02 圆锥曲线中的求值问题
一、必备知识：
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 与圆雉曲线相交于 ， 两点，由直线与圆锥曲线联立，消元得
到 （ ）或 （ ）,则 或
，则弦长
或
.
3.与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法
求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．二、题组
题组一：求斜率
1．已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0,则l的
斜率为 ．
【答案】
【详解】易知直线l的斜率存在，设 ， ，联立 可得，
，所以， ，
且 ．所以由 可得， ，即
，即 ，所以
，化简得， ，即
，所以 或 ，当 时，直线 过点
，与题意不符，舍去，故 ．
2．已知曲线 的方程为 ，设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两
点和 ， 两点，且 ，则直线 的斜率与直线 的斜率之和为 .
【答案】0
【详解】[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设 ,设直线 的方程为 ．联立 ,化简得 .则 ．
故 ．则 ．
设 的方程为 ，同理 ．因为 ，所以
，化简得 ，所以 ，即 ．因为 ，
所以 ．
3．已知椭圆 的离心率为 ，点 为其长轴两端点，点 为椭圆 上异于
的一点，则直线 和 的斜率之积等于 ．
【答案】 或
【详解】由题意知若 ，则不妨取 ，
设 ，则 ，则 ，
则 ，
由于椭圆 的离心率为 ，即 ，即 ，
故 ；若 ，则不妨取 ，设 ，则 ，则 ，
则 ，
由于椭圆 的离心率为 ，即 ，即 ，
故 ，故答案为： 或
4．已知椭圆 的左顶点为A，O为坐标原点，直线 与椭圆C交于M，N
两点，射线 与椭圆C交于点P，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 ．
【答案】3
【详解】设 ， ，直线 过定点 ．设 ，即
，则 ， ．
因为 ，所以 ，两式作差得 ，
即 ，所以 ，结合 ，得 ， ，
由于 ，即 ，而射线 与椭圆C交于点P，故 ，又 ，故
，所以 ，故答案为3.5．已知椭圆 与抛物线 交于点 ，直线 与 轴的交点既
是 的右焦点，也是 的焦点，点 关于原点的对称点分别为 ，点 是 上与 均不重
合的点，记直线 的斜率分别为 ，则 .
【答案】4
【详解】令椭圆 半焦距为c，由 的右焦点，也是 的焦点，得 ，又直线 过点 ，由
椭圆、抛物线的对称性知，点 关于x轴对称，即直线 轴，由 ，得 ，由
，得 ，于是 ，即 ，则 ，解得 ，不妨令 ，
则 ，设 ，显然 ，
，所
以 .故答案为4.
巩固练习：
1．已知椭圆 的左焦点为F，离心率为 ，过F的直线l交椭圆于A，B两点，且
，则直线l的斜率为 .
【答案】 或
【详解】设 ， ，因为 ，又A，F，B三点共线，所以 ，
所以 ，所以 ， .又 ， 在椭圆上，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 ，
由 ，解得 ，当 时，直线l的斜率 ；
当 时，直线l的斜率 ，所以直线l的斜率为 或 .
2．已知点 满足方程 ，点 ， ，若直线 的
斜率为 ， 斜率为 ，则 的值为 .【答案】
【详解】已知动点 满足方程 ，
设 ，且 ，则有 ，
故点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 的椭圆，
且中心在原点，焦点在 轴，即点 的轨迹轨迹方程为椭圆的标准方程，
则 ， ，故所求轨迹方程为 ，则 ，
又 ， ，则 .故答案为： .
3．已知椭圆 的上下顶点分别为 ，过点 的直线交椭圆于 两点，记
，则 .
【详解】如图， ，设 ，直线斜率为 ，则直线 为 ，
联立 ，得 ，则 ， ，
设直线 ： ，直线 ： ，联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
由 得 ，解得 ，①
由 得 ，解得 ，②① ②得： ，即 ，则 .故答案为
4．设过点 的直线l与椭圆 交于M，N两点，已知点 ，若直线AM与直线AN的
斜率分别为 ， ，则 ．
【答案】
【详解】因为椭圆 ，所以 ，其右顶点为 ，下顶点为 ，
所以过点 的直线l的斜率存在且不为0和 ，设直线l的方程为 ，即 ，
设 ， ，点M，N的坐标均不为 ，联立 整理得
，则 ，解得
,因为 时， ， ，所以
.
