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专题6-1 立体几何动点与外接球归类
目录
题型01 四大基础模型：三线垂直型...................................................................................................................................1
题型02 四大基础模型：对棱相等型..................................................................................................................................4
题型03 四大基础模型：直棱柱型.......................................................................................................................................6
题型04 四大基础模型：双线交心型................................................................................................................................10
题型05 垂面型外接球.........................................................................................................................................................13
题型06 二面角型外接球.....................................................................................................................................................17
题型07 四棱锥型外接球....................................................................................................................................................21
题型08 圆锥形外接球.........................................................................................................................................................24
题型09 棱台型外接球.........................................................................................................................................................28
题型10 圆台型外接球.........................................................................................................................................................32
题型11 内切球型................................................................................................................................................................35
题型12 最值型外接球........................................................................................................................................................41
题型13 翻折型外接球.........................................................................................................................................................45
题型14 外接球计算截面.....................................................................................................................................................48
高考练场..............................................................................................................................................................................52
题型01 四大基础模型：三线垂直型
【解题攻略】
正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝.
【典例1-1】在三棱锥
中，点
在平面
中的投影是
的垂心，若
是等腰直角三角
形且
，
，则三棱锥
的外接球表面积为___________
【答案】
【分析】
设
的垂心为
，由
平面
可证明
，
，
，结合
推导出
，
，
两两互相垂直，则外接球半径
满足
，求出
代入求解即可得出答
1
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案．
【详解】
解：设
的垂心为
，连接
，则
平面
，如图所示：
由垂心知，
，又
，
，则
平面
，又
平面
，
所以
，
又
，
，所以
平面
，又
平面
，得
，
同理
，则
，
所以
，
，
两两互相垂直，设三棱锥
的外接球半径为
，
则
，所以
，球的表面积为
．故答案为：
.
【典例1-2】.在正三棱锥
中，
，P 到平面ABC 的距离为2，则该三棱锥外接球的表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，由正三棱锥的性质知，PA，PB，PC 两两垂直且相等．设
，则
．
根据
，得
，
解得
．
设三棱锥
外接球的半径为
，则
，所以
．
故所求外接球的表面积为
．
故选：A．
【变式1-1】（2022 上·江西萍乡·高三统考）三棱锥A-BCD 中，
平面BCD，
，
，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可知，可将三棱锥补成长方体，求长方体的外接球的表面积即可.
【详解】由
平面BCD，
，知三棱锥A-BCD 可补形为以AD，DC，BD 为三条棱的长方体，
如图所示，
2
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三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为R，
则
，所以该三棱锥的外接球表面积为
.故选：C．
【变式1-2】．（2020 下·四川绵阳·高三统考）在边长为4 的正方形
中，
，
分别为
，
的
中点.将
，
，
分别沿
，
，
折起，使
，
，
三点重合于
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】三棱锥
中，
两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥
中补成一个长方
体，长方体的外接球就是三棱锥
的外接球，由此易得球半径，得面积．
【详解】由题意三棱锥
中，
两两垂直，以它们为相邻棱把三棱锥
中补成一
个长方体，如图，则长方体的外接球就是三棱锥
的外接球，
，
，则外接球半径为
，
表面积为
．
故选：D．
【变式1-3】（2018 上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD 的边长为4，E，F 分别
是BC，CD 的中点，沿AE，EF，AF 折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D 重合于P），三棱锥P-AEF 的
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF 补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的
半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】解：如图，
3
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由题意可得，三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA，PE，PF 两两互相垂直，
且
，
，
把三棱锥P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为
，
则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为
，
外接球的表面积为
．
故选C．
题型02 四大基础模型：对棱相等型
【解题攻略】
对棱相等的四面体：
三棱锥对棱相等
，
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
，
，
，则该三棱锥的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由于三棱锥对棱相等，可将它补成一个长方体，利用长方体求得其外接球的半径，然后求出球表
面积即可．
【详解】因为
，
所以可以将三棱锥
如图放置于一个长方体中，如图所示：
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有
，整理得
，
则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，
所以有
，
所以所求的球体表面积为：
．故选：A．
【典例1-2】（2019 下·江苏苏州·高三江苏省苏州实验中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
、
、
两两重直，
，
，
，则该三棱锥外接球表面积为 ．
4
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【答案】
【分析】三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外
接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积．
【详解】三棱锥
的三条侧棱
、
、
两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外
接球.
设
，长方体的对角线长为，
∴
∴
，
球的直径是
，球的半径为
，
球的表面积
．故答案为：
．
【变式1-1】如图，在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将三棱锥
放到长方体中，设长方体的长、宽、高分别为
，求出
即得三棱锥
外接球的半径，即得解.
【详解】解：由题意，
，
，
，将三棱锥
放到长方体中，
可得长方体的三条对角线分别为
，2，
，设长方体的长、宽、高分别为
，
则
，
，
，解得
，
，
．
所以三棱锥
外接球的半径
．
三棱锥
外接球的体积
．故选：C
【变式1-2】在三棱锥
中，
，
，
，则三棱锥
的外
接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造面对角线长分别为4，5，
的长方体，求出其体对角线长即可求解作答.
【详解】三棱锥
中，
，
，
，
构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，
，则长方体的对角线长等于三棱锥
外接球的
直径，如图，
5
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设长方体的棱长分别为
，
，，则
，
，
，则
，
因此三棱锥
外接球的直径为
，
所以三棱锥
外接球的表面积为
．
故选：A
【变式1-3】在三棱锥P－ABC 中，PA＝BC＝5，
，
，则三棱锥P－ABC 的外
接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将棱锥补全为长方体，由长方体外接球直径与棱长关系求直径，进而求其表面积.
【详解】三棱锥P－ABC 中，PA＝BC＝5，
，
，
构造长方体使得面对角线分别为5，
，
，则长方体体对角线长等于三棱锥外接球直径
，如图所
示，
设长方体棱长分别为a，b，c，则
，
，
，
则
，即
，外接球表面积
.
故选：D
.
题型03 四大基础模型：直棱柱型
【解题攻略】
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是r，
满足正弦定理）
1.模板图形原理
6
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图1
图2
2.计算公式
【典例1-1】（2022 上·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥
中，
平面
，若
，
，
，
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知利用余弦定理求得
，可得
，由
平面
，可知三棱锥可以补形为长方
体，此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球，即可求得外接球的表面积.
【详解】如图，在
中，由余弦定理，得
，
即
，则
，故
，
又而
平面
，将三棱锥
置于一个长方体中，可知三棱锥
的外接球半径
，
则外接球表面积
，
故选:D．
【典例1-2】．（2022 下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥
中，底面
为等
腰梯形，
底面
.若
，
，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.
【详解】取BC 中点E，连接EA、ED，取PC 中点H，连接EH、BH，
等腰梯形
中，
，
，
则有
，则四边形
为平行四边形，
则
，又
，则
为等边三角形，
则
，则△
为等边三角形
则
，故点E 为等腰梯形
的外接圆圆心，
7
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△
中，
，则
又
底面
，则
底面
，
又
，
即
，
故点H 为四棱锥
的外接球球心，
球半径
则四棱锥
外接球表面积为
故选：C
【变式1-1】（2023·河南开封·统考三模）在三棱锥
中，
，
平面ABC，
，
，则三棱锥
外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将三棱锥
可以补成长方体，从而得到
为三棱锥
的外接球的直径，要想体积
最小，则
最小即可，设
，表达出
，从而得到
，进而求出外接
球体积的最小值.
【详解】根据题意三棱锥
可以补成分别以
为长、宽、高的长方体，其中
为长方体
的对角线，
则三棱锥
的外接球球心即为
的中点，要使三棱锥
的外接球的体积最小，则
最小．
设
，则
，
，
，
所以当
时，
，则有三棱锥
的外接球的球半径最小为
，
所以
．故选：A
【变式1-2】（2023·河北邯郸·统考三模）三棱锥
中，
平面
，
，
．
过点
分别作
，
交
于点
，记三棱锥
的外接球表面积为
，三棱锥
的外接球表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】B
【分析】取
的中点
，
的中点
，连
，
，
，
，证明
是三棱锥
的外接球
的球心，
为该球的直径；
是三棱锥
的外接球的球心，
为该球的直径，设
，求出
，根据球的表面积公式可求出结果.
【详解】取
的中点
，
的中点
，连
，
，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
，
因为
，
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
在直角三角形
中，
是斜边
的中点，所以
，
在直角三角形
中，
是斜边
的中点，所以
，
所以
是三棱锥
的外接球的球心，
为该球的直径.
