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专题3-3 解三角形压轴综合小题
目录
题型01 边角互化求角..........................................................................................................................................................1
题型02 判断三角型形状......................................................................................................................................................3
题型03 三角形几解判断......................................................................................................................................................5
题型04 正余弦应用：求面积..............................................................................................................................................6
题型05 正余弦应用：求长度..............................................................................................................................................8
题型06 正余弦应用：比值型求值.....................................................................................................................................11
题型07 最值型：角与对边互化面积型............................................................................................................................13
题型08 最值型：周长边长范围........................................................................................................................................15
题型09 最值型：比值范围................................................................................................................................................18
题型10 最值型：余弦定理齐次式....................................................................................................................................20
题型11 最值型：正切........................................................................................................................................................23
题型12 三角形角平分线型................................................................................................................................................25
题型13 三角形中线型........................................................................................................................................................28
题型14 三角形重心型........................................................................................................................................................32
题型15 三角形外接圆........................................................................................................................................................36
高考练场.............................................................................................................................................................................. 39
题型01 边角互化求角
【解题攻略】
在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：
(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；
(2)从式子结构来选择．
边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理
（为
外接圆半径）得
，
，
；
（2）角化边：
①利用正弦定理：
，
，
②利用余弦定理：
辅助角公式
1
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【典例1-1】（2022 下·黑龙江哈尔滨·高三校联考）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则A＝（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】B
【分析】利用正弦定理化角为边，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由正弦定理得
，整理得
，
由余弦定理得
，
又因为
，所以
．故选：B．
【典例1-2】（2021 下·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在锐角
中，角
，
，
所对应的边分别为
，
，，若
，则角
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【详解】由正弦定理
和
可得
.
因为
所以
，所以
，
因为
，所以
为
.
故选：A
【变式1-1】（2023 上·河南焦作·高三石家庄市第九中学校考）在
中，
的对边分别为a，
b，c，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理和正弦展开式再结合边化角计算得出.
【详解】由题意可得
，
所以
，
由正弦定理可得
，即
，
因为A 为三角形内角，
，
2
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所以可得
，即
，
又
，所以
．故选：B．
【变式1-2】（2023·湖南·校联考模拟预测）在
中，
，
，且
的面
积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用正弦定理角化边可得
，再由三角形面积公式可得
，最后根据余弦定理求解
即可.
【详解】设
中角
所对的边分别为
，
因为
，所以由正弦定理可得
，
又
解得
，
所以由余弦定理可得
，
因为
，所以
，故选：D
【变式1-3】（2023 上·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考阶段练习）在
中，
分别为角
的对边，已知
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用正弦定理化简得到
，再根据两角和的正弦公
式，即可求解.
【详解】由
且
，可得
，
根据正弦定理得
，
即
，
因为
，可得
，所以
.故选：A.
题型02 判断三角型形状
【解题攻略】
判断三角形形状时，可利用正余弦实现边角转化，统一成边或角的形式，还要注意三角形自身的特点
①sinA=sinB⇒A=B⇒△ABC 为等腰三角形
②sinA=cosB⇒
或
△
⇒
ABC 直角三角形或钝角三角形
3
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③sin2A=sin2B⇒A=B 或
△
⇒
ABC 为等腰三角形或钝角三角形
④cos2A=cos2B⇒A=B⇒△ABC 为等腰三角形
⑤
⇒
△
⇒
ABC 为直角三角形
⑥
⇒
或
⇒
△
⇒
ABC 为钝角三角形
或
⇒
⑦
⇒
且
⇒
△
⇒
ABC 为锐角三角形
且
⇒
【典例1-1】在
中，
是三角形的三条边，若方程
有两个相等的实
数根，则
是（ ）
A．锐角三角形；
B．直角三角形；
C．钝角三角形；
D．以上都有可能．
【答案】B
【分析】方程有两个相等的实数根，则有
，再利用正弦定理边角互化的应用可得
，从而可
得三角形的形状.
【详解】由题可知, 方程
有两个相等的实数根，
，
，再由正弦定理可得
，
是直角三角形.故选：B.
【典例1-2】在
中，已知
，则
是（ ）
A．直角三角形；
B．锐角三角形；
C．钝角三角形；
D．等边三角形．
【答案】A
【分析】由两角和的正弦公式化简已知式后确定
角大小，判断三角形形状．
【详解】解：由已知
，所以
，
因为
，所以
，即三角形为直角三角形．故选：A
【变式1-1】在
中，
，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到
，进而得到
的形状为直角三角形.
【详解】
中，
，
则
，整理得
，则
，
则
的形状为直角三角形，故选：A.
【变式1-2】记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，那么
是
（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
4
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【答案】B
【分析】已知等式左边利用平方差公式即完全平方公式化简，整理后利用勾股定理的逆定理判断即可得到
结果.
【详解】在
中，
，
，即
，
则
为直角三角形，故选：B.
【变式1-3】在
中，角
的对边分别为
，若
，则
一定是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理求解.
【详解】解：因为
，所以
,则
，
所以
一定是钝角三角形，故选：C
题型03 三角形几解判断
【解题攻略】
判断三角形解的个数有2 种：
画图法：以已知角的对边为半径画弧，通过与邻边的交点个数判断解的个数。
①若无交点，则无解；
②若有一个交点，则有一个解；
③若有两个交点，则有两个解；
④若交点重合，虽然有两个交点，但只能算作一个解。
公式法：运用正弦定理进行求解。
①a＝bsinA，△＝0，则一个解；
②a＞bsinA，△＞0，则两个解；
③a＜bsinA，△＜0，则无解。
【典例1-1】在
中，
，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解
B．有一解
C．有无数个解
D．无解
【答案】D
【分析】作出示意图，先确定边a 和角B，然后算出C 到AB 的距离即可解得.
【详解】如图，
则
，而
，∴这样的三角形无解.故选:D.
【典例1-2】在
中，a，b，c 分别为三个内角A，B，C 的对边，若
，则此三角形解
5
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的情况是（ ）
A．无解
B．有一解
C．有两解
D．有无数解
【答案】C
【分析】由正弦定理求得
的值，并结合大边对大角进行判定角
的解的个数，即得三角形的解的个数.
【详解】由正弦定理可得，
,
，
，由于
为锐角，角
可以为锐角，也可以为钝角,即三角形的解有2 个.
故选：C.
【变式1-1】在
ABC 中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解
B．两解
C．一解或两解
D．无解
【答案】B
【分析】由正弦定理得
，即得解.
【详解】由正弦定理得
,
所以
,所以
可以是一个锐角，可以是一个钝角，
所以此三角形有两解.故选：B
【变式1-2】在
中，已知
，
，
，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】B
【分析】利用余弦定理得到关于
的方程解方程即可做出判断.
【详解】∵在
中，
，
，
，
∴由余弦定理得
，
即
，解得
，则此三角形有两个解.故选：B.
【变式1-3】在
中，已知
，
，
，这个三角形解的情况是
A．一解
B．两解
C．无解
D．不确定
【答案】C
【分析】根据正弦定理：
和三角形内角和定理，即可求得答案.
【详解】
，
，
根据正弦定理：
由
，可得
故
违背了三角形内角和定理，故此三角形无解.故选：C.
题型04 正余弦应用：求面积
【解题攻略】
三角形面积 ：
①S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝
②S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r 是切圆的半径)
6
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【典例1-1】记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，则
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意和正弦定理可得
，进而
，利用诱导公式可得
，结合
三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】
，由正弦定理，
得
，又
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
所以
的面积为
.故选：A.
【典例1-2】已知
的内角
所对的边分别为
，则
的面积
为（ ）
A．
B．
C．27
D．36
【答案】C
【分析】根据余弦定理求出，再根据
求出
，再根据面积公式求解.
【详解】由余弦定理得：
即
即
，即
所以
，又因为
，所以
所以
的面积为
故选：C
【变式1-1】（2022 春·河南许昌·高三统考期末）如图，在平面四边形ABCD 中，
，∠ADC＝
45°，∠ACD＝105°，∠B＝60°，AB＋BC＝4，则三角形ABC 的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】在
中，由正弦定理求出AC 长，在
中，由余弦定理求AB，BC，
再利用三角形的面积公式求三角形ABC 面积.
7
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【详解】在
中，
，
由正弦定理有：
，解得AC=2，
在
中，设AB=x，则BC=4-x，
由余弦定理有：
，
即
，
解得：x=2，所以AB=BC=2，
由三角形的面积公式有：
=
.故B，C，D 错误.故选：A.