故答案为： ．
5．如图，已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A，B，点P是直线 上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为 ， ，则 ．
【答案】
【详解】 ， ，设 ，则 ，直线PB的斜率 ．
设 ，则有 ，由 ， ，所以
，所以 ，故 ．故答案为：
6．已知 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， 是该椭圆上不同于 ， 的一点，若直线
的斜率 的取值范围为 ，则直线 的斜率 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】设点 ， ， ，则 ，
∴ ．又∵ ，∴ ．故答案为:
题组二：求弦长
1．已知点 、 分别椭圆 的左、右焦点，过 作倾斜角为 的直线交椭圆于 、 两点，则
弦 的长为 .
【答案】【详解】椭圆 的右焦点 ，因为直线 的倾斜角为 且过点 ，所以直线
，设 ， ，联立 ，消去 得 ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ， ，所以 .故答案为：
2．过椭圆 的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则弦AB的最小值为 ．
【答案】
【详解】椭圆 ，则 ， ，由于直线l过右焦点 ，则当l的斜率不存在时，令
x＝1，则y＝ ，可得|AB| ；当斜率存在时，设直线 ，代入椭圆方程得，
，即有 ，即有
，则最小值为 .故答案为 ．
3．斜率为 的直线l与椭圆C： 交于A，B两点，且 在直线l的左上方.若
，则 的周长是 .
【答案】【详解】由题意知 满足 ，即P在椭圆C： 上，
设 ，联立 ，得 ，需满足
，即 ，又因为 在直线l的左上方，
故 ，即 ，即 ；若A或B的横坐标为 ，则
，则 或 ，与 不符，故A或B的横坐标不可
能为为 ；则 ， ，
则 .
上式中，分子等于
，即 ，又 ,则 与x轴围成的三角形为
正三角形,故 ,故直线PA的方程 ,联立 ,可得
,其两根为 ，则 ，即
，故 ；同理求得 ，，而 ，故 的周长是
,故答案为： .
4．已知矩形 有三个顶点在抛物线 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【详解】法一：设矩形的三个顶点 在 上,且 ，
易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则 ,令
，同理令 ，且 ，则 ，
设矩形周长为 ,由对称性不妨设 ， ，
则 ，
易知 ,则令 ,
令 ，解得 ，当 时， ，此时 单调递减，当 ， ，
此时 单调递增，则 ，故 ,即 .当 时, ,且 ，即 时等号成立，矛盾，故 .
法二：不妨设 在 上，且 ，依题意可设 ，易知直线 ， 的斜率均存在
且不为0，则设 , 的斜率分别为 和 ，由对称性，不妨设 ，直线 的方程为
，则联立 得 ， ，
则 ,则 ，同理 ，
，令 ，则 ，设
，则 ，令 ,解得 ，当 时, ,此
时 单调递减，当 ， ，此时 单调递增，则 ，
，但 ，此处取等条件为，与最终取等时 不一致，故 .
巩固练习：
1．已知椭圆C： ， ， 是椭圆C上两点， ，则弦 长为
．
【答案】
【详解】由 ，得 ，故 两点在直线 上，联立
，消 得 ， 恒成立，则 ，
所以 .故答案为： .
2．已知 为坐标原点，椭圆 的离心率 ，短轴长为 ．若直线 与 在第
一象限交于 两点, 与 轴、 轴分别相交于 两点, ,且 ,则 ．
【答案】
【详解】由题意得 ,解得 ,故椭圆 的方程为 ,设 ,线段的中点为 ,连接 ,如图, 点 在椭圆上, ,两式相减得 ,则
,设直线 的方程为 ，则 ，
点 也为 的中点, , ，解得 ，
, ,故直线 的方程为 ,联立 ，消去
整理得 ,则 ，则 ,
故答案为 .