因为
，
是斜边
的中点，所以
，
因为
，
是斜边
的中点，所以
，
所以
是三棱锥
的外接球的球心，
为该球的直径.设
，则
，
则
，
，所以
.
故选：B.
【变式1-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）如图，四棱锥
中，
平面
，底面
为边长为
的正方形，
，则该四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先确定底面
外接圆半径，则所求外接球半径为
，代入球的表面积公
式即可求得结果.
【详解】
四边形
为边长为
的正方形，
四边形
的外接圆半径
，
又
平面
，
，
四棱锥
的外接球半径
，
四棱锥
的外接球表面积
.故选：D.
9
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.
题型04 四大基础模型：双线交心型
【解题攻略】
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
如果表面有等边三角形或者直角三角形：两垂线交心法
1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
（2）直角三角形斜边中点（外心）做面垂线，必过球心；
【典例1-1】（2023 下·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知四棱锥
的体积
是
，底面
是正方形，
是等边三角形，平面
平面
，则四棱锥
外接
球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过
点作
于E，则PE 为四棱锥的高，据此求出正方形棱长.再根据几何关系找出外接球
球心，根据勾股定理求出外接球半径即可.
【详解】
设正方形
的边长为
，在等边三角形
中，过
点作
于E，
由于平面
平面
，∴
平面
．
由于
是等边三角形，则
，
10
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∴
，解得
．
设四棱锥外接球的半径为
，
为正方形ABCD 中心，
为等边三角形PAB 中心，
O 为四棱锥P－ABCD 外接球球心，则易知
为矩形，
则
，
，
，∴外接球表面积
．故选：C．
【典例1-2】（2022·河南·校联考模拟预测）在三棱锥
中，平面
平面
，
和
都是边长为
的等边三角形，若
为三棱锥
外接球上的动点，则点
到平面
距离的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
中点为
，
的外心为
，
的外心为
，过点
作平面
的垂线，过点
作平面
的垂线，两条垂线的交点
，则点
即为三棱锥
外接球的球心，求出三棱锥
外接球的半径，假设球心到平面
的距离得答案．
【详解】解：设
中点为
，
的外心为
，
的外心为
，过点
作平面
的垂线，过点
作平面
的垂线，两条垂线的交点
，则点
即为三棱锥
外接球的球心，
因为
和
都是边长为
的正三角形，可得
，
因为平面
平面
，
，
平面
，平面
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
，
又
，所以四边形
是边长为1 的正方形，
所以外接球半径
，所以
到平面
的距离
，
即点
到平面
距离的最大值为
.故选：D.
【变式1-1】（2021 上·贵州·高三统考）在三棱锥
中，
，底面
是等边三角
形，三棱锥
的体积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别设出三棱锥的底面边长和高，利用体积为
，则可得出其关系式.再利用三棱锥的底面边长
和高表示出三棱锥
的外接球半径，即可利用基本不等式得出其半径的最小值，即可求出其表面积
的最小值.
【详解】设三棱锥外接球的球心为
，三棱锥底面边长和高分别为
，.底面
的外接圆半径为，则
.
11
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由题意可知
是三棱锥
的外接球的一条直径，则
，即
.
设三棱锥
的外接球半径为
，球心到底面
的距离为
.则
，
故三棱锥
的外接球表面积为
.
故选：A.
【变式1-2】（2022 下·吉林·高三吉林一中校考）在三棱锥
中，
是边长为2 的正三角形，且
平面
底面
，
，
，则该三棱锥的外接球表面积为 ．
【答案】
【详解】
如图，
是三棱锥
外接球的球心，
是
外接圆的圆心，由球的性质可得
平面
；
又
平面
平面
，取
的中点
，连接
，
又
是边长为2 的等边三角形，故
且
,又平面
平面
，
平
面
，
平面
，
，连结
过
点作
所以四边形
是平行
四边形，
；
在
中，
由正弦定理可得
即：
设三棱锥
外接球的半径为
在
中，
故
在
中，
且
是
的中点，故
在
中，
故
在
中，
故
两边平方得：
解得：
所以三棱锥
外接球的表面积为
故答案为：
【变式1-3】（2021 上·江苏南京·高三统考开学考试）在三棱锥
中，
和
都是边长为
的正三角形，
.若
为三棱锥
外接球上的动点，则点
到平面
距离的最大值
12
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为 .
【答案】
【分析】设
中点为
，可证明
，设
和
的外心分别为
和
，过
和
分别作
两个平面的垂线交于点
即为三棱锥
外接球的球心，求出外接球的半径
的长，
到平面
的距离
即可求解.
【详解】
设
中点为
，
的外心为
，
的外心为
，
过点
作面
的垂线，过点
作直线面
的垂线，
两条垂线的交点
即为三棱锥
外接球的球心，
因为
和
都是边长为
的正三角形，可得
，
又
，所以
，所以
，
又因为
，
，所以
面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，且
，
所以四边形
是边长为的正方形，所以外接球半径
，
到平面
的距离
，
故答案为：
.
题型05 垂面型外接球
【解题攻略】
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
【典例1-1】（2020 下·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）在三棱锥
中，
，
，
，
，平面
平面
，若球
是三棱锥
的外接球，
则球
的半径为．
13
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取AB 中点D，AC 中点E，连PD，ED，得E 为△
外接圆的圆心，且OE∥平面
，然后求出
△
的外接圆半径和球心
到平面
的距离等于
，由勾股定理得
，即可得出答案.
【详解】解：取AB 中点D，AC 中点E，连PD，ED
因为
，所以E 为△
外接圆的圆心
因为OE PD
∥
，OE 不包含于平面
，所以OE∥平面
因为平面
平面
，
，得PD
AB，ED
AB
所以PD
平面
，ED
平面
。且
，
所以球心
到平面
的距离等于
在△
中，
，
，所以
，
所以△
得外接圆半径
，即
由勾股定理可得球
的半径
故选A.
【典例1-2】（2021·高三课时练习）在边长为2 的菱形
中，
，将菱形
沿对角线
折起，使得平面
平面
，则所得三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，由于
与
均为边长为2 的等边三角形，取
中点
，连接
，
，则
，根据面面垂直的性质可得出
平面
，再确定
为三棱锥
的外接球的
球心，结合已知求出三棱锥外接球的半径
，最后根据球的表面积公式求出外接球的表面积.
【详解】解：
在边长为2 的菱形
中，
，
如图，
由已知可得，
与
均为边长为2 的等边三角形，
取
中点
，连接
，
，则
，
，
平面
平面
，交线为
，而
平面
，则
平面
，分别取
与
的外心
，
，
过
，
分别作两面的垂线，相交于
，则
为三棱锥
的外接球的球心，
由
与
均为等边三角形且边长为2，可得
，
，
，即三棱锥外接球的半径：
，
三棱锥
的外接球的表面积为：
.故选：C.
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【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知正方形
的边长为4，若将
沿
翻折到
的位置，使得平面
平面
，
分别为
和
的中点，则直线
被四面体
的外接球所截得的线段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先取
的中点
，连接
，
，根据题意得到
为四面体
外接球的球心，且半径
，再计算
的长度得到
，从而得到
到
的距离为1，再计算直线
被四面体
的外接球所截得的线段长即可.
【详解】取
的中点
，连接
，
，如图所示：
因为
，
，所以
为四面体
外接球的球
心，且半径
.因为
，且
为
中点，所以
.平面
平面
，所以
平面
.
过
作
，过
作
，连接
，
如图所示：
在
中，
，
，所以
，同理
，所以
.
在
中，
，所以在
中，
.
又因为
，所以
到
的距离
，
所以直线
被球
截得的线段长
.故选：D
【变式1-2】（2023 上·江苏连云港·高三校考）已知三棱锥
，
为
中点，
，侧面
底面
，则过点
的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】连接
，
，
，设三棱锥
外接球的球心为
，设过点
的平面为
，则当
时，此时所得截面的面积最小，当点
在以
为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，再结合球的截面
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的性质即可得解.
【详解】连接
，
，由
，
可知：
和
是等边三角形，
设三棱锥
外接球的球心为
，
所以球心
到平面
和平面
的射影是
和
的中心
，
，
是等边三角形，
为
中点，
所以
，又因为侧面
底面
，侧面
底面
，
所以
底面
，而
底面
，因此
，所以
是矩形,
和
是边长为
的等边三角形，所以两个三角形的高
，
在矩形
中，
，连接
，
所以
，设过点
的平面为
，当
时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆
的半径为：
，所以此时面积为
，
当点
在以
为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：
，
所以截面的面积范围为
.
