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02 利用导数求解函数极值及最值问题
一、必备知识：
1.利用导数求函数极值的方法步骤
（1）求导数 ；
（2）求方程 的所有实数根；
（3）观察在每个根x附近，从左到右导函数 的符号如何变化．
0
①如果 的符号由正变负，则 是极大值；
②如果由负变正，则 是极小值．
③如果在 的根x＝x的左右侧 的符号不变，则不是极值点．
0
2.根据函数的极值求参数范围
（1）列式：根据极值点处导数值为0和极值这两个条件列方程；
（2）验证：求解后验证根的合理性，做好取舍.
3.函数 在区间 上连续，在 内可导，则求函数 最值的步骤为：
（1）求函数 在区间 上的极值；
（2）将函数 的各极值与端点处的函数值 ， 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一
个是最小值；
（3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。
4.函数零点问题的常见题型：
（1）判断函数是否存在零点或者求零点的个数；
（2）根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．
求解步骤：
第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与 轴（或直线 ）在某区间上的交
点问题；
第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；
第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．
5.利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
6.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， ．
7.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数 ， ， ， ．
（1）若 ， ，有 成立，则 ；
（2）若 ， ，有 成立，则 ；
（3）若 ， ，有 成立，则 ；
（4）若 ， ，有 成立，则 的值域是 的值域的子集．
二、题组
题组一：利用导数求函数极值及最值
1．已知函数 ，若 是 的极值点，求 的极值．
【详解】函数 的定义域为 ，由根据 是 的极值点，所以 ，解得 ，
所以 ，令 ，所以 ，
所以 ， ， 单调递增， ， ， 单调递减，
， ， 单调递增，所以 ， .
2．已知函数 ．(1)求函数 的最小值；(2)求函数 在 上的最小值.【详解】（1）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ；由 ，得 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
所以 的最小值为 ，无最大值．
（2）由（1）知，函数 在 上单调递减，在 单调递增，
当 ，即 时， 在 单调递减， ；
当 时，即 在 单调递减， 单调递增， ．
当 时， 在 单调递增， ；
综上所述 .
3．已知函数 ，其中 ，求函数 在区间 上的最小值 ．
【详解】函数 的定义域为 ，
， ，
令 ，得 或 （舍），
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递减，当 时，， 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
当 ，即 时，当 时， ，则 在 上单调递减，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，
综上 .
巩固训练：
1．已知函数 ，当 时，求 的极值.
【详解】（1）易知 的定义域为 ，由 可得 ，
当 时， ，令 可得 ；
因此当 时， ，此时 在 上单调递减，
当 时， ，此时 在 上单调递增，
因此可得 在 处取得极小值 ；所以 的极小值为 ，无极大值.
2．已知函数 ，求 在 上的最值.（注： ）
【详解】因为 ， ，则 ， ，
令 ，解得 ，所以 时， ， 在 上单调递减，时， ， 在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
因为 ， ，且 ，所以 的最大值 ．
3．已知函数 ，求 在区间 上的最大值.
【详解】由题意 ， ．
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 在区间 上单调递增，
即 的最大值为 ．
4．已知函数 ，讨论 的单调性与极值.
【详解】由题得， 的定义域为 . .
①当 时， 恒成立. 在 上为减函数，此时 无极值;
②当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的极小值为 ，无极大值.
综上可得，当 时， 在 上为减函数， 无极值;
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
的极小值为 ，无极大值.5．已知函数 ，设 ，求函数 的极大值.
【详解】由题意 ，则 ，
则 ，
当 时， ，此时函数 无极值；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的极大值为 ；
当 时，令 ，则 或 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
而函数 的定义域为 ，所以此时函数 无极值.
综上所述，当 时，函数 无极大值；
当 时， 的极大值为 ；
题组二：由极值或最值求参
1．已知函数 ，若函数 的极小值为 ，求实数 的取值集合．
【详解】由题意 ，
①当 时， 在 上单调递增，无极值；
②当 时， 在 和 单调递减， 在 单调递增；所以 的极小值为 ，
故 ，化简得， ，解得 或 （舍去）；③当 时， 在 和 单调递增， 在 单调递减，所以 的极小值为 ，
故 ，解得 ，符合题意；
④当 时， 在 和 时单调递增； 在 单调递减，
所以 得极小值为 ，故 ，解得 或 （舍去）．
故实数 ．
2.已知当 时， 恒成立，若 是 的极大值点，求a的取
值范围．
【详解】令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令 ,因为 ，
且 ，所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，所以 ，即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，则 ，
且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，故a的取值范围为 .
