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第2 讲 三角恒等变换与解三角形（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................13
【考点一】三角恒等变换..............................................................................................................13
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用..................................................................................16
【考点三】解三角形的实际应用....................................................................................................25
【专题精练】...............................................................................................................................31
考情分析：
目录
1
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1.三角恒等变换主要考查化简、求值，解三角形主要考查求边长、角度、面积等，三角恒等变换作为工具，
将三角函数与三角形相结合考查求解最值、范围问题.
2.三角恒等变换以选择题、填空题为主，解三角形以解答题为主，中等难度．
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·全国·高考真题）在
中,内角
所对的边分别为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·全国·高考真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国·高考真题）过点
与圆
相切的两条直线的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高考真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．3−√5
8
B．
C．
D．
6．（2023·全国·高考真题）在
中，内角
的对边分别是
，若
，且
，
则
（ ）
真题自测
2
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A．
B．
C．
D．
7．（2023·全国·高考真题）已知四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
8．（2023·全国·高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于D，
则
．
三、解答题
9．（2024·全国·高考真题）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A．
(2)若
，
，求
的周长．
10．（2023·全国·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
11．（2023·全国·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
，求
面积．
12．（2023·全国·高考真题）在
中，已知
，
，
.
(1)求
；
(2)若D 为BC 上一点，且
，求
的面积.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
答案
B
C
B
B
D
C
C
1．B
【分析】先将
弦化切求得
，再根据两角和的正切公式即可求解.
3
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【详解】因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B.
2．C
【分析】利用正弦定理得
，再利用余弦定理有
，由正弦定理得到
的值，最后代入计算即可.
【详解】因为
，则由正弦定理得
.
由余弦定理可得:
，
即:
，根据正弦定理得
，
所以
，
因为
为三角形内角，则
，则
.
故选：C.
3．B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出
，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
4
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系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
4．B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得
，利用韦达定理结
合夹角公式运算求解.
【详解】方法一：因为
，即
，可得圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，
因为
，则
，
可得
，
则
，
，
即
为钝角，
所以
；
法二：圆
的圆心
，半径
，
过点
作圆C 的切线，切点为
，连接
，
可得
，则
，
因为
5
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且
，则
，
即
，解得
，
即
为钝角，则
，
且
为锐角，所以
；
方法三：圆
的圆心
，半径
，
若切线斜率不存在，则切线方程为x =0，则圆心到切点的距离
，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为
，即
，
则
，整理得
，且
设两切线斜率分别为
，则
，
可得
，
所以
，即
，可得
，
则
，
且
，则
，解得
.
故选：B.
5．D
6
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【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．
【详解】因为cosα =1−2sin
2 α
2 = 1+√5
4
，而
为锐角，
解得：
√
3−√5
8
=√
(√5−1)
2
16
= √5−1
4
．
故选：D．
6．C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得
的值，最后利用三角
形内角和定理可得
的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，由于
，故
，
据此可得
，
则
.
故选：C.
7．C
【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得
，
，从而得到
，
再在
中利用余弦定理求得
，从而求得
，由此在
中利用余弦定理与三角形面
积公式即可得解；
法二：先在
中利用余弦定理求得
，
，从而求得
，再利用空间向
量的数量积运算与余弦定理得到关于
的方程组，从而求得
，由此在
中利用余弦
定理与三角形面积公式即可得解.
【详解】法一：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
7
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因为底面
为正方形，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，
故
，则
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
法二：
连结
交于
，连结
，则
为
的中点，如图，
8
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因为底面
为正方形，
，所以
，
在
中，
，
则由余弦定理可得
，故
，
所以
，则
，
不妨记
，
因为
，所以
，
即
，
则
，整理得
①，
又在
中，
，即
，则
②，
两式相加得
，故
，
故在
中，
，
所以
，
又
，所以
，
所以
的面积为
.
故选：C.
