数列：奇偶数列问题、数列不等式恒成立问题、数列递推问题专项训练
考点目录
奇偶数列问题
数列不等式恒成立问题
数列递推问题
1．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的通项公式
2,
1,
n
n
a
n
n
ì
= í +
î
为奇数
为偶数，则数列
na
的前10 项和为
（ ）
A．35
B．40
C．45
D．50
2．（24-25 高二下·四川眉山·期末）已知数列{
}
na
的通项公式为
2
1,
2 ,
n
n
n
n
a
n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，则数列{
}
na
的前n 项和
10
S
=
（ ）
A．107
B．1409
C．1414
D．112
3．（25-26 高三上·河北·开学考试）已知数列
na
的首项为1，
1
2
1
1
n
n
n
n
a
n
a
n
a
n
+
+
ì
-
ï
= í
ï
+
î
，为奇数
，为偶数
，则数列
na
的前20 项
和为（ ）
A．190
B．380
C．210
D．420
4．（24-25 高二下·广西钦州·期末）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
a = ，且
2
1
,
,
n
n
n
n
a n
a
a
a n
+
+
ì
= í
-
î
为奇数
为偶数，则
na
的前51
项的和为（ ）
A．37
B．40
C．42
D．46
5．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2,
,
2
,
,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
î
为奇数
为偶数则
100
a
= （ ）
A．
50
5 2
2
´
-
B．
50
5 2
4
´
-
C．
49
5 2
2
´
-
D．
49
5 2
4
´
-
考点一
奇偶数列问题
6．（2025·海南海口·模拟预测·多选）若数列{
}
na
满足：
1
,
2
3,
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
+
ìï
= í
ï
-
î
当
为偶数时
当
为奇数时
，已知
4
1
a = ，则
4
S =（ ）
A．14
B．15
C．17
D．18
7．（25-26 高三上·湖南怀化·开学考试·多选）已知
n
S 是数列
na
的前n 项和，
1
1
a = ，
1
1,
2,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，则
（ ）．
A．
na
是递增数列
B．
5
7
a =
C．
10
13
a
=
D．
20
300
S
=
8．（2025·湖北黄冈·二模）已知数列
na
的首项为
1a ，前n 项和为
n
S ，且
1
1,
2
1,
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数
为偶数，若
16
2000
2510
S
<
<
，则
1a 的取值范围为
9．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
3,
2
,
n
n
n
a
n
n
a
a n
+
+
-
ì
= í
î
是奇数，
是偶数，
则数列
na
的前20 项和
20
S
=
．
10．（24-25 高二下·云南临沧·阶段练习）已知数列
na
满足：
*
1
1
2
,
1,
,
1,
n
n
n
a n
a
a
n
a
n
+
ì
=
=
Î
í
+
î
N
为奇数
为偶数
．
(1)若
2
1
n
n
b
a
-
=
，求数列
nb
的通项公式；
(2)若
n
S 为数列
na
的前n 项和，求
100
S
．
11．（25-26 高三上·浙江温州·开学考试）在已知数列
na
中，
1
1
1
1
2
,
3
2,
3
,
2
n
n
n
n
n
n
n
a n
a
a
a n
+
+
+
ì
ïï
=
= í
ï
ïî
为偶数
为奇数
(1)求数列
na
的通项公式.
(2)数列
na
中是否存在不同的三项
*
,
,
, ,
p
q
r
a
a a
p q r ÎN
恰好成等差数列？若存在，求出
, ,
p q r 的关系；若不存
在，请说明理由.
12．（2025·云南玉溪·模拟预测）设
na
是等差数列，
nb
是等比数列，
1
1
1
a
b
=
= ，且
2
2
3
3
1
a
b
a
b
-
=
-
= .
(1)求
na
与
nb
的通项公式；
(2)设
2
2
2
,
2
1,
1
,
2 ,
log
log
n
n
n
n
a n
k
k
c
n
k k
b
b
*
*
+
ì
=
-
Î
ï
= í
=
Î
ïî
N
N ，求
nc
的前2n 项和
2n
T ．
13．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知数列
na
的首项是
1
1,
1,
2,
.
n
n
n
a
n
a
a
n
+
+
ì
= í
+
î
为奇数，
为偶数
(1)证明：
na
的奇数项成等差数列；
(2)求
na
的前n 项和
n
S .