3．已知 ， 是椭圆C： 上两个动点，满足 ，O为坐标原点，则
．
【答案】
【详解】椭圆 的方程为 ，即 ，将 两点坐标代入得 ，即
，两式相乘可得 ，由 得，则 ，则 ，则 .由 ,两式相加
可得 ，所以 .
4．已知点 是椭圆C： 上的一点， 是椭圆的左、右焦点，且
，则椭圆C的方程是.若圆 的切线与椭圆C相交于M点，则 的最大值是 .
【答案】3
【详解】由 和 可得 ， 即 ， ，解得 ， ，
所以椭圆C： ；设圆 的切线方程为 ，由 得 ，
联立 消去x得 ，
，
设 ， ，则 ， ，
，
设 ， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最大值3.故答案为：3
5．已知椭圆 ，过原点 作两条互相垂直的射线交椭圆于 、 两点，则弦长 的取值范围
为 ．【答案】
【详解】当直线 、 分别与两坐标轴重合时， ；当直线 、 的斜率
都存在时，设直线 ，联立 ，可得 ，所以
，同理可得 ，所以
，因为 ，则 ，令 ，
令 ，因为函数 在 上为增函数，在 上
为减函数，又因为 ， ，则 ，此时，
，则 .综上所述， 的取值范围是 .故答案为： .
6．已知点P在双曲线 上，分别过P点作渐近线的平行线交x轴于点A，B且A点在靠近原点一侧，过A点作x轴的垂线交以 为直径的圆于点C，则 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意过点 与双曲线的两条渐近线分别平行的相交直线方程为 ，
设 ，则 是关于x的方程 的两根，而
，因此 ．故答案为： .
题组三：求面积
1．已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，Q两点，直线 的斜率之和为0，若
，则 的面积为 ．
【答案】
【详解】（1）因为易知直线l的斜率存在，设 ， ，联立 可得，
，所以， ，
且 ．
所以由 可得， ，即 ，
即 ，所以 ，
化简得， ，即 ，所以 或 ，当 时，直线 过点 ，与题意不符，舍去，故 ．
不妨设直线 的倾斜角为 ，因为 ，所以 ， ，
当 均在双曲线左支时， ，所以 ，即 ，解得
（负值舍去），此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当 均在双曲线右支时，因为 ，所以 ，即 ，
即 ，解得 （负值舍去），于是，直线 ，直线
，联立 可得， ，因为方程有一个
根为 ，所以 ， ，同理可得， ， ．
所以 ， ，点 到直线 的距离 ，
故 的面积为 ．
［方法二］： 设直线AP的倾斜角为 ， ，由 ，得 ，由
，得 ，即 ，联立 ，及 得 ，
，同理， ， ，故 ， ，而 ，
，由 ，得 ，故2．记抛物线 的焦点为F，点 ，直线 与抛物线C交于M，N两点，则四
边形 的面积为 .
【答案】
【详解】如图，由题意得， ，联立 ，得 .设 ， ，
则 ， ，而四边形 的面积为
.故答案为： .
3．已知椭圆C： 过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，点N为椭圆上任意
一点，则△AMN的面积的最大值为 .
【答案】
【详解】设与直线AM平行的直线方程为： ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比
较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程 与椭圆方程
，可得： ，化简可得： ，所以
，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得： ，由两点之间距离公式可得 .所以△AMN的面积的
最大值： .
4．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，其上焦点 与抛物线 的焦点重合．
若过点 的直线交椭圆 于点 ，过点 与直线 垂直的直线 交抛物线 于点 （如图所示），
则四边形 面积的最小值为 ．
【答案】
【详解】由题意得 ，即 ，又 ，所以 ，由 ，得 ，所以椭圆的方程
为 .由题意得过点 的直线 的斜率不为零，直线 的斜率存在时，设直线 方程为
，设 ， ， ， ，联立 ，消去 得,易知 ,则 ， ,所以
，抛物线 的方程为 ，直线 方程为 ，联立 ，消去 得
，则 ，所以 ，所以
，
因为 ，所以 ， ， ；
当直线 的斜率不存在时， ， ，所以 ；
综上， ，所以四边形 面积的最小值为 .故答案为： .
