解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练
考点目录
中线问题
角平分线问题
高线问题
最值与范围问题
1．（24-25 高三上·浙江杭州·阶段练习）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
sin
sin
sin ,
3
c
a
A
c
C
b
B b
-
=
-
=
，则AC 边上中线长度的最大值为（ ）
A．3 2
2
B．4 3
3
C．3 3
2
D．4 2
3
2．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若
60
B =
° ，
2
b =
，则边AC 上中线BD 的取值范围为（ ）
A．
21 , 3
3
é
ù
ê
ú
ë
û
B．
21 , 3
3
æ
ù
ç
ú
çè
û
C．
1, 3
D．1, 3ùû
3．（24-25 高一下·浙江台州·期中·多选）在
ABC
V
中，设
6
a =
，
5
c =
，
18
CA CB
×
=
uuur uuur
，则下列说法正确的是（ ）
A．
ABC
V
的面积为12
B．
ABC
V
外接圆的周长是25 π
4
C．若D 为AC 的中点，则中线BD 长度为
97
2
D．
ABC
V
内切圆的面积是5 π
2
4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在ABC
V
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知
2
2
²
2
10
c
a
b
=
+
=
，
，
,
BC AC 边上的中线AM ，BN 相交于点P ， 则直线
,
AM BN 的夹角为
.
5．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）在
ABC
V
中，角、、
A
B
C 所对的边分别为a
b
c
、、，已知
3
3 cos
3 sin
a
b
C
c
B
=
+
，若点M 为AC 中点，且
3
b =
，则中线BM 的最大值是
．
考点一
中线问题
6．（24-25 高一下·广东汕尾·期中）如图，在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
6 2
AC =
，
45
BAC
Ð
=
° ，BC，AC 边上的
两条中线AM，BN 相交于点P．
(1)求BN ；
(2)求∠MPN 的余弦值．
7．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
，
3
b =
.
(1)求角B ；
(2)若
2
a
c
+
=
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.
8．（24-25 高三上·云南临沧·期中）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
π
3
B =
．
(1)当
4 3
c =
，
3 3
ABC
S
=
V
时，
（i）若线段BD 是角B 的内角平分线，点D 在边AC 上，求BD 的长；
（ii）若点O 是
ABC
V
的外心（即各边垂直平分线的交点），求BO AC
×
uuur uuur
的值；
(2)当
4 3
c =
，AC 边上的中线
21
BM =
时，求A 的大小．
9．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知在
ABC
V
中，
1
AB
AC
=
= ，E ，F 分别为边AB ，BC 上的点，且
AE
EB
=
，2BF
FC
=
．
(1)若
90
BAC
Ð
=
o ，用向量方法求证：CE
AF
^
；
(2)若
3
BC =
，求AB 边上的中线CE 的长．
10．（24-25 高三上·四川成都·期中）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin
sin
sin
sin
b
B
a
A
c
C
a
C
=
+
+
.
(1)若cos
sin
0
a
C
c
A
b
+
-
=
，求角C ；
(2)若cos
cos
2
b
C
c
B
+
=
，3sin
2sin
A
C
=
，求AC 边的中线BD 的长；
(3)若角B 的内角平分线BE 的长为2，求4a
c
+ 的最小值.
11．（24-25 高一下·广东·阶段练习）记△ABC 中的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且4 cos
2 cos
b
A
c
a
B
-
=
.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)若
2
a =
，
2π
3
C =
，求△ABC 内切圆的直径；
(3)设AD 为BC 边上的中线，若
3
c = ，2
34
AD =
，求a.
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记
ABC
V
中内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
cos
sin
a
B
b
A
c
+
=
.
(1)求A；
(2)若
2
c =
，AC 边上的中线BD 长为10 ，求
ABC
V
的面积.
13．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）在
ABC
V
中，
3
AC
AB
=
，且BC 边上的中线AD 长为1．
(1)若
5π
6
BAC
Ð
=
，求BC 的长；
(2)若
2
ABC
DAC
Ð
= Ð
，求BC 的长．
1．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
+
，点D 在边
AB 上，CD 平分
ACB
Ð
，且
1
2
CD =
，则4
9
a
b
+
的最小值为（ ）
A．25
2
B．25
C．25
4
D．24
2．（23-24 高一下·四川宜宾·期末）在
ABC
V
中，
2
BC
AB
=
，
60
ABC
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，
2
BD = ，则
ABC
V
的面积为（ ）
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
D．3 3
2
3．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知在
ABC
V
中，角A 和角B 的角平分线交点为
,
M M 到AB 的距离为2，
ABC
V
的周长为4，
π
3
C =
，则BC CA
×
=
uuur uuur
（ ）
A．
8 3
3
-
B．
16 3
3
-
C．8 3
3
D．16 3
3
4．（24-25 高一下·福建厦门·期中·多选）已知
ABC
V
中
1
4
13
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
，D 在BC 上，AD 平分
BAC
Ð
，下
列结论正确的是（ ）
A．
1
cos
2
BAC
Ð
=
B．
ABC
V
的面积为
3
C．
1
4
CD
BD =
D．
4 3
5
AD =
5．（23-24 高三下·江西·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且
2π
3
BAC
Ð
=
，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于D ，
1
AD = ，则
ABC
V
面积S 的最小值为
；若
2 5
a =
，则
ABC
V
的面积为
．
考点二
角平分线问题
6．（2025·北京·三模）在锐角
ABC
V
中，
60
BAC
Ð
=
°，
2
AB =
，
6
=
BC
，
BAC
Ð
的角平分线交BC 于D，则
ACB =
∠
；AD = .
