解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练
1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在
ABC
V
中，已知
5,
3,
7,
AC
AB
BC
AD
=
=
=
是BC 边上的中线，则AD =（ ）
A．15
4
B．19
2
C．7
2
D．15
7
2．（24-25 高一下·江苏淮安·阶段练习）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．其中
7,
1,
3
a
b
c
=
=
=
，则BC
边上的中线AD 的长为（ ）
A．13
2
B．
3
2
C．13
D．
3
3．（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形ABC 中，已知
π
2,
3 3,
,
,
6
AB
AC
BAC
BC AC
Ð
=
=
=
边上
的两条中线
,
AM BN 相交于点P ，则cos MPN
Ð
= （ ）
A．
7
7
B．2 7
7
C．5 7
49
D．10 7
49
4．（23-24 高一下·内蒙古包头·期末）如图，在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
4
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，BC，AC 边上的两
条中线AM，BN 相交于点P，则cos
,
PM PN
á
ñ =
uuuur uuur
（ ）
A．4 91
91
B．
3
6
C．
7
14
D．
3
3
考点一
中线问题
5．（2025·广西南宁·三模·多选）
ABC
V
的内角、、
A
B
C 的对边分别为a
b
c
、、，且2 cos
cos
cos
b
A
a
C
c
A
=
+
，
4
b =
，边BC 的中线
7
AD =
，则下列结论正确的有（ ）
A．
π
3
A =
B．
8
AB AC
×
=
uuur uuur
C．
ABC
V
的面积为2 3
D．
ABC
V
的外接圆的面积为4π
6．（24-25 高一下·福建厦门·期中·多选）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
，
2
b =
，若边BC 的中线
3
AD =
，则下列结论正确的有（ ）
A．
π
3
A =
B．
π
6
A =
C．
2
AB AC
×
=
uuur uuur
D．
ABC
V
的面积为
3
7．（23-24 高一下·重庆·期中）已知
ABC
V
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
8,
9,
7.
a
b
c
=
=
=
则BC 边上的中
线AM 的长为
.
8．（24-25 高一下·山东淄博·期末）在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2
2
cos
a
ab
B
b
c
-
=
-
，
sin
b
B
=
，则
ABC
V
的中线BD 的最大值为 .
9．（2025·河北石家庄·三模）设
ABC
V
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
c
sin
3
s
3
o
c
b
C
B
a
+
=
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2 2
AB =
，且
3
sin
sin
8
A
B =
，求AB 边上中线CT 的长．
10．（24-25 高一下·河北承德·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，设角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，满足
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
．
(1)求A 的大小；
(2)若
3
a =
，求边BC 上的中线AD 的取值范围．
11．（24-25 高一下·福建三明·期中）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2 6
c =
，且
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
B
A
B
-
-
=
×
.
(1)求角C 的大小；
(2)若3 sin
sin2
b
A
a
B
=
，求
ABC
V
的周长；
(3)求AB 边上的中线CD 长度的最小值.
12．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝2
3
p .
(1)求角B 的大小；
(2)①△ABC 的面积为3 3
4
，求BC 边上的中线AM 的长度；
②△ABC 的周长为4＋2 3 ，求BC 边上的中线AM 的长度.
13．（24-25 高一下·河南南阳·期末）在锐角
ABC
V
中，设角, ,
A B C 的对边依次为, ,
a b c ，满足cos
3 sin
a
C
a
C
+
=
b
c
+ .
(1)求A 的大小；
(2)若
2 3
a =
，求边BC 上的中线AD 的取值范围.
14．（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且满足
cos
cos
sin
3
cos
b
C
c
B
C
a
C
b
+
=
-
.
(1)求角A 的大小；
(2)已知
19,
3
a
b
=
=
，求BC 边上的中线AD 的长.
1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
ABC
V
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
ACB
Ð
的角平分线为CM
交AB 于M 且
2
a =
,
3
b =
,
1
c = ，则线段CM = （ ）
A．3 2
6
+
B．3 2
6
-
C．2
D．2 3
3
2．（24-25 高一下·山东济宁·阶段练习）在
ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
o ，
3
AB =
，
6
=
BC
，
BAC
Ð
的角平分线交
BC 于D ，则AD =（ ）
A．
3
B．
5
3
C．3 3
15
2
-
D．3 3
15
6
+
3．（24-25 高一下·安徽亳州·期中）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
a =
，
2π
3
C
Ð
=
，CD
是
C
Ð
的角平分线，且
1
CD = ，则AB = （ ）
A．2 3
B．
3
C．2
D．1
4．（24-25 高二上·湖北鄂州·阶段练习）在
ABC
V
中，
2
AB =
，E 是BC 边中点，线段AE 长为
3
2
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 是BC 边上一点，AD 是
BAC
Ð
的角平分线，则AD =（
）
A．2
3
B．1
C．2
D．
3
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模·多选）在
ABC
V
中，若
4
cos
,
4,
5,
5
ABC
BC
AB
ABC
Ð
=
=
=
Ð
的角平分线交AC 于点
D，则下列说法正确的是（ ）
A．
3
AC =
B．
ABC
V
的外接圆周长为5π
C．
1
CD =
D．
16
DB CB
×
=
uuur uuur
考点二
角平分线问题
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末·多选）在
ABC
V
中，
2
AB =
，
60
BAC
Ð
=
°，
45
BCA
Ð
=
° ，
BAC
Ð
的角平分线交
BC 于D ，则（ ）
A．
ABC
V
是钝角三角形
B．
6
=
BC
C．
2
AD =
D．
6
3
BD =
-
7．（23-24 高一下·江苏扬州·期中）
ABC
V
中，角A 的平分线交边BC 于点
,
3,
2,
60
D AB
AC
BAC
=
=
Ð
=
°，则角平
分线AD 的长为
．
8．（23-24 高一下·山东临沂·期中）在
ABC
V
中，已知
3,
2,
AB
AC
BAC
=
=
Ð
的角平分线
2
AD =
，则
BAC
Ð
的正弦
值为
．
9．（24-25 高一下·吉林长春·期中）已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
三个内角A ，B ，C 的对边，且
3
cos
sin
0
3
b
A
a
B
-
=
.
