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第 25 讲 平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理
1.向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行．
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量．
2.向量的加法
前提 已知非零向量a,b
作法 在平面内任取一点A,作⃗AB=a,⃗BC=b,再作向量⃗AC
结论 向量⃗AC叫做a与b的和,记作 a + b ,即a+b=⃗AB+⃗BC=⃗AC
三角形法
则
图形
记忆口诀:首尾相连连首尾
前提 已知不共线的两个向量a,b
作法 在平面内任取一点O,以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作▱OACB
结论 对角线⃗OC就是a与b的和
平行四边
形法则
图形
记忆口诀:公共起点对角线
3.向量的数乘
(1)定义:一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
长度:|λa|=|λ||a|.
方向:当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0,方向任意.
(2)几何意义:λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长(|λ|>1)或缩短(|
λ|<1)为原来的|λ|倍.
(3)运算律:设λ,μ为实数,a,b为向量,则有
①λ(μa)=(λμ)a;②(λ+μ)a=λa+μa;③λ(a+b)=λa+λb.
4.向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意
实数 ,恒有 .
5.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
6.平面向量基本定理如果 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ,λ,使
1 2
叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
7.常用结论
(1)在 中，若 为 的中点，则 ；
(2)若 三点共线， ，则 .
考点一 利用图形关系进行向量加减、数乘运算
考点二 定理法解决向量共线问题
考点三 利用基底法解决平面向量基本定理问题
考点一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算
例1．如图，向量 ，则向量 可以表示为（ ）
A． B． C． D．
例2．八卦是中国文化中的哲学概念，图 是八卦模型图，其平面图形记为图 中的正八边形 ，
其中 ，给出下列结论：① ； ② ；
③ ； ④ .
其中正确的结论为（ ）
A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③
考点二：定理法解决向量共线问题
例3．已知 （ 不共线），则下列说法中正确的是（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
例4．在 中，点 是边 上一点，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
考点三：利用基底法解决平面向量基本定理问题
例5．在 中，D为 中点，连接 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．1
例6．如图， 中， ，CD与BE交于F，设 ，则
为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题1．在 中，设 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·贵州·统考模拟预测）已知在 中，点D为边BC的中点，若 ，则
（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．如图，在 OAB中，点P在边AB上，且 ．则 （ ）
△
A． B．
C． D．
4．如图，在 中， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京房山·统考一模）在 中， ， 为 所在平面内的动点，且，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6． 中，点M是BC的中点，点N为AB上一点，AM与CN交于点D，且 ， .
则 （ ）.
A． B． C． D．
7．已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， ， ，则A，B，C三点共
线的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，点 为 的中点， 与 交于点 ，且满足 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东聊城·统考一模） 是 内的一点，若 ， ，则
（ ）
A． B．1 C． D．
10．已知圆O为长方形ABCD的外接圆， ， ，若点P是该圆上一动点，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
11．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，点F在BE上，若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
12．如图， 是 上靠近 的四等分点， 是 上靠近 的四等分点， 是 的中点，设 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
13．在如图 中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
14．如图所示的矩形 中， 满足 ， 为 的中点，若 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、填空题15．如图，在四边形ABCD中， ，且 ，则 ______．
16．如图，正六边形 的边长为1， ______．
17．已知 ， 是平面内两个不共线向量， ， ，且 ， ， 三点共线，则实数
的值为______．
18．设 ， 是不共线向量， 与 共线，则实数 为__________．
19．（2023·贵州·统考模拟预测）在 中，点 为边 中点，若 ，则
______.
20．如图，在菱形ABCD中， ， ，若菱形的边长为6，则 的取值范围为
__________．