故选：A．
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
，平面
平
面ABC，
，点Q 为三棱锥
外接球O 上一动点，且点Q 到平面PAC 的距离的最大值为
，则球O 的体积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取AC 的中点M，证明BM⊥平面PAC，从而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再证PA⊥平面
ABC；设BC＝a，在△ABC 中，利用余弦定理求出cos∠ABC 及∠ABC 的大小.设
外接圆的圆心为
，
半径为r，球O 的半径为R，求出
长度；连接
，OA，求出
长度；在△PAO 中，利用勾股定理
求出R．易知
，从而得
∥平面PAC，从而得点O 到平面PAC 的距离等于点
到平面PAC 的
距离.根据点Q 到平面PAC 距离的最大值为
可得a 的值，从而求得R，再根据球的体积公式即可
求解．
【详解】取AC 的中点M，∵
，∴
，∵平面
平面ABC，平面
平面
，
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∴
平面PAC，∵
平面PAC，∴
，∵
，
，∴
平面ABC，
设
，则
，∴
，
设
外接圆的圆心为
，半径为r，球O 的半径为R，如图所示，显然B，M，
三点共线，且
平面PAC．
由
，
，得
，
，∴
；连接
，OA，则
，
由
平面ABC，且
外接圆的圆心为
，可得
．
∵
平面ABC，∴
，
∥平面PAC，∴点O 到平面PAC 的距离等于点
到平面PAC 的距
离，
∵点Q 到平面PAC 距离的最大值为
，∴
，得
，∴
，
∴球O 的体积为
．故选：C．
.
题型06 二面角型外接球
【解题攻略】
二面角型求外接圆
在空间四边形ABCD 中，二面角C−AB −D 的平面角大小为α ，Δ ABD 的外接圆圆心为O1，Δ ABC 的
外接圆圆心为O2，E 为两面交线AB 的中点
所以
∠O1EO 2=α ,O1 E=m,O2 E=n,AE = l
2 ,OA=R
因为O,O2,O1, E 四点共圆，
OE =2 R
'=O1O2
sin α ，根据余弦定理可知
O1O2=m2+n2−2mn cosα ⇒R2=OE 2+AE 2=
m2+n2−2mn cosα
sin2α
+ l2
4
17
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【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）在菱形
中，
，将
沿
折起到
的位置，若二面角
的大小为
，三棱锥
的外接球球心为
，
的中点为
，
则
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】因为在菱形
中，
的中点为
,所以
,则
,所以
为二
面角
的平面角,
,由于
,所以
为等边三角形,若
外接圆的圆心
为
,则
平面
,在等边
中,
,可以证明
,所以
,又
,所以
,在
中,
,选B.
【典例1-2】（2022 上·湖南郴州·高三统考阶段练习）在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对
角边
折成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球
的表面积．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
，
设
，则
，
，
由勾股定理可得
，
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，
四面体的外接球的表面积为
，故选：
．
【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥
，
是以AC 为斜边的等腰直角三
角形，且
，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面
积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题作出图形，易得
外接圆圆心在
中点，结合正弦定理可求
外接圆半径，结合
图形知，
，再结合二面角大小求出
，进而得解.
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以
的
外心在
中点，设为
，设
的外心为
，
中点为
，
，因为
，所以
必在
连线上，则
，即
，因为两平面交线为
，
为平面
所在圆面中心，
所以
，
，又因为二面角
的大小为
，
，所以
，所以
，锥体
外接球半径
，则三棱锥
的外接球表面积为
，
故选：B
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【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥
中，
为等腰直角三角形，
，
为正三角形，且二面角
的平面角为
，则三棱锥
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由球的截面性质确定球心的位置，结合条件求出球的半径，由此可求外接球的表面积
【详解】如图所示，
为直角三角形，又
，所以
，因为
为正三角形，所
以
，
连接
，
为
的中点，E 为
中点，则
，所以
为二面角
的
平面角
所以
．因为
为直角三角形，E 为
中点，所以点
为
的外接圆的圆心，
设G 为
的中心，则G 为
的外接圆圆心．过E 作面
的垂线，过G 作面
的垂线，设
两垂线交于O．
则O 即为三棱锥
的外接球球心．设
与
交于点H，
，
所以
,
，∴
．
所以
，故选：C.
【变式1-3】已知在三棱锥
中，
，
，
，二面角
的大
小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，则可得
为二面角
的平面角，得
，过点D 作与平面
垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，
然后在△OSD 中利用余弦定理可求出R，从而可求得球的表面积.
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【详解】如图，取AC 的中点D，连接BD，SD，
因为
，
，
所以
，所以
为二面角
的平面角，所以
，因为AB⊥BC，
，所以
，
因为
，所以
，
过点D 作与平面ABC 垂直的直线，则球心O 在该直线上，设球的半径为R，连接OB，OS，可得
，
在△OSD 中，∠ODS＝
，利用余弦定理可得
，
解得R2＝
，所以其外接球的表面积为
.故选：D
.
题型07 棱锥型外接球
【解题攻略】
锥体求外接球
（1）：确定球心O 的位置，取
的外心O1，则
三点共线；
(2)：算出小圆O1的半径AO 1=r ，算出棱锥的高
（即圆锥的高）；
(3)：勾股定理：R2=(h−R)2+r2 ，解出R
【典例1-1】（2022 上·浙江·高三校联考开学考试）已知四棱锥
外接球表面积为，体积为
平面
，且
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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【分析】将已知
转化为
，运用余弦定理与基本不等式得到AC 的取值范围，
由此运用正弦定理得四边形ABCD 外接圆半径的范围，然后根据球的性质得球半径的
范围，得解.
【详解】
以四边形ABCD 的外接圆为底，PA 为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱.
设内接圆柱的底面半径为r、 R 外接球的半径，,则
，
，故
，
，所以
在
中运用余弦定理与基本不等式得：
，
在
中运用余弦定理与基本不等式得：
，
上两式相加得：
，故有：
，
在
中由正弦定理得：
，
因此
，
.故选：B
【典例1-2】（2022·湖北十堰·统考三模）在四棱锥
中，底面ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，
且PA=3，AB=4，则四棱锥
外接球与内切球的表面积之比为（ ）
A．
B．10
C．
D．11
【答案】C
【分析】判断出
为外接球直径即可求出外接球半径，由
得
即可求出内切球半径，即可求出表面积之比.
【详解】
设四棱锥
外接球与内切球的半径分别为R，r，由底面ABCD 是正方形，PA⊥底面ABCD，
则
即为外接球直径，则
.
设内切球球心为
，因为
，
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又
，
，
四棱锥
的表面积
，所以
，
故四棱锥
外接球与内切球的表面积之比为
.
故选：C.
【变式1-1】（2022·江西·校联考模拟预测）在平行四边形
中，
，现沿着
将
平面
折起，E，F 分别为
和
的中点，那么当四棱锥
的外接球球心不在锥体内部时，
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题意可知，当折起平面
时，四棱锥
的外接球球心在
或其延长线上.当外接球
球心与点
重合时，求出
的值，利用排除法出答案.
【详解】因为平行四边形
中，
，
所以三角形
与
都是边长为
的正三角形，
当折起平面
时，四棱锥
的外接球球心是过三角形
的中心平面
的垂线与过三角形
的中心平面
的垂线的交点，
因为E，F 分别为
和
的中点，所以由对称性可知，球心在
或其延长线上.
因为四棱锥
的外接球球心不在锥体内部，
若球心与点
重合.
连接
，根据题设可知
,
，所以
，根据勾股定理，有
可得
,
，因为
，所以排除ABC.
故选：D.
【变式1-2】（2022·全国·模拟预测）如图1，平面五边形
，
，
，
，
，将
沿
折起至平面
平面
，如图2，若
，则四棱锥
的外接球体积是（ ）
23
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作
，
，由题意计算得
，
，
，证明得
平面
，从而判断得外接球球心在平面
的垂线
上，再计算出
，可得
就是外接球球心，从而得半径
，代入球的体积公式计算.
【详解】由
，易得
，由题可知四边形
为等腰梯形，过点
作
，
在
中，
，
，由三角函数知
，所以
，取
中点
，
过点
作
交
于点
，连接
，
，又因为平面
平面
，所以
平面
，
易求
，所以
为
中点，且外接球球心在平面
的垂线
上，又因为
中，
，
，所以
；同理可得
，所以在平面
内，
，即
就是外接球球心，所以半径
，所以四棱锥
外接球体积为
.
故选：A.
【变式1-3】（2022 下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在四棱锥
中，底面
为等腰
梯形，
底面
.若
，
，则这个四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得四棱锥的外接球的半径，再去求外接球表面积即可解决.
