y
y
+
-
=
，又
0
y ³
，故
13
1
4
y
-
=
（负值舍），对；
D：
(
) (
)
PM PN
OM
OP
ON
OP
×
=
-
×
-
=
uuuur uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
[(1
)
] [(1
)
]
x OM
yON
y ON
xOM
-
-
×
-
-
=
uuuur
uuu
u
r
uu r
u
uu
ur
2(1
)(1
)
4 (
1)
4 (
1)
2
x
y
x x
y y
xy
-
-
+
-
+
-
+
2
2
4
4
6
6
4
2
x
y
x
y
xy
=
+
-
-
+
+
,
由
2
2
2
|
|
)
4
4
4
2
(
OP
xOM
yON
x
xy
y
=
+
=
+
+
=
uuur
uuuur
uuur
，即
2
2
1
x
xy
y
+
+
= ①，
所以PM PN
×
=
uuuur uuur
6
6(
)
x
y
-
+
，要使该值最大，只需x
y
+
最小，
由①得
2
(
)
1
0
x
y
xy
+
- =
³
，则
1
x
y
+
³ ，所以
0
PM PN
×
£
uuuur uuur
，对.
故选：BCD
12．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知向量a
r
与b
r
方向相同，
( 2,
6)
a =
-
r
，|
| 2
b =
r
，则|
2
|
a
b
-
=
r
r
.
【答案】2
【详解】由
( 2,
6)
a =
-
r
，得|
| 2 2
a =
r
，而向量a
r
与b
r
方向相同，|
| 2
b =
r
，
则
2
a
b
=
r
r
，所以|
2
| |
| 2
a
b
b
-
=
=
r
r
r
.
故答案为：2
13．（2025·四川巴中·三模）非零向量ar ，b
r 满足：|
| |
|
a
b
a
-
=
r
r
r ，
(
)
0
a
a
b
×
-
=
r
r
r
，则a
b
-
r
r
与b
r 夹角的余弦值为
.
【答案】
2
2
-
/
1
2
2
-
【详解】根据题意，设a
OA
=
r
uuur
，b
OB
=
r
uuur
，则a
b
OA
OB
BA
-
=
-
=
uuur
uuur
uuur
r
r
，
若|
| |
|
a
b
a
-
=
r
r
r ，
(
)
0
a
a
b
×
-
=
r
r
r
，即|
| |
|
BA
OA
=
uuur
uuur
，且OA
BA
^
uuur
uuur
，
则
OAB
△
为等腰直角三角形，
则a
b
-
r
r
与b
r 的夹角为180
45
135
° -
° =
°，余弦值为
2
2
-
.
故答案为：
2
2
-
.
14．（2025·广西柳州·模拟预测）已知|
| 5,|
| 4,
a
b
a
=
=
r
r
r 与b
r 的夹角
2π
3
q =
，则(
)
a
b
b
+
×
=
r
r
r
.
【答案】6
【详解】由|
| 5,|
| 4,
a
b
a
=
=
r
r
r 与b
r 的夹角
2π
3
q =
，
则
2
2
2π
(
)
5 4 cos
4
6
3
a
b
b
a b
b
+
×
=
×
+
= ´ ´
+
=
r
r
r
r
r
r
.
故答案为：6.
15．（2025·海南·模拟预测）已知平面向量ar ，b
r 满足|
|
3,|
| 2
a
b
=
£
r
r
，且| 3
2 |
11
a
b
-
£
r
r
，则向量ar 在向量b
r 方向上
的投影的最小值为
．
【答案】4
3 / 1
13
【详解】因为3
2
11
-
£
a
b
r
r
，所以
2
2
9
12
4
11
£
-
× +
a
a b
b
r
r r
r
，所以
2
2
12
9
4
11
×
³
+
-
a b
a
b
r r
r
r
，
又
3
a =
r
，所以
2
3
4
×
³
+
a b
b
r r
r ，
因为向量a
r
在向量b
r
方向上的投影为
2
4
4
4
1
4
cos
,
2
3
3
3
3
3
3
+
×
=
³
=
+
³
´
=
b
b
a b
a
a b
b
b
b
r
r
r r
r
r r
r
r
r
，
当且仅当
4 3
3,
2,cos
,
9
=
=
=
a
b
a b
r
r
r r
时等号成立，
故向量a
r
在向量b
r
方向上的投影的最小值为4
3 .
故答案为：4
3 ．
16．（2024·上海·三模）已知向量ar 、b
r 满足
1
a =
r
，
2
b =
r
，
5
a
b
+
=
r
r
，则
,a b =
r
r
．
【答案】π
2
【详解】由题意有
2
2
2
2
2
2
2
2
5
a
b
a
b
a
a b
b
a
a b
b
+
=
+
=
+
×
+
=
+
×
+
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，
解得
0
a b
×
=
r
r
，所以
π
,
2
a b =
r
r
.
故答案为：π
2 .
17．（24-25 高一下·上海·期中）已知
3,
4,
13
a
b
a
b
=
=
-
=
r
r
r
r
(1)求a
r
与b
r
的夹角大小；
(2)求a
r
在b
r
上的数量投影.
【答案】(1) π
3
(2) 3
2
【详解】（1）由题可知：
3,
4,
13
a
b
a
b
=
=
-
=
r
r
r
r
，
所以
2
2
2
13
a
b
a
b
a b
-
=
+
-
×
=
r
r
r
r
r
r
则
6
a b
×
=
r r
，
1
cos
,
2
a b
a b
a
b
×
=
=
×
r
r
r
r
r
r
，
又
,
0,π
a b Î
r
r
，所以夹角为π
3
（2）a
r
在b
r
上的数量投影为
π
3
cos 3
2
a
=
r
.
18．（24-25 高一下·云南丽江·期中）已知ar ，b
r 是单位向量，且
0
a b
×
=
r
r
．
(1)若非零向量cr 满足
0
a
c
b
c
-
×
-
=
r
r
r
r
，求cr 的最大值；
(2)若向量cr 满足
1
c
a
b
-
-
=
r
r
r
，求cr 的取值范围．
【答案】(1) 2
(2)
2
1
2
1
é
ù
-
+
ë
û
，
【详解】（1）
1 因为
0
a b
×
=
r
r
，
所以
a
c
b
c
-
×
-
r
r
r
r
2
a b
a
b
c
c
=
×
-
+
×
+
r
r
r
r
r
r
2
c
a
b
c
=
-
+
×
r
r
r
r
2
cos
0
c
a
b
c
q
=
-
+
×
=
r
r
r
r
，( 其中q 为向量a
b
+
r
r
与cr 的夹角) ，
所以
0
c
c
a
b cosq
-
+
=
r
r
r
r
．
又
0
c ¹
r
，
0
a b
×
=
r
r
，
所以
cos
2 cos
c
a
b
q
q
=
+
=
r
r
r
，
所以cr 的最大值为2 ．
（2）方法一：由
0
a b
×
=
r
r
，得a
b
^
r
r
．
又
1
a
b
=
=
r
r
，且
1
c
a
b
-
-
=
r
r
r
，
不妨令
c
x
y
=
r
，
，
1 0
a =
r
，，
01
b =
r
，，则
2
2
(
1)
(
1)
1
x
y
-
+
-
= ．
又
2
2
c
x
y
=
+
r
，
故根据几何关系可知
2
2
max
1
1
1
1
2
c
=
+
+ = +
r
，
2
2
min
1
1
1
2
1
c
=
+
- =
-
r
，
所以cr 的取值范围是
2
1
2
1
é
ù
-
+
ë
û
，
．
方法二： 令OA
a
=
uuur
r ，OB
b
=
uuur
r
，OC
c
=
uuur
r ，OD
a
b
=
+
uuur
r
r
，
则
2
OD
a
b
=
+
=
uuur
r
r
．
又
1
c
a
b
-
-
=
r
r
r
，
所以点C 在以点D 为圆心，半径为1的圆上，
如图所示，易知当点O ，C ，D 共线时，OC
c
=
uuur
r 取得最值，
最大值为
2
1
+ ，最小值为
2
1
- ，
所以cr 的取值范围是
2
1
2
1
é
ù
-
+
ë
û
，
．
19．（24-25 高一下·新疆喀什·期末）回答下列问题
(1)已知平面向量a
r
、b
r
的夹角为60°，且a
r
为单位向量，
1, 3
b =
r
，求a
b
+
r
r
(2)已知向量a
r
、b
r
，满足
2
2 7
a
b
+
=
r
r
，
2
a =
r
，
3
b =
r
，求向量a
r
与b
r
的夹角.
