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专题22 数系的扩充及复数的运算
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题22 数系的扩充及复数的运算
命题解读
命题预测
复习建议
复数是高考必考的知识点之
一，每年的高考都出关于复
数的一个选择题，主要是针
对复数的几何意义和复数的
四则运算，以基础题目为
主，是高考容易得分的一个
知识点。
预计2024 年的高考复数的考
察还是以基础题为主，主要
还是集中在复数的几何意义
和四则运算上，稍加注意得
分不难。
集合复习策略：
1.理解复数的有关概念和几
何意义；
2.掌握复数的代数运算。
→➊考点精析←
一、 复数的有关概念及几何意义
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中a,b 分别是它的实部和虚部.若b=0,则a+bi 为实数;
若b≠0,则a+bi 为虚数;若a=0 且 b≠0,则a+bi 为纯虚数.
(2)复数相等:a+bi=c+di
⇔a=c 且b=d (a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi 与c+di 共轭
⇔a=c 且b = -d (a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量⃗OZ=(a,b)的模r 叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi|,即|
z|=|a+bi|=√a
2+b
2.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)←
复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)←
平面向量⃗OZ=(a,b) (O 为坐标原点).
二、 复数的代数运算
1. 复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)= (a+c)+(b+d)i;
减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)= (a-c)+(b-d)i;
乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i;
2
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除法: z1
z2
=a+bi
c +di
=(a+bi)(c -di)
(c +di)(c -di)
=ac+bd
c
2+d
2
+bc -ad
c
2+d
2
i (c+di≠0).
(2)复数加法的运算律
复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2= z2+z1,
(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3).
→➋真题精讲←
1.（2023 全国理科甲卷2） 设
，则
（ ）
A. -1
B. 0 ·
C. 1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为
，
所以
，解得：
．
故选：C.
2. （2023 全国文科甲卷2）
（ ）
A.
B. 1
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
3. （2023 全国理科乙卷）设
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
3
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【答案】B
【解析】
【分析】由题意首先计算复数
的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
故选：B.
4. （2023 全国文科乙卷1）
（ ）
A. 1
B. 2
C.
D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由题意首先化简
，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得
，
则
.
故选：C.
5. （2023 北京卷2）在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
的共轭复数
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的几何意义先求出复数
，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】
在复平面对应的点是
，根据复数的几何意义，
，
由共轭复数的定义可知，
.
4
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故选：D
6. （2023 全国Ⅰ卷）已知
，则
（ ）
A.
B.
C. 0
D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出
，再由共轭复数的概念得到
，从而解出．
【详解】因为
，所以
，即
．
故选：A．
7.（2023 全国Ⅱ卷） 在复平面内，
对应的点位于（ ）．
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为
，
则所求复数对应的点为
，位于第一象限.
故选：A.
→➌模拟精练←
1．（2023·山东日照·三模）已知复数
（其中为虚数单位），则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法公式和复数的模即可求解.
5
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【详解】知
，
则
，
故选：D.
2．（2023·广东佛山·统考一模）设复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点位
于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】∵
，则
，
∴z 在复平面内对应的点为
，位于第三象限.
故选：C.
3．（2023·江苏南京·统考二模）已知复数满足
，其中为虚数单位，则为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算
，再计算共轭复数得到答案.
【详解】
，则
.
故选：C
4．（2023·江苏·统考二模）若复数满足
，则在复平面内表示的点所在的象限
为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
6
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【分析】化为
的形式，结合复数的几何意义确定所在象限.
【详解】依题意
，
复数的对应点
在第二象限，
故选：B.
5．（2023·山东德州·三模）若复数满足
，其中i 为虚数单位，则在复平面
内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.
【详解】设
，
，
所以
所以z 在复平面内所对应的点
在第三象限.
故选：C.
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知i 为虚数单位，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，
得
，
7
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故选：B
7．（2023·广东茂名·统考一模）复平面内表示复数
的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】∵
∴z 所对应的点的坐标为
.
∴复平面内z 所对应的点位于第一象限.
故选：A.
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）设复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先化简出，再计算
，最后代模长公式即可求解
【详解】由题知
，于是
，
所以
.
故选：D
→➍专题训练←
1．若
，则z （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解.
【详解】由
得
，
8
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故选：C
2．当
时，复数
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】先对复数进行化简，再确定实部和虚部的符号即可得解．
【详解】
因为
，所以
，
故复数在复平面内的对应点位于第二象限，
故选：B．
3．已知复数
是关于x 的方程
的一个根，则
（ ）
A．4
B．
C．8
D．
【答案】D
【分析】利用代入法，结合复数模的计算公式进行求解即可.