【变式1-2】（2023 春·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考）我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三
角形面积的“三斜求积”公式.设△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面积为S，“三斜
求积”公式表示为
.在△ABC 中，若
，
，则
用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理推出
，从而求出
，最后利用面积公式计算即可.
【详解】
，及正弦定理可得
，
即
，
舍去，因为
，
所以
，
从而
的面积为
.故答案为：
.
【变式1-3】（2019·陕西宝鸡·统考二模）已知三角形的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，
，则角
最大时，三角形
的面积等于 ．
【答案】
【分析】由题意得
，根据余弦定理得到
，然后
利用换元法和二次函数的最值的求法得到
，并求出此时
，进而可得三角形的面
积．
【详解】∵
，
∴
．
由余弦定理的推论得
，
设
，
则
，
当且仅当
，即
时等号成立，∴当角
最大时，
，∴
，
∴
，即角
最大时，三角形
的面积等于
．故答案为
．
.
8
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题型05 正余弦应用：求长度
【解题攻略】
.解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间
的关系，从而达到解决问题的目的，其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；
第二步：定工具，根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的转换；
第三步：求结果.
【典例1-1】（2023 下·江西萍乡·高三统考）已知a，b，c 分别为
三个内角A，B，C 的对边，若
，
，
，则
．
【答案】2
【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系可得
，然后结合正弦定理可求得
的
外接圆半径
，即可得到结果.
【详解】在
中，
，
，所以
，
，且
，所以
，
设
的外接圆半径为
，则
，
，且
，解得
，因为
，所以
.故答案为：
.
【典例1-2】（2023 下·江苏盐城·高三校联考）
中，
，
在
上，
，
，则
．
【答案】
【分析】由
结合三角形面积公式化简可得出
的值.
【详解】如下图所示：
在
中，
，
在
上，
，
，则
，
9
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由
，即
，
即
，等式两边同时除以
可得
，
所以，
.故答案为：
.
【变式1-1】（2023 下·广西钦州·高三统考）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，则
.若
，
，则
.
【答案】
【分析】设
的外接圆半径为，由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出
的值；利用二倍角
的余弦公式求出
的值，利用余弦定理可求得
的值.
【详解】设
的外接圆半径为，则
，
由二倍角的余弦公式可得
，
由余弦定理可得
，故
.
故答案为：；
.
【变式1-2】（2022 下·高三校考单元测试）在
中，
、
、
所对的边分别为
、
、，又
.
.
，则
.
【答案】
/
【分析】根据正弦定理或者余弦定理求解即可；
【详解】方法一：由正弦定理
得：
，
，∴
或
，又∵
，∴
，∴
，
，
∴
.故答案为：
.
方法二；
，解得：
解得：
或者
（舍去），故答案为：
.
【变式1-3】（2023 上·山东日照·高三统考开学考试）在
中，
，
为
中点，
，
，则边
的长为 .
【答案】
【分析】设
，
，由
、
，利用正余弦定理、倍
角正弦公式得
、
求出所设参数，结合三角形性质确定
的长度.
【详解】设
，
，
10
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在
和
中，
，
，
又
，得
，
在
中，
，
由
，有
，
所以
，整理得：
，①
又
，即
，整理得：
，②
联立①②得，
，即
，解得
或
，
三角形ADC 中的三边关系知：
，故
，所以
.
故答案为：
题型06 正余弦应用：比值型求值
【解题攻略】
最值范围：分式比值型
化边为角型
1. 通过正余弦定理，把边转化为角。
2. 利用特殊角，消角，以分母角度为住元，消去分子角度，转化为分母角度的单变量函数形式
3. 对单变量（单角）求最值。
【典例1-1】（2022 上·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）在
中，斜边为
，点
在边
上，若
，
，则
.
【答案】
【分析】由
，结合同角关系求出
，
，结合三角形面积公式证明
，
，再根据余弦定理列关系式求
即可.
【详解】因为
，所以
，又
，
11
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，所以
，
，
的面积
，
的面积
，所以
，
因为
，所以
，故
，
所以
，故
，所以
由余弦定理可得
，又
，
所以
，
所以
，故答案为：
.
【典例1-2】（2023 下·福建泉州·高三校联考阶段练习）记
的内角
的对边分别为
，
，若
的面积为3，则当
的周长取到最小值时，
．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式，再借助函数性质、均值
不等式计算作答.
【详解】由题意得
，因为
，则
，
由余弦定理
，所以
即
，即
，则
，
而函数
在
上单调递增，即当a 最小时，
的周长最小，
显然
，当且仅当
时取“=”，此时
，
所以当
的周长取到最小值时，
．故答案为：
【变式1-1】（2022 上·江苏南通·高三统考）在
中(角A 为最大内角，a，b，c 为
、
、
所
对的边)和
中，若
，
，
，则
.
【答案】
【分析】根据
，
可知B 和
互余，C 和
互余，于是根据三角形内角和为
180°，可得到
，再根据
可求出
，从而求出
和A.根据余弦定理和三角形面积公
式可将要求的式子化简为
，根据A 的大小即可求解．
【详解】∵A 是最大内角，∴
均为锐角，
∵
，
，∴
，
，
∴
，
∴
，即
，
∵
是三角形内角，∴
，∴
，∴
．
12
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在△ABC 中，由余弦定理得，
，故
，
∴
．故答案为：
．
【变式1-2】（2020·四川成都·高三双流中学校考阶段练习）在
中，
，
，则
.
【答案】
【解析】利用降幂公式与辅助角公式化简
,可得
,再根据
可得
,化简可得
.再化简
,代入
计算即
可.
【详解】由
有
,又
,故
.故
.
又
,故
,整理得
,因为
,故解得
.
故
.
代入
可得
.故答案为：
【变式1-3】．已知
中，设角
、B、C 所对的边分别为a、b、c，
的面积为，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：
，通过余弦定理可将等式化简
整理为
，通过三角函数图像可知
，同时通过基本不等式可知
，即得
，通过取等条件可知
，
，将其代入问题中即可求解答案.
【详解】已知
由正弦定理可知：
，
，
整理得：
，
两边同除
得：
，
13
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根据余弦定理得：
，即
，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
又
，当且仅当
时，等号成立.
综上所述：
且
，
故得：
，此时
且
，
，
.故选：B
题型07 最值型：角与对边互化面积型
【解题攻略】
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边
的齐次式或关于角的正弦
的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三
角函数形式，利用此角的范围求得结论．
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合基本不等式可求得
的最大值，再利用三角形的面积公式可求得
面积的
最大值.
【详解】由余弦定理可得
，即
，
当且仅当
时，等号成立，故
.
因此，
面积的最大值为
.
故选：B.
【典例1-2】（2022 秋·黑龙江·高三哈尔滨三中校考）在
中，角
的对边分别为
，若
，
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得
，进而得到
；利用余弦定理和基本不等式可
求得
，代入三角形面积公式即可求得结果.
【详解】由正弦定理得：
，
，
，
，
，
，
，
14
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，解得：
；
由余弦定理得：
，
（当且仅当
时取等号），
，
.故选：B.
【变式1-1】（2023 秋·辽宁铁岭·高三校考开学考试）在
中，内角
的对边分别为
，若
，且
，则
面积的最大值为 .
【答案】
【分析】由
，得到
，利用余弦定理得到
，再利用余弦定理结合基本
不等式得到
，再利用三角形的面积求解.
【详解】解：因为
，所以
，由余弦定理得
，
因为
，所以
，由余弦定理得
，
则
，当且仅当
时，等号成立，所以
，
所以
面积的最大值为
，故答案为：
【变式1-2】（2023 秋·广东珠海·高三校考开学考试）已知
，
，分别为
的三个内角
，
，
的对边，
，且
，则
面积的最大值为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理进行边角互化可得
，再结合余弦定理可得
，利用基本不等式
可得
，进而可得面积的最大值.
【详解】由
，得
，
由正弦定理得
，化简得
，
故
，所以
.又因为
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号.故
，故答案为：
.
【变式1-3】（2023 秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，则
面积的最大值为 ．
【答案】
【分析】首先利用余弦定理和基本不等式即可求出
的最大值，最终代入三角形面积公式
即可求解.
【详解】由题意
，
，由余弦定理得
，即
，对其利用基本不
等式可得
，所以当且仅当
时，等号成立，此时
有最大值4，代入三角
形面积公式可得
，所以
面积的最大值为
.
故答案为：
.