【详解】取BC 中点E，连接EA、ED，取PC 中点H，连接EH、BH，等腰梯形
中，
，
，
则有
，则四边形
为平行四边形，则
，又
，则
为等
边三角形，
则
，则△
为等边三角形。则
，故点E 为等腰梯形
的
外接圆圆心，
△
中，
，则
又
底面
，则
底面
，
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又
，
即
，故点H 为四棱锥
的外接球球心，
球半径
则四棱锥
外接球表面积为
故选：C
题型08 圆锥形外接球
【解题攻略】
类比正棱锥，可以得带圆锥型外接球
【典例1-1】（2023 下·浙江杭州·高三统考）圆锥内半径最大的球称为该圆锥的内切球，若圆锥的顶点和底
面的圆周都在同一个球面上，则称该球为圆锥的外接球.如图，圆锥
的内切球和外接球的球心重合，且
圆锥
的底面直径为
，则（ ）
A．设内切球的半径为
，外接球的半径为
，则
B．设内切球的表面积
，外接球的表面积为
，则
C．设圆锥的体积为
，内切球的体积为
，则
D．设、
是圆锥底面圆上的两点，且
，则平面
截内切球所得截面的面积为
【答案】ACD
【分析】作出圆锥的轴截面，依题意可得
为等边三角形，设球心为
（即为
的重心），即可
求出
的外接圆和内切圆的半径，即可为圆锥的外接球、内切球的半径，即可判断A、B，由圆锥及球
的体积公式判断C，
所对的圆心角为
（在圆
上），设
的中点为
，即可求出
，不妨设
为
上的点，连接
，过点
作
交
于点
，利用三角形相似求出
，即可求出截面圆的半
径，从而判断D.
【详解】作出圆锥的轴截面如下：
因为圆锥
的内切球和外接球的球心重合，所以
为等边三角形，
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又
，所以
，
设球心为
（即为
的重心），所以
，
，
即内切球的半径为
，外接球的半径为
，所以
，故A 正确；
设内切球的表面积
，外接球的表面积为
，则
，故B 错误；
设圆锥的体积为
，则
，
内切球的体积为
，则
，所以
，故C 正确；
设、
是圆锥底面圆上的两点，且
，则
所对的圆心角为
（在圆
上），
设
的中点为
，则
，不妨设
为
上的点，连接
，则
，
过点
作
交
于点
，则
，所以
，
即
，解得
，
所以平面
截内切球截面圆的半径
，
所以截面圆的面积为
，故D 正确；故选：ACD
【典例1-2】（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知
为圆锥
底面圆
的直径，点
是圆
上异于
，
的
一点，
为
的中点，
，圆锥
的侧面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆
上存在点
使
平面
B．圆
上存在点
使
平面
C．圆锥
的外接球表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
【答案】AD
【分析】对于选项A，通过找面面平行得到线面平行，从而判断出选项A 正确；对于选项B，通过假设存
在点
，从则得出面SBC 应与面
平行，与题意不符，从而判断出B 错误；对于选项C，可以直接求出
外接球的半径
，求出球的表面积，从而判断出C 错误；对于选项D，转化成正四面体的外接球能否在圆
锥内任意转动，进而去判断圆锥轴截面内切圆半径与球半径的关系，从而判断出选项D 的正误.
【详解】对于选项A，如下图，过
作
，交劣弧
与点
，连接
，
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由于
分别为
的中点，所以
，
由于
面
，
面
，
面
，
面
，
所以
面
，
面
，
面
，
面
，
又因为
，所以面
面
，
由于
面
，所以
面
，所以选项A 正确；
选项B， 假设在点M 使
面SBC，
面SBC，所以
，
由圆锥易得
底面圆
，
底面圆
，
所以
，
，
面
，
面
，
所以
面
，
故面SBC 应与面
平行，与题意显然不符，即选项B 错误；
选项C，如下图，依题意可知
，所以
，又
，所以
，
不妨设圆锥外接球心为
，半径为
，则
，
即
，将
代入，解得
，
所以球的表面积
，即选项C 错误；
选项D，棱长为
的正四面体
如下图所示，
正方体的边长为
，体对角线长为
，
所以棱长为
的正四面体
的外接球半径为
，
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设
内切圆的半径为，则
，解得
，
所以
，所以棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动，即选项D 正确．
故选：AD.
【变式1-1】（2021·安徽·校联考模拟预测）已知球
是圆锥
的外接球，圆锥
的母线长是底面半径的
倍，且球
的表面积为
，则圆锥
的侧面积为 .
【答案】
【分析】设圆锥的底面半径为，球
的半径为
，根据已知条件求出
、，利用圆锥的侧面积公式可求
得圆锥
的侧面积.
【详解】设
，球
的半径为
，则
，球
的表面积为
，得
，
,
在
中，
，即
，解得
，
故圆锥
的侧面积为
.
故答案为：
.
【变式1-2】圆锥
（其中为顶点，
为底面圆心）的侧面积与底面积的比是
，则圆锥
与它外接
球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件求得圆锥母线与底面圆半径r 的关系，从而得到圆锥的高与r 关系，计算圆锥体积，由截面
图得到外接球的半径R 与r 间的关系，计算球的体积，作比即可得到答案.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为
，
侧面积与底面积的比为
,则母线l=2r,圆锥的高为h=
,
则圆锥的体积为
,
设外接球的球心为O,半径为R,截面图如图，则OB=OS=R,OD=h-R=
,BD=r,
在直角三角形BOD 中，由勾股定理得
,即
,
展开整理得R=
所以外接球的体积为
,
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故所求体积比为
故选A
【变式1-3】已知球
是圆锥
的外接球，圆锥
的母线长是底面半径的倍，且球
的表面积为
，
则圆锥
的侧面积为___________.
【答案】
【分析】
设圆锥的底面半径为，球
的半径为
，根据已知条件求出
、，利用圆锥的侧面积公式可求得圆锥
的侧面积.
【详解】
设
，球
的半径为
，则
，球
的表面积为
，得
，
,
在
中，
，即
，解得
，
故圆锥
的侧面积为
.故答案为：
.
题型09 棱台型外接球
【解题攻略】
正棱台外接球，以棱轴截面为主。
，其中
分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律:正棱台外接球，以棱轴截面为主
29
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【典例1-1】由正三棱锥
截得的三棱台
的高为
，
，
．若三棱台
的各顶点都在球
的球面上，则球
的表面积为______．
【答案】
【分析】设三棱台
的上底面
的外接圆的圆心为
，下底面
的外接圆的圆易得三棱
台
的外接球的球心
在
上，分别求得AG，
，在
和
，利用勾股
定理求解.
【详解】如图所示：
设三棱台
的上底面
的外接圆的圆心
为
，
下底面
的外接圆的圆心为
，则
，
为所在正三角形的中心，故三棱台
的外接球的
球心
在
上，因为
是边长为6 的等边三角形，故
，
同理可得
，设三棱台
的外接球的半径为
，在
中，
，
在
中，
，又三棱台
的高为
，
因为
，所以
，故球心
在
的延长线上，
则
，解得
，
所以球
的表面积为
．故答案为：
．
【典例1-2】由正三棱锥
截得的三棱台
的各顶点都在球
的球面上，若
，三棱
台
的高为2，且球心
在平面
与平面
之间（不在两平面上），则
的取值范围
为___________.
【答案】
【分析】利用三棱台的横截面，设OH=h，A1G=m，利用球的半径结合勾股定理列出关于m 和h 的关系式，
由此求出m 的范围，由
，即可得出答案.
【详解】该三棱台的横截面如下图所示，因为
为正三角形，
，所以
又
，球心O 在GH 上，A，A1都在球面上，故OA=OA1，
设OH=h，A1G=m，由
和
均为直角三角形，
所以
，解得
，
又由图可知，
，
综上可得，
，又
，所以
，
则
的取值范围为
，
30
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故答案为：
.