8．
【分析】方法一：利用余弦定理求出
，再根据等面积法求出
；
方法二：利用余弦定理求出
，再根据正弦定理求出
，即可根据三角形的特征求出．
9
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【详解】
如图所示：记
，
方法一：由余弦定理可得，
，
因为
，解得：
，
由
可得，
，
解得：
．
故答案为：
．
方法二：由余弦定理可得，
，因为
，解得：
，
由正弦定理可得，
，解得：
，
，
因为
，所以
，
，
又
，所以
，即
．
故答案为：
．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义
结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
9．(1)
(2)
10
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【分析】（1）根据辅助角公式对条件
进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角
三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；
（2）先根据正弦定理边角互化算出
，然后根据正弦定理算出
即可得出周长.
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由
可得
，即
，
由于
，故
，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由
，又
，消去
得到：
，解得
，
又
，故
方法三：利用极值点求解
设
，则
，
显然
时，
，注意到
，
，在开区间
上取到最大值，于是
必定是极值点，
即
，即
，
又
，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设
，由题意，
，
根据向量的数量积公式，
，
则
，此时
，即
同向共线，
11
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根据向量共线条件，
，
又
，故
方法五：利用万能公式求解
设
，根据万能公式，
，
整理可得，
，
解得
，根据二倍角公式，
，
又
，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又
，则
，进而
，得到
，
于是
，
，
由正弦定理可得，
，即
，
解得
，
故
的周长为
10．(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求
,再由正弦定理求出
，根据等面积法
求解即可.
12
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【详解】（1）
，
，即
，
又
，
，
，
，
即
，所以
，
.
（2）由（1）知，
，
由
=sin A cosC +cos A sinC = √2
2 ( 3√10
10
+ √10
10 )= 2√5
5
，
由正弦定理，
，可得
，
，
.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理即可解出；
（2）由（1）可知，只需求出
即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．
【详解】（1）因为
，所以
，解得：
．
13
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（2）由正弦定理可得
，
变形可得：
，即
，
而
，所以
，又
，所以
，
故
的面积为
．
12．(1)
；
(2)
.
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长
的值为
，然后由余弦定理可得
，最后由同角
三角函数基本关系可得
；
(2)由题意可得
，则
，据此即可求得
的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则
，
，
.
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（2）由三角形面积公式可得
，
则
.
【考点一】三角恒等变换
一、单选题
1．（2023·江苏·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·湖北武汉·二模）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·新疆喀什·三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
的最小正周期为
C．
是函数
图象的一条对称轴
D．函数
的图象可由
的图象向右平移
个单位长度得到
4．（2024·云南昆明·一模）已知函数
，则（ ）
A．y = f (x)的最大值为2
考点突破
15
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B．y = f (x)的图象关于点
对称
C．y = f (x)在
上单调递增
D．直线
是y = f (x)图象的一条对称轴
三、填空题
5．（23-24 高三上·浙江宁波·期末）在
中，角
的对边分别为
，已知
．则角
.
6．（2024·吉林白山·一模）化简
．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
A
A
ACD
AC
1．A
【分析】利用和差角公式展开，得到
，即可得到
，再利用两角差的余弦公式计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选：A．
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2．A
【分析】由倍角余弦公式及诱导公式求目标式的值.
【详解】
，
.
故选：A
3．ACD
【分析】A 由降幂公式，辅助角公式可得答案；
B 由周期计算公式可得答案；
C 将
代入由A 选项所得化简式中可得答案；
D 由函数图象平移知识可得答案．
【详解】Ａ选项，
，故A 正确；
B 选项，由A 选项结合周期计算公式可知最小正周期为
，故B 错误；
C 选项，将
代入
，
在此时得最大值，故
是函数
图象的一条对称轴，故C 正
确；
D 选项，
的图象向右平移
个单位得
，故D 正确．
故选：ACD
4．AC
【分析】化简得
，分析y = f (x)的最大值，对称中心，对称轴，单调性判断各个选项.