另解：根据实系数一元二次方程根与系数关系进行求解即可.
【详解】因为复数
是关于x 的方程
的一个根，
所以
，
解得
，所以
；
另解：因为复数
是关于x 的方程
的一个根，
所以复数
也是关于x 的方程
的一个根，
所以有
解得
，所以
.
9
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故选：D
4．已知复数满足
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法运算先计算
，求出，再由模长公式即可求解.
【详解】由
可得
，
所以
，
所以
，
故选：D.
5．已知复数满足
，是虚数单位，则在复平面内的对应点落在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【解析】由
可得
，
则在复平面内的对应点为
，落在第三象限，
故选：C
6．已知复数满足
(其中为虚数单位)，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵复数满足
，
∴
，
故选：B.
7．若
，则
（ ）
10
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A．0
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】由
得,
,即
,则
.
故选：D
8．已知复数满足
，其中为虚数单位，则
的实部为（ ）
A．1
B．
C．0
D．
【答案】C
【解析】
，
所以
，
，
的实部为0．
故选：C
9．（2023·山东淄博·统考三模）已知复数是一元二次方程
的一个根，则
的值为
A．1
B．
C．0
D．2
【答案】B
【分析】根据题意求得方程的两个复数根，结合复数模的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，方程
，可得
，
所以方程的两个复数根分别为
或
，
所以
.
故选：B.
10．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）若复数z 满足方程
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
11
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【解析】由
，得
，则
，故
．
故选：B．
11．（2023 秋·广东广州·高三广州市禺山高级中学校考阶段练习）设
，则
=
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
，
故选：B.
12．（2023·山东聊城·统考三模）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数的除法和乘方运算可得答案.
【详解】
.
故选：D.
13．（2023·山东济南·统考三模）已知复数
是关于
的方程
的两根，则
的值为（ ）
A．-3
B．-2
C．2
D．3
【答案】D
【分析】解方程可得
与
，利用乘法运算直接计算，或者利用韦达定理即可.
【详解】解法一：由
，得
，
，
12
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所以
；
解法二：方程
，由韦达定理可得
.
故选：D
14．（2023 秋·广东广州·高三统考阶段练习）若复数满足
，则复数在复平
面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】由已知可得
，
所以，复数在复平面内对应的点在第四象限.
故选：D.
15．已知
为虚数单位，则“复数
是纯虚数”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的定义及充分条件和必要条件
的定义即可得解.
【详解】
，
因为复数
是纯虚数
所以
，即
，故
不同时为，
所以
，
当
时，
不是纯虚数，
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所以“复数
是纯虚数”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）若复数满足
（其中是虚数单
位），复数的共轭复数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】因为复数满足
，则
，
所以复数的共轭复数为
，则
，
故选：
.
17．已知复数满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】设
，代入
，利用复数相等求解.
【详解】解：设
，则
，
所以
，
则
，解得
或
，
所以
，
故选：D.
18．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）复数
在复平面内对应的点位于
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（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】因为
，
所以在复平面内对应的点为
，位于第二象限.
故选：B.
19．18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其
运算具有了几何意义，例如
，也即复数的模的几何意义为对应的点
到原点的
距离.下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
或
B．复数
与
分别对应向量
与
，则向量
对应的复数为9+i
C．若点
的坐标为
，则对应的点在第三象限
D．若复数满足
，则复数对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的几何意义对四个选项依次判断即可．
【详解】对于选项A，设
，只需
即可，故错误；
对于选项B，
复数
与
分别表示向量
与
，
表示向量
的复数为
，故正确；
对于选项C，点
的坐标为
，则对应的点为
，在第三象限，故正确；
对于选项D，若复数满足
，则复数对应的点在以原点为圆心，内圆半径为1，
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外圆半径为
的圆环上，故所构成的图形面积为
，故正确；
故选：BCD．
20．关于x 的方程
的复数解为
，
，则（ ）
A．
B．
与
互为共轭复数
C．若
，则满足
的复数z 在复平面内对应的点在第二象限
D．若
，则
的最小值是3
【答案】BD
【分析】根据给定条件，求出
，再逐项计算、判断作答.
【详解】因为
，因此不妨令方程
的复数解
，
对于A，
，A 错误；
对于B，
与
互为共轭复数，B 正确；
对于C，
，由
，得
，
则复数z 在复平面内对应的点
在第四象限，C 错误；
对于D，设
，由
，得
，显然有
，由选项A 知
，
因此
，当且仅当
，即
时取等
号，D 正确.
故选：BD
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