5．已知双曲线 ： 与双曲线 有相同的渐近线， 是双曲线 右支上任
一点，过点 作双曲线 的两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，O是坐标原点，若 的最小值是 ，
则当 取最小值时， 的面积是 .
【答案】
【详解】由题意，得双曲线 ： 的渐近线方程为 ，则 ，所以双曲线 ： ，即 .由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为 ， ， ，
得 .设 ，则 ，由点到直线的距离公式得
.在 中，
，所以 ，当且仅当 时取等号，此时 ，所以
的面积为 .故答案为： .
巩固练习：
1．若双曲线 的一条渐近线为 ，则过抛物线 的焦点且垂直于 轴的弦 ，
与抛物线的顶点组成的三角形的面积为 .
【答案】2
【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，又直线 是其一条渐近线，所以 ，
抛物线方程为 ，焦点为 ， 代入抛物线方程得 ， ，即 ，
， ．故答案为：2.
2．已知抛物线 的焦点 为椭圆 的右焦点，直线 过点 交抛物线于 两点，且 .直线 分别过点 且均与 轴平行，在直线 上分别取点 （ 均在点 的右
侧）， 和 的角平分线相交于点 ，则 的面积为 .
【答案】
【详解】由 的右焦点为 ，所以抛物线的焦点为 ，故 ，则 ，因此抛物线
，当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，代入抛物线的方程，得 ，所以 ，
，所以 ，不合题意，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， , ，
, ，联立 ，得 ，所以 ，所以
，所以 ，由对称性不妨设 ，则
，因为 和 的平分线相交于点 ， ，所以 ， ，
，所以在 中， ， ，所
以 ，故答案为： ．
3．过抛物线 的焦点F分别作两条相互垂直的直线 ， ，若直线 与抛物线C交于 ，
两点，直线 与抛物线C交于 ， 两点，且 ，则四边形ADBE的面积为
．
【答案】【详解】抛物线 的焦点 ，因为 和 的横坐标相同且 在抛物线上，易知
关于x轴对称且夹角为 ，所以直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，显然直线 和 的斜率都
存在，则设直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立方程组 ，消元得
，则 ，即 ，同理 ，所
以四边形 的面积为： ，故答案为： .
4．已知 为抛物线 的焦点，过直线 上的动点 作抛物线的切线，切点分别是 ，
则 与 为坐标原点）面积之和的最小值为 .
【答案】
【详解】由 ，得 ， ，求导得 ，根据题意直线PQ斜率存在，设其方程为
，设 ， ，可知在 处切线斜率分别为 ，设 ，
显然过点M的切线的斜率存在，设切线方程为 ，联立方程 ，消去y得
，则 ，整理得 ，可得 ，即
，联立方程 ，消去y整理得 ，则 ，可得 ，则直线PQ的方程为 ，过定点 ，且 ，
设 ，则 ，则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 与 为坐标原点）面积之和的最小值为 .故答案为： .
三、综合检测：
1．如图，在平面直角坐标系 中， ， 分别为椭圆 的左，右焦点， 、 分别
为椭圆的上、下顶点，直线 与椭圆的另一交点为 ，若 ，则直线 的斜率为 .
【答案】
【详解】由椭圆的对称性及 得 ，因为 ，所以
，设 ，则 ，即 ，则，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，故 .故答案为：
2．在平面直角坐标系中，过点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是线段 的中
点．设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 ．
【答案】
【详解】设 ， ，中点 ，因为 ，由椭圆的对称性可得 ，
，所以 ，将 ， 分别代入椭圆 ，两式相
减得 ，即 ，所以 ，故答案为：
3．已知椭圆 ，A，B为其左右顶点，设直线 上有一动点 ，连结AP，BP交
椭圆于C，D，则直线BC的斜率 与直线BD的斜率 的乘积 .
