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专题五 解析几何 第3 练 直线与圆锥曲线的位置关系专项训练 一、单选题： 1．（2025·河北张家口·一模）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，若的一个方向为 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．（25-26 高三上·甘肃·月考）如图，阴影部分的边界为四叶草曲线 ，曲线 是由顶点在 原点、焦点在坐标轴上的四条抛物线所围成的曲线，且这四条抛物线的焦点共圆.若开口向 右的抛物线方程为 ，过点 的直线与曲线 相交，记第一、四象限的四个交 点由下至上依次为 ， ， ， ，且 ，则线段 的中点到 轴的距离为 （ ） A． B． C． D． 二、多选题： 3.(2025·福建省泉州市·模拟)已知F是抛物线E: x 2=2 py( p>0)的焦点，点N ( √3 2 ,−5 2 )在 圆C : x 2+( y +2) 2= R 2( R>0)上，圆C在点N处的切线与E只有一个公共点，动直线 1 l: y =√3 x +t，则下列说法正确的是( ) A. R =1，p= 8 3 B. 与E和圆C各恰有一个公共点的直线有6条 C. 若圆C上仅有一个点到l的距离为2，则满足条件的t的值有4个 D. 若t =0，E上一点Q到l的距离为d，则|QF |+d的最小值为2 3 4.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知椭圆C : x 2 4 + y 2=1的左、右焦点分别为F1，F2， 直线l交椭圆于P ,Q两点，则( ) A. ▵PQ F2的周长为8 B. 若直线l经过点F1，则| PQ|的最小值是1 C. 若线段PQ中点坐标为( 1 2 , 1 2) ，则直线l的方程为2 x +8 y −5=0 D. 若点M是椭圆C上的任意一点，点N是圆D: x 2+( y −2) 2=1上的任意一点，则| MN | 的最大值为2√21 3 +1 5.(2025·江苏省南通市·模拟)已知抛物线C：x 2= 4 y 与圆M：x 2+( y −1) 2=r 2交于A，B两 点，圆M与y轴的负半轴交于点P，O为坐标原点，则( ) A. r >1 B. 若▵PAB为等边三角形，则r = 4 C. 存在r，使得|OP|=|OA | D. 直线PA与抛物线C相切 三、填空题： 6.（2025·浙江嘉兴·三模）已知抛物线 ，其准线为，焦点为 ，过 的直 线 与和 从左到右依次相交于 ， ， 三点，且 ，则 和 的面 2 积之比为（ ） A． B． C． D． 四、解答题： 7.(2025·河北省保定市·模拟)已知双曲线C : x 2 a 2 −y 2 b 2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 y =√3 x，且点(√2,√3)在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程； (2)已知双曲线C的右焦点为F，点A(0,1)，斜率为1的直线l与双曲线C交于不同的两点P， Q，且B为线段PQ的中点，若AF ⊥BF，求直线l的方程． 8.(2025·河北省唐山市·模拟)已知曲线C : x 2 a−4 −y 2 a+ 4 =1． (1)曲线C是否可以是圆、双曲线?若可以，请求出对应a的取值范围; (2)若曲线C过点M (−4 ,−6)，且与x轴的正半轴交于点N． (ⅰ)求曲线C的方程; (ⅱ)不经过M的直线l: x +2 y +m=0与曲线C相交于两点A，B，射线MN平分∠AMB，求 m的值． 9.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)已知B(0,−1)为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)上一点，C的 离心率为√3 2 ． (1)求C的方程； 3 (2)已知P(0, 1 3 )，若过点B的直线l交C于另一点A，且tan ∠APB =−2√2． (ⅰ)若A在第一象限，求直线AP的斜率； (ⅱ)求l的方程． 10.(2025·安徽蚌埠·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)离心率为1 2 ，点P(3, 3 2 )在椭 圆C上． (1)求椭圆C的标准方程; (2)过点Q(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于A，B两点，以AB为直径的圆经过原点O，求直 线AB的方程． 11.(2025·天津市·模拟)已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的离心率为√2 2 ，以短轴端点和焦 点为顶点的四边形的周长为4√2． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M (0,m)(m>0)的直线l与椭圆C相交于两点A，B，设点M关于坐标原点O的对 称点为N，若点N恒在以AB为直径的圆内部，求实数m的取值范围． 4 12.(2025·海南省·模拟)已知F1, F2 分别为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点 A为椭圆C上一点，若|A F1|+|A F2|= 4且椭圆C离心率为1 2 ． (1)求椭圆C的方程； (2)若P点为椭圆C第一象限内一点，椭圆C的右顶点为D，点E的坐标为(0,1)，直线P F1 与线段DE交于点Q.若F1 D⃗⋅F1 P⃗=5 F1O⃗⋅F1Q⃗(O为坐标原点)，求直线P F1的方程． 5