14．（25-26 高三上·浙江·开学考试）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，已知
2
2
n
n
n
S
a
a
=
+
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
2
1
,
1,
n
n
n
n
n
a a
b
a
n
+
ì
ï
= í
ï
+
î
为奇数
为偶数
，求数列
nb
的前2n 项和
2n
T .
15．（24-25 高二下·北京延庆·期中）已知各项均为正数的无穷数列
na
满足：
1
1
,
,
,
2
n
n
n
n
M
n
a
a
a
a
n
+
-
ì
ïï
= í
+
ï
ïî
为奇数
为偶数
，其中
M 是正实数.
(1)若
1
3
a =
，
10
M =
，写出
2a ，
3a ，
4a 的值；
(2)若数列
na
中存在一项
2
ka
k ³
，
ka
M
=
，证明：
1
1
k
k
a
a
M
-
+
=
=
；
(3)若数列
na
中每一项都不是
M ，证明：
k
*
" ÎN ，
2
2
2
4
2
3
2
1
k
k
k
k
a
a
M
a
a
+
+
+
+
<
<
<
<
.
1．（24-25 高二上·广西百色·期末）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
2
n
n
S
a
=
-
，若
2
2log
3
n
n
a
a
l
³
+
对任意正
整数n 恒成立，则实数l 的取值范围是（ ）
A．
7
4
l >
B．
7
4
l ³
C．
5
2
l >
D．
5
2
l ³
2．（24-25 高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
2
3
n
n
n
n
a a
a
a
+
+
+
=
，且
2
9
11
a =
，则使不等式
1
2
1
1
1
100
n
a
a
a
+
+
+
<
L
成立的n 的最大值为（ ）
A．98
B．99
C．100
D．101
3．（24-25 高二下·江西九江·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
2
3
1
3
9
3
3
n
n
n
a
a
a
a
-
+
+
+
+
+
=
L
，设数列
na
的前n 项和
为
n
S ，若
n
S
k
<
恒成立，则实数k 的最小值为（ ）
A．2
3
B．
1
2
C．7
6
D．5
6
4．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列
na
、
nb
的前n 项和分别为
n
S 、
nT ，若
2
3
n
n
S
n
T
n
=
+
，对
n
*
" ÎN ，
0
M
$
>
，
n
n
a
M
b <
，则M 的最小值为（ ）
A．1
5
B．1
4
C．
1
2
D．1
5．（24-25 高二下·浙江·期中）已知数列
na
是等差数列，
1
1
n
n
n
b
a a +
=
，且
1
1
a = ，
1
1
3
b =
，数列
nb
的前n 项和为
nT ，若不等式
nT
l ³
恒成立，则实数l 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
考点二
数列不等式恒成立问题
6．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
a =
，
1
2
2
1
n
n
S
a
n
+
=
-
+
，数列
nb
满足
1
1
n
n
n
n
a
b
a a +
+
=
，记
nb
的前n 项和为
nT ，若
nT
m
<
恒成立，则m 的最小值为（ ）
A．1
B．
1
2
C．1
3
D．1
4
7．（24-25 高二上·云南大理·期末·多选）已知等比数列
na
的首项
1
0
a >
，公比为
1
q q ¹
，前n 项和为
n
S ，前n 项
积为
nT ，则（ ）
A．若数列
n
S
是递增数列，则
0
q >
B．当
1
1
a = 时，数列
nT
是常数列
C．当0
1
q
<
< 时，存在实数M ，使得
n
S
M
<
恒成立
D．若
5
6
4
T
T
T
>
>
，则使得
1
nT > 成立的n 的最大值为10
8．（24-25 高二下·福建福州·期中·多选）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，且
2
4
n
n
S
a
=
-
，若
2
2log
1
n
n
a
l ³
+ 对任
意正整数n 恒成立，则实数l 的值可以为（ ）
A．13
2
B．11
2
C．5
D．9
2
9．（24-25 高三上·江西宜春·阶段练习·多选）已知首项均为1 的等差数列和等比数列,
n
n
n
a
b
a 的公差d 恰好为
nb
公比的倒数，若
n
n
a
b
£
恒成立，则d 的取值可以是（ ）
A．2
-
B．
1
2
-
C．
1
2
D．
5
1
2
-
10．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·开学考试）对数列
na
，
1
2
a =
，对于任意的,
N
n m
+
Î
，都有
m
n
m n
a
a
a +
×
=
，若
9
n
n
a
a
l £
+
对于任意的
N
n
+
Î
恒成立，则l 的最大值为 ．
11．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知各项均不为0 的数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
a = ，
1
1
4
n
n
n
a a
S
+ +
=
．
（1）{
}
na
的通项公式为
na =
．
（2）若对于任意
*
N
nÎ
，2n
n
S
l
×
³
恒成立，则实数l 的取值范围为
．
12．（25-26 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
na
的通项公式是
2
1
na
n
=
- ，记
m
b 为
na
在区间
[ ,2 )(
)
m
m
m
+
ÎN
内的项的个数，则使得不等式
1
2025
m
m
b
b
+ -
>
成立的m 的最小值为 .