【答案】(1)
7
(2) π
6
【详解】（1）因为a
r
为单位向量，
1, 3
b =
r
，
所以
1
a =
r
，
2
21
3
2
b =
+
=
r
，
又因为平面向量a
r
、b
r
的夹角为60°，所以
1
cos60
1 2
1
2
a b
a b
×
=
° = ´ ´
=
r
r
r
r
，
所以
2
2
2
2
1
2 1
4
7
a
b
a
b
a
a b
b
+
=
+
=
+
×
+
=
+ ´ +
=
r
r
r
r
r
r
r
r
.
（2）因为
2
2 7
a
b
+
=
r
r
，
2
a =
r
，
3
b =
r
，
所以
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
28
a
b
a
a b
b
a
a b
b
+
=
+
×
+
=
+
×
+
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，解得
3
a b
×
=
r r
，
所以
cos ,
3
a b
a b
a b
×
=
=
r
r
r
r
r
r
，解得
3
cos ,
2
a b =
r
r
，
又因为
,
0,π
a b Î
r
r
，所以
π
,
6
a b =
r
r
.
20．（24-25 高一下·黑龙江黑河·期末）已知平面向量a
r
，b
r 满足：
3
a =
r
，
4
b =
r
，a
r
与b
r
的夹角为π
6 .
(1)求a b
×
r r
；
(2)设平面向量
3
m
a
b
=
-
ur
r
r
，n
a
kb
=
+
r
r
r
，若m
ur
，n
r
的夹角为锐角，求实数k 的取值范围.
【答案】(1)6
(2)
3
1
1
,
,
2
3
3
¥
æ
ö
æ
ö
-
-
È -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
【详解】（1）因为
3
a =
r
，
4
b =
r
，a
r
与b
r
的夹角为π
6 ，
所以
π
3
cos
3
4
6
6
2
a b
a
b
×
=
´
´
=
´ ´
=
r
r
r
r
；
（2）因为向量
3
m
a
b
=
-
ur
r
r
与n
a
kb
=
+
r
r
r
的夹角为锐角，
所以(3
) (
)
0
a
b
a
kb
-
×
+
>
r
r
r
r
且3a
b
-
r
r
与a
kb
+
r
r 不同向共线.
可得：
2
2
(3
) (
)
3
3
1
0
a
b
a
kb
a
k
a b
kb
-
×
+
=
+
-
×
-
>
r
r
r
r
r
r
r
r
，
将
2
3
a =
r
，
2
16
b =
r
，
6
a b
×
=
r
r
代入上式可得：3 3
(3
1) 6
16>0
k
k
´ +
-
´ -
´
，
整理得：2
3>0
k +
，可得
3
2
k > -
.
若两向量同向共线，则存在实数
0
t >
，使得3
(
)
a
b
t a
kb
-
=
+
r
r
r
r
，即3a
b
ta
ktb
-
=
+
r
r
r
r
.
所以
3
1
t
kt
=
ì
í- =
î
，解得
1
3
k = -
.
所以当两向量不同向共线时，
1
3
k ¹ -
.
综合以上两个条件，实数k 的取值范围是
3
1
1
,
,
2
3
3
¥
æ
ö
æ
ö
-
-
È -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
1．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）已知向量
2
11
a
x
b
=
=
r
r
，，
， ，若
3
b
a
b
^
-
r
r
r
，则 x = （ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4
【答案】C
【详解】由题可知
2
3
3
0
b
a
b
b a
b
×
-
=
×
-
=
r
r
r
r
r
r
,所以
2
2
2
3
1
1
0
x +
- ´
+
=
,解得
4
x =
.
故选：C
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点
1,0 ,
0,1 ,
2,3
A
B
C
，则向量AB
uuur 在AC
uuur
上的投影向量为（
）
A．
2
6
,
10
10
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
2,6
C．
1
3
,
10 10
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．1 3
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】D
【详解】因为
1,0 ,
0,1 ,
2,3
A
B
C
，
所以
( 1,1),
(1,3)
AB
AC
= -
=
uuur
uuur
，
所以
2
AB AC
×
=
uuur uuur
，
10
AC
® =
，
所以向量AB
uuur 在AC
uuur
上的投影向量为
2
|
1 3
( ,
5 5
|
)
AB AC AC
AC
×
×
=
uuur uuur uuur
uuur
.
故选：D.
3．（24-25 高一下·湖南衡阳·期末）
1,1
a =
r
，
1,2
b = -
r
，则ar 在b
r 上的投影向量是（ ）
A．1 2
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．
1 2
,
5 5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
C．2 1
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．2
1
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】B
【详解】由题意可得，
1
2
1
a b
×
= - +
=
r r
，
2
2
1
2
5
b =
-
+
=
r
，
则ar 在b
r 上的投影向量是
2
1
1 2
,
5
5 5
a b b
b
b
×
æ
ö
=
= -
ç
÷
è
ø
r r r
r
r
.
故选：B
4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知向量
2,1 ,
1, 1
a
b
=
=
-
r
r
，若 a
b
a
mb
+
=
-
r
r
r
r
，则 m = （ ）
A．2
B．1
-
C．2 或
1
-
D．3
【答案】C
考点三
平面向量的坐标运算
【详解】因为
3,0
a
b
+
=
r
r
，所以
3
a
b
+
=
r
r
.
因为
2,1
,
2
,1
a
mb
m
m
m
m
-
=
-
-
=
-
+
r
r
，
所以
2
2
2
2
1
2
2
5
a
mb
m
m
m
m
-
=
-
+
+
=
-
+
r
r
.
因为
a
b
a
mb
+
=
-
r
r
r
r
，所以
2
2
2
5
3
m
m
-
+
=
，
解得
2
m =
或
1
m = - ，
故选 ：C.
5．（24-25 高三下·辽宁·期中·多选）已知向量
1,3
a =
r
，
2,1
b = -
r
，则（ ）
A．
1
a b
× =
r r
B．
2
|
|
|
|
4
a
b
=
+
r
r
C．
/ /
a
b
b
+
r
r
r
D．
2
cos ,
10
a b =
r
r
【答案】AD
【详解】对于A，
1 ( 2)
3 1
1
a b
×
= ´ -
+ ´ =
r r
，故A 正确；
对于B，
2
2
1
3
10
a =
+
=
r
，
2
2
2
|
|
( 2)
1
5
b
= -
+
=
r
，故
2
|
|
5
a
b
=
+
r
r
，故B 错误；
对于C，
( 1,4)
a
b
+
= -
r
r
，由于1 1
2 4
- ´ ¹ - ´
，故C 错误；
对于D，
1
2
cos ,
10
5 2
a b
a b
a b
×
=
=
=
×
r
r
r
r
r
r
，故D 正确．
故选：AD.
6．（2025·吉林·模拟预测·多选）已知向量
cos , 3
a
q
=
r
，
1,sin
b
q
=
r
，若a
b
a
b
+
=
-
r
r
r
r
，则q 可能为（ ）
A．
π
6
-
B．2π
3
C．5π
6
D．11π
6
【答案】ACD
【详解】
a
b
a
b
+
=
-
r
r
r
r
Q
，以,a b
r r
为临边的平行四边形对角线相等，
a
b
\
^
r
r
，
1
3
π
cos
3sin
2
cos
sin
2sin
0
2
2
6
a b
q
q
q
q
q
æ
ö
æ
ö
\ ×
=
+
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
r
r
，
π
6
k
p
q
\
= -
+
，k ÎZ ，
0,1,2
k =
时，
π 5π 11π
,
,
6
6
6
q = -
，
故选：ACD．
7．（2025·陕西汉中·一模·多选）已知向量
(1,2)
a =
r
，
(1, 1)
=
-
r
b
，则（ ）
A．
2
(3,1)
a
b
+
=
r
r
B．
5
a =
r
C．
10
cos
,
10
a b
<
>=
r r
D．a
r
在b
r
方向上的投影向量坐标是
1 1
(
, )
2 2
-
【答案】BD
【详解】对于A：
2
(1,2)
(2, 2)
(3,0)
a
b
+
=
+
-
=
r
r
，错误；
对于B：|
|
1
4
5
a =
+
=
r
，正确；
对于C：
1
10
cos
,
10
|
||
|
5
2
a b
a b
a b
×
-
á
ñ =
=
= -
´
r
r
r
r
r
r
，错误；
对于D：ar 在b
r 方向上的投影向量坐标是
2
1
1 1
cos
,
(1, 1)
,
2
2 2
|
|
b
a b
a
a b
b
b
b
×
æ
ö
×
=
×
= -
×
-
= -
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
r
r
r
r
r
，正确.
故选：BD.
