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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 不等式恒(能)成立问题
进阶1 参数全分离
【高考考向预测】
近三年高考导数题型中参数全分离考查频次极高，是求解恒成立、存在性问题最常用通法，
通过变形将参数与变量彻底拆分，转化为求函数最值确定参数范围，思路清晰易上手，适配多数
常规含参不等式题型；预测2027 年依旧作为主流解题方法重点考查，命题会增多分离后复杂函数
最值求解、极限分析与高阶导数应用，常结合放缩、隐零点搭配出题，同时设置易分离误区陷阱，
侧重考查式子变形能力与分离后函数性质精准研判。
【核心梳理●明考点】
重点解读 将两个变量构成的不等式(或方程)变形，使不等号(或等号)两端的变量各自相同，是解决
有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量其中一个范围
已知，另一个范围未知.解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域问题.
【题型突破●明方向】
题型一 参数全分离
例1 (2025·安庆模拟)已知函数f(x)=ex-ax2，a∈R，f'(x)为函数f(x)的导函数.
(1)讨论函数f'(x)的单调性；
(2)若任意x∈(0，1)，f(x)+f'(x)<2-ax2恒成立，求a的取值范围.
【跟踪训练】1 (2026·张家口模拟)已知f(x)=ln x-a(x+1)，a∈R.
(1)若a=2，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；
(2)若∃x ∈(0，2]，使f(x )>0，求a的取值范围.
0 0
题型二 换元后参数分离例2 已知函数f(x)=xln x-x-ln x+1的导函数为f'(x).
(1)证明：函数f(x)有且只有一个极值点；
(2)若xf'(x)-f(x)≤-3-mxex恒成立，求实数m的取值范围.
【跟踪训练】2 已知函数f(x)=aln(x+1)-ax，a∈R.
(1)当a≠0时，讨论f(x)的单调性；
ax−ex+1+a
(2)当x>-1时，f(x)> 恒成立，求实数a的取值范围.
x+1
【限时训练】
（15分钟）
1.(17分)(2025·深圳模拟)函数f(x)=2x2+ax-ln x+1，a∈R.
(1)当a=0时，求函数f(x)的极值；(7分)
(2)若f(x)≥0恒成立，求a的取值范围.(10分)
2.(17分)已知函数f(x)=x3eax-1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；(8分)(2)若a=2，不等式f(x)≥mx+3ln x对x∈(0，+∞)恒成立，求实数m的取值范围.(9分)