【答案】【详解】直线的 斜率 ，直线的 斜率 ，设 ，则
， .故答案为：
4．已知椭圆 ，过椭圆左焦点F任作一条弦 （不与长轴重合），点A，B是椭圆的左右顶
点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】设直线 ，联立 ，
所以 ， ，由韦达定理可求得
，
因为 在椭圆上，所以 ，即 ，由椭圆 ： 可得 ，
，所以 ，所以 ，则
，等号显然可以取得，故最小值为 ．故答案为： .5．已知直线 与椭圆 交于 两点，则 .
【答案】
【详解】联立 与 ，得 ，设 ，则
，故 .故答案为：
6．过点 的直线 与椭圆 交于 两点，则 的最大值是 .
【答案】
【详解】根据题意可知，显然 在椭圆上，不妨取 ，则 ，设 ，由 不重合可
知 ，且 ，即 ,所以 ，根
据二次函数性质可知，当 时， 取最大值为 ，即可得 的最大值是 .故答案为：
7．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线l与椭圆 有两个不
同的交点 ，则 的最大值为 .
【答案】【详解】由题意得 ,解得 , ， ， ∴椭圆 的方
程为 .由 ，设直线 的方程为 ， ， .联立得 ，得
，又直线 与椭圆 有两个不同的交点，所以 ，
解得 ，∴ ， ，∴
，故当 ，即直线 过原点时， 最大，最大值为 .
故答案为： .
8．已知抛物线 上的点 到焦点 的距离为4，过点 作直线 交抛物线于 两点，
延长 交准线于点 两点在准线上的射影分别为 ，若 ，则 的面积为 ．
【答案】
【详解】由抛物线 过点 ，且 ，得 ，准线方程为
，
如图．因为 ，所以 ，所以 ，连接 ，又 ，所以
为等边三角形，因为 ，所以 ，得 ，得 ，所以
，由 ，解得 ，所以．故答案为： .
9．已知 ， 分别为双曲线C： 的左、右焦点，O为坐标原点，过 作渐近线
的垂线，垂足为P，且 ，过双曲线C上一点Q作两渐近线的平行线分别交渐近
线于M，N两点，则四边形OMQN的面积为 .
【答案】
【详解】过 作渐近线 的垂线,垂足为 ,如图所示,因为 ， ,所以 ,
因为 ,所以 ,在直角在 中， ,所以 ,所以 ,又因
为 ,所以 ,所以双曲线方程为 ,因为
，所以 ，设 到两渐近线的距离为 ，则
，又因为 ，所以 ，所以.故答案为： .
10． 的顶点A在抛物线 上，点B，C在直线 上，若 ，则
面积的最小值为 .
【答案】1
【详解】设 ，点 到直线BC的距离为
，当 时， 取得最小值 ，则 的面积 ，
且当 时， 的面积取得最小值，且最小值为1.故答案为：1.
11．已知抛物线 .其焦点为F，若互相垂直的直线m，n都经过抛物线 的焦点F，且与抛物
线相交于A，B两点和C，D两点，则四边形 面积的最小值为 .
【答案】32
【详解】依题意知,直线 的斜率存在且不为0,设直线 的方程为 ,与抛物线方程联立,得
，消去 ,整理得 ,设其两根为 ,则 .由抛物线的定义
可知， ,同理可得 , 四边形 的面积
.当且仅当 时等号成立,此时所求四边形 面积的最小值为32.故答案为32.
12．过双曲线 的右焦点 的直线与 的右支交于 两点， 为原点，线段 的中点与
线段 的中点重合，则四边形 面积的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意得 ．因为点 在 的右支上，所以设直线 的方程为 ．
与 联立，得 ， ，设 ，则
，所以 ．
易知点 到直线 的距离 ．由线段 的中点与线段 的中点重合，得四边形 是平
行四边形，其面积 ．由 ，得 ，所以
，所以 ．故答案为： .