8．（2025·江西·模拟预测·多选）已知向量
(2,3),
( 4,
)
a
b
m
=
= -
r
r
，则（ ）
A．若a
b
^
r
r
，则
8
3
m =
B．若
1
m = ，则
2 15
a
b
-
=
r
r
C．若
a
b
b
+
∥
r
r
r
，则
6
m =
D．若
2
m =
，则ar 在b
r 方向上的投影向量的坐标为2
1
,
5
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【答案】AD
【详解】对于A，由a
b
^
r
r
，可得
8
3
0
a b
m
×
= - +
=
r
r
，解得
8
3
m =
，故A 正确；
对于B，当
1
m = 时，
(6,2)
a
b
-
=
r
r
，故
2
2
|
|
6
2
2 10
a
b
-
=
+
=
r
r
，故B 错误；
对于C，
( 2,3
)
a
b
m
+
= -
+
r
r
，由(
)
a
b
b
+
r
r
r
∥，可得
6
2
m
m
=
+
，解得
6
m = - ，故C 错误；
对于D，当
2
m =
时，
( 4,2)
b = -
r
，此时ar 在b
r 方向上的投影向量的坐标为
8
6
2
1
( 4,2)
,
20
5
5
a b
b
b
b
×
- +
æ
ö
×
=
´ -
=
-
ç
÷
è
ø
r
r
r
r
r
，故D 正确．
故选：AD．
9．（2025·北京西城·一模）设平面向量
1,1
a = -
r
，
2,1
b = -
r
，
,
c
x y
=
r
，且
5
c =
r
，则使得向量b
c
-
r
r
与a
r
共线的一
组值x =
，y =
．
【答案】
4
- （答案不唯一，填3也对）
3（答案不唯一，第一空填4
- ，则第二空填3，第一空填3，
则第二空填4
- ）
【详解】因为
5
c =
r
，
,
c
x y
=
r
，
所以
2
2
5
x
y
+
=
，即
2
2
25
x
y
+
=
，
因为
2,1
b = -
r
，
,
c
x y
=
r
，所以
2
,1
b
c
x
y
-
= - -
-
r
r
，
又向量b
c
-
r
r
与a
r
共线，
1,1
a = -
r
，
所以2
1
0
x
y
- -
+ -
=
，
所以
1
x
y
= - - ，
所以
2
2
1
25
y
y
- -
+
=
，
所以
3
y = 或
4
y = - ，
所以
4
3
x
y
= -
ì
í
=
î
或
3
4
x
y
=
ì
í
= -
î
，
故答案为：4
- ；3（答3；4
- 也对）
10．（24-25 高三上·四川绵阳·阶段练习）已知向量
3,
,
2,
1
a
m
b
m
=
=
+
r
r
，若//
a b
r r ，则
2
a
b
-
=
r
r
.
【答案】2
【详解】由
3,
,
2,
1
a
m
b
m
=
=
+
r
r
，
/ /
a
b
r
r
，得
3
1
2
m
m
+
=
，解得
3
m = - ，
因此
3, 3 ,
2, 2
a
b
=
-
=
-
r
r
，即
2
1,1
a
b
-
= -
r
r
，
所以
2
2
2
1
1
2
a
b
-
=
-
+
=
r
r
，
故答案为：2
11．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量
(2,2)
a =
r
，向量b
r 满足(
)
b
a
a
-
^
r
r
r ，则2
b
r
在ar 上的投影向量的坐标
为
.
【答案】
1,1
【详解】由
b
a
a
-
^
r
r
r
，可得
0
b
a
a
-
×
=
r
r
r
，即
2
2
8
b a
a
a
×
=
=
=
r r
r
r
，
所以
2
r
b 在a
r
上的投影向量为
2
4
2
2,2
1,1
8
b a
a
a
×
×
=
=
r r
r
r
.
故答案为：
1,1 .
12．（2025·河北衡水·三模）已知向量
1,1
a =
r
，
1, 1
b =
-
r
，若
a
b
a
b
l
m
+
^
+
r
r
r
r
且
0
l >
，则l
m
-
的最小值
为
.
【答案】2
【详解】由题意得，
1
,1
a
b
l
l
l
+
=
+
-
r
r
，
1
,1
a
b
m
m
m
+
=
+
-
r
r
，
因
a
b
a
b
l
m
+
^
+
r
r
r
r
，则
1
1
1
1
a
b
a
b
l
m
l
m
l
m
+
×
+
=
+
+
+
-
-
r
r
r
r
2 1
0
lm
=
+
=
，则
1
lm = - ，
因
0
l >
，则
1
2
l
m
l
l
-
=
+
³
，等号成立时
1
l = ，
故l
m
-
的最小值为2 .
故答案为：2
13．（24-25 高一下·重庆渝北·期中）已知点(1,1), (5,3)
A
B
，O 为坐标原点，M 为x 轴上一动点.
(1) AM
BM
^
uuuur
uuuur ，求点M 的坐标；
(2)当AM BM
×
uuuur uuuur 取最小值时，求向量AM
uuuur 与BM
uuuur 的夹角的余弦值.
【答案】(1) (2,0) 或(4,0)
(2)
65
65
-
【详解】（1）根据题意，设点
( ,0)
M x
，又(1,1), (5,3)
A
B
，得
(
1, 1),
(
5, 3)
AM
x
BM
x
=
-
-
=
-
-
uuuur
uuuur
，
由AM
BM
^
uuuur
uuuur ，即
2
(
1)(
5)
3
6
8
0
AM BM
x
x
x
x
×
=
-
-
+
=
-
+
=
uuuur uuuur
，解得
2
x =
或
4
x =
，
M
\
的坐标为(2,0) 或(4,0) ；
（2）由（1）可得：
2
2
(
1)(
5)
3
6
8
(
3)
1
AM BM
x
x
x
x
x
×
=
-
-
+
=
-
+
=
-
-
uuuur uuuur
，
当
3
x =
时，AM BM
×
uuuur uuuur 取得最小值1
- ，此时
(2, 1),
( 2, 3)
AM
BM
=
-
= -
-
uuuur
uuuur
，|
|
5,|
|
13
AM
BM
=
=
uuuur
uuuur
，
设AM
uuuur 与BM
uuuur 夹角为q ，则此时
1
65
cos
65
|
| |
|
5
13
AM BM
AM
BM
q
×
-
=
=
= -
×
´
uuuur uuuur
uuuur
uuuur
.
14．（24-25 高一下·广东江门·阶段练习）已知
(1,1)
a =
r
，
(0, 2)
b =
-
r
．
(1)若ka
b
-
r
r
与
2
a
b
+
r
r
共线，求k 的值．
(2)若3a
kb
-
r
r
与3a
b
+
r
r
的夹角为90°，求k 的值．
(3)求向量ar 在向量b
r 上投影向量．
【答案】(1)
1
2
-
；
(2) 6
- ；
(3)
0,1 ．
【详解】（1）因为
(1,1)
a =
r
，
(0, 2)
b =
-
r
，
所以
( ,
2)
ka
b
k k
-
=
+
r
r
，
2
(1, 3)
a
b
+
=
-
r
r
，
因为ka
b
-
r
r
与
2
a
b
+
r
r
共线，所以3
2
k
k
-
=
+
，解得
1
2
k = -
；
（2）因为3
(3,3
2 )
a
kb
k
-
=
+
r
r
，3
(3,1)
a
b
+
=
r
，
又3a
kb
-
r
r
与3a
b
+
r
r
的夹角为90°，
则(3
) (3
)
3 3
3
2
0
a
kb
a
b
k
-
×
+
= ´ +
+
=
r
r
r
r
，解得
6
k = - ；
（3）因为
(1,1)
a =
r
，
(0, 2)
b =
-
r
，
所以
2
a b
×
= -
r
r
，|
| 2
b =
r
，
所以向量ar 在向量b
r 上投影向量为
2
1
0,1
2
|
|
a b b
b
b
×
×
= -
=
r
r
r
r
r
．
15．（24-25 高一下·新疆乌鲁木齐·期末）已知向量
1,4 ,
2,3
a
b
=
=
r
r
.
(1)求
2
a
b
+
r
r
的坐标；
(2)求ar ；
(3)若
b
c
a
l
=
-
r
r
r
，且b
c
^
r
r ，求实数l 的值.
【答案】(1)
5,10
(2) 17
(3)
13
14
l =
【详解】（1）
2
1,4
2 2,3
5,10
a
b
+
=
+
=
r
r
；
（2）
2
4
1
4
17
a =
+
=
r
；
（3）已知
1,4
2,3
2,4
3
c
a
b
l
l
l
l
=
-
=
-
=
-
-
r
r
r
，因为
,
0
b
c b c
^
×
=
r
r
r
r
，
即
2
2
4
3
3
0
l
l
-
´ +
-
´ =
，所以
13
14
l =
.