【变式1-1】已知正三棱台
的上下底边长分别为
，高为7，若该正三棱台的六个顶点
均在球
的球面上，且球心
在正三棱台
内，则球
的表面积为__________．
【答案】
【详解】分析：取正三棱台的上、下底面的中心分别为
，则
，得
，解
得
，得
，利用球的表面积公式即可求解．
详解：因为正三棱台
的上、下底面边长分别为
，
取正三棱台的上、下底面的中心分别为
，
则正三棱台的高为
，
在上下底面的等边三角形中，可得
,
则球心
在直线
上，且半径为
，
所以
，且
,
解得
，所以
，
所以球
的表面积为
．
【变式1-2】在正四棱台
中，
，则（ ）
A．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
B．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
C．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
D．该棱台的体积为
，该棱台外接球的表面积为
【答案】B
【分析】根据正棱台中的直角梯形（或直角三角形）求得棱台的高，外接球的半径，从而计算棱台体积、
球表面积．
【详解】如图，正四棱台
中，
、
分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，
是正四棱台的高．
，
，
在直角梯形
中，
，
31
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棱台的体积为
，
由对称性外接球球心
在直线
上，设球半径为，连接
，
，
，
若
在线段
上（如图1），由
得
，因为
，
，所
以方程无实数解，
因此
在
的延长线上（如图2），即在平面A1B1C1D1下方，
因此有
，解得
，
所以球表面积为
．
故选：B．
【变式1-3】．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4
，AA1＝5
，平面
BCC1B1⊥平面ABC，则该三棱台外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据面面垂直的性质，结合球的几何性质、球体积进行求解即可.
【详解】设
的中点分别为
，连接
，如下图所示：
显然
，因为平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC
，
所以
平面ABC，显然该三棱台外接球的球心在直线
上，设球心为
因为AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝
，所以
，
因此
，当
在线段
上时，如下图所示：
32
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设
，由勾股定理可知：
，
所以球的体积为：
，当
不在线段
上时，如下图所示：
，由勾股定理可知：
，方程组无实数解，
故选：A
题型10 圆台型外接球
【解题攻略】
圆台外接圆模型
圆台外接球，即轴截面题型外接圆
【典例1-1】（2023 下·江西南昌·高三校联考阶段练习）如图，四边形ABCD 是直角梯形，其中AB＝1，
CD＝2，AD⊥DC，O 是AD 的中点，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点P．以AD 为旋转轴旋转一周，
可以得到一个球和一个圆台．给出以下结论，其中正确结论的个数是（ ）
①圆台的母线长为3；
②球的半径为
；
③将圆台的母线延长交
的延长线于点
，则得到的圆锥的高为
；
④点
的轨迹的长度是
．
33
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由球体、圆台的结构特征及已知条件确定母线长、台高和球体的半径，再根据圆锥与圆台相关线
段相似比求锥体高，进而求
的轨迹的长度.
【详解】圆台上、下底半径分别为
，设母线长为，高为，则球
的直径为，
因为
与半圆
相切于点
，则
，所以
，①正确；
过
作
于
，则
1，
所以
，即球
的半径为
，②正确；
因为
，易得
，则
，③错误；
过
作
于
，延长
与
交于
，则
的轨迹以
为圆心，
为半径的圆．
作
于
，得
，则
，即
，得
，
所以，点
的轨迹的长度是
，④错误，
故选：B
【典例1-2】（2023 下·湖南益阳·高三统考）已知一个球与某圆台的上下底面和侧面均相切，若圆台的侧面
积为
，上下底面面积之比为1：9，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先利用圆台和球的关系求出圆台的上下底的半径，进一步求出圆台的母线长，最后求出内切球
的半径和球的表面积.
【详解】设圆台的上、下底面半径分别为
和
，母线长为，内切球的半径为
，
因为上下底面面积之比为1：9，所以
，得
，
所以圆台的侧面积为
，得
，
因为球与圆台的上下底面和侧面均相切，所以
，
所以
，得
，所以
，
，
所以
，得
，
所以该球的表面积为
，故选：A
【变式1-1】（2023 下·湖北咸宁·高三统考）已知球
内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均
相切），且圆台的上、下底面半径
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
34
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A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球
的半径，即可得答案.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆
是等腰梯形
的内切圆，设圆
与梯形的腰相切于点
，
与上、下底的分别切于点
，
，
设球的半径为，圆台上下底面的半径为
，
.注意到
与
均为角平分线，因此
，
从而
，故
.设台体体积为
，球体体积为
，
则
.
故选：B
【变式1-2】已知圆台上底半径为1，下底半径为3，高为2，则此圆台的外接球的表面积为______．
【答案】
【分析】先画出圆台的轴截面，利用圆心到上底圆周上一点等于外接球半径，圆心到下底圆周上一点等于
外接球半径，建立方程，解出外接球半径，求出外接球表面积.
【详解】如图所示，
设外接球半径为r，球心到上底的距离为h，则球心到下底的距离为
则有
，
，解得
，
．所以外接球的表面积为
．
故答案为：
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【变式1-3】已知圆台的上下底面半径分别为1 和2，侧面积为
，则该圆台的外接球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长
，进而可求圆台的高，根据球的性质，即可利用球
心与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解.
【详解】设圆台的高和母线分别为
，球心到圆台上底面的距离为
，
根据圆台的侧面积公式可得
，
因此圆台的高
，
当球心在圆台内部时，则
，解得
，故此时外接球半径为
，
当球心在圆台外部时，则
，
，解得
不符合要求，舍去，
故球半径为
。故选：B
题型11 内切球型
【解题攻略】
内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等，正多面
体的内切球和外接球的球心重合，正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合.其中
锥体与内切球的关系：
V =1
3 Sr
(V 为几何体的体积，S 为多面体的表面积，r 为内切球的半径)
一、三角形内切圆
二、类比：三棱锥
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【典例1-1】（2023·湖南郴州·统考一模）在圆锥
中，母线
，底面圆的半径为，圆锥
的侧面
积为
，则（ ）
A．当
时，则圆锥
的体积为
B．当
时，过顶点和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当
时，圆锥
的外接球表面积为
D．当
时，棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
【答案】AC
【分析】根据侧面积可得
，进而可得体积，可判断A 选项，利用余弦定理可确定轴截面的顶角为钝
角，进而可得截面面积的最值，可判断B 选项，确定外接球球心与半径，可得外接球表面积，判断C 选项，
求得正四面体的外接球半径及圆锥的内切球半径，即可判断D 选项.
【详解】由已知圆锥
的侧面积为
，即
，
A 选项：当
时，
，所以
，体积
，A 选项
正确；
B 选项：当
时，
，此时圆锥的轴截面如图所示，
，所以
为钝角，令
，
是圆锥
的底面圆
周上任意的不同两点，则
，所以
，当且仅当
时，取等号，B 选项错误；
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C 选项：当
时，
，其轴截面如图所示，
可知其轴截面的外接圆半径即为圆锥的外接球半径，
又
，
所以
，所以外接球半径满足
，
，
所以外接球表面积
，C 选项正确；
D 选项：棱长为
的正四面体
可以补成正方体
，如图所示，
则正方体的棱长
，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
直径为
，半径为
，
当
时，
，高
，
圆锥
的内切球球心在线段
上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为
，由三角形面积得
，解得
，
所以棱长为
的正四面体不能在圆锥
内任意转动，D 选项错误；
故选：AC.
【典例1-2】.若正三棱柱
既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分
别为
、
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】设
，计算出
，可得出
，再计算出
，即可求得
的值.
【详解】设
，则正
的内切圆半径为
，
由等面积法可得
，可得
，则
，如下图所示：
圆柱
的底面圆直径为
，母线长为，则
的中点
到圆柱底面圆上每点
的距离都相等，则
为圆柱
的外接球球心.球
的半径为
，则
，
可将正三棱柱
置于圆柱
内，使得
、
的外接圆分别为圆
、圆
，
圆
的半径为
，所以，
，
因此，
.故选：A.
【变式1-1】古代数学名著《九章算术
商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为
・
阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥
为阳马，
平面
，
，
，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式
求出结果．
解：因为四棱锥
为阳马，
平面
，
，
，所以
设外接球的半径为
，所以
，故
，所以
，
所以
，
，
所以
设内切球的半径为，利用
，解得
，故
，
故外接球与内切球的表面积之比为
．故选：
．
【变式1-2】（2023·山东日照·统考二模）已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A，B 的
一点，N 为SA 的中点，
，圆锥SO 的侧面积为
，则下列说法正确的是（ ）
A．圆O 上存在点M 使
∥平面SBC
B．圆O 上存在点M 使
平面SBC
C．圆锥SO 的外接球表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动
【答案】ACD
【分析】对于A，根据面面平行证得线面平行；
对于B，假设存在点M 使
∥平面SBC，推理出矛盾，得出结论不成立；
对于C，圆锥SO 的外接球球心在SO，构造关于外接球半径的直角三角形，由勾股定理求解；
对于D，求解圆锥SO 的内切球半径，再求解内切球的内接正四面体棱长即可.
【详解】对于A，如下图，过点O 作
，交劣弧
于点
，连结
.
由于
分别为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
平面
.