3．已知函数 和 有相同的最小值．求a.
【详解】由题意 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
巩固训练：
1．已知函数 ,当 时，记 在区间 的最大值为 ，最小值为 ，求
的取值范围.
【详解】由 求导得 .
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 .
而 ，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，设函数 ，求导 当 时 ,从而 单调递减.
而 ，所以 .即 的取值范围是 .
若 ， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 ,
而 ，故所以区间 上最大值为 .
所以 ，
而 ，所以 .即 的取值范围是 .综上得 的取值范围是 .
2．已知函数 ,是否存在 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，
求出 的所有值；若不存在，说明理由.
【详解】由题意 求导得 .
要使 在区间 有最大值1和最小值-1，则：
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
此时在区间 上单调递增，所以 ， 代入解得 ， ，与 矛盾，
所以 不成立.
若 ， 区间上单调递增；在区间 .所以 ， 代入解得 .
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
即 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为
而 ，故所以区间 上最大值为 .即 相减得 ，即 ，又因为 ，所以无解.
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
即 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为
而 ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，解得 ，又因为 ，所以无解.
若 ， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
所以有 区间 上单调递减，所以区间 上最大值为 ，最小值为
即 解得 .综上得 或 .
题组三：恒成立或能成立求参
1．已知函数 ,若不等式 恒成立，求a的取值范围．
【详解】（2）［方法一］：通性通法
, ，且 .设 ,则
∴g(x)在 上单调递增，即 在 上单调递增，
当 时， ,∴ ,∴ 成立.
当 时， ， ， ,
∴存在唯一 ，使得 ，且当 时 ，当 时 ，
， ，因此>1,∴ ∴ 恒成立；
当 时， ∴ 不是恒成立.
综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞).
［方法二］【最优解】：同构
由 得 ，即 ，而 ，
所以 ．令 ，则 ，所以 在R上单调递增．
由 ，可知 ，所以 ，
所以 ．令 ，则 ．
所以当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以 ，则 ，即 ．所以a的取值范围为 ．
［方法三］：换元同构
由题意知 ，令 ，所以 ，所以 ．
于是 ．
由于 ，而 在 时为增函数，故 ，
即 ，分离参数后有 ．
令 ，所以 ．
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减．
所以当 时， 取得最大值为 ．所以 ．
［方法四］：
因为定义域为 ，且 ，所以 ，即 ．
令 ，则 ，所以 在区间 内单调递增．因为 ，所以 时，有 ，即 ．
下面证明当 时， 恒成立．
令 ，只需证当 时， 恒成立．
因为 ，所以 在区间 内单调递增，则 ．
因此要证明 时， 恒成立，只需证明 即可．
由 ，得 ．
上面两个不等式两边相加可得 ，故 时， 恒成立．
当 时，因为 ，显然不满足 恒成立．
所以a的取值范围为 ．
2．已知函数 ，若当 时， ，求 的取值范围.
【详解】当 时， 等价于
设 ，则 ，
（i）当 ， 时， ，
故 在 上单调递增，因此 ；
（ii）当 时，令 得 .
由 和 得 ，故当 时， ， 在 单调递减，因此 .
综上， 的取值范围是
3．已知函数 ,若 ，求a的值.
【详解】 的定义域为 .
①若 ，因为 ，所以不满足题意；
②若 ，由 知，当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递减，在 单调递增，故x=a是 在 的唯一最小值点.
由于 ，所以当且仅当a=1时， .故a=1.
4．已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数．若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值
范围．
【详解】因为
令 ，则
当 时，令 ，解得 ， 当 时， ；当 时，
在 上单调递增；在 上单调递减
若 时， ，即 恒成立,令
则 ， ，则
在 上单调递增；在 上单调递减,且 ， ，
，
①当 时， ，即 在 上恒成立, 在 上单调递增
，即 ，此时 恒成立
②当 时， ， ， , ，使得
在 上单调递增，在 上单调递减
又 ，
在 上恒成立，即 恒成立③当 时， ，
，使得 , 在 上单调递减，在 上单调递增
时， ，可知 不恒成立
④当 时，
在 上单调递减 ,可知 不恒成立
综上所述：
巩固训练：
1．已知函数 ，当x≥0时，f（x）≥ x3+1，求a的取值范围.