16．（24-25 高一下·湖南·期末）设 0
2
a
p
b
p
<
<
<
<
，向量
1,
2
2cos ,sin
sin ,2cos
cos ,
2sin
.
a
b
c
d
a
a
b
b
b
b
=
-
=
=
=
-
r
r
r
r
，
，
，
(1)若 a
b
^
r
r
，求a ;
(2)若
3
c
a
+
=
r
r
∣
∣
，求 sin
cos
b
b
+
的值;
(3)若 tan tan
4
a
b = ，求证： b
r // .cr
【答案】(1)
4
p
a =
(2)
15
3
-
(3)证明见解析
【详解】（1）若a
b
^
r
r
，则
2cos
2sin
0
a b
a
a
×
=
-
=
r
r
，
tan
1
a
\
= ，
再由0
a
p
<
<
，可得
;
4
p
a =
（2）由题意可得
sin
cos
2cos
2sin
c
d
b
b
b
b
+
=
+
-
r
r
，
，
2
2
(sin
cos )
(2cos
2sin )
5
6sin cos
3
c
d
b
b
b
b
b
b
\
+
=
+
+
-
=
-
=
r
r
，
1
sin cos
3
b
b
\
=
．
结合
2
p
b
p
<
<
，可得b 为第三象限角，故sin
cos
0
b
b
+
<
，
2
15
sin
cos
(sin
cos )
1
2sin cos
3
b
b
b
b
b
b
\
+
= -
+
= -
+
= -
；
（3）若tan
tan
4
a
b
×
=
，则有sin
sin
4
cos
cos
a
b
a
b
×
=
，
2cos 2cos
sin sin
a
b
a
b
\
=
，
2cos ,sin
sin ,2cos
b
c
a
a
b
b
=
=
Q
r
r
，
故
//
b
c
r
r ．
1．（2025·河南新乡·二模）已知
1
1
,
a
x y
=
r
，
2
2
,
b
x
y
=
r
都是非零向量，定义新运算
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
a
b
x x
x y y
x x
y x y
=
+
+
+
r
r
e
，则“
0
a
b =
r
r
e
”是“ a
b
^
r
r ”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
0
a
b =
r
r
e
，则
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
0
a
b
x x
x y y
x x
y x y
x
x
x x
y y
=
+
+
+
=
+
+
=
r
r e
，则
1
2
0
x
x
+
=
或
1
2
1
2
0
x x
y y
+
=
.
当
1
2
0
x
x
+
=
时，
1
2
1
2
0
a b
x x
y y
×
=
+
=
r r
未必成立；
当
1
2
1
2
0
x x
y y
+
=
时，
1
2
1
2
0
a b
x x
y y
×
=
+
=
r r
.
故“
0
a
b =
r
r
e
”是“ a
b
^
r
r ”的必要不充分条件.
故选：B
2．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知对任意平面向量
,
AB
x y
=
uuur
，把AB
uuur 绕其起点沿逆时针方向旋转q 角得
到向量
cos
sin , sin
cos
AP
x
y
x
y
q
q
q
q
=
-
+
uuur
，叫做把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转q 角得到点P .已知平面内点
1,2
A
，
1
2,2
2 2
B
+
-
，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π
4 后得到点P ，则P 的坐标为（
）
A．
0, 1
-
B．
2,5
C．
4,1
D．
3, 1
-
【答案】C
【详解】
2, 2 2
AB =
-
uuur
，把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转π
4 后得到
2
2
2
2
2
2 2
,
2
2 2
3, 1
2
2
2
2
AP
æ
ö
=
´
+
´
´
-
´
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
，
设
,
P m n ，则
1,
2
3, 1
AP
m
n
=
-
-
=
-
uuur
，
解得
4,
1
m
n
=
= ，即
4,1
P
.
故选：C.
3．（24-25 高一下·江苏·阶段练习）如图，设
,
Ox Oy 是平面内相交成60°角的两条数轴，
1e
ur
，
2e
uur
分别是与x 轴、y 轴
考点四
平面向量的新定义问题
正方向同向的单位向量，若向量
1
2
OP
xe
ye
=
+
uuur
ur
uur
，则把有序数对( , )
x y 叫作向量OP
uuur
在坐标系xOy 中的坐标.若
(1,2),
OM =
uuuur
(4,5)
ON =
uuur
，则|
|
MN =
uuuur
（ ）
A．5
5
-
B．3
C．3 3
D．6
【答案】C
【详解】依题意，
1
2
1
2
1
|
|
| 1,
cos60
2
|
e
e
e e
=
×
=
=
=
o
ur
uur
ur uur
，
1
2
1
2
2 ,
4
5
OM
e
e ON
e
e
=
+
=
+
uuuur
ur
uur uuur
ur
uur
，则
1
2
1
2
1
2
(4
5 )
(
2
)
3
3
MN
ON
OM
e
e
e
e
e
e
=
-
=
+
-
+
=
+
uuuur
uuur
uuuur
ur
uur
ur
uur
ur
uur
，
则
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
1
|
|
(3
3 )
9
18
9
9 18
9
27
2
MN
e
e
e
e e
e
=
+
=
+
×
+
=
+
´
+
=
uuuur
ur
uur
ur
ur uur
uur
，故
3 3
MN =
uuuur
.
故选：C.
4．（24-25 高二上·山西晋城·期中·多选）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向
量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量a
r
与b
r
的外积a b
´
r
r
是一个向量，其长度等于
sin ,
a
b
a b
a b
´
=
r
r
r
r
r
r
，其方向满足
a
a
b
^
´
r
r
r
，
b
a
b
^
´
r
r
r
，a
r
，b
r
，a b
´
r
r
且三个向量构成右手系（如图）．在棱长
为2 的正四面体ABCD 中，O 为
BCD
△
的中心，下列结论正确的有（ ）
A．
1
2
ABC
S
AB
AC
=
´
V
uuur
uuur
B．AB
AC
AD
AC
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
C．AB
AC
AC
AB
´
=
´
uuur
uuur
uuur
uuur
D．
3 2
2
BC
BD
AO
´
= -
uuur
uuur
uuur
【答案】ABD
【详解】对于A，根据外积定义可得
sin
AB
AC
AB
AC
BAC
´
=
×
×
Ð
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又
1
1
sin
2
2
ABC
S
AB AC
BAC
AB
AC
=
×
×
Ð
=
´
uuur
uuur
△
，A 正确；
对于B，
sin
2 3
AB
AC
AB AC
BAC
´
=
Ð
=
uuur
uuur
uuur uuur
，
sin
2 3
AD
AC
AD AC
DAC
´
=
Ð
=
uuur
uuur
uuur uuur
，B 正确；
对于C，根据定义可得AB
AC
´
uuur
uuur
，AC
AB
´
uuur
uuur
长度相等，方向相反，
即AB
AC
AC
AB
´
= -
´
uuur
uuur
uuur
uuur
，C 错误；
对于D，
2 3
BC
BD
´
=
uuur
uuur
，根据定义得BC
BD
´
uuur uuur
与AO
uuur
反向，
2 6
3
AO =
uuur
，
所以
3 2
2
BC
BD
AO
´
= -
uuur
uuur
uuur
，D 正确．
故选：ABD.
5．（24-25 高一下·浙江杭州·阶段练习·多选）已知单位向量
2
1,e
e
ur uur
的夹角为(
)
0
π
q
q
<
<
，若平面向量
1
2
,
a
xe
ye
x y
=
+
ÎR
ur
uur
r
，有序实数对
,x y 称为向量ar 在“仿射”坐标系xOy （O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记
( , )
a
x y q
=
r
，则下列命题正确的是（ ）
A．已知
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
q
q
=
=
r
r
，则
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
q
+
=
+
+
r
r
B．已知
π
π
3
3
(1,0) ,
(0,1)
OA
OB
=
=
uuur
uuur
，则线段AB 的长度为1
C．已知
π
π
3
3
(2, 1) ,
(1,2)
a
b
=
-
=
r
r
，则
3 3
2
a b
×
=
r
r
D．已知
π
3
( , ) ,
1
a
x y
a
=
=
r
r
，则x
y
+
的最大值为2 3
3
【答案】ABD
【详解】A：由题设
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
(
)
(
)
a
b
x
y
x
y e
x
x
e
y
e
e
y
e
e
+
=
+
+
+
+
+
=
+
ur
uur
ur
uur
ur
uur
r
r
，
所以
1
2
1
2
,
a
b
x
x
y
y
q
+
=
+
+
r
r
，对；
B：由题设
2
1
A
A
O
B
OB
e
e
=
-
-
=
uuur
uuur
uuur
uur
ur
，则
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
|
|
(
)
2
2
2 1 1
1
2
AB
e
e
e
e e
e
=
-
=
-
×
+
=
- ´ ´ ´
=
uuur
uur
ur
uur
ur uur
ur
，对；
C：由题设
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
3
(2
) (
)
2
2
1
1
2
3
2
2
3
1
2
2
e
e
e
e
e
e e
a b
e
×
=
×
=
-
+
+
×
-
=
+ ´ ´ ´
-
=
ur
uur
ur
uur
ur
r
ur uur
ur
r
u
，错；
D：由题设
2
2
2
2
1
1
(
)
xe
ye
a
x
xy
y
=
=
+
+
=
+
ur
uur
r
，即
2
2
1
x
xy
y
+
+
= ，
由
2
2
2
2
(
)
(
)
2
1
1
4
x
y
x
y
x
xy
y
xy
+
+
=
+
+
= +
£ +
，且x
y
=
时取等号，
则
2
4
(
)
3
x
y
+
£
，故
2
2
3
3
x
y
-
£
+
£
，即
3
3
x
y
=
=
时x
y
+
的最大值为2 3
3
，对.
