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专题6-1 立体几何动点与外接球归类
目录
题型01 四大基础模型：三线垂直型...................................................................................................................................1
题型02 四大基础模型：对棱相等型..................................................................................................................................2
题型03 四大基础模型：直棱柱型.......................................................................................................................................3
题型04 四大基础模型：双线交心型..................................................................................................................................4
题型05 垂面型外接球...........................................................................................................................................................5
题型06 二面角型外接球.......................................................................................................................................................6
题型07 四棱锥型外接球......................................................................................................................................................8
题型08 圆锥形外接球...........................................................................................................................................................9
题型09 棱台型外接球.........................................................................................................................................................10
题型10 圆台型外接球.........................................................................................................................................................11
题型11 内切球型................................................................................................................................................................12
题型12 最值型外接球........................................................................................................................................................14
题型13 翻折型外接球.........................................................................................................................................................15
题型14 外接球计算截面.....................................................................................................................................................16
高考练场.............................................................................................................................................................................. 16
题型01 四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝.
【典例1-1】在三棱锥
中，点
在平面
中的投影是
的垂心，若
是等腰直角三角
形且
，
，则三棱锥
的外接球表面积为___________
【典例1-2】.在正三棱锥
中，
，P 到平面ABC 的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积
为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2022 上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD 中，
平面BCD，
，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】．（2020 下·四川绵阳·高三统考）在边长为4 的正方形
中，
，
分别为
，
的
中点.将
，
，
分别沿
，
，
折起，使
，
，
三点重合于
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2018 上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD 的边长为4，E，F 分
别是BC，CD 的中点，沿AE，EF，AF 折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D 重合于P），三棱锥P-AEF
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等
，
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
，
，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2019 下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
、
、
两两重直，
，
，
，则该三棱锥外接球表面积为 ．
【变式1-1】如图，在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【变式1-2】在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
的外
接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】在三棱锥P－ABC 中，PA＝BC＝5，
，
，则三棱锥P－ABC 的
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，
满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1
图2
2.计算公式
【典例1-1】（2022 上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥
中，
平面
，若
，
，
，
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】．（2022 下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥
中，底面
为等
腰梯形，
底面
.若
，
，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
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【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥
中，
，
平面ABC，
，
，则三棱锥
外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥
中，
平面
，
，
．
过点
分别作
，
交
于点
，记三棱锥
的外接球表面积为
，三棱锥
的外接球表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥
中，
平面
，底面
为边长为
的正方形，
，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
4
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2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
【典例1-1】（2023 下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥
的体积
是
，底面
是正方形，
是等边三角形，平面
平面
，则四棱锥
外接
球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥
中，平面
平面
，
和
都是边长为
的等边三角形，若
为三棱锥
外接球上的动点，则点
到平面
距离的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2021 上·贵州·高三统考）在三棱锥
中，
，底面
是等边三角
形，三棱锥
的体积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022 下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，且
平面
底面
，
，
，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【变式1-3】（2021 上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥
中，
和
都是边长为
的正三角形，
.若
为三棱锥
外接球上的动点，则点
到平面
距离的最大值
为 .
题型05 垂面型外接球
【解题攻略】
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
5
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【典例1-1】（2020 下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
，
，
，
，平面
平面
，若球
是三棱锥
的外接球，
则球
的半径为．
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2 的菱形
中，
，将菱形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，则所得三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形
的边长为4，若将
沿
翻折到
的位置，使得平面
平面
，
分别为
和
的中点，则直线
被四面体
的外接球所截得的线段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023 上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥
，
为
中点，
，侧面
底面
，则过点
的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
，平面
平
面ABC，
，点Q 为三棱锥
外接球O 上一动点，且点Q 到平面PAC 的距离的最大值为
，则球O 的体积为( )
A．
B．
C．
D．
.
