解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题专项训练
1．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在
ABC
V
中，已知
5,
3,
7,
AC
AB
BC
AD
=
=
=
是BC 边上的中线，则AD =（ ）
A．15
4
B．19
2
C．7
2
D．15
7
【答案】B
【详解】
由余弦定理得：
2
2
2
9
49
25
11
cos
2
2 3 7
14
AB
BC
AC
B
AB BC
+
-
+
-
=
=
=
×
´ ´
，
再由余弦定理得：
2
2
2
49
7
11
19
2
cos
9
2 3
4
2
14
4
AD
AB
BD
AB BD
B
=
+
-
×
=
+
- ´ ´
´
=
，
则
19
2
AD =
，
故选：B
2．（24-25 高一下·江苏淮安·阶段练习）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．其中
7,
1,
3
a
b
c
=
=
=
，则BC
边上的中线AD 的长为（ ）
A．13
2
B．
3
2
C．13
D．
3
【答案】A
【详解】由题意，
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则
2
2
2
1
2
4
AD
AB
AC
AB AC
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
cos
4
4
AD
c
b
cb
A
c
b
b
c
a
=
+
+
=
+
+
+
-
uuur
2
2
2
1
1
13
2
2
18
2
7
4
4
4
c
b
a
=
+
-
=
+
-
=
，
则
13
2
AD =
uuur
，即
13
2
AD =
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）如图，在三角形ABC 中，已知
π
2,
3 3,
,
,
6
AB
AC
BAC
BC AC
Ð
=
=
=
边上
考点一
中线问题
的两条中线
,
AM BN 相交于点P ，则cos MPN
Ð
= （ ）
A．
7
7
B．2 7
7
C．5 7
49
D．10 7
49
【答案】D
【详解】法一：
,
M N
Q
分别是
,
BC AC 的中点，
1
1
,
2
2
AM
AB
AC
BN
AN
AB
AC
AB
\
=
+
=
-
=
-
uuuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
AM
uuuur
Q
与BN
uuur
的夹角等于
MPN
Ð
，
cos
AM BN
MPN
AM BN
×
\
Ð
=
×
uuuur uuur
uuuur uuur
1
1
2
2
AM BN
AB
AC
AC
AB
æ
ö
×
=
+
×
-
ç
÷
è
ø
uuuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Q
2
2
1
1
1
1
4
2
4
2
AB AC
AB
AC
AB AC
=
×
-
+
-
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
1
3
1
1
10
2 3 3
4
27
,
4
2
2
4
4
= -
´ ´
´
-
´ +
´
=
2
2
1
1
1
9
27
7
1
4
2
4
2
4
2
AM
AB
AB AC
AC
=
+
×
+
=
+
+
=
uuuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
2
2
1
27
7
9
4
4
4
2
BN
AC
AB AC
AB
=
-
×
+
=
- +
=
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
则
10
4
cos
7
7
2
2
BN AM
MPN
BN AM
×
Ð
=
=
´
uuur uuuur
uuur uuuur
10 7
49
=
；
法二：以AC 为x 轴，过点B 作与AC 垂直的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则
1
3
3,0
0,1
2 3,0
3,
,0
2
2
A
B
C
M
N æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
，
，
，
，
1
3
2 3,
,
, 1
2
2
AM
BN
æ
ö
æ
ö
=
=
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur
uuur
，
则
1
5
1
7
3
7
3
,
12
,
1
,
2
2
4
2
4
2
AM BN
AM
BN
×
=
-
=
=
+
=
=
+
=
uuuur uuur
uuuur
uuur
10 7
cos
49
AM BN
MPN
AM BN
×
Ð
=
=
uuuur uuur
uuuur uuur
；
法三：在ABN
V
中，由余弦定理
2
2
7
2
cos
2
BN
AB
AN
AB AN
BAN
Ð
=
+
-
×
=
，
又因为P 为
ABC
V
的重心，则
2
7
3
3
BP
BN
=
=
，
在ABN
V
中再由余弦定理
2
2
2
1
cos
2
2 7
AB
BN
AN
ABN
AB BN
Ð
+
-
=
= -
×
，
在ABP
V
中由余弦定理
2
2
7
2
cos
3
AP
AB
BP
AB BP
ABP
Ð
=
+
-
×
=
，
在ABP
V
中，由余弦定理，则
2
2
2
10 7
cos
,
2
49
AP
BP
AB
APB
AP BP
Ð
+
-
=
=
×
10 7
cos
cos
49
MPN
APB
Ð
Ð
=
=
.
故选：D.
4．（23-24 高一下·内蒙古包头·期末）如图，在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
4
AC =
，
60
BAC
Ð
=
°，BC，AC 边上的两
条中线AM，BN 相交于点P，则cos
,
PM PN
á
ñ =
uuuur uuur
（ ）
A．4 91
91
B．
3
6
C．
7
14
D．
3
3
【答案】C
【详解】在
ABC
V
中，
2,
4,
60
AB
AC
BAC
=
=
Ð
=
°，由余弦定理得
4 16
2 2 4 cos60
2 3
BC =
+
- ´ ´ ´
° =
，
则
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
ABC
V
为直角三角形，且
90
ABC
Ð
=
°，
以B 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系：
则
(0,2),
(2 3,0),
( 3,0),
( 3,1)
A
C
M
N
，
( 3, 2),
( 3,1)
AM
BN
=
-
=
uuuur
uuur
，
所以
4
c
1
7
cos
,
1
|
|
,
|
os
|
7 2
AM BN
M
PM
AM BN
A
P
B
N
N
á
ñ =
×
á
=
=
=
×
ñ
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur
uuur
.
故选：C
5．（2025·广西南宁·三模·多选）
ABC
V
的内角、、
A
B
C 的对边分别为a
b
c
、、，且2 cos
cos
cos
b
A
a
C
c
A
=
+
，
4
b =
，边BC 的中线
7
AD =
，则下列结论正确的有（ ）
A．
π
3
A =
B．
8
AB AC
×
=
uuur uuur
C．
ABC
V
的面积为2 3
D．
ABC
V
的外接圆的面积为4π
【答案】ACD
【详解】由2 cos
cos
cos
b
A
a
C
c
A
=
+
，根据正弦定理得，2sin
cos
sin
cos
sin
cos
B
A
A
C
C
A
=
+
，
整理得
2sin
cos
sin
sin
B
A
A
C
B
=
+
=
，因为sin𝐵> 0，
所以得
1
cos
2
A =
，解得
π
3
A =
，故A 正确；
因为AD 为边BC 的中线，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，整理得
2
2
2
4
2
cos
AD
AB
AC
AB AC
A
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，即
2
2
28
AB
AC
AB AC
=
+
+
uuur
uuur
uuur uuur
，
又
4
AC
b
=
=
，解得
2
AB =
或
6
AB = - （舍），
所以
1
cos
2 4
4
2
AB AC
AB
AC
A
×
=
×
=
´ ´
=
uuur uuur
uuur
uuur
，故B 错误；
1
1
3
sin
2 4
2 3
2
2
2
ABC
S
AB AC
A
=
=
´ ´ ´
=
V
，故C 正确；
根据余弦定理，
2
2
2
2
cos
BC
AB
AC
AB AC
A
=
+
-
，即
2
4 16
4 2
12
BC
=
+
- ´
=
，解得
2 3
BC =
，又由正弦定
理得
2 3
4
2
sin
3
2
BC
R
A =
=
=
，解得
2
R =
，
所以
ABC
V
的外接圆的面积为
2
π
4π
R =
，故D 正确.
故选：ACD.
