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专题 02 圆锥曲线中的中点弦问题（点差法+联立法）
(典型题型归类训练)
一、必备秘籍
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
x +x y +y
中点M(x 0 ,y 0 ) ， x 0 = 1 2 2 ， y 0 = 1 2 2
2、点差法
x y x y
2 2 2 2
设直线和曲线的两个交点 ， ，代入椭圆方程，得 1 + 1 =1； 2 + 2 =1；
A(x
1
,y
1
) B(x
2
,y
2
) a2 b2 a2 b2
x
2
−x
2
y
2
−y
2 (x +x )(x −x ) (y +y )(y −y )
将两式相减，可得 1 2 + 1 2 =0； 1 2 1 2 =− 1 2 1 2 ；
a2 b2 a2 b2
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
最后整理得：1=− 1 2 1 2 1=−k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
a2 (y +y )(y −y ) a2 y
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1= 1 2 1 2 1=k⋅ ⋅ 0
b2 (x +x )(x −x ) b2 x
1 2 1 2 ⇒ 0
设直线和曲线的两个交点A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，代入抛物线方程，得 y 1 2 =2px 1； y 2 2 =2px 2；
y −y 2p
1 2
将两式相减，可得 ；整理得： =
(y −y )(y +y )=2p(x −x ) x −x y +y
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
二、典型题型
题型一：求直线方程
1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆 ，直线 经过点 与 交于 两点.
若 是线段 的中点，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．2．（2024·全国·高二专题练习）已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，
且右顶点 到该条渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，线段 的中点为 ，求直线 的斜率.
3．（2024上·河北保定·高二统考期末）一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹
为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为 ，求直线l的方程．
4．（2024·全国·高二专题练习）过点 的直线l与双曲线 相交于A，B两点，且P为线段
AB的中点，求直线l的方程．
题型二：求离心率
1．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆 ， ， ， 为椭圆
过点E的一条弦，且 ，直线 的斜率与 的斜率乘积为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．2．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为 的直线 分别与 轴， 轴交于 两点，且与椭圆
，在第一象限交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·云南昭通·高二昭通市第一中学校联考期末）斜率为 的直线与椭圆 交于
A，B两点， 为线段 的中点，则椭圆的离心率为 ．
4．（2024上·河北石家庄·高二统考期末）已知过点 的直线 与双曲线 ： 交
于A、B两点，若点P是线段 的中点，则双曲线C的离心率取值范围是 .
题型三：求弦中点的轨迹方程
1．（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆 .
(1)求过点 且被 点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程.
2．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线 ，过其焦点 作两条
相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点 和点 的中点分别为 .
(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.题型四：求曲线方程
1．（2023·全国·高一专题练习）已知椭圆方程为 ，其右焦点为F（4，0），过点F的
直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆G： ，斜率为 的直线l交椭圆于A，B两
点.若AB的中点坐标为 ，试写出椭圆G的一个标准方程 .
3．（2022上·陕西铜川·高二校考期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 交
抛物线C于 两点，线段 的中点为 为坐标原点，且直线 的斜率为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求实数m的值．
题型五：处理存在性问题
1．（2024上·上海·高二上海市育才中学校考期末）已知双曲线 中，离心率为 ，
且经过点 ．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线 与双曲线左支有两个交点，求 的取值范围；
(3)过点 是否能作直线 与双曲线交于 、 两点，且使得 是 的中点，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由．2．（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线 ( )经过点 ，其渐
近线方程为 ．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
3．（2023上·四川遂宁·高二四川省蓬溪中学校校考阶段练习）已知 ，
，动圆 与圆 和圆 都外切，圆心 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的直线 交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段 的中点？为什么？
题型六：确定参数的取值范围
1．（2024上·内蒙古锡林郭勒盟·高二统考期末）设椭圆C： （ ）的两个焦点是 和
（ ），且椭圆C与圆 有公共点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若椭圆C上的点到焦点的最长距离为 ，求椭圆C的方程；
(3)对（2）中的椭圆C，直线： （ ）与C交于不同的两点M，N，若线段 的垂直平分线
恒过点 ，求实数 的取值范围．2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： ，A为椭圆的下顶点，设椭圆 与直线
相交于不同的两点 、 ， 为弦 的中点，当 时，求 的取值范围.
3．（2023上·河北邢台·高三邢台市第二中学校考期末）椭圆 ， ， ，
， 四点中恰有三点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 上两点 、 ，若直线 过点 ，且 ，线段 的中点为 ，求直线 的
斜率的取值范围.
题型七：定值问题
1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）已知椭圆 的右焦点为 ，
右顶点为 ，上顶点为 ，点 为坐标原点，线段 的中点恰好为 ，点 到直线 的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)设点 在直线 上，过 作 的垂线交椭圆 于 两点．记 与 面积分别为 ，
求 的值．2．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知 为坐标原点， ， ，直线 ，
的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 在第一象限，且纵坐标为4，求 .
3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为 ，且离心
率 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长 .
三、专项训练
一、单选题
1．（2024上·山西太原·高二统考期末）在椭圆 中，以点 为中点的弦所在的直线方程为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·辽宁大连·高二校联考期末）椭圆 ， ， ， 为椭圆
过点E的一条弦，且 ，直线 的斜率与 的斜率乘积为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·湖南·高二校联考期末）过抛物线 的焦点的直线与抛物线C相交于A，B两
点，若线段 中点的坐标为 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．14．（2024上·山东枣庄·高三统考期末）斜率为 的直线 分别与 轴， 轴交于 两点，且与椭圆
，在第一象限交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024上·重庆·高二重庆八中校考期末）直线 经过椭圆 的左焦点
，且与椭圆交于 两点，若 为线段 中点， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024上·湖北武汉·高三统考期末）已知A，B为双曲线 上不同两点，下列点中可为线段
的中点的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知双曲线C： ，若双曲线C的一条弦的中点
为 ，则这条弦所在直线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线 与抛物线 交于
两点， 中点的横坐标为2，则 为（ ）
A． B．2 C． 或2 D．以上都不是
二、解答题
9．（2023上·湖北襄阳·高二襄阳市第一中学校考阶段练习）直线 与椭圆 相交于不同
的两点 ，若 的中点的横坐标为 ，求：
(1) 的值；
(2)弦长 的值．10．（2023上·江西南昌·高三南昌市外国语学校校考阶段练习）已知拋物线 ，过其焦点 作两
条相互垂直且不平行于 轴的直线，分别交抛物线 于点 和点 的中点分别为 .
(1)若直线 的斜率为2，求直线 的方程；
(2)求线段 的中点 的轨迹方程.
11．（2023上·江苏南京·高二南京外国语学校校考阶段练习）以两条坐标轴为对称轴的椭圆 过点
和 ，直线 与椭圆 相交于 两点， 为线段 的中点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若点 的坐标为 ，求直线 的方程；
12．（2023上·江西·高二校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的离心率为 ， 是
椭圆 上一点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ， 是椭圆 上两点，且线段 的中点坐标为 ，求直线 的方程.13．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线 的右焦点
为 ，虚轴长为 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 与双曲线 交于 两点，且线段 的中点为 ，求直线 的方程．
14．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 为C的左右焦点.
点 为椭圆上一点，且 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、
PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点M满足 ，求M的轨迹方程.
15．（2023下·福建·高二福建师大附中校考开学考试）已知双曲线 .
(1)试问过点 能否作一条直线与双曲线交于 ， 两点，使 为线段 的中点，如果存在，求出其
方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹
方程.