【详解】
,
对A：y = f (x)的最大值为2，故A 正确；
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对B：因为
，所以
不是y = f (x)的对称中心，故B 错误；
对C：当
时，
，而
在
上为增函数，故y = f (x)在
上单调递
增，故C 正确；
对D：
，所以直线
不是y = f (x)图象的一条对称轴，故D 错误；
故选：AC
5．
【分析】利用正弦定理及二倍角公式化简计算即可.
【详解】由正弦定理及二倍角公式得：
，
因为在
中，
，
，
即
，
即
，
因为在
中，
,
所以
，所以
.
故答案为：
.
6．2
【分析】运用降幂公式将
化成
，整理后再用诱导公式将
化成
，化简即得.
【详解】
．
故答案为：2.
核心梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
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(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；
(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
三角恒等变换的“4 大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β 等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
【考点二】正弦定理、余弦定理及综合应用
一、单选题
1．（2024·广东江门·一模）在
中，
，
，则角A 的大小为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
2．（2023·广东茂名·一模）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和
游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线
长为
m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为
的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
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3．（23-24 高二上·浙江·期末）在
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、，且
，
，
，下面说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
是锐角三角形
D．
的最大内角是最小内角的
倍
4．（23-24 高一下·江苏南京·期中）对于
有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若
，则
为钝角三角形
B．若
，则
的面积为
C．在锐角
中，不等式
恒成立
D．若
且
有两解，则
的取值范围是
三、填空题
5．（2023·浙江宁波·模拟预测）已知椭圆
，
、
分别是其左，右焦点，P 为椭圆C 上非长
轴端点的任意一点，D 是x 轴上一点，使得
平分
．过点D 作
、
的垂线，垂足分别为A、
B．则
的最大值是 ．
6．（23-24 高二上·广东汕头·期中）如图，圆锥底面半径为
，母线PA＝2，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁
从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度为 ，其中下坡路段长为 ．
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四、解答题
7．（2024·广东湛江·一模）已知在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求A；
(2)若
外接圆的直径为
，求
的取值范围．
8．（23-24 高三下·山东济南·开学考试）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
边上的高为
，求
的周长.
9．（2024·北京东城·一模）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
为
边的中点，且
，求
的值.
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
C
AC
ACD
1．D
【分析】利用正弦定理求得角C，根据三角形内角和，即可求得答案.
【详解】由题意知
中，
，
，
21
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故
，即
，
由于
，故
，则
或
，
故A 的大小为
或
，
故选：D
2．C
【分析】根据题意求圆锥的高和底面半径，再结合锥体、柱体体积运算求解.
【详解】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为
，
因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为
，面积为
的等腰三角形，
所以
，解得
，则
或
（舍去），
由
得
，
，
则上半部分的体积为
，下半部分体积为
，
故蒙古包的体积为
.
故选：C.
3．AC
【分析】利用正弦定理可判断A 选项；利用余弦定理可判断BC 选项；利用二倍角的余弦公式可判断D 选
项.
【详解】对于A，由正弦定理可得
，A 对；
对于B，由余弦定理可得
，
，
，
所以，
，B 错；
22
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对于C，因为
，则
为最大角，又因为
，则
为锐角，故
为锐角三角形，C 对；
对于D，由题意知，
为最小角，则
，
因为
，则
，则
，D 错.
故选：AC.
4．ACD
【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断AB，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合
图象，根据边角的关系与解的数量判断D.
【详解】选项A：
中，若
，
即
，所以由正弦定理得
，
又由余弦定理得
，所以
，
为钝角三角形，A 说法正确；
选项B：
中，若
，则由正弦定理得
，解得
，
所以
或
，所以
或
，
的面积
或
，B 说法错
误；
选项C：因为
是锐角三角形，所以
，所以
，
又
，所以
，则
，
又因为
在
单调递增，所以
，C 说法正确；
选项D：如图所示，
23
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若
有两解，则
，解得
，D 说法正确；
故选：ACD
5．
/0.1875
【分析】利用三角形面积公式、余弦定理，结合椭圆的定义得
，再利用均值不等
式求解作答.