【详解】[方法一]【最优解】：分离参数
由 得， ，其中 ，
①.当x=0时，不等式为： ，显然成立，符合题意；
②.当 时，分离参数a得， ，
记 ， ，
令 ，则 ， ，
故 单调递增， ，故函数 单调递增， ，
由 可得： 恒成立，故当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；因此， ,
综上可得，实数a的取值范围是 .[方法二]：特值探路
当 时， 恒成立 ．只需证当 时， 恒成立．
当 时， ．
只需证明 ⑤式成立．
⑤式 ，令 ，
则 ，
所以当 时， 单调递减；当 单调递增；当
单调递减．从而 ，即 ，⑤式成立．
所以当 时， 恒成立．综上 ．
[方法三]：指数集中
当 时， 恒成立 ，
记 ，
，
①.当 即 时， ，则当 时， ， 单调递增，又 ，
所以当 时， ，不合题意；
②.若 即 时，则当 时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增，又 ，所以若满足 ，只需 ，即
,所以当 时， 成立；
③当 即 时， ，又由②可知 时，
成立，所以 时， 恒成立，所以 时，满足题意.
综上， .
2．已知函数f（x）=2lnx+1,若f（x）≤2x+c，求c的取值范围.
【详解】 [方法一]【最优解】： 等价于 ．
设 ，则 ．
当 时， ，所以 在区间 内单调递增；
当 时， ，所以 在区间 内单调递减．
故 ，所以 ，即 ，所以c的取值范围是 ．
[方法二]：切线放缩
若 ，即 ，即 当 时恒成立，
而 在点 处的切线为 ，从而有 ，
当 时恒成立，即 ，则 ．所以c的取值范围为 ．
[方法三]：利用最值求取值范围
函数 的定义域为： ， ，
设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以当 时，函数 有最大值，即 ，
要想不等式 在 上恒成立，只需 ；
所以c的取值范围为 ．
3．已知函数 ，当 时， ，求a的取值范围.
【详解】设 ，则 ，又 ，
设 ，则 ，若 ，则 ，
因为 为连续不间断函数，故存在 ，使得 ，总有 ，
故 在 为增函数，故 ，
故 在 为增函数，故 ，与题设矛盾.
若 ，则 ，
下证：对任意 ，总有 成立，
证明：设 ，故 ，
故 在 上为减函数，故 即 成立.
由上述不等式有 ，
故 总成立，即 在 上为减函数，所以 .
当 时，有 ，所以 在 上为减函数，所以 .
综上， .
4．已知函数 ,若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【详解】由题意 恒成立，即 恒成立，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
又 ，所以在 上存在唯一的 使 ，
当 时 单调递增，当 时 单调递减．
故 的最大值为 ，又 ，故 ，
两边取对数得 ，
又 在定义域内单调递增，所以 ，故 ，
所以 ，所以 ．
题组四：由零点个数求参
1．已知函数 有三个零点，求 的取值范围．
【详解】由题， ， 有三个零点，则 ，且 即 ，
解得 ，
当 时， ，且 ，所以 在 上有唯一一个零点，
同理 ， ，所以 在 上有唯一一个零点，
又 在 上有唯一一个零点，所以 有三个零点，综上可知 的取值范围为 .
2．已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
【详解】若 有两个零点，即 有两个解，
从方程可知， 不成立，即 有两个解，
令 ，则有 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，
而 时， ，当 时， ，所以当 有两个解时，有 ，
所以满足条件的 的取值范围是： .
3．已知函数 在 只有一个零点，求 的值.
【详解】设函数 ． 在 只有一个零点当且仅当 在 只有一个零点．
（i）当 时， ， 没有零点；
（ii）当 时， ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 单调递减，在 单调递增．
故 是 在 的最小值．
①若 ，即 ， 在 没有零点；
②若 ，即 ， 在 只有一个零点；③若 ，即 ，由于 ，所以 在 有一个零点，
又当 时， ，所以 ．
故 在 有一个零点，因此 在 有两个零点．
综上， 在 只有一个零点时， ．
巩固训练：
1．已知函数 有两个零点，求 的取值范围.
【详解】由题意
若 ，则 在 单调递减，在 单调递增.又 ，取b满足b＜0且
，则 ，所以 有两个零点.