15
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题型08 最值型：周长、边长范围
【解题攻略】
解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角
度有关的范围问题，
常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限
制，通常采用这种方法；
③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值
【典例1-1】（2021 上·河南濮阳·高三濮阳市油田第二高级中学校考阶段练习）锐角
中，内角
的对边分别为
，且满足
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理对所给等式进行角化边，再利用余弦定理可求得
从而求得角A，由正弦定理可
得
，则
，利用两角和与差的正弦、余弦公式将等式化简为关于B 的
正弦型函数，由锐角三角形求出角B 的范围即可利用正弦函数的值域求得
的取值范围.
【详解】因为
由正弦定理可得
，即
，所以
，又
，所以
，由正弦定理可知
，所以
，
则
，因为
为锐角三角形且
，所以
，解得
，
当
时，
，
，所以
.故选：B
【典例1-2】（2023 上·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）设锐角
的内角
所对
的边分别为
，若
，则
的取值范围为（ ）
A．(1，9]
B．(3，9]
C．(5，9]
D．(7，9]
【答案】D
【分析】由正弦定理求出
，再由余弦定理可得
，
化为
，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论.
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
16
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则有
，由
的内角
为锐角，可得
，
，
由余弦定理可得
因此有
故选：D.
【变式1-1】（2023 下·高三单元测试）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将
进行化简，可求出
的值，再利
用边化角将
化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
【详解】由题知
，
即
由正弦定理化简得
即
故选：
.
【变式1-2】（2021·河北唐山·统考三模）
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，角
的内角平
分线交
于点
，若
，
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由
根据基本不等式可得
，再根据等面积法得到
，结合余弦定理确定
角的范围即可得解.
【详解】
，
，当且仅当
时取等号
角
的内角平分线交
于
，设
，
则
，
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所以
，所以
，
又
，
设
，易知函数单调递增，所以
，
所以
，
.故答案为：
.
【变式1-3】（2023 上·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）
中，若
，则
周长最大值为 ．
【答案】
.
【详解】分析：根据正弦定理，将边长转化为角的表示形式，利用差角公式和辅助角公式，得到关于角A
的表达式
，然后根据角A 的取值范围确定最值．
详解：由正弦定理
，
所以
所以周长
因为
所以当
时，
所以周长最大值为
题型9 最值型：比值范围
【典例1-1】（2022 上·广西桂林·高三校考阶段练习）在
中，角
所对应的边分别为
，设
的面积为，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由面积公式和余弦定理，基本不等式对
进行变形，得到关于的关系式，结合三角函数
的有界性，列出关于t 的不等式，求出最大值.
【详解】
，
，
则设
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所以
，即
，故选：A.
【典例1-2】（2023 上·江苏无锡·高三江苏省南菁高级中学校考阶段练习）在锐角
中，角
的对
边分别为
，
为
的面积，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到
，结合同角三角函数关系得到
，
，由正弦定理得到
，且
根据三角形为锐角三角形，得到
，求出
，利用对勾函数得到
的最值，求出
的取值范围.
【详解】由三角形面积公式可得：
，故
，
，故
，因为
，所以
，
解得：
或0，因为
为锐角三角形，所以
舍去，故
，
，
由正弦定理得：
，其中
，
因为
为锐角三角形所以
，故
，所以
，
，
，
，令
，则
为对勾函数，在
上单调递
减，在
上单调递增，则
，又
，
因为
，所以
，则
.故选：C
【变式1-1】（2023 上·贵州黔东南·高三统考）在锐角
中，角
的对边分别为
，且
的面积
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由三角形面积公式求出
，然后引入参数
，将所求表示为的函数，再根据正弦
定理边化角、诱导公式、两角和差得
，注意到在锐角
中，有
，从而可
19
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以求出
的范围，由此即可得解
【详解】由三角形面积公式
结合
，可知
，即
，
又由平方关系
，所以
，即
，
解得
或
（舍去），由余弦定理有
，所以
，
令
，所以
，故只需求出的范围即可，
由正弦定理边化角得
，
注意到在锐角
中，有
，简单说明如下：
若
，则
，即
不是锐角，但这与
是锐角三角形矛盾，
所以在锐角
中，有
，所以在锐角
中，有
，
因为正切函数
在
上单调递增，所以
，
从而
，而函数
在
单调递减，在
单调递增，
所以
.
综上所述：
的取值范围为
.故选：B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知
的内角
的对边分别为
，若
，
则
的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可知．
，又
，则
，
，从而
，又
，知
，所以
，则
，换元可令
20
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，则
，故本题应填
．
【变式1-3】（2022 下·重庆·高三重庆市彭水第一中学校校考）在锐角
中，角
、
、
的对边分别
为
、
、，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理，诱导公式及和差化积公式得到
，从而A=2B，求出
，
根据锐角三角形得到
的范围，从而求出
的范围.
【详解】由正弦定理得：
，由二倍角公式得：
，
，由和差化积公式可得：
，
即
，因为
为锐角三角形，所以
，
，
所以
，所以
或
（舍去），即A=2B，
，
由正弦定理可得：
，由题意得：
，解得：
，
，解得：
又
综上：
,所以
，
则
的取值范围是
故答案为：
题型10 最值型：余弦定理齐次式
【典例1-1】（2022·全国·高三课时练习）锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围是（ ）
A．(
）
B．(
）
C．[
)
D．[
，1)
【答案】C
【解析】先利用基本不等式求函数的最小值，再根据三角形是锐角三角形，得到
的范围，再
求函数值域的上限.
【详解】由题意得
，（当且仅当
时取等
号），
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由于三角形是锐角三角形，所以
，所以
，解得
所以
，
，设
，
因为函数
在
单调递减，在
上单调递增，所以函数
无限接近
中的较
大者，所以
所以
的取值范围是
，故选：C．
【典例1-2】（2020·全国·高三课时练习）锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由余弦定理，求得
，再结合基本不等式和函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，因为
，
所以
，
又由
，得
，则
所以
，令
，则
，
所以函数
在
单调递减，在
单调递增，
又
，
，所以
.故选：D.
【变式1-1】（2022·四川成都·二模（理））已知
中，角
的对边分别为
.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，可得
，再次角化边可得
关系，利用余弦定
理和基本不等式可求得
的最小值，进而得
的最大值，再求
即可得答案.
【详解】解：∵
,\
∴
，
∴由正弦定理得：
，
即
，
，则
，
（当且仅当
，即
时取等号），
的最小值为
.∵
，∴
，∴
的最大值为
.故选：C.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知
中，角
的对边分别为
．若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，可得
，再次角化边可得
关系，利用余弦定
理和基本不等式可求得
的最小值.
【详解】由正弦定理得：
，
即
，
，则
，
（当且仅当
，即
时取等号），
的最小值为
.故选：C.
【变式1-3】（2020·河南·校联考二模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且BC 边上
的高为
，则
的最大值是 ．
【答案】
【分析】由面积公式可得
，再用余弦定理可得
，即
得出结果.
【详解】由题，三角形的面积：
.
由余弦定理：
，可得：
.
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所以
，其中
.
所以
的最大值为
.故答案为：
.
题型11 最值型：正切
【解题攻略】
正切：
1.
；
2.在三角形中，
【典例1-1】（2023 上·辽宁丹东·高三校联考阶段练习）在锐角三角形
中，角A，B，C 所对的边分别
为a，b，c，且满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理化简
，求出
，化简
得
，根据三角形为锐
角三角形求出
范围，进而求出
范围即可.
【详解】由
，根据正弦定理得
，
因为
，所以
，
因为三角形
为锐角三角形，所以
，即
，
，
由题
，则
，所以
，故选：A
【典例1-2】（2023 下·云南保山·高三校考）已知
的三个内角分别为
，
，
，若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理及余弦定理化简表示
，结合基本不等式求得
的取值范围，从而求得
的取值范围，即可求解.
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【详解】由题意
，由正弦定理得：
，化简得：
，
由余弦定理得：
，
当且仅当
时等号成立，从而可得
为锐角，
所以：
，得：
，则：
，
所以：
，
所以：
的最大值为
，故A 项正确.故选：A.
【变式1-1】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）在锐角
中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，
的面积为S，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出
关系后求解
【详解】在
中，
，
故题干条件可化为
，由余弦定理得
，
故
，又由正弦定理化简得：
，
整理得
，故
或
（舍去），得
为锐角三角形，故
，解得
，故
故选：C
【变式1-2】（2023 上·全国·高三专题练习）在锐角
中，
，则角
的范围是 ，
的取值范围为 .