6．（24-25 高一下·福建厦门·期中·多选）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
，
2
b =
，若边BC 的中线
3
AD =
，则下列结论正确的有（ ）
A．
π
3
A =
B．
π
6
A =
C．
2
AB AC
×
=
uuur uuur
D．
ABC
V
的面积为
3
【答案】ACD
【详解】根据正弦定理，由
2
cos
cos
b
c
A
a
C
-
=
可得2sin cos
sin cos
sin
cos
B
A
C
A
A
C
-
=
，
即
2sin
cos
sin
+
sin
B
A
A C
B
=
=
，因为
0,π
BÎ
，所以sin
0
B ¹
，
所以
1
cos
2
A =
，所以
π
3
A =
，所以A 正确，B 错误；
因为AD 为边BC 的中线，所以
2
AB
AC
AD
+
=
uuur
uuur
uuur
，两边同时平方可得
2
2
2
2
4
AB
AC
AB AC
AD
+
+
×
=
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
因为
2
b =
，所以
2
2
π
2
cos
12
3
c
b
bc
+
+
=
，即
2
2
8
0
c
c
+
-
=
，解得
2
c =
或
4
c = - （舍去），
所以
π
2 2 cos
2
3
AB AC
×
=
´ ´
=
uuur uuur
，所以C 正确；
1
1
3
sin
2
2
3
2
2
2
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´ ´
=
V
，所以D 正确.
故选：ACD
7．（23-24 高一下·重庆·期中）已知
ABC
V
的内角
,
,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
8,
9,
7.
a
b
c
=
=
=
则BC 边上的中
线AM 的长为
.
【答案】7
【详解】在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
9
7
8
11
cos
2 9 7
21
A
+
-
=
=
´ ´
，
因为AM 为BC 边上的中线，所以
1
2
AM
AB
AC
=
+
uuuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1
1
11
2
49
81
2 7 9
49
4
4
21
AM
AB
AC
AB AC
æ
ö
=
+
+
×
=
+
+ ´ ´ ´
=
ç
÷
è
ø
uuuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
所以
7
AM =
uuuur
，即AM 的长为7.
故答案为：7
8．（24-25 高一下·山东淄博·期末）在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
2
2
cos
a
ab
B
b
c
-
=
-
，
sin
b
B
=
，则
ABC
V
的中线BD 的最大值为 .
【答案】9 2
16
/ 9
2
16
【详解】
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
2
a
b
c
a
ab
B
a
ab
c
b
b
c
b
c
bc
ab
+
-
-
=
-
=
-
=
-
=
+
-
，
即
2
2
2
b
bc
b
c
=
Þ
=
，即B
C
=
，又
sin
b
B
=
，所以
sin
,
sin
a
A c
C
=
=
，
又
ABC
V
的中线BD ，所以
1
2
BD
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
2
2
2
2
1
1
2
cos
4
4
BD
BA
BC
c
a
ac
B
=
+
=
+
+
uuur
uuur
uuur
2
2
1 sin
sin
π
2
2sin π
2
sin
cos
4
B
B
B
B
B
=
+
-
+
-
2
2
1 1 cos2
1
2sin 2
4cos 2
cos2
5
4
2
8
B
B
B
B
-
æ
ö
=
+
=
-
-
+
ç
÷
è
ø
2
1
1
81
cos2
2
8
64
B
é
ù
æ
ö
= -
+
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，
又
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
2
,π
2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
cos2
1,0
BÎ -
，
即
1
cos2
8
B = -
时，
max
9 2
16
BD
=
uuur
.
故答案为：9 2
16
9．（2025·河北石家庄·三模）设
ABC
V
的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知
c
sin
3
s
3
o
c
b
C
B
a
+
=
．
(1)求角C 的大小；
(2)若
2 2
AB =
，且
3
sin
sin
8
A
B =
，求AB 边上中线CT 的长．
【答案】(1)
π
3
C =
(2) 2
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
c
sin
3
s
3
o
c
b
C
B
a
+
=
及正弦定理得
sin
sin
3sin
cos
3sin
3sin
3sin
cos
3 cos
sin
B
C
C
B
A
B
C
B
C
B
C
+
=
=
+
=
+
，
即sin
sin
3sin
cos
B
C
B
C
=
，
因为B 、
0,π
C Î
，则sin
0
B >
，即sin
3 cos
0
C
C
=
>
，可得tan
3
C =
，故
π
3
C =
.
（2）由正弦定理可得
2 2
4 6
π
sin
sin
sin
3
sin 3
a
b
c
A
B
C
=
=
=
=
，
所以
2
2
sin
sin
4
sin
c
ab
A
B
C
=
×
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
2
2
8
2
cos
4
c
a
b
ab
C
a
b
ab
a
b
=
=
+
-
=
+
-
=
+
-
，
所以，
2
2
12
a
b
+
=
，
因为CT 为AB 边上的中线，所以
1
2
CT
CB
CA
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
cos
4
4
4
CT
CB
CA
CB
CA
CB CA
a
b
ab
C
=
+
=
+
+
×
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
1
1
12
4
4
4
4
a
b
ab
=
+
+
=
´
+
=
，故
2
CT =
uuur
，
因此，AB 边上的中线CT 的长为2 .
10．（24-25 高一下·河北承德·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，设角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，满足
cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
．
(1)求A 的大小；
(2)若
3
a =
，求边BC 上的中线AD 的取值范围．
【答案】(1)
π
3
A =
；
(2)
7 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
.
【详解】（1）由题设知cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
，
由正弦定理得sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
×
+
×
-
-
=
①，
又
π
A
B
C
+
+
= ，则
sin
sin
B
A
C
=
+
，
将上式代入①式得
sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
C
×
+
×
-
+
-
=
，
即
sin
cos
3sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
A
C
C
×
+
×
-
×
+
×
-
=
，
即3sin
sin
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
C
×
-
×
-
=
，
又
π
0
2
C
<
<
，sin
0
C >
，故3sin
cos
1
A
A
-
= ，即
π
π
2 sin
cos
cos
sin
1
6
6
A
A
æ
ö
×
-
×
=
ç
÷
è
ø
，即
π
2sin
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
π
1
sin
=
6
2
A
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
又
π
0
2
A
<
<
，得
π
3
A =
.
（2）因为D 为BC 的中点，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
c
b
bc
=
+
=
+
+
×
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
π
2
cos 3
a
b
c
bc
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
，即
2
2
3
b
c
bc
+
=
+
，
所以
2
1
3
1
3
2
4
4
2
AD
bc
bc
=
+
=
+
uuur
，
在
ABC
V
中，由正弦定理得
3
2
sin
sin
sin
3
2
b
c
a
B
C
A
=
=
=
=
，所以
2sin
b
B
=
，
2sin
c
C
=
，
所以
2
2π
π
4sin
sin
4sin
sin
2 3sin
cos
2sin
2sin 2
1
3
6
bc
B
C
B
B
B
B
B
B
æ
ö
æ
ö
=
=
-
=
+
=
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
0
2
B
<
<
且
2π
π
0
3
2
B
<
-
<
，解得π
π
6
2
B
<
<
，
所以π
π
5π
2
6
6
6
B
<
-
<
．所以1
π
sin 2
1
2
6
B
æ
ö
<
-
£
ç
÷
è
ø
，所以
2
7
9
4
4
AD
<
£
uuur
，
所以中线AD 的取值范围是
7 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
.
11．（24-25 高一下·福建三明·期中）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
2 6
c =
，且
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
B
A
B
-
-
=
×
.
(1)求角C 的大小；
(2)若3 sin
sin2
b
A
a
B
=
，求
ABC
V
的周长；
(3)求AB 边上的中线CD 长度的最小值.