又
，所以面
平面
.
又
，所以
平面SBC，故A 正确；
对于B，假设圆O 上存在点M 使
平面SBC,
平面
，所以
.
又因为
平面ABC,
平面ABC，所以
，又
，
所以
平面SOB,又
平面SBC,
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所以平面
平面SBC，而平面
平面
，故B 错误；
对于C，如下图，已知
，圆锥SO 的侧面积为
，解得
，则
，
由题意可知球心O 在SO 上，记为
，设其半径为
，
由勾股定理得
，
所以
，解得
，
所以圆锥SO 的外接球表面积为
，故C 正确；
对于D，设圆锥SO 的内切球半径为，则圆锥的轴截面
内切圆的半径为，
，
，则
，
如下图，由等面积法知
，
.
设半径为
的球内接正四面体棱长为
.如下图，
为正四面体底面中心，
为正四面体外接球球心，
，
则
，即
，解得
.故D 正确.
故选：ACD.
【变式1-3】已知正四棱锥
的底面边长为1，侧棱与底边夹角的余弦值为
，则正四棱锥
的外接球与内切球的半径之比为___________.
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【答案】
【分析】
先作出高PH，找出外接球的球心，计算出外接球的半径；利用等体积法求内切球的半径，即可求出外接球
与内切球的半径之比.
【详解】
如图，连接
，取
的中点
，连接
，则
正面
，则正四棱锥
的外接球的球
心
在
上，连接OA.取
的中点
，连接
，
，∵
，∴
，
.
∵侧棱与底边夹角的余弦值为
，即
，∴
，
..又∵
，所以
.
设正四棱锥
的外接球的半径为
，在
中，
，
即
，解得
.设正四棱锥
的外接球的内切球的半径为，
∵
，而正四棱锥
的表面积
，
所以
，即
，解得
.所以
.故答案为：
.
题型12 最值型外接球
【典例1-1】在
中，
分别为
三边中
点，将
分别沿
向上折起，使
重合，记为，则三棱锥
的外
接球表面积的最小值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
将三棱锥S﹣EFG 补充成长方体，则对角线长分别为
，
，设长方体的长宽高分别为x，y，
z，推导出x2+y2+z2＝28+
，由基本不等式得
，能求出三棱锥S﹣EFG 的外接
球面积的最小值．
【详解】
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由题意得三棱锥S﹣EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S﹣EFG 补充成长方体，
则对角线长分别为
，
，设长方体的长宽高分别为x，y，z，
则x2+y2＝4m，y2+z2＝56，x2+z2＝4n，∴x2+y2+z2＝28+
，
又∵
，
，且
＝9，当且仅当
取等号，
∴
x2+y2+z2=28+
，∴三棱锥S﹣EFG 的外接球面积的最小值为：
．
故选：B．
【典例1-2】已知三棱锥
的外接球O 半径为2，球心O 到
所在平面的距离为1，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】
首先由球和三棱锥的组合体可知三棱锥的体积最大，转化为半径为
的圆内接
面积的最大值，由图
形可知当
的高过圆心时面积最大，利用正弦定理表示三角形的面积，并利用导数求函数的最大值.
【详解】
由题意可知当三棱锥
的体积最大时，点
到底面的距离
，如图所示，
,
中，
,
要求三棱锥体积的最大值，转化为半径为
的圆内接
面积的
最大值，
如图，当
的高过圆心时面积最大，此时
是等腰三角形，
，
根据正弦定理
,
，
，
，
设
则
，则
，
令
，
，当
时，
，当
时，
，
当
时，此时
,
此时
取得最大值
.
【变式1-1】已知四棱锥
中，四边形
为等腰梯形，
，
，
是等边
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三角形，且
；若点
在四棱锥
的外接球面上运动，记点
到平面
的距离为
，若平面
平面
，则
的最大值为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据平面
平面
，四边形
为等腰梯形，则球心在过
的中点
的面的垂线上，又
是等边三角形，所以球心也在过
的外心
面的垂线上，从而找到球心，再根据已知量求解即
可.
【详解】
依题意如图所示：
取
的中点
，则
是等腰梯形
外接圆的圆心，
取
是
的外心，作
平面
平面
，
则
是四棱锥
的外接球球心，且
，
设四棱锥
的外接球半径为
，则
，而
，
所以
，故选：A.
【变式1-2】如图，在体积为
的三棱锥
中，
，
，
底面
，则三棱锥
外接球体积的最小值为______.
【答案】
【分析】
设
外接圆的圆心为
，
外接圆的半径为
，由已知得
是
外心，
为三棱锥
外接球的球心，求出外接球半径的最小值可得球体积最小值，为此设
，
，
，
，
由棱锥体积得
的关系，利用基本不等式得出
的最小值即可得体积最小值．
【详解】
如图，设
外接圆的圆心为
，
外接圆的半径为
，
，
，
，
，由
，有
，由
可知，
为三棱锥
外接球的球心，有
44
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，解得
(当且仅当
时取等号)，故三棱锥
外接球体积的最小值为
.
【变式1-3】如图，已知等腰三角形
的面积为
，
是底边
的中点，将
沿中线
折起，
得到三棱锥
．若
，则该三棱锥外接球表面积的最小值为______．
【答案】
【分析】
将三棱锥
补形为一个以
为棱的长方体，利用长方体的对角线为三棱锥的外接球的直径
可求出结果.
【详解】
设
，
，则
的面积
．
由于
，
，
，所以
平面
，
将三棱锥
补形为一个长方体，如图，
则该长方体的体对角线满足
（当且仅当
，
时取等号），
设该三棱锥外接球的半径为
，则
，该三棱锥外接球的表面积
，即该三棱锥外
接球表面积的最小值为
.故答案为：
.
45
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题型13 翻折型外接球
【典例1-1】（2023·四川·四川省金堂中学校校联考三模）如图，在梯形ABCD 中，
，
，
，将△ACD 沿AC 边折起，使得点D 翻折到点P，若三棱锥P-ABC 的外接球表面积为
，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．2
【答案】C
【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明
，
可得四边形
为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB 的值.
【详解】如图所示，
由题意知，
，所以
，
，
所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为
，又因为
，所以
，
，
所以在
中，取AC 的中点M，连接PM，则△APC 的外心必在PM 的延长线上，记为
，
所以在
中，因为
，
，所以
为等边三角形，
所以
，（或由正弦定理得：
）所以
，
在
中，
，
，
，设外接球半径为R，则
，解得：
，
设O 为三棱锥P-ABC 的外接球球心，则
面ABC，
面APC．所以在
中，
，
又因为在
，
，所以
，
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，又因为
，
所以
，又因为
面APC，所以BC⊥面APC，所以
，
所以
，即：
.故选：C.
【典例1-2】如图，在△ABC 中，AB=2
，BC=2
，AC=2
，E、F、G 分别为三边中点，将△BEF，
△AEG，△GCF 分别沿EF、EG、GF 向上折起，使A、B、C 重合，记为S，则三棱锥S–EFG 的外接球面积为
（ ）
A．14π
B．15π
C．
π
D．2
π
【答案】A
46
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【分析】
将三棱锥
补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥
的外接球的直径，从而求
出三棱锥
的外接球面积.
【详解】由题意得，三棱锥
的对棱分别相等，将三棱锥
补充成长方体，
则对角线长分别为
，
，
，设长方体的长、宽、高分别为
，
，，
则
，
，
，
，
三棱锥
的外接球的直径为
，半径为
，
三棱锥
的外接球的面积为
.故选
.
【变式1-1】（2020·江西·统考模拟预测）已知矩形
中，
，
，取线段
，
的中点
，
，连接
，以线段
为折痕进行翻折，使得
，则四面体
的外接球表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】四面体
的外接球就是三棱柱的外接球，记
，
分别是
和
的外接圆圆心，
则
的中点
就是翻折后的直三棱柱
的外接球球心，正弦定理求出
，勾股定理求出
代入球的表面积公式即可得解.
【详解】在
中，
，
，则
是等腰三角形，
，
由于四面体
的外接球就是三棱柱的外接球，
记
，
分别是
和
的外接圆圆心，则
的中点
就是翻折后的直三棱柱
的
外接球球心，则外接球半径
，
由正弦定理可得
，则
，
所以
，故四面体
的外接球表面积为
，
故选：B
【变式1-2】（2023·浙江·校联考模拟预测）如图1，直角梯形
中，
，取
中点
，将
沿
翻折（如图2），记四面体
的外接球为球
（
为球心）.