【答案】
【分析】由已知结合余弦定理，正弦定理及和差角公式进行化简可得
，
的关系，结合锐角三角形条件
可求
，
的范围，然后结合对勾函数的单调性可求．
【详解】解：因为
及
，所以
，由正弦定理得
，
所以
，整理得
，
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即
，所以
，即
，又
为锐角三角形，所以
，解得
，
故
，
，则
，
令
，则
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
故
，即．故答案为：
；
．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，
则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理及基本不等式可得
，然后利用同角关系式，可得
，
即求．
【详解】∵
，∴
，
∴
，
当且仅当
时等号成立，
又
，所以
，
∴
.故答案为：
．
题型12 三角形角平分线型
【解题攻略】
角平分线定理（大题中，需要证明，否则可能会扣过程分）：
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三角形角平分线的处理方法：
【典例1-1】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知
的内角
对应的边分别是
， 内
角
的角平分线交边
于
点， 且
．若
， 则
面积的最小值是
（ ）
A．16
B．
C．64
D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理及诱导公式可得
，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵
，∴
，
即
，又
，
，∴
，即
，又
，
∴
，由题可知
，
，所以
，即
，
又
，即
，当且仅当
取等号，
所以
.故选：B.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
，∠ABC 的平分线交AC 于点D，且BD＝1，则
的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．7
【答案】B
【分析】根据三角形面积可得到
，将
变为
，展开后利用基本不等式，即可求
得答案.
【详解】由题意得
，
即
，得
，
27
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得
，
当且仅当
，即
时，取等号，故选：B．
【变式1-1】（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（理））在
中，角A，B，C 的对边分别为a，
b，c，已知，
，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则
的最小值
为（ ）
A．10
B．12
C．16
D．18
【答案】D
【分析】根据
，利用正弦定理得到
，再利用余弦定理得
到A，再根据
平分角A，利用
，得到
，然后利用基本不等式求解.
【详解】解：因为
，所以
，即
，
由余弦定理易得
，又
平分角A，
．
由
，得
，即
，
即
，
，
当且仅当
时等号成立，即
的最小值为18．故选：D．
【变式1-2】（2021·全国·高三专题练习）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
，
，角A 的平分线交BC 于点D，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，
，角A 的角平分线交BC 于点D，可得
，由
可得
，
，在
，由余弦定理可得
，在
中，由正弦定理可知：
，可
求得
，判断出
为锐角，即可求得答案.
【详解】
，角A 的角平分线交BC 于点D
又
，解得
在
中，由正弦定理可知：
即
，
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为锐角，故
.故选：B.
【变式1-3】（2022·陕西西安·三模（理））在
中，
，
，
的角平分线
的
长为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在
中，利用正弦定理可求得
，利用三角形内角和可求得
，从而确
定
，在
中利用正弦定理可得结果.
【详解】
在
中，由正弦定理得：
，即
，
又
，
，
，
，则
，
，
，
在
中，由正弦定理得：
，
.故选：C.
题型13 三角形中线型
【解题攻略】
中线的处理方法
1.向量法：
2. 双余弦定理法（补角法）：
如图设
，
在
中，由余弦定理得
，①
在
中，由余弦定理得
，②
因为
，所以
所以①+②式即可
29
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3.延伸补形法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形
4.中线分割的俩三角形面积相等
【典例1-1】在
中，内角
的对边分别为
，且
边上的中线
，则
（ ）
A．3
B．
C．1 或2
D．2 或3
【答案】C
【分析】由正弦定理及
可得
，在
中由余弦定理列式
可得
，在
中由余弦定理可得
，综上即可求解
c
【详解】由
得
，∴
，∵
，∴
，即
.在
中，由余弦定理可得
，整理得
，
在
中，
，∴
，即
（*），
当
时，（*）式可解得
，
；
当
时，（*）式可解得
，
；故选：C
【典例1-2】.在
中，
分别是
的中点，且
，若
恒成立，则的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题意画出相应的图形，要求的最小值，即要求出
的最大值，由
的关系，用
表示出
，
由
分别是
的中点，在
中，利用余弦定理表示出
，在
中，利用余弦定理表示出
AC
3
2
BM
c
7
3 sin
cos2
b
a
A
b
A
3
sin
2
B
ABM
ACM
、
cos
cos
0
AMB
CMB
2
2
2
1
b
c
=
-
ABC
2
2
1
2 cos
b
c
c
B
= +
-
3 sin
cos2
b
a
A
b
A
2
2
sin
3sin
sin
1 2sin
B
A
B
A
2
2sin
3 sin
0
B
A
sin
0
A
2sin
3
0
B
3
sin
2
B
ABM
ACM
、
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
2
2
cos
cos
0
3
3
2
2
2
2
2
2
b
b
c
a
AMB
CMB
b
b
骣
骣
骣
骣
琪
琪
+
-
+
-
琪
琪
琪
琪
琪
琪
桫
桫
桫
桫
+
=
鬃
鬃
2
2
2
1
b
c
=
-
ABC
2
2
1
2 cos
b
c
c
B
= +
-
2
2
2
1 1
2 cos
c
c
c
B
- = +
-
2
2 cos
2
0
c
c
B
+
-
=
2
1
cos
1 sin
2
B
B
1
c
0
c
2
1
cos
1 sin
2
B
B
2
c
0
c
ABC
,
E F
,
AC AB
3
2
AB
AC
BE
t
CF
t
3
4
7
8
1
5
4
t
BE
CF
,
AC AB
AB
AC
,
E F
,
AC AB
ABE
△
2
BE
ACF
2
CF
2
2
BE
CF
A
A
30
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，并表示出
，开方并分离出常数，由
为三角形的内角，得到
的范围，进而由三角函数的性质
可得答案
解：因为
，所以
,因为
分别是
的中点，所以
，
在
中，由余弦定理得，
，在
中，由余弦定理得，
所以
所以
，因为当
取得最小值时，
比值最大，
所以当
时，
，此时
达到最大值，为
，
则若
恒成立，的最小值为
，故选：B
【
【变式1-1】在
中，角
的对边分别为
，已知
，点
是
的中点，若
，则
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先由题意得到
，结合余弦定理得到
，且
，再由余弦定理，得
到
，求出
，根据三角形面积公式，得到
，即可求出结果.
【详解】
因为点
是
的中点，
，
，
所以
，即
，
2
CF
2
2
BE
CF
A
A
3
2
AB
AC
3
2
AC
AB
,
E F
,
AC AB
1
1
,
2
2
AE
AC AF
AB
ABE
△
2
2
2
2
cos
BE
AB
AE
AB AE
A
2
2
3
3
(
)
2
cos
4
4
AB
AB
AB
AB
A
2
2
25
3
cos
16
2
AB
AB
A
ACF
2
2
2
2
cos
CF
AF
AC
AF AC
A
2
2
1
3
1
3
(
)
(
)
2
cos
2
2
2
2
AB
AB
AB
AB
A
2
2
5
3
cos
2
2 AB
AB
A
2
2
2
2
2
2
25
3
cos
16
2
5
3
cos
2
2
AB
AB
A
BE
CF
AB
AB
A
25
3 cos
16
2
5
3cos
2
A
A
25
3 cos
15
16
2
1
5
3cos
40
24cos
2
A
BE
A
CF
A
cos A
BE
CF
A
cos
1
A
BE
CF
15
7
1
40
24
8
BE
t
CF
t
7
8
ABC
A
B
C
，，
a
b
c
，，
2 2
c
P
AB
PC
a
b
ABC
3
3
2 3
12
cos
cos
APC
CPB
2
2
4
4
a
b
ab
2
ab
2
6
cos
ab
C
ab
2
2
6
sin
1
ab
C
ab
2
2
2
1
1
1
sin
(
)
(2
6)
3(
4)
12
2
2
2
ABC
S
ab
C
ab
ab
ab
P
AB
2 2
c
PC
a
b
cos
cos
APC
CPB
2
2
2
2
2
2
2
2
PA
PC
AC
PB
PC
BC
PA PC
PB PC
31
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即
，所以
，
整理得：
，因此
，即
，
当且仅当
时，等号成立；且
；
又
，所以
，
因此
面积为
，当且仅当
时，取得最大值.
故选A
【变式1-2】在
中，若3sinC =2sin B, 点
,F分别是
,
的中点，则BE
CF 的取值范围为
A．（1
4 ，7
8 ）
B．（1
3 ，7
8 ）
C．（1
4 ，6
7 ）
D．（1
3 ，6
7 )
【答案】A
本道题运用余弦定理，计算BE
CF 的值，同时结合cosA 的范围，即可求得选项.