故选：ABD
6．（2025·四川成都·三模·多选）对于空间中一组向量
(
1,2,3)
ia i =
r
，若存在不全为零的实数
(
1,2,3)
ik i =
使得
1 1
2
2
3
3
0
k a
k a
k a
+
+
=
r
r
r
r
，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（ ）
A．若
( 1,1,1)
a = -
r
，
( 2,2,2)
b = -
r
，
(3,1, 4)
c =
-
r
，则ar ，b
r
，cr 线性相关
B．若
( 1,1,1)
a = -
r
，
(1,2,3)
b =
r
，
(2,3,4)
c =
r
，则ar ，b
r
，cr 线性无关
C．若
1ar ，
2ar ，
3ar 线性无关，则
1
2
a
a
-
r
r ，
1
2
2
3
a
a
-
r
r ，
3
1
a
a
-
r
r 线性相关
D．对于非零向量
1ar ，
2ar ，
3ar ，若存在实数x ，y 使得
2
1
1
2
1
3
a
xa a
ya a
=
×
+
×
r
r
r
r
r ，则
1ar ，
2ar ，
3ar 线性相关
【答案】AB
【详解】若
( 1,1,1)
a = -
r
，
( 2,2,2)
b = -
r
，
(3,1, 4)
c =
-
r
，
根据题意，设
1 1
2
2
3
3
0
k a
k a
k a
+
+
=
r
r
r
r
，
即
1
2
3
1
2
3
1
2
3
,
2
3
0
,
2
2
4
k
k
k k
k
k k
k
k
-
+
-
+
+
-
+
=
r
，
所以
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
0
2
0
2
4
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
-
+
=
ì
ï
+
+
=
í
ï
+
-
=
î
，解得
1
2
3
2
0
0
k
k
k
+
=
ì
í
=
î
，取
1
2
3
2
1
0
k
k
k
=
ì
ï
= -
í
ï
=
î
，
所以
1
2
3
2
0
0
a
a
a
-
+ ×
=
r
r
r
r
，A 正确；
若
( 1,1,1)
a = -
r
，
(1,2,3)
b =
r
，
(2,3,4)
c =
r
，
根据题意，设
1 1
2
2
3
3
0
k a
k a
k a
+
+
=
r
r
r
r
，
即
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
2
4
3
,
,
0
3
k
k
k k
k
k k
k
k
-
+
+
+
+
+
=
+
r
，
所以
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
0
2
3
0
3
4
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
-
+
+
=
ì
ï
+
+
=
í
ï
+
+
=
î
，解得
1
2
3
0
0
0
k
k
k
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
所以ar ，b
r
，cr 线性无关，B 正确；
假设
1
2
a
a
-
r
r ，
1
2
2
3
a
a
-
r
r ，
3
1
a
a
-
r
r 线性相关，
则存在不全为零的实数
(
1,2,3)
ik i =
使得
1
1
2
2
1
2
3
3
1
2
3
0
k
a
a
k
a
a
k
a
a
-
+
-
+
-
=
r
r
r
r
r
r
r
，
则
1
2
3
1
1
2
2
3
3
2
3
0
k
k
k
a
k
k
a
k a
+
-
-
+
+
=
r
r
r
r
，
因为
1ar ，
2ar ，
3ar 线性无关，则
1
2
3
1
2
3
2
0
3
0
0
k
k
k
k
k
k
+
-
=
ì
ï
+
=
í
ï
=
î
，得
1
2
3
0
0
0
k
k
k
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
与假设矛盾，C 错误；
对于非零向量
1ar ，
2ar ，
3ar ，若存在实数x ，y 使得
2
1
1
2
1
3
a
xa a
ya a
=
×
+
×
r
r
r
r
r ，
即
2
1
1
2
1
2
1
3
1
3
,
cos
cos
a
x a
a
a a
y a
a
a a
=
×
+
×
×
r
r
r
r r
r
r
r
r
，
所以
1
2
1
2
3
1
3
,
co
s
s
co
a
x a
a a
y a
a a
=
+
×
r
r
r r
r
r
r
，
但不能确定
1ar ，
2ar ，
3ar 是否线性相关，D 错误.
故选：AB
7．（24-25 高三上·湖北·期中）定义：已知平面向量a
r
，b
r
表示夹角为120o的两个单位向量，O 为平面上的一个定
点，A 为平面上任意一点，当OA
xa
yb
=
+
uuur
r
r
时，定义
,x y 为点A 的斜坐标.设点B 的斜坐标为
3, 7
-
，则
OB =
uuur
.
【答案】79
【详解】平面向量a
r
，b
r
表示夹角为120o的两个单位向量，
则有
1
a
b
=
=
r
r
，
1
cos120
2
a b
a
b
×
=
×
= -
o
r r
r
r
依题意，
3
7
OB
a
b
=
-
r
r
uuur
，则
2
2
9
49
42
9
49
21
79
OB
a
b
a b
=
+
-
×
=
+
+
=
r
uuur
r
r r
.
故答案为：79 .
8．（24-25 高三上·上海·期中）我们称n （n 为正整数）元有序实数组
1
2
,
,
,
n
x x
x
¼
为n 维向量，
1
2
n
x
x
x
+
+¼+
为该向量的范数.已知n 维向量
1
2
,
,
,
n
a
x x
x
=
¼
r
，其中
1,0,1
1,2,
,
ix
i
n
Î -
=
¼
，记范数为奇数的ar 的个数为
n
A ，
则
10
A =
【答案】
10
3
1
2
-
【详解】当n 为偶数时，范数为奇数，则
0
ix =
的个数为奇数，则0 的个数为1,3,5,
,
1,
n -
L
根据乘法原理和加法原理可得：
1
1
3
3
1
C
2
C
2
C
2
n
n
n
n
n
n
n
A
-
-
-
=
×
+
×
+
+
×
L
，
因
0
1
1
1
C
2
C
2
C
2
C
(2 1)
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
×
+
×
+
+
× +
=
+
=
L
①
0
1
1
1
C
2
C
2
C
2
C
(2 1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
×
-
×
+
-
× +
=
-
=
L
②
由
-
①
②：
1
1
3
3
1
2(C
2
C
2
C
2)
3
1
n
n
n
n
n
n
n
-
-
-
×
+
×
+
+
×
=
-
L
，故
3
1
2
n
n
A
-
=
；
当n 为奇数时，范数为奇数，则
0
ix =
的个数为偶数，则0 的个数为0,2,4,
,
1,
n -
L
根据乘法原理和加法原理可得：
0
2
2
1
C
2
C
2
C
2
n
n
n
n
n
n
n
A
-
-
=
×
+
×
+
+
×
L
，
因
0
1
1
1
C
2
C
2
C
2
C
(2 1)
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
×
+
×
+
+
× +
=
+
=
L
①
0
1
1
1
C
2
C
2
C
2
C
(2 1)
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
-
-
×
-
×
+
-
× +
=
-
=
L
②
由
+
①
②：
0
2
2
1
2(C
2
C
2
C
2)
3
1
n
n
n
n
n
n
n
-
-
×
+
×
+
+
×
=
+
L
，故
3
1
2
n
n
A
+
=
.
综上，
3
( 1)
2
n
n
n
A
- -
=
，故
10
10
3
1
2
A
-
=
.
故答案为：
10
3
1
2
- .
9．（2025·上海松江·二模）设向量
1
1
2
2
,
,
,
a
x y
b
x
y
=
=
r
r
，记
1
2
1
2
a
b
x x
y y
=
-
r
r å
.若点
1
2
3
A
A
A
、、
为圆C ：
2
2
4
2
0
x
y
x
y
+
+
-
=
上任意三点，且满足
1
2
2
3
A A
A A
^
，则
1
2
2
3
OA
OA
OA
OA
+
uuur
uuuur
uuuur
uuur
å
å
的取值范围是
.