(1)求A ；
(2)若
4
b =
，
6
c = ，设AD 为
ABC
V
的角平分线，求AD 的长.
(3)若
2
a =
，且
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
10．（23-24 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
π
3 cos
sin
2
B
a
b
A
-
=
.
(1)求B ；
(2)
ABC
Ð
的角平分线与AC 交于点
,
3
D BD =
，求2a
c
+ 的最小值.
11．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
.
(1)求tan A ；
(2)若
ABC
V
的面积为
3 ；
①E 为BC 的中点，求
ABC
V
底边BC 上中线AE 长的最小值；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
12．（24-25 高一下·江苏南京·期末）已知
ABC
V
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
．
(1)求A；
(2)若
4,
2
b
c
=
=
，D 为BC 中点，求线段AD 长；
(3)若该三角形面积为2 3 ，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D，求线段AD 长的最大值．
13．（24-25 高二下·浙江温州·期末）已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
角A ，B ，C 的对边，
2
2
2
cos cos
cos
sin
sin
sin
A
B
C
C
A
B
+
=
-
-
.
(1)求C ；
(2)若
2
a =
，
5
b =
，点D 在边AB 上，且CD 是
ACB
Ð
的角平分线，求
ACD
SV
.
14．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）在
ABC
V
中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
3
a =
且
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
B
C
A
B
C
+
=
+
.
(1)求A ；
(2)求b
c
+ 的最大值；
(3)若A 的角平分线交BC 于点M ，求AM 的取值范围.
1．（24-25 高一下·四川攀枝花·期末）在△ABC 中，
π
6
B =
，BC 边上的高等于
3
12 BC ，则cos A = （ ）
A．
2 7
7
-
B．2 7
7
C．
21
7
-
D．
21
7
2．（24-25 高一下·河北·期末）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若cos
cos
4
a
B
b
A
+
=
，AB 边上的高
为2 3 ，则角C 的最大值为（
）
A．π
4
B．π
3
C．5π
12
D．7π
12
3．（24-25 高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，
2
b
c
=
，BC 边上的高为2，则（ ）
A．tan
2
B =
B．
2 5
b =
C．
ABC
V
的周长为3
3 5
+
D．
ABC
V
的面积为5
4．（24-25 高一下·福建福州·期末·多选）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高
为h ，若h
c
a
=
-
，
2
2
b
a
ac
-
=
，则（ ）
A．
1
1
1
sin
sin
A
C
-
=
B．
2
B
A
=
C．
2
a
c
h
+
=
D．tan
2cos
B
A
=
5．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，设BC 边上的高为h ，若A 为
锐角，
2 sin
b
a
B
=
，则h
a 的最大值为
．
考点三
高线问题
6．（24-25 高三下·山西大同·期末）在
ABC
V
中，已知
π
4
A =
，若AB 边上的高为1
3 AB ，则cosC =
．
7．（2025·海南三亚·一模）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且3
2 sin
b
a
B
=
.
(1)求A ；
(2)若
1,
7
b
c
a
=
+
=
，求边BC 上的高AD 的长.
8．（2025·江苏宿迁·二模）记
ABC
V
的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且
2sin2
S
a
B
=
．
(1)证明：tan
3tan
B
A
=
；
(2)若
45
A =
o ，BC 边上的高为6 ，求b ．
9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c 分别为
ABC
V
三个内角A，B，C 的对边，且3 sin
cos .
a
C
c
c
A
-
=
(1)求A；
(2)若
2
b =
，
3
c = ，求BC 边上的高
.
AD
10．（24-25 高一下·河北石家庄·期中）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
3
sin
1 cos
b
c
B
C
= +
.
(1)求C ；
(2)若
2,
a
b
ABC
-
=
V
的面积为2 3 ，求边BC 上的高.
11．（24-25 高一下·山西大同·期末）已知在
ABC
V
中，
3
A
B
C
+
=
，
2sin
sin
A
C
B
-
=
．
(1)求sin A ；
(2)设
10
AB =
，求AB 边上的高．
12．（24-25 高一下·海南海口·期末）在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin
3 cos
b
C
c
B
=
．
(1)求角B ；
(2)若
ABC
V
的面积为
3 ，
2
a
c
=
+
，求边AC 上的高BD 的长．