题型06 二面角型外接球
【解题攻略】
6
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二面角型求外接圆
在空间四边形ABCD 中，二面角C−AB −D 的平面角大小为α ，Δ ABD 的外接圆圆心为O1，Δ ABC 的
外接圆圆心为O2，E 为两面交线AB 的中点
所以∠O1EO 2=α ,O1 E=m,O2 E=n,AE = l
2 ,OA=R
因为O,O2,O1, E 四点共圆，OE =2 R
'=O1O2
sin α ，根据余弦定理可知
O1O2=m2+n2−2mn cosα ⇒R2=OE 2+AE 2=
m2+n2−2mn cosα
sin2α
+ l2
4
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形
中，
，将
沿
折起到
的位置，若二面角
的大小为
，三棱锥
的外接球球心为
，
的中点为
，
则
A．1
B．2
C．
D．
【典例1-2】（2022 上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对
角边
折成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥
，
是以AC 为斜边的等腰直角三
角形，且
，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
为等腰直角三角形，
，
7
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为正三角形，且二面角
的平面角为
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知在三棱锥
中，
，
，
，二面角
的大
小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
锥体求外接球
（1）：确定球心O 的位置，取
的外心O1，则
三点共线；
(2)：算出小圆O1的半径AO 1=r ，算出棱锥的高
（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：R2=(h−R)2+r2 ，解出R
【典例1-1】（2022 上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥
外接球表面积为，体积为
平面
，且
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥
中，底面ABCD 是正方形，PA⊥底面
ABCD，且PA=3，AB=4，则四棱锥
外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．
B．10
C．
D．11
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形
中，
，现沿着
将
平面
折起，E，F 分别为
和
的中点，那么当四棱锥
的外接球球心不在锥体内部时，
的最大值为（ ）
8
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A．1
B．
C．
D．
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形
，
，
，
，
，将
沿
折起至平面
平面
，如图2，若
，则四棱锥
的外接球体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】（2022 下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥
中，底面
为等腰
梯形，
底面
.若
，
，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 圆锥形外接球
【解题攻略】
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
【典例1-1】（2023 下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底
面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥
的内切球和外接球的球心重合，且
圆锥
的底面直径为
，则（ ）
A．设内切球的半径为
，外接球的半径为
，则
B．设内切球的表面积
，外接球的表面积为
，则
C．设圆锥的体积为
，内切球的体积为
，则
D．设、
是圆锥底面圆上的两点，且
，则平面
截内切球所得截面的面积为
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知
为圆锥
底面圆
的直径，点
是圆
上异于
，
的
9
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一点，
为
的中点，
，圆锥
的侧面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
上存在点
使
平面
B．圆
上存在点
使
平面
C．圆锥
的外接球表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球
是圆锥
的外接球，圆锥
的母线长是底面半径
的倍，且球
的表面积为
，则圆锥
的侧面积为 .
【变式1-2】圆锥
（其中为顶点，
为底面圆心）的侧面积与底面积的比是
，则圆锥
与它外接
球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知球
是圆锥
的外接球，圆锥
的母线长是底面半径的倍，且球
的表面积为
，
则圆锥
的侧面积为___________.
题型09 棱台型外接球
【解题攻略】
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中
分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
【典例1-1】由正三棱锥
截得的三棱台
的高为
，
，
．若三棱台
的各顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为______．
【典例1-2】由正三棱锥
截得的三棱台
的各顶点都在球
的球面上，若
，三棱
台
的高为2，且球心
在平面
与平面
之间（不在两平面上），则
的取值范围
10
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为___________.
【变式1-1】已知正三棱台
的上下底边长分别为
，高为7，若该正三棱台的六个顶点
均在球
的球面上，且球心
在正三棱台
内，则球
的表面积为__________．
【变式1-2】在正四棱台
中，
，则（ ）
A．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4
，AA1＝5
，平面
BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型10 圆台型外接球
【解题攻略】
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
【典例1-1】（2023 下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AB＝1，
CD＝2，AD⊥DC，O 是AD 的中点，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点P．以AD 为旋转轴旋转一周，
可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
11
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①圆台的母线长为3；
②球的半径为
；
③将圆台的母线延长交
的延长线于点
，则得到的圆锥的高为
；
④点
的轨迹的长度是
．
A．1
B．2
C．3
D．4
【典例1-2】（2023 下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面
积为
，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】（2023 下·湖北咸宁·高三统考）已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均
相切），且圆台的上、下底面半径
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1 和2，侧面积为
，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 内切球型
【解题攻略】
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面
体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中
锥体与内切球的关系：V =1
3 Sr (V 为几何体的体积，S 为多面体的表面积，r 为内切球的半径)
一、三角形内切圆
12
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二、类比：三棱锥
【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥
中，母线
，底面圆的半径为，圆锥
的侧面
积为
，则（ ）
A．当
时，则圆锥
的体积为
B．当
时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当
时，圆锥
的外接球表面积为
D．当
时，棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
【典例1-2】.若正三棱柱
既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分
别为
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】古代数学名著《九章算术・商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥
为阳马，
平面
，
，
，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
13
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A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的
一点，N 为SA 的中点，
，圆锥SO 的侧面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O 上存在点M 使
∥平面SBC
B．圆O 上存在点M 使
平面SBC
C．圆锥SO 的外接球表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动
【变式1-3】已知正四棱锥
的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为
，则正四棱锥
的外接球与内切球的半径之比为___________.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在
中，
分别为
三边中
点，将
分别沿
向上折起，使
重合，记为，则三棱锥
的外
接球表面积的最小值为
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知三棱锥
的外接球O 半径为2，球心O 到
所在平面的距离为1，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【变式1-1】已知四棱锥
中，四边形
为等腰梯形，
，
，
是等边
三角形，且
；若点
在四棱锥
的外接球面上运动，记点
到平面
的距离为
，若平面
平面
，则
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】如图，在体积为
的三棱锥
中，
，
，
底面
，则三棱锥
外接球体积的最小值为______.