若a=0，则 ，所以 只有一个零点.
若a＜0，当 时 在 单调递增.又当 时， ＜0，故 不存在两个零点；
当 时 在 单调递减，在 单调递增.又当 时 ＜0，故 不存
在两个零点.综上，a的取值范围为 .
2．已知函数 ，设函数 ，若 有两个
零点，求实数 的取值范围．
【详解】函数 ，
因为 有两个零点，所以 ，即 有两个不相等的实数根，
设函数 ，则 ，因为 ，所以 恒成立，
所以当 时， 单调递增，且 ；
当 时， 单调递减，且 ，
因为函数 的图象与直线 有两个不同的交点，
所以 ，即 ．所以实数 的取值范围为 ．
3．已知函数 ，若 有两个极值点 ．求实数 的取值范围.
【详解】①因为函数 ，可得 ，
令 ，解得 ，设 ，可得 ，
因为 有两个极值点 ，则直线 与函数 的图象有两个不同的交点，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ．
又当 时， ，故可作出 的大致图象，如图所示，
结合图象可得， ，即实数 的取值范围为 ．
②由函数 有两个零点 ，所以 ，
令 ，则等价于关于 的方程 有两个不相等的实数根 ，
只需证明 ，不妨令 ，由 得 ，
要证 ，只需证明 ，
即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ，则 ，只需证明 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
综上所述，原不等式成立．
三、综合检测：
1．已知函数 图象在点 处切线斜率为 ，且 时， 有极值.(1)求
的解析式；(2)求函数 极值.
【详解】（1）由题意可得， ．由 ，解之得
经检验得 时， 有极大值．所以 ．
（2）由（1）知， ．令 ，得 ，
的值随 的变化情况如下表：0 0
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数
8
值
由表可知 的极大值为8，极小值为 ．
2．设 为实数，已知 ， .(1)求 在区间 的值域；(2)对于
， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
【详解】（1）由 ，得 ，
当 时， ，则
时， ； 时， ，
在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
函数 在区间 上的最小值为 ．
又 ,所以函数 值域为
（2） ， ，使得 成立，
又 在 上单调递增，
函数 在区间 上的最小值为 ，
又函数 在区间 上的最小值为 ， ，解之得 .
故实数 的取值范围是 ．
3．已知函数 ，若 ，求a的取值范围.【详解】由题意 的定义域为 ，
，
令 ,得 ，
当 单调递减；当 单调递增，
所以 ，若 ,则 即 ，
所以 的取值范围为
4．已知 ， ，对一切实数 ，不等式 恒成立，
求实数 的取值范围.
【详解】）对一切实数 ，不等式 恒成立，即 ，
可得 ，即 ，
令 ，其中 ，则
，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，则 ，解得 .
5．已知函数 .(1)当 时，求函数 的极值；(2)若函数 在 上仅有
两个零点，求实数 的取值范围.
【详解】（1）当 时， R），所以 ，令 ，则 ，
- 0 +
单调递减 极小值 单调递增所以 ，所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）函数 在 上仅有两个零点，
令 ，则问题等价于 在 上仅有两个零点，
易知 ，因为 ，所以 .
①当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 在 上没有零点，不符合题意；
②当 时，令 ，得 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 .
因为 在 上有两个零点，所以 ，所以 .
因为 ，
令 ，则 ，
所以在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
所以当 时， 在 和 内各有一个零点，
即当 时， 在 上仅有两个零点.
综上，实数 的取值范围是 .6．已知函数 在 时取得极值．(1)求实数 的值；(2)存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
【详解】（1）易知 ，依题意 ，解得 ，
此时 ，当 或 时， ；当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因此函数 在 时取得极值，所以 ．
（2）由（1）得函数 在 上单调递减，在 上单调递增；
因为 ，所以
由题意可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
7．已知函数 有两个零点 ， .(1)求实数 的取值范围；(2)如果 ，求此时
的取值范围.
【详解】（1）令 ，即 ，令 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 ，且 时 ，当 时 ，
又 与 有两个交点，所以 .
（2）由（1）可得 ， ，又 ，
所以 ，即 ，令 ， ，则 ，所以 ， ，记 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上 ，即 单调递减，
由于 ，所以当 时， ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递减，故 ，即 ，
而 ， 在区间 上单调递增，
故且，即．