是球
上一动点，当直线
与直线
所成角最大时，四面体
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先得到球心
在
的中点，然后当
与球
相切时直线
与直线
所成角的最大，过
作
垂足为
，当
平面
时四面体
体积取得最大值，即可求出答案.
【详解】由题意可知，
均为等腰直角三角形，所以四面体
的外接球的球心
在
的
47
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中点，
因为
是球
上的动点，若直线
与直线
所成角的最大，则
与球
相切，
，此时，
最大，
因为
，
，所以
，
过
作
垂足为
，则
在以
为圆心，
为半径的圆上运动.
所以当
平面
时四面体
的体积取得最大值.
因为
，所以
，
所以
，
故选：D.
【变式1-3】已知等边
的边长为
，
，
分别为
，
的中点，将
沿
折起得到
四棱锥
.点
为四棱锥
的外接球球面上任意一点，当四棱锥
的体积最大时，
到平面
距离的最大值为______.
【答案】
【分析】
折叠为空间立体图象，得出四棱锥
的外接球的球心，求得四棱锥
的外接球的半径
，
则
，由此能求出四棱锥
的体积的最大时，点
到平面
距离的最大值．
【详解】
由题意得
，取
的中点
,
则
是等腰梯形
外接圆圆心，
是
的外心，
作
平面
，
平面
，
则
是四棱锥
的外接球的球心，且
，
设四棱锥
的外接球半径为
，则
，
，
所以当四棱锥
的体积最大时，
点
到平面
距离的最大值
．
48
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题型14 外接球计算截面
【典例1-1】已知球
是正四面体
的外接球，
，点
在线段
上，且
，过点
作球
的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题可得,当
截面时,截面面积最小,设正四面体棱长为
,先求得正四面体的外接球半径为
,再求得
,进而求得截面圆的半径,从而得到截面圆面积
【详解】
由题,设平面
为过
的球
的截面,则当
平面
时,截面积最小,
设截面半径为,球的半径为
,则
,
因为正四面体棱长为
,设过点
垂直于平面
的直线交平面
于点
,则
,令
,
,则
,
在
中,
,即
,则
,
在
中,
,即
,则
,
解得
,则
,在
中,
,
因为点
在线段
上,
,设
中点为
,则
,所以
,
在
中,
,即
,
所以
,因为
,所以
,所以截面面积为
,故选：A
【典例1-2】已知球
是棱长为1 的正方体
的外接球，
为棱
中点，现在棱
和棱
上分别取点
，
，使得平面
与正方体各棱所成角相等，则平面
截球
的截面面积是__.
49
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【答案】
.
【分析】
首先证明
，
分别为对应棱的中点，再证明
平面
，求出
的中点
到
与平面
的
交点
的距离，再由勾股定理求得截面圆的半径，则答案可求.
【详解】正方体
中，
是棱
中点，
，
分别为棱
，
上任意点，
正方体
中，有
，
，
若平面
与正方体各棱所成角相等，只需平面
与
，
，
所成角相等即可，
所以四面体
中，
，
，
与面
所成角相等，设
，
，
过
作
面
，如下图所示：
与面
所成角为
，
与面
所成角为
，
与面
所成角为
，则
，
，
，
由所成角相等，得
，即
，
，
分别为
，
，
的中点，
，
，故面
面
，连接
，
，
，
，
，
在正方体
中，
，又
平面
，
，而
，
平面
，则
平面
，
，
平面
，则
，同理
，
，且
，
平面
，
平面
，
球
是正方体
的外接球且正方体棱长为1，
为
的中点，
，
设
面
，则
为截面圆圆心且
面
，
，
因此
，设截面圆的半径，
为球的半径
，则
，
，故
，
截面面积为
.
故答案为：
.
【变式1-1】已知正方体
的棱长2，中心为
，则四棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积为______．
【答案】
【分析】
求出四棱锥
的外接球的半径，再由勾股定理求出四棱锥
的外接球被平面
截得
的截面圆的半径，由圆的面积公式求解．
【详解】
50
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设四棱锥
的外接球半径为
，球心为
，
直线
与平面
交于点
，则
，
即
，
，
又球心
到平面
的距离
，
设四棱锥
的外接球被平面
截得的圆的半径为，
则
，
所以四棱锥
的外接球被平面
截得的截面面积
．故答案为：
【变式1-2】如图，已知球O 是直三棱柱
的外接球，
，
，E，F 分
别为
，
的中点，过点A，E，F 作三棱柱的截面α，若α 交
于M，过点M 作球O 的截面，则所
得截面圆面积的最小值是__________．
【答案】
【分析】
延长
与
相交于
在三棱柱上底面，连结
，与
的交于点
，根据线段比例关系，可以求得
各线段长，求得外接球半径
，作出截面圆，求得截面圆的半径的最小值，进而求得截面圆
的面积.
【详解】
在平面
中，延长
与
相交于
在三棱柱上底面，
连结
，与
的交于点
，
根据线段比例关系，可以求得各线段长，如图所示，
外接球：上下底面为直角三角形，所以上下底面的外心就是斜边上的中点，
则有外接球半径
，
当
垂直截面圆时，过
的截面圆最小，
设截面圆半径为，由余弦定理可得
，
所以
，
所以截面圆最小面积为
.
故答案为：
.
51
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【变式1-3】已知正三棱锥
的外接球是球
，
，
，点
为
中点，过点
作球
的截面，则所得截面圆面积的取值范围是______.
【答案】
【分析】
利用球心和小圆圆心的连线垂直于小圆，计算OD、OE，过E 的截面垂直于OE 时，截面最小，求出面积；
当过E 的截面经过球心时，截面最大，求出面积即可.
【详解】
如图，设
的中心为
，球
的半径为
，连接
，
，
，
，则
，
，
在
中，
，解得
，所以
，
，所
以
，过点
作球
的截面，当截面与
垂直时，截面的面积最小，此时截面的半
径为
，则截面面积为
，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为
.
故答案为：
.
52
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高考练场
1.（2018 上·四川成都·高三成都外国语学校阶段练习）已知正方形ABCD 的边长为4，E，F 分别是BC，
CD 的中点，沿AE，EF，AF 折成一个三棱锥P-AEF（使B，C，D 重合于P），三棱锥P-AEF 的外接球表
面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意画出图形，把三棱锥P-AEF 补形为长方体，求出长方体的对角线长，得到三棱锥外接球的
半径，代入球的表面积公式求解．
【详解】解：如图，
由题意可得，三棱锥P-AEF 的三条侧棱PA，PE，PF 两两互相垂直，
且
，
，
把三棱锥P-AEF 补形为长方体，则长方体的体对角线长为
，
则三棱锥P-AEF 的外接球的半径为
，
外接球的表面积为
．
故选C．
2.（2020·浙江杭州·高三）已知三棱锥
中,
,
,
.则该三棱
锥的外接球表面积为 .
【答案】
【详解】试题分析：由条件，可将三棱锥
放入如图所示的长方体中，设其长宽高分别为
，有
，得到
，所以长方体的体对角线长为
，该长方体的外接球也就是三棱锥的外接球半径为
，从而其表面积为
.
3.（2023 上·四川广元·高三统考）三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，
，△APC 的面积为
，
则三棱锥P－ABC 的外接球体积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用△APC 的面积为
，所以
，由正弦定理
，
得出△ABC 外接圆半径，再用勾股定理表示出外接球半径，用基本不等式求出半径的最小值，从而得出体
积的最小值.
【详解】设
，因为△APC 的面积为
，所以
，
，
设△ABC 外接圆半径为r，利用正弦定理得
，即
.
因为
平面
，所球心O 在过△ABC 外心且与平面ABC 垂直的直线上，
53
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球心O 到平面ABC 的距离为
，
设球O 的半径为R，则
，
当且仅当
时，等号成立，
故三棱锥
的外接球体积的最小值为
.故选：D.
4.（2021·陕西渭南·统考一模）在三棱锥
中，
，底面
是等边三角形，三棱
锥
的体积为
，则三棱锥
的外接球表面积的最小值是 .
【答案】
【解析】由条件可得
是三棱锥
的外接球的一条直径，设三棱锥底面边长和高分别为a，h.，根
据体积公式可得
，再由球心到底面的距离、求半径和底面外接圆半径的勾股关系，得到
，进
而得解.
【详解】设三棱锥外接球的球心为O，三棱锥底面边长和高分别为a，h.由
，可知
是
三棱锥
的外接球的一条直径，所以O 为
的中点，则球心到底面
的距离为
.底面
的外接圆半径为r，则
.
则
，即
.设三棱锥
的外接球半径为R，
则
，当且仅当
，即
时等号成立，
故三棱锥
的外接球表面积为
.故答案为：
.