【详解】设
，依题意，
，
，由
，
得
，即
，
，
椭圆
中，
，
在
中，由余弦定理得
，
即有
，
24
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则
，
因此
，当且仅当
时取等号，
所以
的最大值是
.
故答案为：
6．
【分析】将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，过P 作AB 的垂线，垂足为M，最短路线即为扇形中的
直线段AB，利用余弦定理求出即可；当蚂蚁从M 点爬行到B 点的过程中，它与点P 的距离越来越大，故
MB 为下坡路段，求出即可.
【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，
易知该扇形半径为2，弧长为
，故圆心角∠APB＝
，
最短路线即为扇形中的直线段AB，由余弦定理易知
AB＝
＝
，
cos∠PBA＝
＝
；
过P 作AB 的垂线，垂足为M，
当蚂蚁从A 点爬行到M 点的过程中，它与点P 的距离越来越小，故AM 为上坡路段，
当蚂蚁从M 点爬行到B 点的过程中，它与点P 的距离越来越大，故MB 为下坡路段，
下坡路段长MB＝PB･cos∠PBA＝
．
25
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故答案为：
，
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案；
（2）由正弦定理可得
，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得
，再由三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）由
可得：
，所以
，
所以
，
，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
.
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
故
，
26
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又
，所以
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
的取值范围为
.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到
，最后由正
弦定理将角化边；
（2）由余弦定理得到
，利用面积公式求出
，即可得到
、，从而得解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
即
，
所以
，
由正弦定理得
，即
；
（2）由题意得
，
，
由余弦定理得
，
解得
（负值舍去），
因为
边上的高为
，
所以
，
则
，所以
，
，
27
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故
的周长
．
9．(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理可得
，结合三角和为
及诱导公式可得
，即
可得答案；
（2）在
中，由正弦定理可求得
，从而可得
，在
中，利用余弦定理求解
即可.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理可得
，
即
，
，
又因为
，
所以
，
解得
，又因为
，
所以
；
（2）解：因为
为
边的中点，
，
所以
,
设
,
在
中，由正弦定理可得
，
即
，解得
，
28
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又因为
，所以
，
在
中，
，
在
中，
，
由余弦定理可得：
，
所以
，
即
.
核心梳理：
1．正弦定理：在△ABC 中，＝＝＝2R(R 为△ABC 的外接圆半径)．
变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin
C 等．
2．余弦定理：在△ABC 中，a2＝b2＋c2－2bccos A.
变形：b2＋c2－a2＝2bccos A，cos A＝.
3．三角形的面积公式：S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a＋b 与ab 相互转化求最值范围．
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围．
【考点三】解三角形的实际应用
一、单选题
1．（22-23 高一下·辽宁沈阳·期中）在
中，若
，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
2．（2024·广东梅州·一模）已知
是锐角三角形，角
，
，
所对的边分别为
，
，，为
的面积，
，则
的取值范围为（ ）
29
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A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·河南·模拟预测）已知
的内角
所对的边分别为
，若
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的三边
一定构成等差数列
B．
的三边
一定构成等比数列
C．
面积的最大值为
D．
周长的最大值为
4．（2024·江西新余·模拟预测）将锐角三角形
置于平面直角坐标系中，
，
为
轴
上方一点，设
中
的对边分别为
且
，则
的外心纵坐标可能落
在以下（ ）区间内.
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2024·福建漳州·模拟预测）如图，某城市有一条公路从正西方向
通过路口
后转向西北方向
，
围绕道路
打造了一个半径为
的扇形景区，现要修一条与扇形景区相切的观光道
，则
的
最小值为
．
6．（2021·宁夏石嘴山·三模）某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位：
)进行测量，方案如下：如
30
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图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a 米两处分别观测山顶的仰角
和
(
)，多次测量相关数
据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型
；多次测量取平均值是
中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n 次测量，其误差
近似满足
，
为使误差
在
的概率不小于0.9973，至少要测量 次.参考数据：若占
，
则
.