13．（2025·浙江宁波·模拟预测）记等差数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
4
a =
，
4
10
S =
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)求
na
的前n 项和
nT ；
(3)若
0
n
N
³
时，
2
2
3
1
2
n
n
S
a
n
<
-
+
-
恒成立，求正整数
0
N 的最小值．
14．（25-26 高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）设数列
na
的前n 项和为
1
2
,
1
n
S
S
S
=
= ，且
1
n
n
S
S
+
ì
í
î
是公差为
1
2 的等
差数列．
(1)证明：数列
!
n
S
n
ì
í
î
是等比数列；
(2)求
na
的通项公式；
(3)若
na
m
>
对于任意正整数n 均成立，求整数m 的最大值．
15．（25-26 高三上·广西南宁·开学考试）已知
2
1
1
1 ,
3
6
n
n
n
n
a
a
a a
a
+
+
=
+
=
．
(1)求{
}
na
的通项公式；
(2)令
1
n
n
n
a
b
a +
=
，
nT 为
nb 的前n 项之积，求证：
1 1
2
2
3 3
1
1
1
1
ln
1
n
n
n
bT
b T
b T
b T
+
+
+
+
<
+
L
．
16．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知数列
na
满足
1
2
1
3
a
a
=
=
，
，且对任意正整数
3
n ³
有
1
2
3
2
n
n
n
a
a
a
-
-
=
-
，
数列
nb
满足
1
1
1
2
n
n
n
b
b
a
a
n
-
=
=
-
³
，
(1)证明：数列
nb
是等比数列；
(2)设
2
1
n
n
n
c
b
-
=
，数列
nc
的前n 项和
n
S ；
①求
n
S ；
②若不等式
2
1
2
n
n
n
n
S
l
-
-
<
+
对任意的正整数n 恒成立，求实数l 的取值范围．
17．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）
N
n
*
" Î
，都存在唯一的实数
nc ，使得
n
f c
n
=
，则称函数
f x 存在“源
数列”
nc
．已知
f x
x
=
ln ,
0,1
x x
-
Î
．
(1)证明：
f x 存在源数列；
(2)①若
0
f x
x
l
-
£
恒成立，求l 的取值范围；
②记
f x 的源数列为
nc
，前n 项和为
n
S ．证明：
7
4
n
S <
．
18．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
1
2
a =
且
*
1
2
2
n
n
S
S
n
+ =
+
ÎN
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
n
n
b
n
a
=
+
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，若对任意的
*
nÎN ，
2
3n
nT
l
-
£
恒成立，求l 的取值范围.