5.．（2023 上·高三课时练习）已知三棱锥
的底面ABC 是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，
，M 为SB 上一点，且
．设三棱锥
外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SB
B．直线
平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBC D．直线
平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
【答案】D
【分析】画出几何图形，根据题意先找出
和
的外心，通过两个外心与平面的位置关系确定出
球心位置，再根据线面垂直判断OA 与SB 的位置关系，继而可判断平面OAM 与平面SBC 的位置关系，最
后根据线线平行判断出直线OM 与平面SAC 的位置关系.
【详解】第1 步：判断OA 与SB 的位置关系,如图，取AC 的中点E，BC 的中点F，
54
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连接AF，BE，设AF 与BE 的交点为O，连接OM，
则O 为
外心，
E 为
外心，因为平面SAC⊥平面ABC，所以O 为三棱锥S-ABC 外接球球心，因为SE⊥AC，BE⊥AC，
，
所以AC⊥平面SBE，又
平面SBE，所以AC⊥SB，假设OA⊥SB，因为
，所以SB⊥平面
ABC，
如图显然SB 不垂直于平面ABC，所以OA 不垂直于SB，故A、B 错误；
第2 步：判断平面OAM 与平面SBC 的位置关系,因为AM⊥BC，AF⊥BC，
，
所以BC⊥平面AMF，又
平面SBC，所以平面OAM⊥平面SBC；第3 步：判断直线OM 与平面SAC 的
位置关系,
因为AC⊥平面SBE，所以AC⊥OM，因为BC⊥平面AMF，所以BC⊥OM，
又
，所以OM⊥平面ABC，又SE⊥平面ABC，所以
，
所以直线
平面SAC，故C 错误， D 正确.故选：D.
6.在四面体
中，
，
，二面角
的大小为
，则四面
体
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】取
中点
，
中点
，连接
，证明
是二面角
的平面角，
，
是直角
的外心，
是直角
的外心，在平面
内过
作
，过
作
，交点
为四面体
外接球球心，求出球半径可得表面积．
【详解】取
中点
，
中点
，连接
，则
，
，
，
，所以
是直角
的外心，
，
，
，
，所以
，
，所以
是二面角
的平面角，
，
是
中点，则
是直角
的外心，
由
，
，
，
平面
得
平面
，
平面
，所以平面
平面
，同理平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，
在平面
内过
作
，则
平面
，
在平面
内过
作
，则
平面
，
与
交于点
，
所以
为四面体
的外接球的球心，
中
，
，所以
，所以
，
55
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，所以外接球表面积为
．故选：B．
7.（2023 下·陕西西安·高三长安一中校考）底面半径为
的圆锥侧面展开图的圆心角大小为
，则此圆
锥外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意，根据圆锥底面周长与侧面弧长的关系建立方程，求得母线，由勾股定理求得高线，进而
求得外接球半径，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
设圆锥的母线长为，由题意可得
，解得
，则圆锥的高
，
圆锥外接球的半径设为，则
，解得
，
故圆锥外接球的表面积
.故选：A.
8.如图所示，正四棱台
的顶点都在表面积为
的球面上，侧棱长为，且侧棱与底面所成
角为
，则其上、下底面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将棱台的
截面拿出来分析，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，列
方程找出梯形上下底之间的关系即可.
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【详解】
把棱台的
截面拿出来分析，
如图所示，根据对称性，球心一定在这个梯形平面上下底的垂线上，注意到梯形的底角是
，
解得
，
设球心为
，
，于是
是等边三角形，
，可确定球心在梯形下底
下方.
于是
，
，故
，
，
又
上下底面正方形的对角线，
于是上、下底面积之比为
.故选：A
9.已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是
，且上、下底面的面积之比为1 4∶，则该圆台
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．
【详解】如图等腰梯形
是圆台的轴截面，
是圆台的对称轴，
圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r，2r，
因母线与轴的夹角是
，母线长为2，可得圆台的高为1，
，设圆台外接球的半径为R，球心到下
底面（大圆面）的距离为x，若球心在圆台两底面之间，如图点
位置，则
且
，无解；
若圆台两底面在球心同侧，如图点
位置，则
且
，解得
，则
，
则该圆台外接球的表面积为
．
故选：C．
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10.已知正三棱柱
的侧棱长为
，底面边长为
，内有一个体积为
的球，若
的最大值为
，则此三棱柱外接球表面积的最小值为______.
【答案】
【分析】
求出正三棱柱底面内切圆
、外接圆的半径，对
和
分类讨论，即可求出此三棱柱外接球表面积
的最小值.
【详解】
解：因为正三棱柱
的侧棱长为
，底面边长为
，
则底面三角形的内切圆的半径
，外接圆的半径
三棱柱内的球的体积
的最大值为
，此时球的半径
，
当
，即
时，三棱柱的内的球的半径
，
取得最大值
，因为
，所以
不可能为
；
当
，即
时，三棱柱的内的球的半径
，
取得最大值
解得
，又
，
所以
，
设正三棱柱外接球的半径为
，则
正三棱柱外接球表面积
.当
时，取得最小值
。故答案为：
11.已知三棱锥
的外接球表面积为
，
，则三棱锥
体积的最大值为___________.
【答案】
【分析】
根据
，可确定
平面
，
，从而确定三棱锥
外接球的球心
为
的中点，以及三棱锥
的高为
，再根据三棱锥
的外接球表面积为
，计算出外接球半径
，
，当
为以
为直径的半圆的中点时，
的面积取
得最大值，则此时体积最大，求解即可.
【详解】
依题意，
，解得
，记三棱锥
外接球的球心为
，
的中点为
，其中
即为
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的中点，则
，则
，设
，在
中，由勾股定理可得，
，即
，解得
，即三棱锥的高
；因为
，故
为
所在截面圆的直径，故当
为半圆
的中点时，
的面积取得最大值
，则三
棱锥
体积的最大值为
故答案为：
12.如图，在△ABC 中，AB=2
，BC=2
，AC=2
，E、F、G 分别为三边中点，将△BEF，△AEG，
△GCF 分别沿EF、EG、GF 向上折起，使A、B、C 重合，记为S，则三棱锥S–EFG 的外接球面积为（ ）
A．14π
B．15π
C．
π
D．2
π
A．14π
B．15π
C．
π
D．2
π
【答案】A
【分析】
将三棱锥
补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥
的外接球的直径，从而求
出三棱锥
的外接球面积.
【详解】由题意得，三棱锥
的对棱分别相等，将三棱锥
补充成长方体，
则对角线长分别为
，
，
，设长方体的长、宽、高分别为
，
，，
则
，
，
，
，
三棱锥
的外接球的直径为
，半径为
，
三棱锥
的外接球的面积为
.
故选
.
【点睛】
本题主要考查锥外接球的体积，关键是考查学生的转换思想，是中档题
13.在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对角边
折成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】
正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．
解：如图所示，
，
，
，
，
设
，则
，
，
由勾股定理可得
，
，
四面体的外接球的表面积为
，故选：
．
14.设三棱锥
的所有棱长均为1，点
满足
，
，
，则三棱
锥
的外接球被平面
所截的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
设
⊥平面
，垂足为
，交平面
于点
，连结AM,求出AM, SM,
列方程求出外接球半径R,根据勾股定理求出小圆半径r,即可求出面积.
【详解】
设
⊥平面
，垂足为
，交平面
于点
，连结AM,
∵三棱锥
的所有棱长均为1，
∴
，
.
易知三棱锥
的外接球球心在直线
上，设为点
，并设外接球
的半径为
，由
，即
解得
.
由
，
，
，得
，所以
，
设三棱锥
的外接球被平面
所截的截面小圆的半径为，则
，
60
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所以三棱锥
的外接球被平面
所截的截面面积为
．
故选：B.
15.（2021·四川·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）体积为8 的四棱锥
的底面是边长为
的正
方形，四棱锥
的外接球球心
到底面
的距离为1，则点
轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知可得
到底面
的距离，进而求出
的外接球的半径，确定点
与点
不在
平面
的两侧，得到点
的轨迹，求解轨迹长度即可．
【详解】由题意可知，点
到底面
的距离
，
又四棱锥
的外接球球心
到底面
的距离为1，设外接球半径为
，
因为底面
的中心为
，所以
平面
，且
，
所以
与
不可能在面
的两侧，如图所示，故点
在垂直于
且与球心
距离为2 的平面与
的外接球的交线上，即在如图所示的以
为半径的圆
上，而
，
所以
，故点
的轨迹长度为
．故选：B
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