【详解】
∵3sinC =2sin B,可得3 AB =2 AC，即AC = 3
2 AB，∵点E,F 分别是AC,AB 的中点，
∴AE = 1
2 AC , AF = 1
2 AB，
在△ABD 中，由余弦定理可得
B E
2= A B
2+ A E
2−2 AB⋅AE cos A
= A B
2+(
3
4 AB)
2
−2 AB⋅3
4 AB⋅cos A
= 25
16 A B
2−3
2 A B
2cos A，
在△ACF 中，由余弦定理可得
C F
2= A F
2+ A C
2−2 AF ⋅AC cos A =(
AB
2 )
2
+(
3
4 AB)
2
−2⋅1
2 AB⋅3
2 AB⋅cos A
= 5
2 A B
2−3
2 A B
2cos A ∴BE
CF =√
25
16 A B
2−3
2 A B
2cos A
5
2 A B
2−3
2 A B
2cos A
=√1−
15
40−24 cos A
∴cos A ∈(−1,1),可得
15
40−24 cos A ∈(
15
64 , 5
16)，可得
BE
CF =√1−
15
40−24 cos A ∈(
1
4 , 7
8)，故答案为(
1
4 , 7
8).
【变式1-3】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰
中，AB＝AC，若AC 边上的中线
BD 的长为3，则
的面积的最大值是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【答案】A
【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得
面积的最大值．
2
2
2
2
2
(
)
2
(
)
2 2 (
)
2 2 (
)
a
b
b
a
b
a
a
b
a
b
2
2
2
2
2
2
(
)
2
(
)
0
a
b
b
a
b
a
2
2
4
4
0
a
b
ab
2
2
4
4
0
4
2
a
b
ab
ab
2
ab
2
a
b
2
2
4
4
a
b
ab
2
2
8
4
12
2
6
cos
2
2
a
b
ab
ab
C
ab
ab
ab
2
2
6
sin
1
ab
C
ab
ABC
2
2
2
1
1
2
6
1
sin
1
(
)
(2
6)
2
2
2
ABC
ab
S
ab
C
ab
ab
ab
ab
2
1
1
3(
4)
12
12
3
2
2
ab
4
ab
ABC
E
AC AB
(0, )
A
ABC
ABC
ABC
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【详解】设
，
，由于
，
在
和
中应用余弦定理可得：
，整理可得：
，结合勾股定理可得
的面积：
，
当且仅当
时等号成立．则
面积的最大值为6．故选：A.
题型14 三角形重心型
【解题攻略】
中线的处理方法
1.向量法：
2. 补全为平行四边形。再转而在新三角形中用正余弦定理
【典例1-1】.在钝角
中，
分别是
的内角
所对的边，点
是
的重心，若
，则
的取值范围是（ ）
2
AB
AC
m
2
BC
n
ADB
CDB
ABD
△
BCD
△
2
2
2
2
9
4
9
4
6
6
m
m
m
n
m
m
2
2
9
2
m
n
ABC
2
2
2
2
2
1
1
1
(
)
2
4
3
4
2
2
2
S
BC
AC
BC
n
m
n
n
n
2
2
2
2
4
3
(4
3
)
6
2
n
n
n
n
2
2
n
ABC
1 (
)
2
AD
AB
AC
2
2
2
1
2
4
AM
AB
AB AC
AC
ABC
, ,
a b c
ABC
, ,
A B C
G
ABC
AG
BG
cosC
33
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
【分析】
延长
交
于
，由重心性质和直角三角形特点可求得
，由
，利用余
弦定理可构造等量关系得到
，由此确定
为锐角，则可假设
为钝角，得到
，
，
，由此可构造不等式组求得
的取值范围，在
利用余弦定理可得
，
利用
的范围，结合
为锐角可求得
的取值范围.
【详解】
延长
交
于
，如下图所示：
为
的重心，
为
中点且
，
，
，
；
在
中，
；
在
中，
；
，
，
即
，整理可得：
，
为锐角；
设
为钝角，则
，
，
，
，
，解得：
，
，
，
由余弦定理得：
，
6
0, 3
4
6
,
5
3
6 ,1
3
4 ,1
5
CG
AB
D
3
2
CD
c
cos
cos
BDC
ADC
2
2
2
5
a
b
c
C
A
2
2
2
b
c
a
2
2
2
a
c
b
a
b
b
a
ABC
2
cos
5
a
b
C
b
a
b
a
C
cosC
CG
AB
D
G
ABC
D
∴
AB
3
CD
DG
AG
BG
1
2
DG
AB
3
3
2
2
CD
AB
c
ADC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5
2
2
cos
3
2
3
2
c
b
AD
CD
AC
c
b
ADC
AD CD
c
c
BDC
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5
2
2
cos
3
2
3
2
c
a
BD
CD
BC
c
a
BDC
BD CD
c
c
BDC
ADC
cos
cos
BDC
ADC
2
2
2
2
2
2
5
2
5
2
3
3
c
a
c
b
c
c
2
2
2
2
5
a
b
c
c
C
A
2
2
2
b
c
a
2
2
2
a
c
b
a
b
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5
a
b
a
b
a
b
b
a
2
2
2
2
1
1
1
5
5
1
1
1
5
5
b
b
a
a
b
b
a
a
2
2
3
b
a
0
a
b
6
0
3
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
6
3
6
cos
2
5
5
5
3
3
6
a
b
c
a
b
a
b
C
ab
ab
b
a
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又
为锐角，
，即
的取值范围为
.故选：C.
【典例1-2】（2024 秋·福建福州·高三福建省福清第一中学校考阶段练习）已知点G 为三角形ABC 的重心，且
，当
取最大值时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题设可得
，结合
，
及余弦定理可得
，
根据基本不等式即可求解.
【详解】由题意
，所以
，
即
，所以
，所以
，
又
，
，
则
，
所以
，即
，
由
，
，
，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
又
在
上单调递减，
，所以当
取最大值时，
.故选：A
【变式1-1】．（2023·全国·高三专题练习）在锐角
中，
、
、
分别是
的内角
、
、
所对的边，点
是
的重心，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接
并延长交
于点
，由重心的性质可得出
，利用平面向量的线性运算可得出
，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出
，推导出
，再结合锐
角三角形这一条件以及余弦定理求出
的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得
的取值范围.
【详解】连接
并延长交
于点
，则
为
的中点，
C
6
cos
1
3
C
cosC
6 ,1
3
GA
GB
GA
GB
C
cosC =
4
5
3
5
2
5
1
5
0
AG BG
1 (
)
3
AG
AC
AB
1 (
)
3
BG
BA
BC
2
cos
(
)
5
a
b
C
b
a
GA
GB
GA
GB
2
2
(
)
(
)
GA
GB
GA
GB
2
2
2
2
2
2
GA
GB
GA GB
GA
GB
GA GB
0
GA GB
uur uuur
AG
BG
2
1
1
(
)
(
)
3
2
3
AG
AC
AB
AC
AB
2
1
1
(
)
(
)
3
2
3
BG
BA
BC
BA
BC
1
1
(
) (
)
(
)
0
9
9
AG BG
AC
AB
BA
BC
AC BA
AC BC
AB BA
AB BC
2
CA CB
AC AB
BA BC
AB
2
cos
cos
cos
ab
C
bc
A
ac
B
c
2
2
2
cos
2
b
c
a
A
bc
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
2
2
2
5
a
b
c
2
2
2
2
4
4
cos
(
)
2
5
5
5
a
b
c
a
b
a b
C
ab
b
a
b a
a
b
cos
y
x
0,π
0,π
C
C
cosC =
4
5
ABC
a
b
c
ABC
A
B
C
G
ABC
AG
BG
cosC
6 ,1
3
4
0, 5
4
6
,
5
3
4 ,1
5
CG
AB
D
3
2
CD
c
2CD
CA
CB
2
cos
0
5
a
b
C
b
a
2
2
2
5
a
b
c
b
a
cosC
CG
AB
D
D
AB
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因为
，则
，由重心的性质可得
，则
，
因为
，所以，
，所以，
，所以，
，
所以，
，则
为锐角，由余弦定理可得
，
所以，
，
因为
为锐角三角形，则
，即
，即
，
所以，
，构造函数
，其中
，
任取
、
且
，则
.
当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以，
，故
.故选：C.
【变式1-2】（2020 春·天津·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知
中，
为
的重心，则
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题，先用余弦定理求得
，再用向量
表示出
，然后代入用向量的数量积公式进行计
算即可求得结果.