【答案】(1) 2π
3
(2) 4 2
2 6
+
(3) 2
【详解】（1）解：因为
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
C
A
B
A
B
-
-
=
×
，由正弦定理得
2
2
2
c
a
b
ab
-
-
=
，
又由余弦定理，可得
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
= -
，
因为
0,π
C Î
，所以
2π
3
C =
.
（2）解：因为3 sin
sin2
b
A
a
B
=
，由正弦定理得3sin sin
2sin sin cos
B
A
A
B
B
=
，
因为
,
0,π
A BÎ
，所以sin sin
0
A
B ¹
，所以
3
cos
2
B =
，
又因为
0,π
BÎ
，所以
π
6
B =
，则
π
π
6
A
B
C
=
-
-
=
，
由
2 6
c =
，可得2
4 2
sin
c
R
C
=
=
，所以
π
4 2 sin
2 2
6
a
b
=
=
=
，
所以
ABC
V
的周长为4 2
2 6
+
.
（3）解：因为
2 6
c =
，由余弦定理得
2
2
2
2 6
2
cos
a
b
ab
C
=
+
-
，即
2
2
24
a
b
ab
+
=
-
，
又因为
2
2
2
a
b
ab
+
³
，当且仅当a
b
=
时等号成立，所以24
2
ab
ab
-
³
，所以
8
ab £
，
因为CD 为AB 边上的中线，可得
1
2
CD
CA
CB
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
2
24
2
4
4
4
CD
CA
CA CB
CB
b
ab
a
ab
=
+
×
+
=
-
+
=
-
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
所以
2
1
24 16
2
4
CD ³
´
-
=
uuur
，则
2
CD ³
uuur
，
所以AB 边上的中线CD 长度的最小值为2 .
12．（2025·甘肃庆阳·三模）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcosB，C＝2
3
p .
(1)求角B 的大小；
(2)①△ABC 的面积为3 3
4
，求BC 边上的中线AM 的长度；
②△ABC 的周长为4＋2 3 ，求BC 边上的中线AM 的长度.
【答案】(1) π
6
(2)①
21
2
；②
7
【详解】（1）∵
2 cos
c
b
B
=
，则由正弦定理可得sin
2sin
cos
C
B
B
=
，
∴
2π
3
sin 2
sin 3
2
B =
=
，∵
2π
3
C =
，∴
π
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
2π
2
0, 3
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
∴
π
2
3
B =
，解得
π
6
B =
．
（2）①由（1）可得
π
6
A =
，即a
b
=
则
2
1
1
3
3 3
sin
2
2
2
4
ABC
S
ab
C
a
=
=
×
=
△
，解得
3
a =
，
则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
2π
3
3
21
2
cos
3
3
2
2
3
4
2
2
a
a
b
b
æ
ö
+
- × ×
×
=
+
+
×
=
ç
÷
è
ø
．
②由（1）可得
π
6
A =
，设
ABC
V
的外接圆半径为R，
则由正弦定理可得
π
2 sin 6
a
b
R
R
=
=
=
，
2π
2 sin
3
3
c
R
R
=
=
，
则周长
2
3
4
2 3
a
b
c
R
R
+
+
=
+
=
+
，解得
2
R =
，则
2
a =
，
2 3
c =
，
由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：
2
2
π
2 3
1
2 2 3 1 cos
7
6
+
- ×
× ×
=
．
13．（24-25 高一下·河南南阳·期末）在锐角
ABC
V
中，设角, ,
A B C 的对边依次为, ,
a b c ，满足cos
3 sin
a
C
a
C
+
=
b
c
+ .
(1)求A 的大小；
(2)若
2 3
a =
，求边BC 上的中线AD 的取值范围.
【答案】(1)
π
3
A =
.
(2)7,3ùû
【详解】（1）由题设知cos
3 sin
0
a
C
a
C
b
c
+
-
-
=
.
由正弦定理,可得sin
cos
3sin
sin
sin
sin
0
A
C
A
C
B
C
×
+
×
-
-
=
.①
又
π
A
B
C
+
+
= ，则
sin
sin
sin
cos
cos
sin
B
A
C
A
C
A
C
=
+
=
×
+
×
.
将上式代入①式得
即
sin
cos
3sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
A
C
A
C
C
×
+
×
-
×
+
×
-
=
，
即3sin
sin
cos
sin
sin
0
A
C
A
C
C
×
-
×
-
=
.
又
π
0
2
C
<
<
，sin
0
C >
，故3sin
cos
1
0
A
A
-
- =
，
则
π
π
2(sin
cos
cos
sin
)
1
6
6
A
A
×
-
×
= ，即
π
1
sin(
)
6
2
A-
=
.
又
π
0
2
A
<
<
，则
π
π
π
6
6
3
A
-
<
-
<
，则
π
π
6
6
A-
=
，解得
π
3
A =
.
（2）因为D 为BC 的中点，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方得
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
c
b
bc
=
+
=
+
+
×
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
.
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
a
b
c
bc
=
+
-
，因
2 3
a =
，
即
2
2
12
b
c
bc
+
=
+
，
所以
2
1
1
12
2
3
4
2
AD
bc
bc
=
+
=
+
uuur
.
在
ABC
V
中，由正弦定理得
2 3
4
sin
sin
sin
3
2
b
c
a
B
C
A
=
=
=
=
，即得
4sin
b
B
=
，
4
c
sinC
=
，
所以
2
2π
16sin sin
16sin sin(
)
8 3sin cos
8sin
3
bc
B
C
B
B
B
B
B
=
=
-
=
+
1
cos2
π
4 3sin2
8
8sin(2
)
4
2
6
B
B
B
-
=
+ ´
=
-
+
.
因
ABC
V
为锐角三角形，则
π
0
2
B
<
<
且
2π
π
0
3
2
B
<
-
<
，解得π
π
6
2
B
<
<
，
则π
π
5π
2
6
6
6
B
<
-
<
，故1
π
sin(2
)
1
2
6
B
<
-
£ ，故8
12
bc
<
£
，
则
2
7
9
AD
<
£
uuur
，
故中线AD 的取值范围是7,3ùû .
14．（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且满足
cos
cos
sin
3
cos
b
C
c
B
C
a
C
b
+
=
-
.
(1)求角A 的大小；
(2)已知
19,
3
a
b
=
=
，求BC 边上的中线AD 的长.
【答案】(1)
2 π
3
A =
(2)
7
2
AD =
【详解】（1）由正弦定理得
sin
cos
sin
cos
sin
3 sin
cos
sin
B
C
C
B
C
A
C
B
+
=
-
，
又因为
π
A
B
C
+
+
= ，所以
sin
sin
,sin
sin
sin
cos
sin
cos
B
C
A
B
A
C
A
C
C
A
+
=
=
+
=
+
，
所以sin
sin
3sin
cos
A
C
C
A
= -
，
又因为sin
0
C ¹
，所以sin
3 cos
,tan
3
A
A
A
= -
= -
，
因为
0,π
AÎ
，所以
2 π
3
A =
.
（2）在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
BAC
=
+
-
Ð
，
代入数值得
2
1
19
9
2 3
2
c
c æ
ö
=
+
- ×
× -
ç
÷
è
ø ，解得
5
c = - （舍去）或
2
c =
，
因为D 是BC 的中点，所以
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
1
1
1
7
2
cos
2
2 2 3
3
4
4
2
4
AD
AB
AB AC
BAC
AC
é
ù
æ
ö
=
+
Ð
+
=
+ × × × -
+
=
ç
÷
ê
ú
è
ø
ë
û
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
所以
7
2
AD =
uuur
，即BC 边上的中线AD 的长为
7
2
.