【答案】
0,16
【详解】将圆
2
2
:
4
2
0
C x
y
x
y
+
+
-
=
化为标准方程
2
2
(
2)
(
1)
5
+
+
-
=
x
y
，圆心
( 2,1)
C -
，半径
5
r =
.
因为
1
2
2
3
A A
A A
^
，所以
1
3
A A 为圆的直径.
设
1
1
1
2
2
2
,
,
,
A x y
A
x
y
，
3
3
3
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,
,
,
,
,
,
,
A
x
y
OA
x y
OA
x
y
OA
x
y
=
=
=
uuur
uuuur
uuuur
.
由
1
2
2
3
1
2
1
2
2
3
2
3
2
1
3
2
1
3
*
*
OA
OA
OA
OA
x x
y y
x x
y y
x
x
x
y
y
y
+
=
-
+
-
=
+
-
+
uuur uuuur
uuuur uuuur
.
因为
1
3
A A 为直径，所以
1
3
1
3
4,
2
x
x
y
y
+
= -
+
=
，
则
1
2
2
3
2
2
*
*
4
2
OA
OA
OA
OA
x
y
+
= -
-
uuur
uuuur
uuuur
uuur
.
令
4
2
z
x
y
= -
-
，即
2
2
z
y
x
= -
-
，且
2
2
(
2)
(
1)
5
+
+
-
=
x
y
，
当直线
2
2
z
y
x
= -
-
与圆相切时，z 取得最值.
根据圆心到直线的距离等于半径，可得
2
2
4 ( 2)
2 1
5
4
2
z
´ -
+ ´ +
=
+
，解得
16
z =
或
4
z = - ，
所以
0,16
z Î
，则
1
2
2
3
*
*
OA
OA
OA
OA
+
uuur uuuur
uuuur uuuur
的取值范围是
0,16 .
故答案为：
0,16 .
10．（24-25 高一下·浙江宁波·期末）如图，在
ABC
V
中，
90
ABC
Ð
=
°，
2 3
AB =
，
2
BC =
，
(0
1)
AM
xAB
x
=
<
<
uuuur
uuur
，
(0
1)
AN
yAC
y
=
<
<
uuur
uuur
，设CM 与BN 交于点P ，且
2
CP
PM
=
uuur
uuuur ．
(1)求2
3
xy
y
-
的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“Å”：
sin
a
a
b
b
q
Å
=
r
r
r
r
（其中q 是两非零向量ar 和b
r 的夹角）．
（ⅰ）若M 为AB 的中点，求PB
PC
Å
uuur
uuur 的值；
（ⅱ）若
3
2
AP
BC
Å
=
uuur
uuur
，求x
y
+
的值．
【答案】(1) 1
-
(2)（ⅰ）3 3
7
（ⅱ）13
20
【详解】（1）因为
2
CP
PM
=
uuur
uuuur ，
,
AM
xAB AN
yAC
=
=
uuuur
uuur uuur
uuur
，
所以
1
1
3
3
AP
AM
MP
AM
MC
AM
AC
AM
=
+
=
+
=
+
-
uuur
uuuur
uuur
uuuur
uuuur
uuuur
uuur
uuuur
1
2
1
2
3
3
3
3
x
AC
AM
AN
AB
y
=
+
=
+
uuur
uuuur
uuur
uuur
，
又
,
,
B P N 三点共线，
所以1
2
1
3
3
x
y +
= ，即2
3
1
xy
y
-
= - .
（2）（ⅰ）因为M 为AB 的中点，所以
1
2
x =
，
由（1）知，2
3
1
xy
y
-
= - ，则
1
2
y =
，即P 为
ABC
V
的重心．
建立如图所示的平面直角坐标系，则
0,0 ,
2,0 ,
0,2 3
B
C
A
，
所以
2 2 3
,
3
3
Pæ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2 3
4
2 3
,
,
,
3
3
3
3
PB
PC
æ
ö
æ
ö
= -
-
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuur
uuur
，
所以
4
7
3 21
9
cos
,sin
14
14
4 2 7
3
3
PB PC
BPC
BPC
PB PC
×
Ð
=
=
=
Ð
=
×
uuur uuur
uuur uuur
，
所以
4
3 21
3 3
3
sin
14
7
2 7
3
PB
PB
PC
BPC
PC
Å
=
Ð
=
×
=
uuur
uuur
uuur
uuur
.
（ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，
则
0,0 ,
2,0 ,
0,2 3
B
C
A
，
所以
2, 2 3 ,
0, 2 3 ,
2,0
AC
AB
BC
=
-
=
-
=
uuur
uuur
uuur
，
所以
0, 2 3
AM
xAB
x
=
=
-
uuuur
uuur
，
所以
1
2
2
2 3
,
1
2
3
3
3
3
AP
AC
AM
x
æ
ö
=
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuuur
，
则
4 ,
2
3
AP BC
BC
×
=
=
uuur uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
4
2
4
4
AP BC
AP
AP
AP BC
AP
BC
AP
AP BC
BC
AP
BC
AP
æ
ö
×
×
ç
÷
Å
=
×
-
=
×
-
=
×
-
×
ç
÷
×
è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
1
16
3
4
4
9
2
AP
=
-
=
uuur
，
即
2
31
9
AP
=
uuur
，所以
2
4
12
31
(1
2 )
9
9
9
x
+
+
=
，即
1
4
x =
或
5
4
x = -
，
因为0
1
x
<
< ，所以
1
4
x =
，又因为2
3
1
xy
y
-
= - ，
所以
2
5
y =
，则
13
20
x
y
+
=
．
11．（24-25 高一下·广东汕尾·期末）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把
有序复数对
1
2
( ,
)
z z
（
1
2
,
z z ÎC ）看作一个向量，记作
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，称a
r
为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对
于
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，
3
4
(
,
)
b
z z
=
r
（
1
2
3
4
,
,
,
z z
z z ÎC ），我们定义复向量运算法则：①加法：a
b
+
=
r
r
1
3
2
4
(
,
)
z
z z
z
-
-
；②减
法：
1
3
2
4
(
,
)
a
b
z
z z
z
-
=
+
+
r
r
；③数乘：
1
2
(
,
)(
)
k
a
kz kz
k
Ä
=
ÎC
r
；④数量积：
1
3
2
4
a
z
z
b
z
z
×
=
+
r r
；⑤模：a
a a
=
×
r
r r .
(1)设
(1,2
i)
a =
-
r
，
(1
i,2i)
b =
+
r
，求a b
×
r r
和a
b
+
r
r
；
(2)验证复向量结合律：
(
)
k
a
b
k
a
k
b
Ä
+
=
Ä
+
Ä
r
r
r
r
是否成立；
(3)设
(2
2i,2i)
a =
+
r
，集合
Ω
( ,
2i),
p p
z z
z
=
=
+
ÎC
r r
，bÎW
r
，求a
b
+
r
r
的最小值；并证明当a
b
+
r
r
取最小值时，对
于任意的cÎW
r
，(
) (
)
0
a
b
b
c
+
×
+
=
r
r
r
r
.
【答案】(1)
1 5i
a b
×
= - -
r
r
，
14
a
b
+
=
r
r
(2)成立
(3)2，证明见解析
【详解】（1）因为
(1,2
i)
a =
-
r
，
(1
i,2i)
b =
+
r
，
所以
2
1 1 i
(2
i)2i
1 i
2(2
i)i
1 i
4i
2i
1 5i
a b
×
= ´ + +
-
= - -
-
= - -
+
= - -
r
r
，
(1 1 i,2
i
2i)
( i,2
3i)
a
b
+
=
- -
- -
= -
-
r
r
，
2
2
i i
(2
3i)(2
3i)
i
4
9i
14
a
b
+
=
- ´ +
-
+
=
-
+
-
=
r
r
.
（2）（法一）设
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，
3
4
(
,
)
b
z z
=
r
，
i
k
m
n
=
+
，
1z ，
2z ，
3z ，
4z ，k ÎC ，
1
2
1
2
(
,
)
((
i) ,(
i)
)
k
a
kz kz
m
n z
m
n z
Ä
=
=
-
-
r
，
3
4
3
4
(
,
)
((
)
,(
)
)
k
b
kz kz
m
ni z
m
ni z
Ä
=
=
-
-
，
故
1
3
2
4
((
i)
(
i)
,(
i)
(
i)
)
k
a
k
b
m
n z
m
n z
m
n z
m
n z
Ä
+
Ä
=
-
-
-
-
-
-
r
r
1
3
2
4
((
i)(
),(
i)(
))
m
n
z
z
m
n
z
z
=
-
-
-
-
.
