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第 19 讲 三角形中的角平分线、高线、中线、等分线、张角
定理问题
【典型例题】
例1．（2024·河北·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，若 的平
分线 的长为 ，则 边上的高线 的长等于（ ）
A． B．
C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意知，设 ，则 ，如图所示，
由 可得 ，
整理得 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，所以 ，
由 可得 ，解得 .
故选：B.
例2．（2024·高三·重庆·阶段练习）在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ， 为 边上的一点， ，且__________，求 的面积．
（从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
① 是 的平分线；② 为线段 的中点.
【解析】（1）由倍角公式得： ，所以 ，
因为 ，即 ，
所以 ，所以 .
（2）若选①：由 平分 得： ，
， 即 .
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
联立 ，得 ，解得 ，
，
若选②：由题设 ，则 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
联立 ，得 ，
.
例3．（2024·辽宁·一模）已知在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中
.
(1)求A；
(2)已知直线 为 的平分线，且与BC交于点M，若 求 的周长.
【解析】（1）根据题意可得 ，
由正弦定理得 ，
又 ，
故 ，
又 ，所以 ，则 ，因为 ，所以 .
（2）因为 ，
所以 ，
又 平分 ，所以 ，
所以 ，
则 ，即
由余弦定理得 ，即 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
故 的周长为 .
例4．（2024·高三·重庆·阶段练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
，边 上的中线 长为6.
(1)若 ，求 ；
(2)求 面积的最大值.
【解析】（1）由 有 ，故 ，
由正弦定理可得 ，故 ，
即 ，又 ，故 .
若 ，则 ，故 ，则 为直角三角形.
设 ，则 ，则 ，解得 .
故 .
（2）由（1）可得 ，则 .设 ，则 ，由余弦定理可得 ，
即 ，由 可得 ，
故 .
故 ，当 时 取得最大值，
为 .
例5．（2024·高三·全国·专题练习）在 中，已知 ．
(1)若 ，求 的值；
(2)已知中线 交 于 ，角平分线 交 于 ，且 ， ，求 的面积．
【解析】（1）由 ，可得 ，所以 ，即 ，
又由平方关系，可得 ，
整理得 ，解得 或 .
（2）由 ，可得 ，
整理得 ，即 ，所以 ，
因为角平分线 交 于 ，且 ， ，
可得 ，所以 ，解得 ，
又因为 是 的中点，所以 ，
因为 ，可得 ，
由余弦定理得 ，解得 ，可得 ，
又由 ，所以 ，所以 的面积为 .
例6．（2024·高三·河北唐山·期末）在 中，角 的对边分别为 ，
(1)求 ；
(2)设 边的中线 ，且 ，求 的面积 ．
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理得 ，
又因 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（2）在 中，由余弦定理得，
，即 ，
在 中，由余弦定理得，
，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
故 ，解得 或 （舍去），
所以 的面积 ．例7．（2024·高三·江苏·阶段练习）已知 的三个内角 所对的边分别是 ．已知
(1)求角 ；
(2)若点 在边 上， ，请在下列两个条件中任选一个，求边长 ．
① 为 的角平分线；② 为 的中线．
【解析】（1）在 中，由正弦定理知 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
，
又 ，
，
化简得 ，即 ，
又 ，所以 ．
（2）选①， 为 的角平分线，
由 得： ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
选②， 为 的中线，
则 ，平方得 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
所以 .
例8．（2024·全国·一模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AD是BC边上的高．
．
(1)求角A；
(2)若 ， ，求AD．
【解析】（1） 中， ，
由正弦定理，有 ，即 ，
得 ，
由余弦定理， ，
由 ，得 .
（2） ，
，
解得 ，则 都为锐角，
有 ，得 ，
锐角 中， ，则有 ， ，
由 ，则 ，
又 ，得 ，由 ，得 ，即 ，
， ，解得 .
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·高三·江苏苏州·期中）在 中，已知 ， ， ， ， 边上的两条
中线 ， 相交于点 ，则 的余弦值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由余弦定理得 ，
所以 ，所以三角形 是直角三角形，且 ，
以 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
，
，
，
所以 .
故选：B
2．（2024·广西南宁·模拟预测）已知 中，角 对应的边分别为 ， 是 上的三等分点
（靠近点 ）且 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【解析】因为 ，
由正弦定理得 ，则 ，即 ，所以 ， ，则 ，
设 ，则 ，且 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
又 ，即 ，
又由正弦定理知 （ 为 的外接圆半径），
所以 ，
则 ，即 ，
又 ，故当 ， 时， .
故选：A
二、填空题
3．（2024·广西柳州·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， 的平
分线交AC于点D，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示，则 的面积为 ，
则 ，所以 ，显然 ，
故 ，当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
4．（2024·高一·重庆渝中·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，若 为 边上的中线，且 ，则 的面积等
于 ．
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，
，
注意 ，得 ，得 ，
记 ，由 ，知 ，
如图，以 为邻边做平行四边形 ，
在 中： ，即 ，
得 ，所以 ，
故答案为： ．
法（2）：设 ，在 中： ①
因为 ，则 ，
由余弦定理可得 ，得 ②联立①②知： ，即 ，解得 ，后面同上．
故答案为：
5．（2024·四川·模拟预测）在 中， ， ，且 ，则 边上的高 .