1．（24-25 高二上·云南曲靖·期末）在
ABC
V
中，三个内角A,B,C 所对边分别为a,b,c，
ACB
Ð
的角平分线为CM
交AB 于M 且
2
a =
,
3
b =
,
1
c = ，则线段CM = （ ）
A．3 2
6
+
B．3 2
6
-
C．2
D．2 3
3
【答案】B
【详解】由余弦定理可得：
2
2
2
4
3 1
3
cos
2
2
2
3
2
a
b
c
ACB
ab
+
-
+ -
Ð
=
=
=
´
´
，
因为
0,π
ACB
Ð
Î
，所以
π
6
ACB
Ð
=
，
因为CM 为
ACB
Ð
的角平分线，所以
π
12
ACM
BCM
Ð
= Ð
=
，
且
π
π
π
π
π
π
π
6
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin
12
4
6
4
6
4
6
4
-
æ
ö
=
-
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
ACB
ACM
BCM
S
S
S
=
+
V
V
V
，
则1
1
1
6
2
1
6
2
3
2
3
2
2
2
2
4
2
4
CM
CM
-
-
´
´ ´
=
´
×
×
+
´ ×
×
，
可得：
3 2
6
CM =
-
.
故选：B.
2．（24-25 高一下·山东济宁·阶段练习）在
ABC
V
中，
120
BAC
Ð
=
o ，
3
AB =
，
6
=
BC
，
BAC
Ð
的角平分线交
BC 于D ，则AD =（ ）
A．
3
B．
5
3
C．3 3
15
2
-
D．3 3
15
6
+
【答案】C
【详解】
如图记
,
,
AB
c AC
b BC
a
=
=
=
，
由余弦定理可得，
2
2
3
2
3
cos120
6
b
b
+
- ´
´ ´
=
o
，
因为
0
b >
，解得：
15
3
2
b
-
=
，
考点二
角平分线问题
由
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
可得，
1
1
1
3
sin120
3
sin 60
sin 60
2
2
2
b
AD
AD b
´
´ ´
=
´
´
´
+
´
´ ´
o
o
o ，
解得：
15
3
3
3
15
3
3 3
15
2
2
3
15
3
5
1
3
2
b
AD
b
-
´
-
-
=
=
=
=
+
-
+
+
．
故选：C
3．（24-25 高一下·安徽亳州·期中）在
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
a =
，
2π
3
C
Ð
=
，CD
是
C
Ð
的角平分线，且
1
CD = ，则AB = （ ）
A．2 3
B．
3
C．2
D．1
【答案】A
【详解】在
BCD
△
中，
2
2
2
2
cos
BD
BC
CD
BC CD
BCD
=
+
-
×
Ð
，
即
2
π
4 1
2 2 1 cos
3
3
BD =
+ - ´ ´ ´
= ，
3
BD =
，
因为CD 是
ACB
Ð
的平分线，所以
,
BD
BC
DA
AC
=
即
3
2
DA
b
=
，所以
3
2
DA
b
=
在
DCA
△
中
2
2
2
2
cos
DA
CD
CA
CD CA
DCA
=
+
-
×
×
Ð
，
即
2
2
3
π
1
2 cos
,
4
3
b
b
b
= +
-
即
2
4
4
0
b
b
-
+
=
，解得
2
b =
.
在
ABC
V
中，
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
2
2 2 2cos
12
3
AB
CA
CB
CA CB
ACB
p
=
+
-
×
Ð
=
+
- ´ ´
=
，
所以
2 3
AB =
故选：A.
4．（24-25 高二上·湖北鄂州·阶段练习）在
ABC
V
中，
2
AB =
，E 是BC 边中点，线段AE 长为
3
2
，
120
BAC
Ð
=
° ，D 是BC 边上一点，AD 是
BAC
Ð
的角平分线，则AD =（
）
A．2
3
B．1
C．2
D．
3
【答案】A
【详解】因为E 是BC 边中点，所以
1 (
)
2
AE
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
1 (
2
)
4
AE
AB
AC
AB AC
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
所以
2
2
2
1
2
cos120
4
AE
AB
AC
AB
AC
=
+
+
×
°
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
3
1 (4
2
)
4
4
AC
AC
=
+
-
uuur
uuur
，即
2
2
1
0
AC
AC
-
+ =
uuur
uuur
，得
1
AC =
uuur
，
因为AD 是
BAC
Ð
的角平分线，所以
60
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
°，
因为
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
所以1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
AB AC
BAC
AB AD
BAD
AC AD
CAD
×
Ð
=
×
Ð
+
×
Ð
，
所以1
3
1
3
1
3
2 1
2
2
2
2
2
2
2
AD
AD
´ ´ ´
=
´
´
+
´
´
，
所以2
3AD
=
，得
2
3
AD =
.
故选：A
5．（2025·黑龙江哈尔滨·三模·多选）在
ABC
V
中，若
4
cos
,
4,
5,
5
ABC
BC
AB
ABC
Ð
=
=
=
Ð
的角平分线交AC 于点
D，则下列说法正确的是（ ）
A．
3
AC =
B．
ABC
V
的外接圆周长为5π
C．
1
CD =
D．
16
DB CB
×
=
uuur uuur
【答案】ABD
【详解】在
ABC
V
中，由余弦定理可得
2
2
2
2
2
4
2
cos
5
4
2 5 4
9
5
AC
AB
BC
AB BC
ABC
=
+
-
×
×
Ð
=
+
- ´ ´ ´
=
，所以
3
AC =
，故A 正确；
又
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，可得
90
ACB
Ð
=
°，所以
ABC
V
的外接圆直径2
5
sin
AB
R
ACB
=
=
Ð
，所以
ABC
V
的外接圆周长
为5π ，故B 正确；
因为BD 为
ABC
Ð
的角平分线，所以
2
cos
1
2sin
ABC
DBC
Ð
= -
Ð
，所以
1
sin
10
DBC
Ð
=
，所以
1
tan
3
DBC
Ð
=
，
在Rt
BCD
△
中，
4
tan
3
CD
BC
DBC
=
×
Ð
=
，故C 错误；
又因为DC
CB
^
，所以
2
|
cos
|
16
DB CB
BD BC
BD BC
DBC
BC
×
=
×
=
×
×
Ð
=
=
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur
，故D 正确．
故选:ABD．
6．（24-25 高三上·安徽芜湖·期末·多选）在
ABC
V
中，
2
AB =
，
60
BAC
Ð
=
°，
45
BCA
Ð
=
° ，
BAC
Ð
的角平分线交
BC 于D ，则（ ）
A．
ABC
V
是钝角三角形
B．
6
=
BC
C．
2
AD =
D．
6
3
BD =
-
【答案】BC
【详解】对于A，因为
60
BAC
Ð
=
°，
45
BCA
Ð
=
° ，
所以
180
180
60
45
75
B
BAC
BCA
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°，
三个角度都小于90°，所以
ABC
V
是锐角三角形，选项A 错误；
对于B，根据正弦定理sin
sin
=
Ð
Ð
BC
AB
BAC
BCA ，
因为
60
BAC
Ð
=
°，
45
BCA
Ð
=
° ，
2
AB =
，
得
2sin 60
6
sin 45
BC
°
=
=
°
，选项B 正确；
对于C，因为
BAC
Ð
的角平分线交BC 于D ，
60
BAC
Ð
=
°，所以
30
BAD
Ð
=
° ，
由选项A 可得
75
B
Ð
=
° ，则
180
75
30
75
ADB
Ð
=
°-
°-
° =
°，
因为
75
ADB
B
=
=
°
∠
∠
，所以
2
AD
AB
=
= ，选项C 正确；
对于D，在
ABD
△
中，根据正弦定理可得sin
sin
BD
AB
BAD
ADB
=
Ð
Ð
，
因为
2
AB =
，
30
BAD
Ð
=
° ，
75
ADB
Ð
=
° ，
2
6
sin 75
sin 30
45
4
+
° =
°+
° =
，
所以
2sin30
6
2
sin 75
BD
°
=
=
-
°
，故选项D 错误.