又因为
1
3
2
4
(
,
)
a
b
z
z z
z
+
=
-
-
r
r
，
故
1
3
2
4
1
3
2
4
(
)
( (
), (
))
((
i)(
),(
i)(
))
k
a
b
k z
z
k z
z
m
n
z
z
m
n
z
z
Ä
+
=
-
-
=
-
-
-
-
r
r
，
所以有
(
)
k
a
b
k
a
k
b
Ä
+
=
Ä
+
Ä
r
r
r
r
成立，即复向量结合律成立.
（法二）设
1
2
( ,
)
a
z z
=
r
，
3
4
(
,
)
b
z z
=
r
，
1z ，
2z ，
3z ，
4z ÎC ，
所以
1
3
2
4
(
,
)
a
b
z
z z
z
+
=
-
-
r
r
，
故
1
3
(
)
( (
)
k
a
b
k z
z
Ä
+
=
-
r
r
，
2
4
1
3
2
4
(
))
(
,
)
k z
z
kz
kz kz
kz
-
=
-
-
，
因为
1
2
(
,
)
k
a
kz kz
Ä
=
r
，
3
4
(
,
)
k
b
kz kz
Ä
=
r
，
所以
1
3
2
4
(
,
)
k
a
k
b
kz
kz kz
kz
Ä
+
Ä
=
-
-
r
r
，则复向量结合律成立.
（3）由
(2
2i,2i)
a =
+
r
，bÎW
r
，不妨设
(
i,
i
2i)
b
m
n m
n
=
+
+
+
r
，
则
(2
2i
i,2i
i
2i)
(2
(2
)i,
i)
a
b
m
n
m
n
m
n
m
n
+
=
+
-
-
-
-
-
=
-
+
-
-
-
r
r
，
(2
(2
)i)(2
(2
)i)
(
i)(
i)
a
b
m
n
m
n
m
n
m
n
+
=
-
+
-
-
-
-
+ -
-
-
+
r
r
2
2
2
2
2
2
(2
)
(
2)
2(
)
4(
)
8
m
n
m
n
m
n
m
n
=
-
+
-
+
+
=
+
-
+
+
.
（法一）所以
2
2
2(
1)
2(
1)
4
2
a
b
m
n
+
=
-
+
-
+
³
r
r
，
当且仅当
1
m
n
=
= 时，等号成立.即a
b
+
r
r
的最小值为2.
（法二）因为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
(
)
0
2
2
4
4
m
n
m
n
m
n
m
n
mn
m
n
+
+
+
-
-
-
-
-
=
=
³
，
所以
2
2
2
(
)
2
m
n
m
n
+
+
³
，
2
2
2
2(
)
4(
)
8
(
)
4(
)
8
a
b
m
n
m
n
m
n
m
n
+
=
+
-
+
+
³
+
-
+
+
r
r
，
当且仅当m
n
=
时，等号成立.
令t
m
n
=
+
，则
2
2
2
(
)
4(
)
8
4
8
(
2)
4
4
2
m
n
m
n
t
t
t
+
-
+
+
=
-
+
=
-
+
³
=
，
当
2
t =
，即
1
m
n
=
= 时，等号成立，即a
b
+
r
r
的最小值为2.
此时
(2
2i,2i)
a =
+
r
，
(1 i,1 3i)
b =
+
+
r
，c ÎW
r
，
( ,
2i)
c
z z
=
+
r
(2
2i 1 i,2i 1 3i)
(1 i, 1 i)
a
b
+
=
+
- -
- -
=
+
- -
r
r
，
(1 i
,1 3i
2i)
(1 i
,1 i
)
b
c
z
z
z
z
+
=
+ -
+
-
-
=
+ -
+ -
r
r
，
(
) (
)
(1 i)(1 i
)
( 1 i)(1 i
)
(1 i 1 i)(1 i
)
0
a
b
b
c
z
z
z
+
×
+
=
+
+ -
+ - -
+ -
=
+ - -
+ -
=
r
r
r
r
.
命题得证.
12．（24-25 高一下·甘肃庆阳·期末）设平面内两个非零向量
,
m n
ur r
的夹角为
π
2
q q
æ
ö
¹
ç
÷
è
ø ，定义一种新运算“Ä”：
tan
m
n
m n
q
Ä
=
ur
r
ur r
.
(1)已知向量
2,
3,
2
a
b
a b
=
=
×
=
r
r
r r
，求a
b
Ä
r
r
；
(2)设向量
1
1
2
2
,
,
,
a
x
y
b
x
y
=
=
r
r
，且
0
a b
×
¹
r r
，证明：
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
x y
x y
x
y
x
y
a
b
x x
y y
-
+
+
Ä
=
+
r
r
；
(3)已知向量
cos
, sin
,
cos , sin
,
0
c
d
c d
b
b
g
g
=
=
×
¹
r
ur
r ur
，若
2
c
d
Ä
=
r
ur
，求
cos 2
2
b
g
-
的值.
【答案】(1)12 2
(2)证明见解析
(3)
3
5
-
【详解】（1）设,a b
r r
的夹角为(
[0,π])
j j Î
，则
2
1
cos
2 3
3
|
| |
|
a b
a
b
j
×
=
=
=
´
×
r r
r
r
，
所以
2
2 2
sin
1 cos
3
j
j
=
-
=
，
所以
2 2
sin
3
tan
2 2
1
cos
3
j
j
j
=
=
=
，
故
| |
| tan
2 3 2 2
12 2
|
a
b
b
a
j
×
=
´
=
´
=
Ä
r
r
r
r
.
（2）设,a b
r r
的夹角为(
[0,π])
j j Î
，
则
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
cos
|
| |
|
(
)(
)
x x
y y
a b
a
b
x
y
x
y
j
+
×
=
=
×
+
+
r r
r
r
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)(
)
(
)
sin
1 cos
1
(
)(
)
(
)(
)
x x
y y
x
y
x
y
x x
y y
x
y
x
y
x
y
x
y
j
j
+
+
+
-
+
=
-
=
-
=
+
+
+
+
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
(
)
|
|
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)
x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
-
-
-
=
=
=
+
+
+
+
+
+
，
则
1
2
2
1
1
2
1
2
|
|
sin
tan
cos
x y
x y
x x
y y
j
j
j
-
=
=
+
，
于是，
2
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
|
|
(
)(
)
x y
x y
x
y
x
y
a
b
x x
y y
-
+
+
Ä
=
+
r
r
.
（3）由题意，
2
2
2
2
| |
sin
cos
1,|
|
sin
cos
1
c
d
b
b
g
g
=
+
=
=
+
=
r
ur
，
则由（2）的公式可得：
| cos
sin
sin
cos
|
| sin(
) |
cos
cos
sin
sin
cos(
)
c
d
b
g
b
g
b
g
b
g
b
g
b
g
-
-
Ä
=
=
+
-
r
ur
，
又
2
c
d
Ä
=
r
ur
，则得
2
tan (
)
4
b
g
-
=
，
故
2
2
2
2
2
2
cos (
)
sin (
)
cos (
)
sin (
)
cos (
)
sin (
)
cos 2
2
b
g
b
g
b
g
b
g
b
g
b
g
b
g
-
-
-
=
-
-
-
-
=
-
+
-
2
2
1
tan (
)
1 4
3
1
tan (
)
1
4
5
b
g
b
g
-
-
-
=
=
= -
+
-
+
.
13．（24-25 高一下·黑龙江·期末）法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内
②当
ABC
V
有一个内角大于或等于120o时，最大内角的顶点为费马点．
请用以上知识解决下面的问题：
已知
ABC
V
的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，点M 为
ABC
V
的费马点，
1
c = 且sin
sin
cos sin
B
C
B
A
=
=
(1)求角C ；
(2)求MA MB
MB MC
MA MC
×
+
×
+
×
uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
；
(3)已知在
ABC
V
中，若点P 为
ABC
V
平面上任意一点，求AP
AB
AP
AC
PB
AC
-
+
-
+
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
的最小值．
【答案】(1)45o
(2)
3
3
-
(3)
2
1
+
【详解】（1）因为sin
cos
sin
C
B
A
=
，又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
所以cos
sin
0
=
A
B
，
因为0
180
B
<
<
o
o ，则sin
0
B >
，故cos
0
A =
，
因为0
90
A
<
<
o
o ，所以
90
A =
o，
又sin
sin
B
C
=
，则b
c
=
，故
ABC
V
为等腰直角三角形，所以
45
C =
o .