7．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
π
3
A =
，D 为BC 上一动点.
(1)若AD 平分
BAC
Ð
，求证：AB
BD
AC
DC
=
；
(2)若D 为BC 上靠近B 的三等分点，当
2
c =
，
1
b = 时，求AD 的长.
8．（24-25 高三下·浙江·开学考试）在ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
2
2
3
sin
sin
2
2
2
C
A
ac
a
c
a
b
c
+
=
+
+
.
(1)求角B 的大小；
(2)设D 是边AC 上一点，满足
2
AD
DC
=
，且BD 平分
ABC
Ð
，若
2
a =
，求ABC
V
的面积.
9．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
cos
3sin
b
c
a
C
C
+
=
+
，
D 为边BC 上一点，
2
,
3
BD
DC AD
=
=
．
(1)求A ；
(2)若AD 平分
BAC
Ð
，求a ．
10．（24-25 高一下·河南三门峡·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3 sin
cos
,
a
B
b
BAC
b D
Ð
+
=
为BC 边上的一点，且AD 平分
BAC
Ð
.
(1)求
BAC
Ð
的大小；
(2)若
BAC
Ð
的平分线交BC 于点D ，且
1
AD = ，求
ABC
V
周长的最小值.
11．（2025·河南·三模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
2 sin cos
tan cos
sin
cos
a
C
A
c
B
C
c
C
B
+
=
.
(1)证明：
2
B
C
A
+
=
；
(2)若AD 平分
BAC
Ð
交BC 于点D ，且4
9
25
b
c
+
=
，求AD 的最大值.
12．（2025·四川·模拟预测）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c
ABC
V
的面积S 满足：
2
2 3
cos
sin sin
0.
S
C
c
A
B
×
+
=
(1)求C ；
(2)若
2
,
AD
DB CD
=
uuur
uuur
平分
ACB
Ð
，且
2
CD =
，求c ．
13．（2024·山东·模拟预测）从①
cos π
2
cos
C
c
a
b
B
-
+
=
，②sin
sin
sin
sin
A
C
b
c
B
C
a
+
-
=
+
，③
2
2 sin
3 sin
2
B
a
b
A
=
这三个条件中
任选一个，补充在下面的问题中.
已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______.
(1)求角B 的大小；
(2)若A 的角平分线交边BC 于点D ，且
6
AD =
，
2
c =
，求边b .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
14．（2025·江西·三模）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
4
b
c
+
=
，求1
1
BD
DC
+
的最小值．
1．（24-25 高一下·河南安阳·期末）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，记BC 边上的高为h ，若A 为
锐角，
2 sin
b
a
B
=
，则h
a 的最大值为（ ）
A．
2
2
B．
2
1
2
+
C．
3
1
2
+
D．
3
2
2．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）三角形ABC 中，角, ,
A B C 对的边分别为, ,
a b c ，
6 5
a =
，若
2
2
2
11
2
6
sin
b
c
a
bc
A
+
=
+
，则BC 边上的高为（ ）.
A．
5
B．18 5
13
C．2 5
D．30 5
13
3．（2025·河南·模拟预测·多选）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，
2
b
c
=
，BC 边上的高为2，则（ ）
A．tan
2
B =
B．
2 5
b =
C．
ABC
V
的周长为3
3 5
+
D．
ABC
V
的面积为3
4．（2025·河南·二模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为h .若
4
a =
，
3
2
h =
，
则bc 的最小值为
；若
3
6
h
a
=
，则
2
2
b
c
bc
+
的最大值为
.
5．（24-25 高三上·河北唐山·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知8sin
3sin
A
B
=
，
2
2
5
8
b
c
ab
-
=
．
(1)求角C；
(2)若
ABC
V
的面积为6 3 ，求AB 边上的高．
考点三
高线问题
6．（2024·四川成都·三模）在
ABC
V
中，
1
5,
6,cos
8
BC
AC
B
=
=
=
．
(1)求AB 的长；
(2)求AC 边上的高．
7．（24-25 高三上·广东中山·期中）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
c
b
=
，sin
3cos
sin
A
C
C =
．
(1)求a
b 的值；
(2)若
ABC
V
的面积为3 7
2
，求AB 边上的高．
8．（2025·河北·三模）在
ABC
V
中，三个内角, ,
A B C 所对的边分别为
π
, , ,
,
7,
3
a b c A
a
D
=
=
是BC 的三等分点，且
2
BD
DC
=
.