故选：BC.
7．（23-24 高一下·江苏扬州·期中）
ABC
V
中，角A 的平分线交边BC 于点
,
3,
2,
60
D AB
AC
BAC
=
=
Ð
=
°，则角平
分线AD 的长为
．
【答案】6 3
5
/ 6
3
5
【详解】依题意，设AD
x
=
，
1
30
2
BAD
CAD
BAC
Ð
= Ð
=
Ð
=
o ,
由
BAD
CAD
BAC
S
S
S
+
=
△
△
△
,可得，1
1
1
3 sin30
2 sin30
2 3sin 60
2
2
2
x
x
´
+
´
=
´ ´
o
o
o ，
解得:
6 3
5
x =
.
故答案为：6 3
5
.
8．（23-24 高一下·山东临沂·期中）在
ABC
V
中，已知
3,
2,
AB
AC
BAC
=
=
Ð
的角平分线
2
AD =
，则
BAC
Ð
的正弦
值为
．
【答案】5 11
18
【详解】因为
3
AB = ，
2
AC =
，
BAC
Ð
的角平分线
2
AD =
，
由等面积可得
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
即1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
BAC
BAC
AB AC
BAC
AB AD
AC AD
Ð
Ð
×
×
Ð
=
×
×
+
×
×
，
即6sin
(6
4)sin
2
BAC
BAC
Ð
Ð
=
+
，
3
2sin
cos
5 sin
2
2
2
BAC
BAC
BAC
Ð
Ð
Ð
´
=
×
，因为sin
0
2
Ð
>
BAC
，
所以
5
cos
2
6
BAC
Ð
=
，
11
sin
2
6
BAC
Ð
=
，
所以
11
5
5 11
sin
2sin
cos
2
2
2
6
6
18
BAC
BAC
BAC
Ð
Ð
Ð
=
=
´
´
=
．
故答案为：5 11
18 ．
9．（24-25 高一下·吉林长春·期中）已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
三个内角A ，B ，C 的对边，且
3
cos
sin
0
3
b
A
a
B
-
=
.
(1)求A ；
(2)若
4
b =
，
6
c = ，设AD 为
ABC
V
的角平分线，求AD 的长.
(3)若
2
a =
，且
ABC
V
的面积为
3 ，求
ABC
V
的周长.
【答案】(1)
π
3
A =
；
(2)12 3
5
；
(3)6 .
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
3
cos
sin
0
3
b
A
a
B
-
=
及由正弦定理，得
3
sin
cos
sin
sin
0
3
B
A
A
B
-
=
，
而sin
0
B >
，则tan
3
A =
，又
(0,π)
AÎ
，
所以
π
3
A =
.
（2）由（1）知
π
3
A =
，由AD 为
ABC
V
的角平分线，得
ABD
ACD
ABC
S
S
S
+
=
△
△
△
，
即1
π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
6
2
6
2
3
c AD
b AD
bc
×
+
×
=
，而
4
b =
，
6
c = ，
所以
3
12 3
5
bc
AD
b
c
=
=
+
.
（3）由（1）知
π
3
A =
，由
1
sin
3
2
ABC
S
bc
A
=
×
=
V
，得
4
bc =
，
又
2
a =
，由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，得
2
2
4
b
c
bc
+
-
=
，
即
2
(
)
3
4
b
c
bc
+
-
=
，解得
4
b
c
+
=
，
所以
ABC
V
的周长为
2
4
6
a
b
c
+
+
=
+
=
.
10．（23-24 高一下·贵州贵阳·阶段练习）
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，满足
π
3 cos
sin
2
B
a
b
A
-
=
.
(1)求B ；
(2)
ABC
Ð
的角平分线与AC 交于点
,
3
D BD =
，求2a
c
+ 的最小值.
【答案】(1)
π
3
B =
(2)3
2 2
+
．
【详解】（1）由
π
3 cos
sin
2
B
a
b
A
-
=
得3 sin
sin
2
B
a
b
A
=
，
由正弦定理得3sin sin
sin sin
2
B
A
B
A
=
，即
3sin sin
2sin
cos
sin
2
2
2
B
B
B
A
A
=
，
由
π
0,
,
0,π
2
2
B
A
æ
ö
Î
Î
ç
÷
è
ø
，所以sin
0,sin
0
2
B
A
¹
¹
，化简得
3
cos 2
2
B =
，
所以
π
2
6
B =
，所以
π
3
B =
.
（2）由
ABC
ABD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
得1
1
1
sin
3 sin
3 sin
2
3
2
6
6
π
π
π
2
ac
a
c
=
´
+
´
，
即
3
3
3
4
4
4
ac
a
c
=
+
，得1
1
1
a
c
+
= ，
所以
1
1
2
2
2
2
3
3
2
3
2 2
c
a
c
a
a
c
a
c
a
c
a
c
a
c
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
³
+
´
=
+
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2a
c
c
a
a
c
ac
ì
=
ïí
ï +
=
î
，即
2
1
2
2
1
a
c
ì = +
ïí
ï =
+
î
时等号成立，
所以2a
c
+ 的最小值为3
2 2
+
．
11．（24-25 高一下·浙江·期中）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
.
(1)求tan A ；
(2)若
ABC
V
的面积为
3 ；
①E 为BC 的中点，求
ABC
V
底边BC 上中线AE 长的最小值；
②求内角A 的角平分线AD 长的最大值.
【答案】(1) tan
3
A =
(2)①
3 ；②
3
【详解】（1）因为
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
，
由正弦定理得a
b
c
b
c
a
b
-
-
=
+
，即
2
2
2
c
b
a
bc
+
-
=
，
由余弦定理
2
2
2
1
cos
2
2
2
c
b
a
bc
A
bc
bc
+
-
=
=
=
，因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
，
所以tan
3
A =
；
（2）①由（1）知
3
sin
2
A =
，
因为
ABC
V
的面积为
3 ，所以1
sin
3
2 bc
A =
，解得
4
bc =
，
由E 为BC 的中点，所以
1 (
)
2
AE
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
2
cos
4
4
4
AE
AB
AC
AB AC
c
b
bc
A
c
b
bc
=
+
+
×
=
+
+
=
+
+
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
1
3
(2
)
3
4
4
bc
bc
bc
³
+
=
=
，当且仅当b
c
=
时，等号取得到，
所以
2
3
AE
³
uuur
，则
3
AE ³
uuur
，故AE 的最小值为
3 ；
②因为AD 为角A 的角平分线，所以
1
sin
sin
2
BAD
CAD
Ð
=
Ð
=
，
由于
ADB
ADC
ABC
S
S
S
+
=
V
V
V
，
所以1
1
1
sin
sin
sin
2
6
2
6
2
3
ADc
ADb
bc
p
p
p
+
=
，
所以
(
)
3
AD c
b
bc
+
=
，
又
4
bc =
，所以
(
)
4 3
AD c
b
+
=
由于
2
4
b
c
bc
+
³
=
，当且仅当b
c
=
时，等号取得到，
故4 3
(
)
2
4
AD c
b
bcAD
AD
=
+
³
=
，故
3
AD £
，故AD 的最大值为
3
12．（24-25 高一下·江苏南京·期末）已知
ABC
V
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
．
(1)求A；
(2)若
4,
2
b
c
=
=
，D 为BC 中点，求线段AD 长；
(3)若该三角形面积为2 3 ，AD 为内角A 的角平分线，交BC 边于点D，求线段AD 长的最大值．
【答案】(1) π
3
(2)
7
(3)
6
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
sin
sin
sin
sin
a
b
C
B
c
A
B
-
-
=
+
及正弦定理，得a
b
c
b
c
a
b
-
-
=
+
，
即
2
2
2
c
b
a
bc
+
-
=
，由余弦定理得
2
2
2
1
cos
2
2
2
c
b
a
bc
A
bc
bc
+
-
=
=
=
，而
(0,π)
AÎ
，
所以
π
3
A =
.