【答案】6
【解析】 ，注意到 ， ，
可得 ， ， ，
由正弦定理得 ，得 ，
所以 .
故答案为：6.
6．（2024·四川成都·二模）在 中， ， ， ，则BC边上的高为 ．
【答案】 /
【解析】因为 ， ，所以 ，
由正弦定理得 ，
由余弦定理 ，得 ，
解得 （负值舍）
设BC边上的高为h，则 ．
故答案为： .
7．（2024·高三·河南·专题练习）已知等腰 中， ，点 是线段 上靠近 的三等分
点，若 ，且 ，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，则 ，即 ，
故 中， ，
令 ，则 ，
且 ，
又 ，其中
所以 ，
则 ，则 ，故 ，
故实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
8．（2024·高一·云南·期末）记 的内角 的对边分别为 ，点 为 边三等分点（靠近
C）.若 ， ，则 的面积为 .
【答案】 /
【解析】在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
由点 为 边三等分点（靠近C），
得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
则 ，所以 ，
所以 .故答案为： .
三、解答题
9．（2024·河南·三模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 ，且
．
(1)求证： ；
(2)若 的平分线交AC于D，且 ，求线段BD的长度的取值范围．
【解析】（1）
证明：由余弦定理可得 ，
故 ，由正弦定理得 ．
所以在 中， 或 ．
若 ，又 ，故 ，因为 ，所以 ，故 不满足题意，舍去，
所以 ．
（2）在 中，
由正弦定理可得 ，即
所以
因为 是锐角三角形，且 ，
所 得 ，
所以 ．
所以线段BD长度的取值范围是 ．10．（2024·河南南阳·一模）在 中，角 的对边分别为 且
.
(1)求角A;
(2)若 的平分线交 于点 ，求 的长.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
即
由正弦定理得 ，
又由余弦定理 ，可得
因为 ，所以 ；
（2）在 中， ，
由等面积法得 ，
即 ，
即 ，
所以 .
11．（2024·高三·山东德州·开学考试）在 中，角 所对的边分别为 ，且
.
(1)求 ；
(2)若 的平分线交 于 ，且 ，求 的最小值.
【解析】（1） ，则 ，
由正弦定理可知： ，
又 ，化简得 ，即 ，
所以， ，
即 ，因为 ，所以 ，从而 ；
（2）由题意可得： ，
且 ，即 ，
化简得 ，即 ，
因为 ，所以
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值为9.
12．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的值域；
(2)在 中，内角 的对边分别为 为 的平分线，若 的最小正周期是
，求 的面积．
【解析】（1）
,
当 时， ，又 ，故 ，
又 在 上单调递增，在 单调递减，且 ，
故函数 在 上的值域为 .
（2）由（1）知， ，由其最小正周期为 ，
可得 ，又 ，解得 ，则 ；由 ，即 ，又 ，可得 ，则 ，即 ；
为 的平分线，故可得 ，
则 ，即 ， ；
在三角形 中由余弦定理可得 ，即 ，
将 代入上式可得： ，即 ，
解得 ，或 （舍去）；
故 的面积为 .
13．（2024·高三·山西运城·期末）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 .
(1)求角B的大小；
(2)若 ，D为 边上的一点， ，且______________，求 的面积．① 是 的平分
线；②D为线段 的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）.
【解析】（1）由正弦定理知， ，
，
代入上式得 ，
， ， ，
， .
（2）若选①：由 平分 得： ，
，
即 .
在 中，由余弦定理得 ，
，联立 ，得 ，
解得 ，
若选②：得 ，
，
得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
，
联立 ，得 ，
14．（2024·高三·浙江·开学考试）记 的内角 的对边分别为 .已知 .
(1)当角 最大时，求其最大值并判断 的形状；
(2)若 的中线 ，求 面积的最大值.
【解析】（1）由 得到 ，
又由余弦定理得 ，当且仅当 取等号，
又 ，且 在区间 上单调递减，所以 ，
即角 最大值为 ，又 ，所以 为等边三角形.
（2）因为 ，得到 ，
又 ，所以 ①，
又由余弦定理得 ②，由① ②得到 ，
又 ，所以 ，得到 ，当且仅当 时取等号，
此时， ，由（1）知 ，所以 ，即 面积的最大值为 .
15．（2024·高三·浙江杭州·期末）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，角
C为锐角，已知 的面积为 .
(1)求c；
(2)若 为 上的中线，求 的余弦值.
【解析】（1）由 的面积为 可得： ，
因为 ， ，解得：得 ，
由角 为锐角得 ，
故 ，解得 .
（2）因为 为 上的中线，所以 ，
所以 ，
，
解得： .
故 .