14
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【变式1-3】如图，已知等腰三角形
的面积为
，
是底边
的中点，将
沿中线
折起，
得到三棱锥
．若
，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
题型13 翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD 中，
，
，
，将△ACD 沿AC 边折起，使得点D 翻折到点P，若三棱锥P-ABC 的外接球表面积为
，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．2
【典例1-2】如图，在△ABC 中，AB=2
，BC=2
，AC=2
，E、F、G 分别为三边中点，将
△BEF，△AEG，△GCF 分别沿EF、EG、GF 向上折起，使A、B、C 重合，记为S，则三棱锥S–EFG
的外接球面积为（ ）
A．14π
B．15π
C．
π
D．2
π
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形
中，
，
，取线段
，
的中点
，
，连接
，以线段
为折痕进行翻折，使得
，则四面体
的外接球表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形
中，
15
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，取
中点
，将
沿
翻折（如图2），记四面体
的外接球为球
（
为球心）.
是球
上一动点，当直线
与直线
所成角最大时，四面体
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】已知等边
的边长为
，
，
分别为
，
的中点，将
沿
折起得到
四棱锥
.点
为四棱锥
的外接球球面上任意一点，当四棱锥
的体积最大时，
到平面
距离的最大值为______.
题型14 外接球计算截面
【典例1-1】已知球
是正四面体
的外接球，
，点
在线段
上，且
，过点
作球
的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】已知球
是棱长为1 的正方体
的外接球，
为棱
中点，现在棱
和棱
上分别取点
，
，使得平面
与正方体各棱所成角相等，则平面
截球
的截面面积是__.
【变式1-1】已知正方体
的棱长2，中心为
，则四棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积为______．
【变式1-2】如图，已知球O 是直三棱柱
的外接球，
，
，E，F
分别为
，
的中点，过点A，E，F 作三棱柱的截面α，若α 交
于M，过点M 作球O 的截面，则
所得截面圆面积的最小值是__________．
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【变式1-3】已知正三棱锥
的外接球是球
，
，
，点
为
中点，过点
作球
的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
高考练场
1.（2018 上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD 的边长为4，E，F 分别是BC，
CD 的中点，沿AE，EF，AF 折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D 重合于P），三棱锥P-AEF 的外接球表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥
中,
,
,
.则该三棱
锥的外接球表面积为 .
3.（2023 上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，
，△APC 的面积为
，
则三棱锥P－ABC 的外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥
中，
，底面
是等边三角形，三棱
锥
的体积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值是 .
5.．（2023 上·高三课时练习）已知三棱锥
的底面ABC 是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，
，M 为SB 上一点，且
．设三棱锥
外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SB
B．直线
平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
D．直线
平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
6.在四面体
中，
，
，二面角
的大小为
，则四面
体
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2023 下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为
的圆锥侧面展开图的圆心角大小为
，则此圆
锥外接球表面积为（ ）
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A．
B．
C．
D．
8.如图所示，正四棱台
的顶点都在表面积为
的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成
角为
，则其上、下底面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是
，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.已知正三棱柱
的侧棱长为
，底面边长为
，内有一个体积为
的球，若
的最大值为
，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
11.已知三棱锥
的外接球表面积为
，
，则三棱锥
体积的最大值为___________.
12.如图，在△ABC 中，AB=2
，BC=2
，AC=2
，E、F、G 分别为三边中点，将△BEF，
△AEG，△GCF 分别沿EF、EG、GF 向上折起，使A、B、C 重合，记为S，则三棱锥S–EFG 的外接球
面积为（ ）
A．14π
B．15π
C．
π
D．2
π
13.在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对角边
折成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
14.设三棱锥
的所有棱长均为1，点
满足
，
，
，则三棱
锥
的外接球被平面
所截的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8 的四棱锥
的底面是边长为
的
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正方形，四棱锥
的外接球球心
到底面
的距离为1，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
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