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
A
BC
BD
1．D
【分析】利用余弦定理将
化简为
，从而可求解.
【详解】由
，得
，
化简得
，
当
时，即
，则
为直角三角形；
当
时，得
，则
为等腰三角形；
综上：
为等腰或直角三角形，故D 正确.
故选：D.
2．A
【分析】先求得
，利用正弦定理以及三角恒等变换的知识化简
，利用三角函数值域的求
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法求得正确答案.
【详解】依题意，
，
，
由
解得
.
，
由于三角形
是锐角三角形，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故选：A
3．BC
【分析】根据三角恒等变换可得
，即可结合中项的性质判断AB，结合余弦定理以及基本不等式即
可求解CD.
【详解】在
中，由
，得
．
所以
，所以
，
所以
．又
，所以
，
32
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所以
．由正弦定理得
，即
成等比数列．
取
适合题意，但此时三边
不构成等差数列，A 错误，
正确．
由
及余弦定理得
（
时取等号）．
因为
．所以
．所以
．
又
，所以
，
所以
的面积
，C 正确．
由
及
，可得
，
即
，所以
．
因为
，所以
，
所以
，D 错误．
故选:BC．
4．BD
【分析】利用余弦定理求得
，然后可得
，利用二次函数性质求出
的范围，结合已
知可得
，结合平方关系和正弦定理求出半径范围，即可求纵坐标范围.
【详解】由题知，
，
，由余弦定理得
，
又
，解得
，同理：
，
所以
，
所以
，
由二次函数性质可得
，即
，
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又
，所以
，
因为
为锐角，所以
，
即外接圆半径为
，则
，即
，
由外心定义可知，
的外心在
轴上，
记
的外心纵坐标为
，则
，
因为
与
和
交集非空，与
和
交集为空间，
所以BD 正确，AC 错误.
故选：BD
5．
【分析】在
中，利用余弦定理结合基本不等式可得
，利用正弦定理可得
，利用三角函数的有界性建立不等式，即可求解.
【详解】如图，设切点为
，连接
．由题意得
，
设
，
在
中，
,
当且仅当
时取等号．
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设
，则
，
所以
，
故
（当且仅当
时取等号），
所以
，
解得
，所以
的最小值为
．
故答案为：
.
6．
(也可以写成
) 72
【分析】再
中由正弦定理可得
，在
中求解即可；由正态分布的3
原则建立不等式
求解即可.
【详解】（1）在
中，
，
，
在
中，
.
(结果还可以是
)
35
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（2）由于
，因此
，
所以
，
故至少要测量72 次.
故答案为：
(也可以写成
)；72
【点睛】关键点点睛：在解决正态分布问题中，需要理解
原则，学会利用
原则求解相关问题，属于
中档题.
核心梳理：
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的解．
2 单+2 多+2 填+2 解 （有的加） 0.85-0.65
规律方法：
解三角形实际问题的步骤
一、单选题
1．（2023·江苏南通·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·北京·高考真题）已知函数
，则（ ）
专题精练
36
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A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
3．（2023·河南·模拟预测）将函数
的图象向右平移
个单位
长度后得到函数
的图象．若
是函数
的一个极值点，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·湖北武汉·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（22-23 高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，若角A 的内角平分线AD 的长为3，则
的最小值为（ ）
A．12
B．24
C．27
D．36
6．（2023·青海·模拟预测）在
中，内角A，B，C 所对应的边分别是a，b，c，若
的面积是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（22-23 高三·湖南娄底·阶段练习）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
，则
的外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（21-22 高一下·河南安阳·阶段练习）某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A
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处测得
，沿土坡向坡顶前进
后到达D 处，测得
．已知旗杆
，土坡对于地平面的坡角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（2023·广东广州·一模）已知函数
的图像关于直线
对称，则（ ）
A．函数
的图像关于点
对称
B．函数
在
有且仅有2 个极值点
C．若
，则
的最小值为
D．若
，则
10．（2023·湖南·一模）已知函数
，则（ ）
A．
的图象关于直线
轴对称
B．
的图象关于点
中心对称
C．
的所有零点为
D．
是以
为周期的函数
38
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11．（2021·湖南衡阳·模拟预测）已知函数
，则 （ ）
A．
在
上有两个零点
B．
在
上单调递增
C．
在
的最大值是1
D．
的图像可由
向右移动
得到
三、填空题
12．（22-23 高三下·福建南平·阶段练习）已知
为锐角，
，则
．
13．（2023·江苏·三模）如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形
BCHG．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为S．已知
，且asinA＋csinC＝
4asinCsinB，则FH＝ ．
14．（2024·广东·一模）
中，角A，B，C 对边分别为a，b，c，且
，D 为边
AB 上一点，CD 平分
，
，则
．
四、解答题
15．（2021·天津·高考真题）在
，角
所对的边分别为
，已知
，
．
（I）求a 的值；
（II）求
的值；
39
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（III）求
的值．
16．（2024·河北·一模）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
17．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C；
(2)求
的取值范围.