（2）由（1）知，
π
3
A =
，由D 为BC 中点，得
1 (
)
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，而
4,
2
b
c
=
=
，
所以
2
2
2
2
1
1
1
|
|
2
2
4
2
2
4
7
2
2
2
AD
AB
AC
AB AC
=
+
+
×
=
+
+
´ ´ ´
=
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
.
（3）由
ABC
V
的面积为2 3 ，得
1
3
sin
2 3
2
4
ABC
S
bc
A
bc
=
=
=
△
，解得
8
bc =
，
由AD 为内角A 的角平分线，得
6
BAD
CAD
p
Ð
= Ð
=
，
由
ADB
ADC
ABC
S
S
S
+
=
V
V
V
，得1
1
1
sin
sin
sin
2
6
2
6
2
3
AD c
AD b
bc
p
p
p
×
+
×
=
，
因此
(
)
3
AD c
b
bc
+
=
，
8 3
8 3
6
2
AD
c
b
cb
=
£
=
+
，当且仅当
2 2
b
c
=
=
时取等号，
所以线段AD 长的最大值为
6 .
13．（24-25 高二下·浙江温州·期末）已知a ，b ，c 分别为
ABC
V
角A ，B ，C 的对边，
2
2
2
cos cos
cos
sin
sin
sin
A
B
C
C
A
B
+
=
-
-
.
(1)求C ；
(2)若
2
a =
，
5
b =
，点D 在边AB 上，且CD 是
ACB
Ð
的角平分线，求
ACD
SV
.
【答案】(1)
2 π
3
C =
(2) 25 3
14
【详解】（1）
2
2
2
cos cos
cos
sin
sin
sin
A
B
C
C
A
B
+
=
-
-
.
可化为
2
2
2
cos cos
cos
sin
sin
sin
A
B
A
B
C
A
B
-
+
=
-
-
.
所以
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
C
A
B
A
B
=
+
+
由正弦定理可得
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
+
，
由余弦定理可得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
= -
，所以：
2 π
3
C =
.
（2）三角形如图所示.
由CD 是
ACB
Ð
的角平分线得
π
3
ACD
BCD
Ð
= Ð
=
，
法一：
1
sin
5
2
1
2
sin
2
ACD
BCD
AC CD
ACD
S
AC
S
BC
BC CD
BCD
×
×
Ð
=
=
=
×
×
Ð
△
△
，
又
ABC
ACD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
所以
5
5
1
25 3
sin
7
7
2
14
ACD
ABC
S
S
ac
ACB
=
=
´
Ð
=
△
△
.
法二：因为
ABC
ACD
BCD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
所以1
2π
1
π
1
π
2 5 sin
2
sin
5
sin
2
3
2
3
2
3
CD
CD
´ ´ ´
=
´ ´
´
+
´ ´
´
Þ
10
7
CD =
.
1
1
10
3
25 3
sin
5
2
2
7
2
14
ACD
S
AC CD
ACD
=
×
Ð
=
´ ´
´
=
△
.
14．（24-25 高二下·贵州六盘水·期末）在
ABC
V
中，记内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
3
a =
且
2
2
2
sin
sin
sin
sin sin
B
C
A
B
C
+
=
+
.
(1)求A ；
(2)求b
c
+ 的最大值；
(3)若A 的角平分线交BC 于点M ，求AM 的取值范围.
【答案】(1) π
3
(2) 2 3
(3)
3
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】（1）由
2
2
2
sin
sin
sin
sin
sin
B
C
A
B
C
+
=
+
，得
2
2
2
b
c
a
bc
+
=
+
，
即
2
2
2
b
c
a
bc
+
-
=
，
所以
2
2
2
1
cos
2
2
2
b
c
a
bc
A
bc
bc
+
-
=
=
=
，而
0,π
AÎ
，
所以
π
3
A =
.
（2）由（1），
2
2
2
b
c
a
bc
+
=
+
，即
2
2
3
b
c
bc
+
=
+
，
2
2
3
3
3
3
4
b
c
b
c
bc
+
\
+
=
+
£
+ ´
，
2
12
b
c
\
+
£
，即
2 3
b
c
+
£
，当且仅当
3
b
c
=
=
时，取等号.
所以b
c
+ 的最大值为2 3 .
（3）由（1），
π
3
A =
，
3
a =
，
ABC
AMC
AMB
S
S
S
\
=
+
V
V
V
，即1
π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
6
2
6
bc
b AM
c AM
=
×
+
×
，
3bc
AM
b
c
\
=
+
，
由
2
3
3
b
c
bc
+
=
+
，得
2
3
3
b
c
bc
+
-
=
，
所以
2
3
3
3
3
3
3
b
c
AM
b
c
b
c
b
c
+
-
´
=
=
+
-
+
+
，
由
3
2 3
b
c
<
+
£
，令
3,2 3
x
b
c
ù
=
+ Î
û ，
设
3
3
3
f x
x
x
=
-
，则
2
3
3
0
3
f
x
x
=
+
>
¢
，
所以
f x 在3,2 3ùû 上单调递增，
3
2 3
f
f x
f
\
<
£
，即
3
0
2
f x
<
£
，
所以AM 的取值范围为
3
0, 2
æ
ù
ç
ú
è
û .
1．（24-25 高一下·四川攀枝花·期末）在△ABC 中，
π
6
B =
，BC 边上的高等于
3
12 BC ，则cos A = （ ）
A．
2 7
7
-
B．2 7
7
C．
21
7
-
D．
21
7
【答案】A
【详解】设BC
a
=
，由
π
6
B =
，BC 边上高
3
12
h
a
=
，且
sin
h
AB
B
=
×
，可得
3
6
c
AB
a
=
=
．
设AC
b
= ，代入
3
6
c
a
=
、
3
cos
2
B =
，
由余弦定理可是得
2
2
2
2
7
2
cos
12
b
a
c
ac
B
a
=
+
-
=
，即
21
6
b
a
=
．
所以
2
2
2
2
2
2
7
1
2 7
12
12
cos
2
7
21
3
2
6
6
a
a
a
b
c
a
A
bc
a
a
+
-
+
-
=
=
= -
×
×
．
故选：A.
2．（24-25 高一下·河北·期末）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，若cos
cos
4
a
B
b
A
+
=
，AB 边上的高
为2 3 ，则角C 的最大值为（
）
A．π
4
B．π
3
C．5π
12
D．7π
12
【答案】B
【详解】因为
2
2
2
2
2
2
cos
cos
4,
2
2
a
c
b
b
c
a
a
B
b
A
c
AB
c
c
+
-
+
-
+
=
+
=
=
边上的高为2 3 ，
所以1
1
4
2 3
sin
2
2 ab
C
´ ´
=
，即
8 3
sin
ab
C
=
，
2
2
2
2
2
8
cos
1
2
2
a
b
c
ab
c
C
ab
ab
ab
+
-
-
=
³
= -
Q
，当且仅当a
b
=
取等号，
3
cos
1
sin
3
C
C
\
³ -
，即
3sin
3cos
3
C
C
+
³
，即
π
3
sin
3
2
C
æ
ö
+
³
ç
÷
è
ø
，
π
π 4π
(0,π)
,
3
3
3
C
C
æ
ö
Î
Þ
+
Îç
÷
è
ø
Q
，则
π
π 2π
,
3
3
3
C
æ
ù
+
Îç
ú
è
û ，
π
0, 3
C
æ
ù
\
Îç
ú
è
û ，故角C 的最大值为π
3 .