16．（2024·高三·浙江宁波·期末）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求 ；(2)若 ，BC边上的中线 ，求 的面积．
【解析】（1）因为 ，
即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ．
（2）方法1：因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ①；
由余弦定理得， ②；
所以由①②得，
所以 ．
方法2：由余弦定理得：
，
因为 ，
所以 ①；
又 ②；
所以由①②得，
所以 ．
17．（2024·高三·山东济南·开学考试）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，且 边上的高为 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ；
（2）由题意得 ， ，
由余弦定理得 ，
解得 （负值舍去），
因为 边上的高为 ，
所以 ，
则 ，所以 ， ，
故 的周长 ．
18．（2024·湖南株洲·三模）已知 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求A的大小；
(2)设AD是BC边上的高，且 ，求 面积的最小值．
【解析】（1）在 中，由 及二倍角公式，
得 ，即 ，
整理得 ，
因此 ，即 ，而 ，所以 ．
（2）由（1）及已知，得 ，即有 ，
由余弦定理得 ，即 ，
因此 ，即 ，
于是 ，当且仅当 时取等号，
而 ，所以 面积的最小值为 ．
19．（2024·高三·重庆·阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为
，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 外接圆的半径为1，边 上的高为 ，求 的值.
【解析】（1） ，
即 ，即 ，
所以 ，又 ，则 .
（2）由 外接圆的半径为1，得 ， ，
边 上的高为 ，所以 ，
则 ，所以 ，
， ，即 ，
故 .
20．（2024·高三·浙江绍兴·期末）在① ；② ；③
，这三个条件中任选一个，填在下面的横线中，并完成解答.
在锐角 中，内角 所对的边分别为 ，且_______.
(1)求边长 ；
(2)若 边上的高为 ，求角 的最大值.
【解析】（1）选①， ， ，
， ；
选②， ， ，
， ；
选③， ， ，
， ，，由正弦定理得 ， .
（2） ，当且仅当 时，等号成立，
， ，
又由于 ， ， ，
， ，即 ，
又在锐角 中， ，则 ，
，即 ，所以角 的最大值为 .
21．（2024·江西·一模）在 中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 的面积为 ，
点D是线段 上靠近点B的一个三等分点， ．
(1)若 ，求c；
(2)若 ，求 的值．
【解析】（1）
由题可得： ，故
又 ，即 ，
，即
在 中，根据余弦定理得
即
，即 ，
（2） ，
，即
又 ， ①
又 ②，由①②得：22．（2024·高三·四川眉山·开学考试）在△ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角B的值；
(2)若 ，点D是AC边上靠近点C的三等分点，求BD的取值范围.
【解析】（1）∵ ．
∴由正弦定理，得 ．
∴ ．
∴ ．
又 ，∴ ．
又∵ ，∴ ．又 ，∴ ．
（2）由题意可知， ,
即 ，
所以 ，
，
，且 ，
所以 ，
，由 可知， ，
所以 ，则 的取值范围是 .
23．（2024·高一·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣
以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀
绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，
点D为边BC上靠近B点的三等分点， ， ．(1)若 ，求三角形手巾的面积；
(2)当 取最小值时，请帮设计师计算BD的长．
【解析】（1）在 中， ， ，故 ， ，
由正弦定理得 ，即 ，
而 ，
故 ，
故 ,
故三角形手巾的面积为
（2）设 ，则 ，
则在 中， ，
在 中， ，
故
，
由于 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 ，
即 取到最小值即 取最小值时， ，
即此时 .24．（2024·福建泉州·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
.
(1)证明： ；
(2)点 是线段 上靠近点 的三等分点，且 ，求 的周长.
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以
即 ，
由正弦定理得： .
（2）因为点 是线段 靠近点 的三等分点，
所以 ，所以 ，
则 .
由余弦定理得： .
由（1）知 ， ，则 ，
所以 ，
解得 ，则 ，
所以 的周长为 .
25．（2024·辽宁·模拟预测）已知 中， ， ，
(1)求 ；
(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求 的余弦值．
【解析】（1）由题意 ，
又 ，故 ，而 ，
且 ，所以 ，，所以 或 （舍），
故 ，且 ，则 ， ，故 .
（2）不妨取 ，则 ， ，
.
26．（2024·河南洛阳·一模）已知函数 ，在 中，内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求角A；
(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．
【解析】（1）因为
，
所以 ，所以 ．
所以 ，即 ．
又 ，所以 ．
（2）如图所示，
方法一：在△ABC中，由余弦定理可得 ，
则 ．又点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以 ．
又在△ABC中， ，在 中，由余弦定理可得 ，
所以 ．
方法二：因为点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以 ．
等式两边同时平方可得 ．
所以 ，即 ．
27．（2024·广东汕头·一模）如图，在 中，D是 边上的一点， ， ．
(1)证明： ；
(2)若D为靠近B的三等分点， ， ， ， 为钝角，求 ．
【解析】（1）证明：在 中， ，
在 中， ,
由于 ,故 ，
所以 .
（2）因为 ，故 ，由 为钝角，故 为锐角，
又 ，且D为靠近B的三等分点， ， ，
故 ，
故 ,
故 ，则 ,故 .