18．（2023·广东广州·二模）记
的内角
、
、
的对边分别为
、
、，已知
.
(1)求
；
(2)若点
在
边上，且
，
，求
.
19．（2023·江苏南通·一模）在
中，
的对边分别为
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
的平分线
交
于点
，求
长度的取值范围.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
A
A
B
D
ABD
AC
题号
11
答案
AB
1．B
【分析】根据三角恒等变换公式求解.
【详解】
40
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所以
，
所以
故选:B.
2．C
【分析】化简得出
，利用余弦型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.
【详解】因为
.
对于A 选项，当
时，
，则
在
上单调递增，A 错；
对于B 选项，当
时，
，则
在
上不单调，B 错；
对于C 选项，当
时，
，则
在
上单调递减，C 对；
对于D 选项，当
时，
，则
在
上不单调，D 错.
故选：C.
3．A
【分析】利用二倍角公式和两角差的公式得到
，利用平移变换得到
，再根据
是函数
的一个极值点，即当
时，函数
取得最值求解.
【详解】由
，化简得
，
所以
．
41
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又
是函数
的一个极值点，
所以当
时，函数
取得最值，
所以
，
解得
．
因为
，
所以
．
故选：A．
4．D
【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.
【详解】
.
故选：D
5．A
【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得
，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.
【详解】因为
，
所以
，即
，
所以
，
又因
，所以
，
由
，得
，
所以
，
42
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则
，
当且仅当
，即
时，取等号，
所以
的最小值为
.
故选：A.
6．A
【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.
【详解】由余弦定理可得：
由条件及正弦定理可得：
，
所以
，则
．
故选：A
7．B
【分析】根据二倍角公式将
化简得到
，利用余弦定理和正弦定理将
化简可得
，进而求出结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
，即
，
又
，所以
，
所以
，所以
.
43
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因为
，
由余弦定理得
，
即
，
又
，所以
，所以
，
由正弦定理得
，所以
.
设
的外接圆的半径为
，
所以
，解得
，
所以
的外接圆的面积为
.
故选：B.
8．D
【分析】先在
中由正弦定理可得AP，然后表示出PB、AB，利用三角函数同角关系表示出
，化
简可得.
【详解】在
中，由正弦定理可得
在
中，易知
，
则
整理可得
故选：D
9．ABD
【分析】利用函数图象的对称性求出
，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.
【详解】依题意，
，即
，而
，则
，
，
对于A，因为
，于是函数
的图像关于点
对称，A 正确；
44
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对于B，当
时，
，而正弦函数
在
上有且只有两个极值点，
所以函数
在
有且仅有2 个极值点，B 正确；
对于C，因为
，又
，因此
中一个为函数
的最大值点，
另一个为其最小值点，又函数
的周期为
，所以
的最小值为
，C 错误；
对于D，依题意，
，
则
，因此
，D 正确.