故选：B.
3．（24-25 高一下·山东潍坊·阶段练习·多选）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，
2
b
c
=
，BC 边上的高为2，则（ ）
A．tan
2
B =
B．
2 5
b =
考点三
高线问题
C．
ABC
V
的周长为3
3 5
+
D．
ABC
V
的面积为5
【答案】ABD
【详解】对A，因为
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，所以由正弦定理得
2 sin
sin
cos
sin
sin
A
B
C
C
B
-
=
，
因为
sin
sin π
sin
sin
cos
sin
cos
A
B
C
B
C
B
C
C
B
=
-
-
=
+
=
+
，
代入上式可得：
2 sin
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin
B
C
B
C
B
C
C
B
+
-
=
，
即2cos
sin
sin
sin
B
C
C
B
=
，因为
0,π
C Î
，所以sin
0
C ¹
，得到2cos
sin
B
B
=
，
则tan
2
B =
，正确；
对B，由
sin
tan
2
cos
B
B
B
=
=
，且
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= ，
因为
0,π
BÎ
，tan
2
0
=
>
B
，所以
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
可得
5
2 5
cos
,sin
5
5
B
B
=
=
，又
2
b
c
=
，
由正弦定理得sin
2sin
B
C
=
，则
5
sin
5
C =
，所以
2
5
2 5
cos
1
5
5
C
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
则
2 5
2 5
5
5
sin
sin
sin
cos
sin
cos
1
5
5
5
5
A
B
C
B
C
C
B
=
+
=
+
=
´
+
´
= ，
因为
0,π
AÎ
，所以
π
2
A =
，BC 边上的高为
2
h =
，
因为
π
2
A =
，
sin
h
c
B
=
，又
2
h =
，
2 5
sin
5
B =
，则
5
c =
，
2
2 5
b
c
=
=
，正确；
对C，因为
π
2
A =
，
2
2 5
b
c
=
=
，根据勾股定理
2
2
2
2
2 5
5
5
a
b
c
=
+
=
+
=
，
ABC
V
的周长为
5
2 5
5
5
3 5
a
b
c
+
+
=
+
+
=
+
，错误；
对D，
ABC
V
的面积
1
1
5 2
5
2
2
S
ah
=
=
´ ´
=
，正确．
故选：ABD
4．（24-25 高一下·福建福州·期末·多选）已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AC 边上的高
为h ，若h
c
a
=
-
，
2
2
b
a
ac
-
=
，则（ ）
A．
1
1
1
sin
sin
A
C
-
=
B．
2
B
A
=
C．
2
a
c
h
+
=
D．tan
2cos
B
A
=
【答案】ABD
【详解】对于A，
sin
h
c
A
=
，由h
c
a
=
-
，得sin
c
A
c
a
=
-
，由正弦定理得
sin
sin
sin
sin
C
A
C
A
=
-
，而sin
sin
0
C
A >
，因此
1
1
1
sin
sin
A
C
-
= ，A 正确；
对于B，由
2
2
b
a
ac
-
=
及正弦定理得
2
2
sin
sin
sin
sin
B
A
A
C
-
=
，
即1 cos2
1 cos2
sin
sin
2
2
B
A
A
C
-
-
-
=
，则cos[(
)
(
)]
cos[(
)
(
)]
B
A
B
A
B
A
B
A
+
-
-
-
+
+
-
2sin
sin
A
C
=
，即2sin(
)sin(
)
2sin
sin(
)
A
B
B
A
A
A
B
+
-
=
+
，又sin(
)
0
A
B
+
>
，
因此sin(
)
sin
0
B
A
A
-
=
>
，又0
π
B
<
<
，则B
A
A
-
=
，
2
B
A
=
，B 正确；
对于C，若
2
a
c
h
+
=
，则
3
c
a
=
，由正弦定理得sin
3sin
C
A
=
，由选项B 知，
2
3sin
sin3
sin 2 cos
cos2 sin
(4cos
1)sin
A
A
A
A
A
A
A
A
=
=
+
=
-
，而sin
0
A >
解得
2
cos
1
A = ，即sin
0
A =
，矛盾，C 错误；
对于D，由选项A 知，sin
(1 sin
)
sin
C
A
A
-
=
，而
2
sin
sin3
sin
(4cos
1)
C
A
A
A
=
=
-
，
则
2
(3
4sin
)(1 sin
)
1
A
A
-
-
= ，整理得
2
(2sin
1)(2sin
sin
2)
0
A
A
A
-
-
-
=
，
而
2
2sin
sin
2
A
A
<
+
，因此
1
sin
2
A =
，又0
2
π
A
<
<
，则
π
π
,
6
3
A
B
=
=
，
tan
3
2cos
B
A
=
=
，D 正确.
故选：ABD
5．（24-25 高一下·海南·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，设BC 边上的高为h ，若A 为
锐角，
2 sin
b
a
B
=
，则h
a 的最大值为
．
【答案】
2
1
2
+
【详解】由
2 sin
b
a
B
=
，利用正弦定理得sin
2 sin
sin
B
A
B
=
，
又sin
0
B >
，则
2
sin
2
A =
，
A 为锐角，则
2
2
cos
1
sin
2
A
A
=
-
=
，
由余弦定理可知
2
2
2
2
2
2
cos
2
a
b
c
bc
A
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
，
由等面积法知1
1
sin
2
2
bc
A
ah
=
，即
2
2
bc
ah
=
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
h
bc
bc
bc
a
b
c
b
c
bc
bc
b
a
c
+
=
=
=
£
=
æ
ö
æ
ö
+
+
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
当且仅当b
c
=
时取等号，
则h
a 的最大值为
2
1
2
+ ．
故答案为：
2
1
2
+ ．
6．（24-25 高三下·山西大同·期末）在
ABC
V
中，已知
π
4
A =
，若AB 边上的高为1
3 AB ，则cosC =
．
【答案】
10
10
-
/
1
10
10
-
【详解】设角
ACB
Ð
所对的边为c，依题意得AB 边上的高
3
c
CD =
，而
π
4
A =
，
所以
3
c
AD =
，
2
3
c
BD =
，在Rt
ACD
△
中，
2
2
2
3
c
AC
AD
CD
=
+
=
，
在Rt
BCD
△
中，
2
2
2
2
2
5
3
3
3
c
c
c
BC
CD
BD
æ
ö
æ
ö
=
+
=
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；
在
ABC
V
中，
2
2
2
2
2
2
2
5
3
3
10
cos
2
10
2
5
2
3
3
c
c
c
AC
BC
AB
C
AC BC
c
c
æ
ö
æ
ö
+
-
ç
÷
ç
÷
+
-
è
ø
è
ø
=
=
= -
×
×
×
×
．
故答案为：
10
10
-
7．（2025·海南三亚·一模）在锐角
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且3
2 sin
b
a
B
=
.
(1)求A ；
(2)若
1,
7
b
c
a
=
+
=
，求边BC 上的高AD 的长.
【答案】(1) π
3
(2) 3 21
7
【详解】（1）由正弦定理可得
3sin
2sin sin
B
A
B
=
，
因为sin
0
B ¹
，所以
3
sin
2
A
=
，
又因
ABC
V
为锐角三角形，
π
0, 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
π
3
A =
.