【详解】因为
中，
为
的重心，
所以
，由余弦定理可得：
且
所以
=
AG
BG
1
1
2
2
GD
AB
c
2
CG
GD
3
2
CD
c
1
1
1
2
2
2
CD
CA
AD
CA
AB
CA
CB
CA
CA
CB
2CD
CA
CB
2
2
2
4
2
CD
CA
CB
CA CB
2
2
2
2
2
2
cos
9
9
9
18
cos
b
a
ab
C
c
a
b
ab
C
2
cos
0
5
a
b
C
b
a
C
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
cos
2
5
5
c
a
b
ab
C
a
b
a
b
a
b
2
2
2
5
a
b
c
ABC
cos
0
cos
0
A
B
2
2
2
2
2
2
b
c
a
a
c
b
2
2
2
2
2
2
2
2
5
5
5
5
b
a
b
a
a
a
b
b
6
6
3
2
b
a
1
f x
x
x
0
x
1
x
2
0,
x
1
2
x
x
1
2
1
2
1
2
1
1
f x
f x
x
x
x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
x
x
x x
x
x
x
x
x x
1
2
0
1
x
x
<
<
<
1
2
0
x
x
1
2
0
1
x x
1
2
f x
f x
2
1
1
x
x
1
2
0
x
x
1
2
1
x x
1
2
f x
f x
f x
0,1
1,
6
6
3
2
b
a
5 6
2
6
b
a
a
b
2
4
6
cos
,
5
5
3
a
b
C
b
a
ABC
3,
2,
4,
AB
BC
AC
G
ABC
AG GC
67
18
67
18
26
9
26
9
,
,
AC AB BC
,
AG GC
ABC
3,
2,
4,
AB
BC
AC
G
ABC
3,
4,
2
AB
AC
BC
2
2
2
1
cos
2
4
AB
BC
AC
B
AB BC
1
1
(
),
(
)
3
3
AG
AC
AB GC
AC
BC
2
1
(
) (
)
(
1
9
)
9
AC
AB
AC
BC
AC
AC AB
AC BC
A
B
A
B
G
C
C
G
2
2
2
2
1
1
67
(
)
[4
4
3 2 ( cos
)]
9
9
18
AC
AC
AB BC
B
36
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【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）锐角
中，
，
，为角
，
，
所对的边，点
为
的重心，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】设点
在圆
上，且
，
，设直线
，
的倾斜角分别为
，
.两角差正切公式得
，再求出
即可
【详解】设
，
是单位圆的直径的端点，
在圆
上，
设
，
点
为
的重心，
.
点
在圆
上.
是锐角三角形，
点
在圆
上，且
，
，
设直线
，
的倾斜角分别为
，
.则
，
，
.
.故选：
.
题型15 三角形外接圆
【解题攻略】
三角形所在的外接圆的处理方法：
1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等。锐角三角形外心在三角形内部。直角三角形外心在三角
形斜边中点上。
钝角三角形外心在三角形外。
2.正弦定理：＝＝＝2R，其中R 为 外接圆半径
【典例1-1】（2023 秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考开学考试）在
中，
，
，
，
是
的外接圆上的一点，若
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
ABC
a
b
c
A
B
C
G
ABC
AG
BG
cosC
3
[2
5]
3
4
[5
6 )
3
6
[5
)
5
[
6
5]
3
( , )
C x y
2
2
9
x
y
1
1
x
2 2
3
y
AC
BC
2 3
tan
(
, ]
2
4
C
cosC
A
B
( , )
G m n
2
2
1
x
y
,
C x y
G
ABC
3
3
x
m
y
n
C
2
2
9
x
y
ABC
( , )
C x y
2
2
9
x
y
1
1
x
2 2
3
y
AC
BC
C
tan
1
y
x
tan
1
y
x
2
2
2
2
2
2 3
1
1
tan
tan(
)
(
, ]
1
4
2
4
1
1
y
y
y
y
x
x
C
y
x
y
x
2
2
1
16 2
cos
,
1
tan
25 3
C
C
4
6
cos
[ ,
)
5
3
C
B
ABC
1
AB
2
AC
60
BAC
P
ABC
AP
mAB
nAC
m
n
3
2
1
2
3
37
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【分析】利用余弦定理与勾股定理得
是直角三角形，进而可以建立直角坐标系，根据点的坐标得向
量的坐标，由向量的坐标运算可得
的表达式，进而利用三角函数求最值即可.
【详解】因为在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
所以
，则
，所以
，
故以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
，
易得
，则
，
，
设
的坐标为
，则
，
又
，
所以
，
则
，得
，
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，即
的最大值为
.故选：B.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知锐角
满足
，
且O 为
的外接圆
圆心，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，将
平方整理得
，设
，则有
，再设
，则有
=
=
，求解即可.
【详解】解：如图所示：
ABC
m
n
ABC
1
AB
2
AC
60
BAC
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
BAC
1
4
2 1 2 cos60
3
3
BC
2
2
2
AB
BC
AC
AB
BC
1
3
(1,0),
( 1,0),
( ,
)
2
2
A
C
B
1
3
,
2
2
AB
( 2,0)
AC
P
(cos ,sin )
AP
(cos
1,sin )
AP
mAB
nAC
1
3
(cos
1,sin )
,
2
2
m
3
2,0
2 ,
2
2
m
n
n
m
cos
1
2
2
3
sin
2
m
n
m
2 3 sin
3
m
1
3
cos
sin
2
2
6
1
n
3
1
π
1
1
3
sin
cos
sin
1
2
2
2
6
2
2
2
1
m
n
π
sin
1
6
m
n
3
2
ABC
2 3
AB
60
C
ABC
OC
OA
OB
2
( 2,1)
( 1,2)
[ 2,2)
( 2,2)
1
0, 1
0
l
m
-
-
OC
OA
OB
2
2
3
(
)
(
)
1
2
2
3
sin
2
cos
2
2 3 sin
3
3
cos
sin
3
sin
,cos
m
n
a
a
=
=
2
3sin
cos
3m
n
-
+
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由正弦定理可得：
，所以
，
在
中，由余弦定理可得
,
又因为
,所以
.又因为
，
所以
，即有：
，即
，
所以
，设
，可得
，
又因为
为锐角三角形，所以
，所以
，
设
，则有
，所以
=
=
，所以
故选：A.
【变式1-1】（2022 春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考）若
是
外接圆圆心，
是
的内角，若
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质、正弦定理、两角和的余弦公式，结合平面向量数量积的运算性质和定义
进行求解即可.
【详解】设
的中点为
，
所对的边为
，
因为
是
外接圆圆心，
所以
，
于是有
，
由
，故选：B
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）设
为锐角
的外心（三角形外接圆圆心），
2 3
2
4
sin
sin 60
c
R
C
=
=
=
2
R
AOB
2
2
2
|
|
|
|
|
|
4
4 12
1
cos
2 |
| |
|
2 2 2
2
OA
OB
AB
AOB
OA
OB
+
-
+ -
=
=
-
创
(0 ,180 )
AOB
形
鞍
120
AOB
OC
OA
OB
2
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
2
|
| |
| cos
OC
OA
OB
OA
OB
AOB
2
2
4
4
4
4
2
2
1
2
2
3
(
)
(
)
1
2
2
3
sin
2
cos
2
2 3 sin
3
3
cos
sin
3
ABC
1
0
1
0
2 3
1
sin
0
3
3
1
cos
sin
0
3
sin
,cos
m
n
a
a
=
=
2 3
1
0
3
3
1
0
3
m
n
m
2
3sin
cos
(
)
2 3
3
3
2,1
3
2
3
n
m
m
m
n
骣
骣
琪
琪
-
- - -
琪
琪
桫
-
桫
+ =
2
( 2,1)
O
ABC
A B C
、、
ABC
cos
cos
2
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
m
1
sin A
cos A
tan A
AB
D
A B C
、、
a b c
、、
O
ABC
DO
AB
2
2
1
1
(
)
2
2
AO AB
AD
DO
AB
AB
DO AB
c
2
cos
cos
cos
cos
2
2
sin
sin
sin
sin
B
C
B
C
AB
AC
mAO
AB
AC AB
mAO AB
C
B
C
B
2
2
cos
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
sin
sin
B
C
B
C b
c
b c
A
mc
A
m
C
B
C
B c
cos
cos
sin
cos
sin
sin
sin
B
C
B
A
m
C
B
C
cos
cos
cos
cos
cos
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
sin
B
C
A
C
A
C
A
C
A
m
A
C
C
C
P
ABC
AP
k AB
AC
k
R
2
cos
5
BAC
k
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．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】取
中点
，根据外心性质知
，根据向量线性运算可证得
三点共线，从而得到
，利用等腰三角形和三角形外心的性质可求得
，结合余弦值可推导得到
，进而构造方程求得结果.
