文档文本内容
02 利用导数求解函数极值及最值问题
一、必备知识：
1.利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
2.根据函数的极值求参数范围
（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；
（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍。
3.函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点.
4.函数零点问题的常见题型：
（1）判断函数是否存在零点或者求零点的个数；
（2）根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线 ）在某区间上的交
点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
5.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
7.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
二、题组
题组一：利用导数求函数极值及最值
1．已知函数 ，若 是 的极值点，求 的极值．
2．已知函数 ．(1)求函数 的最小值；(2)求函数 在 上的最小值.3．已知函数 ，其中 ，求函数 在区间 上的最小值 ．
巩固训练：
1．已知函数 ，当 时，求 的极值.
2．已知函数 ，求 在 上的最值.（注： ）
3．已知函数 ，求 在区间 上的最大值.4．已知函数 ，讨论 的单调性与极值.
5．已知函数 ，设 ，求函数 的极大值.
题组二：由极值或最值求参
1．已知函数 ，若函数 的极小值为 ，求实数 的取值集合．
2.已知当 时， 恒成立，若 是 的极大值点，求a的取
值范围．3．已知函数 和 有相同的最小值．求a.
巩固训练：
1．已知函数 ,当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求
的取值范围.
2．已知函数 ,是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，
求出 的所有值；若不存在，说明理由.
题组三：恒成立或能成立求参
1．已知函数 ,若不等式 恒成立，求a的取值范围．2．已知函数 ，若当 时， ，求 的取值范围.
3．已知函数 ,若 ，求a的值.
4．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值
范围．
巩固训练：
1．已知函数 ，当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.2．已知函数f（x）=2lnx+1,若f（x）≤2x+c，求c的取值范围.
3．已知函数 ，当 时， ，求a的取值范围.
4．已知函数 ,若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
题组四：由零点个数求参
1．已知函数 有三个零点，求 的取值范围．2．已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
3．已知函数 在 只有一个零点，求 的值.
巩固训练：
1．已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
2．已知函数 ，设函数 ，若 有两个
零点，求实数 的取值范围．
3．已知函数 ，若 有两个极值点 ．求实数 的取值范围.三、综合检测：
1．已知函数 图象在点 处切线斜率为 ，且 时， 有极值.(1)求
的解析式；(2)求函数 极值.
2．设 为实数，已知 ， .(1)求 在区间 的值域；(2)对于
， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
3．已知函数 ，若 ，求a的取值范围.
4．已知 ， ，对一切实数 ，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.5．已知函数 .(1)当 时，求函数 的极值；(2)若函数 在 上仅有
两个零点，求实数 的取值范围.
6．已知函数 在 时取得极值．(1)求实数 的值；(2)存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
7．已知函数 有两个零点 ， .(1)求实数 的取值范围；(2)如果 ，求此时
的取值范围.