故选：ABD
10．AC
【分析】对于A：根据对称轴的定义分析证明；对于B：举例说明即可；对于C：根据零点的定义结合倍角
公式运算求解；对于D：举例说明即可.
【详解】对于A：因为
，
所以
的图象关于直线
轴对称，故A 正确；
对于B：因为
，
，所以
的图象不关于点
中心对称，B 错误.
对于C：因为
，
注意到
，
令
，得
，即
，
故
的所有零点为
，故C 正确；
45
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对于D：因为
，所以
不是
的周期，故D 错误；
故选：AC.
11．AB
【分析】利用降幂公式、二倍角公式，辅助角公式化简整理，可得
，根据余弦型函
数的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
，
A 选项，令
，
所以
在
上有两个零点
.故A 正确；
B 选项，令
，
所以
的单调递增区间
，
令k=0，可得一个递增区间为
，且
，所以B 正确；
C 选项，因为
，所以
，
所以当
，即
时，
，所以C 错误；
D 选项，
向右移动
，则
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，所以D 错误.
故选：AB
【点睛】解题的关键是熟练掌握恒等变换公式、余弦型函数的性质，并灵活应用，综合性较强，属中档题.
12．
【分析】利用三角恒等变换求得
，从而得到
，由此结合角
的范围即可得
解.
【详解】因为
，
所以
，
又因为
为锐角，
所以
.
故答案为：
13．
【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出
的长度.
【详解】由题意，
在
中，
，
，
由正弦定理，
，
∵
，
∴
，
连接
如下图所示，
47
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在
中，
由余弦定理，
，
又
，
∴
，
∴
．
故答案为：
.
14．
/
【分析】由正弦定理化简已知式可得
，即
，再由CD 平分
，即
，将三角形的面积公式代入化简即可得出答案.
【详解】因为
，由正弦定理可得：
，因为
，
所以
，所以
，因为
，
所以
，又CD 平分
，所以
，
所以
，即
，
即
，
所以
.
故答案为：
48
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15．（I）
；（II）
；（III）
【分析】（I）由正弦定理可得
，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出
的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为
，由正弦定理可得
，
，
；
（II）由余弦定理可得
；
（III）
，
，
，
，
所以
.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理，即可求解；
（2）根据正弦定理以及二倍角公式，得到角和边的关系，再结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）
，且
，
所以
；
（2）根据正弦定理，
，
所以
或
，
49
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当
时，
，
，此时
，不成立，
当
时，此时
，则
，
的面积
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理化边为角化简即得三角方程，解之即得；
（2）先用三角降幂公式降次，再通过（1）求得的
进行消元，化简得到余弦型函数，再利用锐角三
角形条件，求得角
的范围，最后利用余弦型函数的值域即得.
【详解】（1）因为
，
由余弦定理，
，
整理得：
，
又由正弦定理，
，而A 为三角形内角，故
，
故
，而C 为锐角三角形内角，故
（2）由（1）知
，
，
50
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因为三角形为锐角三角形，故
，解得：
，
则
，故
，所以
.
故
的取值范围是
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化简可得出
，可求出
的值，再结合角
的取值范围可求得
角
的值；
（2）求出
、
的值，设
，则
，分别在
和
中，利用正弦定理
结合等式的性质可得出
、
的等式，即可求得
的值，即为所求.
【详解】（1）解：因为
，
由余弦定理可得
，
化简可得
，由余弦定理可得
，
因为
，所以，
.
（2）解：因为
，则
为锐角，所以，
，
因为
，所以，
，
所以，
，
设
，则
，
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在
和
中，由正弦定理得
，
，
因为
，上面两个等式相除可得
，
得
，即
，
所以，
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理得出
，再由余弦定理求得结果；
（2）设
，把
表示成两个三角形的面积和，表示出
，再求其取值范围；
【详解】（1）已知
，
由正弦定理可得
，
，
，
，
， 即
，
.
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（2）由（1）知
，由
，则
.
设
，
，
，
，
.
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