【详解】取
中点
，连接
，
为
的外心，
，
，
，
三点共线，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
则
，解得：
.故选：A
【变式1-3】．（2022 春·北京·高三校考期末）已知三角形
外接圆
的半径为1
为圆心，且
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得三角形是以角
为直角的直角三角形，解直角三角形求出相应的边，利用数量积几何
意义计算得答案．
【详解】因为三角形
外接圆
的半径为1
为圆心，
为
的中点，故
是直角三角形，
为直角．又
，
,
,
故选:A.
高考练场
AP
k AB
AC
k
R
2
cos
5
BAC
k
5
14
2
14
5
7
3
7
BC
D
PD
BC
, ,
A P D
AB
AC
DPC
BAC
5
7
AP
AD
BC
D
,
,
PD AD CP
P
ABC
PD
BC
2
AB
AC
AD
2
AP
k AB
AC
k AD
, ,
A P D
AD
BC
AB
AC
BAD
CAD
AP
PC
CAD
ACP
2
DPC
CAD
BAC
2
cos
cos
5
DPC
BAC
2
5
DP
DP
PC
AP
2
5
PD
AP
5
7
AP
AD
5
2
7
k
5
14
k
ABC
O
(O
)
2
0
OA
AB
AC
2
OA
AB
CA BC
15
4
15
2
15
4
15
2
A
ABC
O
(O
)
2
0
OA
AB
AC
O
BC
ABC
A
2
OA
AB
1
2
AB
uuur
2
BC
2
2
1
15
2
2
2
AC
uuur
2
15
|
|
4
CA BC
CA CB
CA
uur uuur
uur uur
uur
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1.（2021·安徽安庆·统考二模）在
中，
分别是
，
，
的对边.若
，且
，则
的大小是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，且
，得到
，利用余弦定理求解.
【详解】因为
，且
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，故选：A
2.在
中，
，则三角形的形状为（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【答案】D
【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得答案.
【详解】由正弦定理
，因
，
则
，
又A，B 为三角形内角，得B=A.
3.在
中，
，则此三角形的解的情况是（ ）
A．有两解
B．有一解
C．无解
D．有无数个解
【答案】C
【分析】通过作圆法可确定三角形解的情况.
【详解】作
垂直于
所在直线，垂足为
，则
，以
为圆心，4 为
半径作圆，
可知与
无交点，故三角形无解.
故选：C.
4.（2023 春·广东东莞·高三东莞市东莞中学松山湖学校校考阶段练习）在△ABC 中，a，b，c 分别为内角
A，B，C 的对边，且
，若
，
，则△ABC 的外接圆直径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
ABC
a
b
c
，，
A
B
C
2
b
ac
2
2
3
a
bc
c
ac
A
π
6
π
3
2π
3
5π
6
2
b
ac
2
2
3
a
bc
c
ac
2
2
2
3
b
c
a
bc
2
b
ac
2
2
3
a
bc
c
ac
2
2
2
3
b
c
a
bc
2
2
2
3
cos
2
2
b
c
a
A
bc
0,π
A
π
6
A
ABC
cos
cos
b
A
a
B
sin
sin
sin
a
b
c
A
B
C
cos
cos
b
A
a
B
sin
cos
sin
cos
B
A
A
B
0
si n B
A
ABC
8,
4,
31
a
b
B
CD
BA
D
sin
8sin31
8sin30
4
CD
a
B
C
BA
2
2
2
3
4
S
b
c
a
4
b
3
c
2 13
39
3
26 3
3
2 39
3
41
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【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件
可解出角
，再由
利用余弦
定理可求
，由
可得外接圆直径.
【详解】由
得，
，
即：
，可得
.又因为
，可得
．又已知
，
，
由余弦定理得
，解得
.
则外接圆直径
.故选：D.
5.（2023 春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）在△ABC 中，
，且
，
则三角形ABC 的面积为 .
【答案】
【分析】设
，则
，代入已知式化简可得
，可视为
关于
的二次方程
有解，由
可求得
，即
，可判断
是一
个等边三角形，即可求出三角形ABC 的面积.
【详解】设
，则
，且
，于是
，
所以
，整理得
，
可视为关于
的二次方程
有解，
那么
，由于
，所以
，则
，
因为
，于是
，
满足
，
所以
，故
是一个等边三角形，所以
．故答案为：
.
6.（2023·四川成都·校联考二模）在
中，角A，B，C 的对边分别为
，
，则
.
【答案】2
【分析】化简可得
，再根据三角恒等变换结合正弦定理求解即可.
【详解】
则
，
故
，
故
.
由正弦定理有
，因为
，则
.
故答案为：2
2
2
2
3
4
S
b
c
a
A
, ,
b c A
a
2
sin
a
R
A
2
2
2
3 (
)
4
S
b
c
a
2
2
2
1
3
3
sin
2
cos
2
4
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
A
bc
sin
3cos
A
A
tan
3
A
(0,π)
A
π
3
A
4
b
3
c
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
2
2
π
4
3
2 4 3cos
13
3
13
a
13
2 39
2
sin
3
3
2
a
R
A
2
AB
3
cos
cos
cos
2
A
B
A
B
3
2
2
A
B
A
B
，
A
B
，
2
1
cos
cos
cos
4
cos
2
1
cos
cos
cos
0
4
0
cos
1
A
B
ABC
2
2
A
B
A
B
，
A
B
，
π
π
(0 π)
2
2
，，
，
3
cos(
)
cos(
)
cos(2 )
2
2
3
2cos
cos
2cos
1
2
2
1
cos
cos
cos
4
cos
2
1
cos
cos
cos
0
4
2
cos
1 0
≥
2
cos
(0 1]
，
2
cos
1
cos
1
π
π
2
2
，
cos
1
A
B
cos
2
2
1
1
cos
cos
0
cos
0
4
2
π
π
3
3
A
B
，
ABC
3
ABC
S
3
ABC
, , ,
a b c
sin
tan
tan
2tan
tan
A
B
C
B
C
2
a
bc
2
cos
cos
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
sin
tan
tan
2tan
tan
A
B
C
B
C
2
1
1
sin
tan
tan
A
B
C
sin
2
cos
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
B
C
B
C
B
C
B
C
A
A
B
C
B
C
B
C
B
C
2
sin
2sin
sin
A
B
C
2
2
a
bc
2
a
2
bc
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7..△
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】A
【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.
【详解】
，
利用正弦定理可得:
，又
，
可得
，
整理可得：
，故选：A.
8.．（2023 秋·安徽六安·高三六安二中校联考阶段练习）在
中，
，
，当
取
最大值时，
的面积为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得
，其中
，
，再根据正弦型函数的最值结合面积公式求解即可.
【详解】在
中，利用正弦定理
，
所以
，
，
有
，
即
，其中
，
，
取最大值，即
时，有
，
，
所以
，
，
所以
.故答案为：
.
9.（2023 下·湖南长沙·高三校考开学考试）已知
的三边长互不相等，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用正弦边角关系及三角形内角性质、已知可得
且
，再由
、
，
应用基本不等式求目标式的范围.
【详解】由题设
，而
，
所以
或
，又
的三边长互不相等，即
且
，
由
，故
，仅当
时等号成立，又
，
所以
，又
，故
的取值范围是
.