（2）由sin
sin
B
C
=
，知
1
b
c
=
= ，
由费马点定义知，
120
AMB
BMC
AMC
Ð
= Ð
= Ð
=
o，
设MA
m
=
uuur
，MB
n
=
uuur
，MC
t
=
uuuur
，
0
m >
，
0
n >
，
0
t >
，
由
AMB
BMC
AMC
ABC
S
S
S
S
+
+
=
△
△
△
△
得：1
3
1
3
1
3
1
2
2
2
2
2
2
2
mn
nt
mt
×
+
×
+
×
=
，
整理得
2 3
3
mn
nt
mt
+
+
=
，
则MA MB
MB MC
MA MC
×
+
×
+
×
uuur uuur
uuur uuuur
uuur uuuur
1
1
1
1
2 3
3
2
2
2
2
3
3
mn
nt
mt
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
× -
+
× -
+
× -
= -
´
= -
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
（3）在
ABC
V
中，
1
AB
AC
=
= ，
π
2
A =
，
以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，
则
0,0
A
、
1,0
B
、
0,1
C
，设点
,
P x y ，
则
1,
AP
AB
x
y
-
=
-
uuur
uuur
，
,
1
AP
AC
x y
-
=
-
uuur
uuur
，
1
,
0,1
1
, 1
PB
AC
x
y
x
y
-
=
-
-
-
=
-
- -
uuur
uuur
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
AP
AB
AP
AC
PB
AC
x
y
x
y
x
y
-
+
-
+
-
=
-
+
+
+
-
+
-
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
则AP
AB
AP
AC
PB
AC
-
+
-
+
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
的几何意义是点P 到点
1,0
B
、
0,1
C
、
1, 1
D
-
的距离之和，
因为AB
AC
=
uuur
uuur
，AB
AC
^
，则
ABC
V
为等腰直角三角形，故
45
ABC
Ð
=
o ，
易知AB
BD
^
，故
45
90
135
CBD
ABC
ABD
Ð
= Ð
+ Ð
=
+
=
o
o
o ，
所以，
BCD
△
的“费马点”为点B ，故AP
AB
AP
AC
AP
BC
-
+
-
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
的最小值为
2
1
BC
BD
+
=
+
uuur
uuur
.
14．（24-25 高一下·广东江门·期中）1637 年，法国数学家笛卡尔发表了《几何学》，在这本书中，笛卡尔提出了著
名的笛卡尔坐标系统.笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜坐标系的统称，相交于原点的两条数轴，构成了平面放射
坐标系.如两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系，两条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，
称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系，如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成
0
π
a
a
<
<
的两条射
线，
1e
ur
、
2e
uur
分别为Ox 、Oy 同向的单位向量，定义平面坐标系xOy 为
xOy a 仿射坐标系，在
xOy a 仿射坐标系中，
若
1
2
OP
xe
ye
=
+
uuur
ur
uur
，则记
,
OP
x y
=
uuur
.
(1)在
3π
4
xOyæ
ö
ç
÷
è
ø 仿射坐标系中，若
2,1
a =
r
，求ar ；
(2)在
xOy a 仿射坐标系中，若
1,3
a = -
r
，
3,1
b = -
r
，且a
r
与b
r
的夹角为π
3 ，求sina ；
(3)如图所示，在
π
3
xOyæ
ö
ç
÷
è
ø 仿射坐标系中，B 、C 分别在x 轴、y 轴正半轴上，
1
BC =
uuur
，
7
19
OD
OC
=
uuur
uuur
，E 、F 分别为
BD 、BC 中点，求OE OF
×
uuur uuur
的最大值.
【答案】(1)1；
(2) 4 3
7
；
(3) 121
228 .
【详解】（1）由题意可知，
1e
ur
、
2e
uur
的夹角为3π
4 ，
由平面向量数量积的定义可得
1
2
1
2
3π
2
cos 4
2
e e
e
e
×
=
×
= -
ur uur
ur
uur
，
因为
2,1
a =
r
，则
1
2
2
a
e
e
=
+
r
ur
uur
，
则
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2 2
2
2 2
1
1
2
a
e
e
e
e e
e
=
+
=
+
×
+
=
-
×
+ =
ur
uur
ur
ur uur
uur
r
，
所以
1
1
a =
=
r
.
（2）由
1,3
a = -
r
，
3,1
b = -
r
，得
1
2
3
a
e
e
= -
+
r
ur
uur
，
1
2
3
b
e
e
= -
+
r
ur
uur
，
且
1
2
1 1 cos
cos
e e
a
a
×
= ´ ´
=
ur uur
，
所以，
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
3
6
9
10
6cos
a
e
e
e
e e
e
a
= -
+
=
-
×
+
=
-
ur
uur
ur
ur uur
uur
r
，
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
3
9
6
10
6cos
b
e
e
e
e e
e
a
= -
+
=
-
×
+
=
-
ur
uur
ur
ur uur
uur
r
，
则
10
6cos
a
b
a
=
=
-
r
r
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
10
6 10cos
a b
e
e
e
e
e
e
e e
a
×
= -
+
× -
+
=
+
-
×
=
-
ur
uur
ur
uur
ur
uur
ur uur
r
r
，
因为a
r
与b
r
的夹角为π
3 ，则
π
6 10cos
1
cos 3
10
6cos
2
a b
a
b
a
a
×
-
=
=
=
-
×
r
r
r
r
，解得
1
cos
7
a =
.
又
2
2
sin
cos
1
a
a
+
= ，0
π
a
<
<
，所以
2
1
4 3
sin
1 cos
1
49
7
a
a
=
-
=
-
=
；
（3）依题意，设
,0
B m
、
0,
C
n （
0
m >
，
0
n >
），且
π
3
BOC
Ð
=
，
1
BC = ，
7
7
0,
19
19
OD
OC
n
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
uuur
uuur
，
因为F 为BC 的中点，则
1
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
OF
OB
BF
OB
BC
OB
OC
OB
OC
OB
me
ne
=
+
=
+
=
+
-
=
+
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
ur
uur
，
因为E 为BD 中点，同理可得
1
2
1
1
1
7
2
2
2
38
OE
OD
OB
me
ne
=
+
=
+
uuur
uuur
uuur
ur
uur
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
7
1
7
7
1
2
2
2
38
4
76
76
4
OE OF
me
ne
me
ne
m e
n e
mn
mn e e
æ
ö æ
ö
æ
ö
×
=
+
×
+
=
+
+
+
×
ç
÷ ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø
uuur uuur
ur
uur
ur
uur
ur
uur
ur uur
，
由题意知
2
2
1
2
1
e
e
=
=
ur
uur
，
2
1
2
π
1
1
cos 3
2
e e
×
=
´
=
ur uur
，
则
2
2
2
2
1
7
7
1
1
1
7
13
4
76
76
4
2
4
76
76
OE OF
m
n
mn
mn
m
n
mn
æ
ö
×
=
+
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
uuur uuur
，
在
OBC
△
中，依据余弦定理得
2
2
1
m
n
mn
+
-
= ，所以
2
2
1
mn
m
n
=
+
- ，
代入上式得，
2
2
2
2
8
5
13
1
13
8
5
19
19
76
19
76
OE OF
m
n
m
n
×
=
+
-
=
+
-
uuur uuur
.
在
OBC
△
中，由正弦定理
π
sin
sin
sin 3
BC
OB
OC
COB
BCO
=
=
Ð
Ð
，
设
BCO
q
Ð
=
，则
π
sin
sin
3
CBO
q
æ
ö
Ð
=
+
ç
÷
è
ø，且
2π
0
3
q
<
<
，
所以
2 sin
3
m
q
=
，
2
π
sin
3
3
n
q
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø，
2
2
2
2
2π
1 cos 2
20
π
32
20
32
1 cos2
3
8
5
sin
sin
3
3
3
3
2
3
2
m
n
q
q
q
q
æ
ö
-
+
ç
÷
-
æ
ö
è
ø
+
=
+
+
=
´
+
´
ç
÷
è
ø
2
1
3
8 1 cos2
5 1
cos2
sin 2
3
2
2
q
q
q
é
ù
æ
ö
=
-
+
+
+
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
2
5 3
11
2
13
sin 2
cos2
13
7sin 2
3
2
2
3
q
q
q
j
æ
ö
é
ù
=
+
-
=
+
-
ç
÷
ë
û
ç
÷
è
ø
，j 为锐角，且
11
tan
5 3
j =
，
因为
2π
0
3
q
<
<
，则
4π
2
3
j
q
j
j
-
<
-
<
-
，
故当
π
2
2
q
j
-
=
时，
2
2
8
5
m
n
+
取最大值
2
40
13
7
3
3
+
=
，
则
2
2
1
13
1
40
13
121
8
5
19
76
19
3
76
228
OE OF
m
n
×
=
+
-
£
×
-
=
uuur uuur
.