（2）由余弦定理
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
可知
2
2
2
2
2
2
π
7
2
cos
7
3
b
c
bc
b
c
bc
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
=
-
+
=
又因
1
b
c
=
+ 即
1
b
c
-
= 代入上式可得
6
bc =
则
ABC
V
的面积为
1
1
3
3 3
sin
6
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
=
=
´ ´
=
△
则
1
1
3 3
7
2
2
2
ABC
S
BC
AD
AD
=
´
=
´
´
=
△
解得：
3 3
3 21
7
7
AD =
=
.
8．（2025·江苏宿迁·二模）记
ABC
V
的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且
2sin2
S
a
B
=
．
(1)证明：tan
3tan
B
A
=
；
(2)若
45
A =
o ，BC 边上的高为6 ，求b ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3 5
b =
【详解】（1）因为
2sin2
S
a
B
=
，所以
2
1
sin
2
sin cos
2 ac
B
a
B
B
=
，
在
ABC
V
中，sin
0
B >
，所以
4 cos
c
a
B
=
．
由正弦定理sin
sin
a
c
A
C
=
，得sin
4sin cos
C
A
B
=
．
因为
180
A
B
C
+
+
=
o，
所以
sin
sin 180
sin
sin cos
cos sin
C
A
B
A
B
A
B
A
B
=
-
-
=
+
=
+
o
，
所以4sin cos
sin cos
cos sin
A
B
A
B
A
B
=
+
，即cos sin
3sin cos
A
B
A
B
=
，
所以tan
3tan
B
A
=
．
（2）因为
45
A =
o，所以tan
1
A = ，由（1）知tan
3
B =
．
法1：因为
tan
tan
tan
tan
2
1
tan tan
A
B
C
A
B
A
B
+
= -
+
= -
=
-
，
所以
ABC
V
为锐角三角形．
过A 作AD
BC
^
，过C 作CE
AB
^
，D 、E 分别为垂足，
由tan
1
A = ，设
3
AE
CE
x
=
=
，
因为tan
3
B =
，所以
3
3
CE
EB
x
=
=
，
3
6
AD
BD
=
=
，
所以在Rt
ADB
△
中，
6
AD =
，
2
BD = ，
4
AB
x
=
，所以
2
36
4
16x
+
=
，解得
2
5
2
x =
，
所以在Rt
AEC
△
中，
2
2
3
3
3 5
AC
x
x
=
+
=
，即
3 5
b =
．
法2：因为
sin
tan
3
cos
B
B
B
=
=
，又因为
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= ，解得
2
9
sin
10
B =
，
2
1
cos
10
B =
．
因为tan
3
0
B =
>
，所以
π
0, 2
B
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
3 10
sin
10
B =
，
0
c s
1
o
10
=
B
．
由
2
1
sin2
6
2
S
a
B
a
=
=
´ ，得
2
2sin cos
3
a
B
B
a
´
=
，解得
5
a =
．
由正弦定理sin
sin
a
b
A
B
=
，得
5
2
3 10
2
10
b
=
，解得
3 5
b =
．
9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知a，b，c 分别为
ABC
V
三个内角A，B，C 的对边，且3 sin
cos .
a
C
c
c
A
-
=
(1)求A；
(2)若
2
b =
，
3
c = ，求BC 边上的高
.
AD
【答案】(1)
π
3
A =
；
(2)
3 21
7
AD =
【详解】（1）因为
3 sin
cos
a
C
c
c
A
-
=
，
所以由正弦定理得3sin sin
sin
sin cos
A
C
C
C
A
-
=
，3sin
1
cos
A
A
- =
，3sin
cos
1
A
A
-
= ，
所以
π
2sin
1
6
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
0
π
AÎ
，
，所以
π
π 5π
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø
，
，所以
π
π
6
6
A-
=
，
π
3
A =
；
（2）由余弦定理得1 可得
2
2
2
2
3
2 2 3 cos
7
3
a
p
=
+
- ´ ´ ´
=
，所以
7
a =
，
因为
ABC
V
的面积
1
1
sin
2
2
S
bc
A
a
AD
=
=
´ ´
，
所以2 3 sin
7
3
AD
p
´ ´
=
´
，所以
3 21 .
7
AD =
10．（24-25 高一下·河北石家庄·期中）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
3
sin
1 cos
b
c
B
C
= +
.
(1)求C ；
(2)若
2,
a
b
ABC
-
=
V
的面积为2 3 ，求边BC 上的高.
【答案】(1)
π
3
C =
(2)
3
【详解】（1）由正弦定理，得sin
sin
b
c
B
C
=
，又
3
sin
1 cos
b
c
B
C
= +
，所以
3
sin
1 cos
c
c
C
C
= +
，
所以
3sin
1
cos
C
C
= +
，
整理得
π
2sin
1
6
C
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，即
π
1
sin
6
2
C
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又
0,π
C Î
，所以
π
π 5π
,
6
6
6
C
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø ，
所以
π
π
6
6
C -
=
，故
π
3
C =
.
（2）由
ABC
V
的面积为2 3 ，得1
3
sin
2 3
2
4
ab
C
ab
=
=
，所以
8
ab =
.
结合
2
a
b
-
=
，可得
4
a =
，
设边BC 上的高h ，
由1
2 3
2 ah =
，解得
4 3
3
4
h =
=
.
11．（24-25 高一下·山西大同·期末）已知在
ABC
V
中，
3
A
B
C
+
=
，
2sin
sin
A
C
B
-
=
．
(1)求sin A ；
(2)设
10
AB =
，求AB 边上的高．
【答案】(1) 3 10
10
(2) 6 10
5
【详解】（1）
3
A
B
C
+
=
Q
，
π
3
C
C
\
-
=
，即
π
4
C =
，
又2sin(
)
sin
sin(
)
A
C
B
A
C
-
=
=
+
，
2sin
cos
2cos
sin
sin
cos
cos
sin
A
C
A
C
A
C
A
C
\
-
=
+
，
sin
cos
3cos
sin
A
C
A
C
\
=
，
sin
3cos
A
A
\
=
，
即tan
3
A =
，所以
π
0
2
A
<
<
，
3
3 10
sin
10
10
A
\
=
=
.
（2）由于A 为锐角，所以
1
10
cos
10
10
A =
=
，
由sin
sin(
)
B
A
C
=
+
2 3 10
10
2 5
sin
cos
cos
sin
(
)
2
10
10
5
A
C
A
C
=
+
=
+
=
，
由正弦定理，sin
sin
c
b
C
B
=
，可得
2 5
10
5
4
2
2
b
´
=
=
，
1
1
sin
2
2
AB h
AB AC
A
\
×
=
×
×
，
3 10
6 10
4 sin
4
10
5
h
A
\
=
×
=
´
=
.
12．（24-25 高一下·海南海口·期末）在
ABC
V
中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin
3 cos
b
C
c
B
=
．
(1)求角B ；
(2)若
ABC
V
的面积为
3 ，
2
a
c
=
+
，求边AC 上的高BD 的长．
【答案】(1)
π
3
B =
(2)
6
2
【详解】（1）由sin
3 cos
b
C
c
B
=
结合正弦定理可得sin sin
3cos sin
B
C
B
C
=
因为
,
0, π
B C Î
，则sin
0
C >
所以sin
3cos
0
B
B
=
> ．
则有tan
3
B =
故
π
3
B =
．
（2）由
1
1
3
sin
3
2
2
2
ABC
S
ac
B
ac
=
=
´
=
△
得
4
ac =
因
2
a
c
=
+
，所以
2
a
c
-
=
由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
得
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
ac
B
=
-
+
-
所以
2
1
4
2
4
2
4
8
2
b =
+
´
-
´
´
=
，解得
2 2
b =
所以
1
1
2 2
3
2
2
ABC
S
b BD
BD
=
×
=
´
´
=
△
6
2
BD
\
=
．