故答案为：
ABC
A
B
C
a
b
c
2
sin
sin
cos
2sin
A
B
C
C
2
2
2
a
b
c
2
sin
sin
cos
2sin
A
B
C
C
2
cos
2
ab
C
c
2
2
2
cos
2
a
b
c
C
ab
Q
2
2
2
2
2
2
a
b
c
c
2
2
2
5
a
b
c
ABC
2
AB
π
4
C
2
BC
AC
ABC
6
5
2
2 5 sin(
)
BC
AC
A
5
sin
5
2 5
cos
5
ABC
2
2
π
sin
sin
sin
sin 4
a
b
c
A
B
C
2sin
BC
a
A
2sin
AC
b
B
3π
2
2sin
2 2 sin
2sin
2 2 sin
4
BC
AC
A
B
A
A
4sin
2cos
A
A
2
2 5 sin(
)
BC
AC
A
5
sin
5
2 5
cos
5
2
BC
AC
sin(
)
1
A
2 5
sin
5
A
5
cos
5
A
4 5
2sin
5
BC
a
A
3π
2
3 10
sin
sin
(cos
sin
)
4
2
10
B
A
A
A
1
1
4 5
3 10
6
sin
2
2
2
5
10
5
ABC
S
ac
B
△
6
5
ABC
A
B
C
a
b
c
1
c
cos
cos
a
A
b
B
a
b
(1, 2)
π
2
A
B
A
B
2
2
2
a
b
c
a
b
c
sin
cos
sin
cos
sin2
sin2
A
A
B
B
A
B
0
π
A
B
A
B
π
2
A
B
ABC
π
2
A
B
A
B
1
c
2
2
2
2
(
)
1
2
a
b
a
b
c
2
2
a
b
a
b
2
a
b
1
a
b
c
a
b
(1, 2)
(1, 2)
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10.（2023·全国·高三专题练习）在锐角
中，
，
，则中线AD 长的取值范围
是 ;
【答案】
【分析】本道题运用向量方法，计算AD 的长度，同时结合锐角三角形这一条件，计算bc 的范围，即可．
【详解】设
，
，对
运用正弦定理，得到
，解得
，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组
，解得
，故
，结合二次函数性质，得到
，运用向量得到
，
所以
，结合bc 的范围，代入，得到
的范围为
11.（2024·河南鹤壁·鹤壁高中校考二模）在
中，记角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，面积为S，
则
的最大值为
【答案】
【分析】利用面积公式和余弦定理，结合均值不等式以及线性规划即可求得最大值.
【详解】
（当且仅当
时取等号）.令
，故
，
因为
，且
，故可得点
表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：
目标函数
上，表示圆弧上一点到点
点的斜率，
由数形结合可知，当且仅当目标函数过点
，即
时，取得最小值
，
故可得
， 又
，故可得
，
当且仅当
，即三角形为等边三角形时，取得最大值.故答案为：
.
12.（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））已知△ABC 中，D 为边BC 的中点，若
，则∠BAD 的余弦值为（ ）
ABC
2
BC
sin
sin
2sin
B
C
A
13
3
2
，
,
AB
c AC
b
2
BC
a
sin
sin
2sin
B
C
A
2
4
b
c
a
4
c
b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
4
4
b
c
b
b
c
b
b
b
c
b
3
5
2
2
b
2
4
4
bc
b
b
b
b
15
4
4
bc
1
2
AD
AB
AC
2
2
2
2
2
2
1
1
4
2
cos
2
2
2
2
b
c
AD
AB
AC
AB
AC
b
c
bc
bc
2
2
1
1
2
2
4
28
4
2
2
b
c
bc
AD
uuuv
13
3, 2
ABC
2
2
S
a
bc
3
12
2
2
2
1
sin
1
sin
2
2
2
cos
2
2
2
2cos
bc
A
S
A
b
c
a
bc
b
c
bc
A
bc
A
c
b
1
sin
4
cos
2
A
A
b
c
sin
,cos
A
y
A
x
2
1
2
4
2
S
y
a
bc
x
2
2
1
x
y
0
y
( , )
x y
2
y
z
x
(2,0)
A
1
3
,
2
2
H
60
A
3
3
3 ,0
2
3
y
z
x
2
1
2
4
2
S
y
a
bc
x
2
1
3
3
2
4
3
12
S
a
bc
60 ,
A
b
c
3
12
2 sin
2 i
in
n
s
s
ADC
C
B
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由正弦定理，将条件转化为边长的比例关系，再延长AD 至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则
四边形ABEC 是平行四边形，在△ABE 中，使用余弦定理可求得∠BAD 的余弦值.
【详解】因为
，
所以在△ABC 中，由正弦定理得
，在△ADC 中，由正弦定理得
.
如图，延长AD 至点E，使DE=AD，连接BE，CE，则四边形ABEC 是平行四边形，
所以
.设
，则
，BE=
，在△ABE 中，由余弦定理得
故选：B.
13..在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，若角A 的
内角平分线
的长为3，则
的最小值为（ ）
A．21
B．24
C．27
D．36
广西柳州市2023 届高三第二次模拟考试数学（理）试题
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，由余弦定理求出角A，再利用三角形面积定理结合均值不
等式求解作答.
【详解】在
中，
，由正弦定理得
，
即
，由余弦定理得
，而
，则
，
因角A 的内角平分线
的长为3，由
得：
，
即
，因此
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以当
时，
取得最小值27.
故选：C
14.（2022 下·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）如图所示，
是边长为6 的等边三角形，G 是它
的重心，过G 的直线分别交线段AB，AC 于E，F 两点，
，当
在区间
上变化时，则
11 2
16
5 2
8
3
4
7
4
2 sin
2 i
in
n
s
s
ADC
C
B
2
AC
AB
2
AC
AD
BE
AC
AB
m
2
2 2
AD
m
AE
m
，
2
AC
m
2
2
2
2
2
2
8
4
5 2
cos
.
2
8
2
2 2
AB
AE
BE
m
m
m
BAD
AB AE
m
m
ABC
sin
sin
sin
sin
a
b
A
B
c
C
B
AD
4b
c
ABC
sin
sin
sin
sin
a
b
A
B
c
C
B
(
)(
)
(
)
a
b a
b
c c
b
2
2
2
a
b
c
bc
2
2
2
1
cos
2
2
b
c
a
A
bc
0
A
2
3
A
AD
BAD
CAD
BAC
S
S
S
△
△
△
1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
c AD
BAD
b AD
CAD
bc
BAD
2
3 sin
3 sin
sin
3
3
3
c
b
bc
1
1
1
3
b
c
1
1
4
4
4
3(
)(4
)
3(5
)
3(5
2
)
27
c
b
c
b
b
c
b
c
b
c
b
c
b
c
4
c
b
b
c
2
9
c
b
2
9
c
b
4b
c
ABC
AEG
π π
,
6 2
1
1
EG
FG
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的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由正弦定理可求
，
，利用三角函数恒等变换化简可得
，求得范围
，利用正弦函数的性质即可计算得解．
【详解】解：在△AEG 中，由正弦定理得
，则
，
又
，同理可得
，
可得
由
，得
，则
即
的取值范围是
.故选：A
15.（2022·四川巴中·统考模拟预测）在锐角
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，则
，
的取值范围为 ．
【答案】
/
；
【分析】由正弦定理结合
即可求出
，进而求出
；先切化弦将
转化为
，再由
结合三角恒等变换得
，结合
的范围及正弦函
数的性质求得
的范围，即可求解.
【详解】由正弦定理得
，又
，
则
，又
，则
，则
，则
；
，由
可得
，
1
1
EG
FG
3 ,1
2
3 ,2
2
1 ,1
2
1 ,2
2
3
sin
EG
3
2
sin
3
FG
1
1
sin
6
EG
FG
2
6
3
3
，
sin
sin
EG
AG
EAG
3
sin
EG
2
3
AFG
3
2
sin
3
FG
1
1
1
2
1
3
3
sin
sin
sin
cos
sin
3
2
2
6
3
3
EG
FG
6 2
，
2
6
3
3
，
3
sin
1
6
2
，
1
1
EG
FG
3 1
2
，
ABC
A
B
C
a
b
c
cos
cos
2 cos
c
B
b
C
a
A
A
1
1
tan
tan
B
C
3
60
2 3 , 3
3
sin
sin
B
C
A
cos A
A
1
1
tan
tan
B
C
3
2sin
sin
B
C
2
3
C
B
sin
sin
B
C
1
1
sin 2
2
6
4
B
B
sin
sin
B
C
sin
cos
sin
cos
2sin
cos
C
B
B
C
A
A
sin
cos
sin
cos
sin
sin
sin
C
B
B
C
B
C
A
A
sin
2sin
cos
A
A
A
0,
A
sin
0
A
1
cos
2
A
3
A
sin
1
1
cos
cos
sin
cos
sin
cos
sin
3
tan
tan
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
2sin
sin
B
C
B
C
C
B
B
C
A
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
3
A
2
3
C
B
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又
为锐角三角形，则
，可得
，
则
，
又
，则
，则
，即
，
则
.故答案为：
；
.
ABC
0
2
2
0
3
2
B
B
6
2
B
2
2
3
1
3
1
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
sin
cos
sin
3
2
2
2
2
B
C
B
B
B
B
B
B
B
B
3
1
1
1
1
sin 2
cos2
sin 2
4
4
4
2
6
4
B
B
B
5
2
6
6
6
B
1
sin 2
1
2
6
B
1
1
1
3
sin 2
2
2
6
4
4
B
1
3
sin
sin
2
4
B
C
2
1
3
1
tan
,
3
ta
3
n
B
C
3
2 3 , 3
3
47