(1)当
ABC
V
的面积
3 3
2
S =
时，求AD 的长；
(2)当
7
3
AD
BC
AC
×
+
=
uuur
uuur
uuur
时，求AB 边上的高.
1．（2024·广东梅州·一模）已知
ABC
V
是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为
ABC
V
的面
积，
2
2
2
2S
b
c
a
=
+
-
，则c
b 的取值范围为（ ）
A．
5 , 5
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．2 5 , 5
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．2 5 ,2
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．
5 ,2
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．若
3,
2
a
b
=
=
，则B
C
+
的取值范
围是（ ）
A．2π 5π
,
3
6
é
ù
ê
ú
ë
û
B．2π ,π
3
é
ö
÷
êë
ø
C．5π ,π
6
é
ö
÷
êë
ø
D．π 5π
,
2
6
æ
ù
ç
ú
è
û
3．（2024·山东日照·三模）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
a
b
bc
=
+
，且
π π
,
3 2
æ
ö
Îç
÷
è
ø
A
，则a
b
的取值范围为（ ）
A．
1, 3
B．
6
2 ,2
2
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．
2, 3
D．
3,2
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知在
ABC
V
中，角
60
A =
o ，边BC
a
=
.点D 在线段BC 上满足
1
2
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则线段AD 长度的取值范围是（ ）
A．(0, 3)
B．
2
(
,
)
3
3
a
a
C．
3
(
,
]
3
3
a a
a
+
D．(
, )
2
a a
5．（24-25 高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习·多选）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
60 ,
4
B
b
=
°
=
，则下列判断中正确的是（ ）
A．若
3
c =
，则该三角形有一解
B．若
9
2
a =
，则该三角形有一解
C．
ABC
V
周长有最大值12
D．
ABC
V
面积有最大值4 3
考点四
最值与范围问题
6．（2025·河北邢台·三模）
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则下列说法正确的有（ ）
A．若
2
2
2
a
b
c
+
<
，则
ABC
V
是钝角三角形
B．若
13
a =
，
3
b =
，
π
3
A =
，则
ABC
V
的周长为7
13
+
C．若
π
6
A =
，
2
2
16
3
b
c
bc
+
-
=
，则
ABC
V
面积的最大值为4
2 3
+
D．若
2
c =
，
3
b =
，
π
3
A =
，则BC 边上的中线长为
7
2
7．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，S 为ABC
V
的面积，
2
4
3
S
a
+
=
2
2
3
3
b
c
+
，则
10b
c
的取值范围为
．
8．（25-26 高三上·广东·开学考试）
ABC
V
中，D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，且
2
,
1
DAB
DAC AD
Ð
= Ð
= ，则
BC 长度的取值范围为
．
9．（24-25 高三下·河南焦作·阶段练习）已知
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
3sin 2
2cos
1
f x
cx
cx
=
-
+ ．
(1)若
f x 在0, 3
p
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，求c 的取值范围；
(2)若
1
c = ，
1
f C = - ，求a
b
+
的最大值．
10．（2025·湖南益阳·三模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
1
a = ，且cos
cos
1
b
A
B
-
= ．
(1)若
π
4
C =
，求A；
(2)若
ABC
V
是锐角三角形，求
ABC
V
周长的取值范围．
11．（2025·辽宁·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且满足
3 sin
1
cos
b
A
a
B =
+
(1)求角B 的大小；
(2)若
3
b =
，求
ABC
V
面积的最大值；
(3)求sin sin
sin sin
sin sin
A
C
B
C
B
A
+
+
的取值范围.
12．（2025·河南·二模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
3
A =
.
(1)证明：
3
sin sin
4
B
C £
；
(2)若BC 边上的中线长为
3 ，求bc 的最大值.
13．（2025·吉林·模拟预测）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3
b =
，
2
a
c
=
.
(1)若
1
cos
4
B = -
，求
ABC
V
的周长；
(2)若
ABC
V
内切圆，外接圆的半径分别为,r R ，求rR 的取值范围.
14．（2025·上海·三模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且满足
sin
sin
sin
sin
.
c
C
b
B
a
A
B
-
=
-
(1)求角C 的值；
(2)若
3
c = ，求
ABC
V
周长的最大值.
15．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，sin
3sin
C
B
=
，点D 在边BC 上，且
BAD
CAD
q
Ð
= Ð
=
，且
AD
kAC
=
．
(1)记
k
f q
=
，求k 的取值范围；
(2)若
ABC
V
的面积为3
2 ，求BC 的最小值．
16．（2025·四川成都·模拟预测）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且2 cos
2
b
C
a
c
=
-
．
(1)求角B 的大小；
(2)如图，若
ABC
V
为锐角三角形，点H 为
ABC
V
的垂心，
6
BH =
，设
HBC
a
Ð
=
，
（i）
π
6
a =
，求
ABC
V
的面积；
（ii）求AH
CH
+
的取值范围．