1．（24-25 高二下·辽宁锦州·期末）已知数列
na
中，
1
1
1
1
,
1
4
n
n
a
a
a
+
= -
= -
，则
9a = （ ）
A．4
5
B．5
4
C．8
3
D．5
2．（24-25 高二下·吉林白山·期末）已知数列
na
满足
1
2
2
6
a
a
=
=
，
，且
2
1
2
1
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
+
，若
x 表示不超过x
的最大整数，例如[2.6]＝2，[－1.8]＝－2，则
2
2
2
1
2
2024
2
3
2025
a
a
a
+
+×××+
＝（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
3．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
na
满足
1
3
3
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，且
1
1
a = ，则数列
na
的通项公式为（ ）
A．
2
1
n
na =
-
B．
1
3
log 2
1
n
na
-
=
+
C．
3
log
2
1
n
na =
+
D．
1
3
log
2
1
n
na
+
=
-
4．（24-25 高二下·山东淄博·期末）数列
na
满足
1
1
a = - ，且
*
1
2
1
1
n
n
a
a
n
n
n
n n
+ =
+
Î
+
+
N
，则
2025
a
=（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
5．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
a = ，
1
2
2
2
1
1
n
n
n
a
a
n
n
+
+
=
+
+
，则使得
1.98
na >
成立的最小自然数
n 为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
考点三
数列递推问题
6．（24-25 高二下·四川资阳·期末·多选）数列
na
满足
1
1
1
n
n
a
a
+ = -
，
1
1
3
a = -
，则（ ）
A．
2
3
4
a =
B．
na
为递增数列
C．
na
为周期数列
D．
2025
2024
a
=
7．（24-25 高二下·广东揭阳·阶段练习·多选）记
n
S 为正项数列
na
的前n 项和，且
2
1
n
n
n
S
a
a
=
-
+ ，则（ ）
A．
1
1
a =
B．
2
2
S =
C．数列
na
单调递增
D．
1
1
n
n
a
a
+ - £
8．（24-25 高二下·江西吉安·期末·多选）已知数列
na
满足
*
1
1
1
2,
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a
a
a
n
+
+
=
=
-
+
ÎN
，其前n 项和为
n
S ，则（ ）
A．
3
6
5
a =
B．数列
1
1
na
ì
í
-
î
为等差数列
C．存在
2
n ³
，使得
n
S 为整数
D．对任意
2
n ³
，均有
1
ln
n
S
n
n
-
< +
9．（24-25 高一下·上海·期末）已知数列
na
满足
1
3
2
n
n
a
a
+ =
+
，且
1
2,
a
n
=
为正整数，则
na =
．
10．（24-25 高二下·广东江门·期末）已知数列
na
满足
1
1
1
2
1
n
n
n
a
a
n
+
+ + -
=
- ，记数列
na
的前n 项和为
n
S ，则
6
S =
.
11．（24-25 高二下·河南焦作·期末）在数列
na
中，
1
4
a =
，且
1
1
8
n
n
a
a
a
n
+ =
+
+
，则
1
2
3
2025
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
a
a
+
+
+
+
=
-
-
-
-
L
.
12．（24-25 高二下·江西赣州·期末）数列
na
满足
1
1
a = ，
2
3
a =
且对于n
+
ÎZ ，都有
2
1
3
2
2n
n
n
n
a
a
a
+
+
=
-
+
.
(1)求数列
na
的
3a ，
4a ，
5a ；
(2)证明数列
1
1
2
n
n
n
a
a
+
-
-
ì
í
î
是等差数列；
(3)求
na .
13．（24-25 高二下·广西北海·期末）已知数列
na
满足
1
1
4,
3
2
n
n
a
a
a
+
=
=
-
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
2
1
n
n
n
n
a
b
a a +
-
=
，记数列
nb
的前n 项和为
nT ，求证：
1
4
nT <
．
14．（24-25 高二下·河南鹤壁·期末）已知函数
2
2
x
f x
x
=
+
，
1
1
x = ，
1
n
n
x
f
x -
=
（
*
nÎN ，且
2
n ³
），记
1
n
n
y
x
=
.
(1)求
2x 、
3x ；
(2)证明
ny
是等差数列，并求
ny
的通项公式；
(3)令
2
2
n
n
n
n
m
y
=
+
，求数列
n
m
的前n 项和
nP .
15．（24-25 高二下·江西·期末）已知数列
na
满足
2
1
1
1
1 ,2
1
2
2
n
n
n
n
n
a
na
n
a
+
-
+
=
-
+
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
n
n
a
b
n
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ；
(3)若集合
n
A
n a
t
=
>
，且A 中仅有2 个元素，求t 的取值范围．
16．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知数列
na
的前n 项和为
1
1
1
,
0,
,
2
n
n
n
n
n
S a
a
S
a a +
¹
=
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
1
b = ，且
2
1
1
4
n
n
n
b
b
a
+
+
+
=
，求数列
nb
的通项公式；
(3)在（2）的条件下，若
1
1
2n
n
n
n
e
b
-
-
×
=
，求
ne
的前n 项和
nT ．
17．（24-25 高三上·福建福州·阶段练习）已知各项均为正数的数列
na
满足
1
1
a = ，
2
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
-
=
+
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
1
4
1
n
n
b
a
=
- 数列
nb
的前n 项和为
nT ，若
100
n
n
T
b
>
，求满足条件的最小正整数n .
18．（24-25 高二下·辽宁·期末）已知数列
na
满足
1
2
a = - ，且
1
4 3n
n
n
a
a
+ +
= - ´
．
(1)求
2a ，
3a ，
4a ；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)设
n
n
b
na
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
