解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练
考点目录
弦长问题
三角形面积问题
四边形面积问题
中点弦问题
1．（25-26 高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
：
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，，且
1
2
4
F F =
∣
∣
，
椭圆E 的离心率为
2
2 ．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)已知直线l 过点
1F ，且与椭圆E 交于点A，B，求证：
1
1
1
1
AF
BF
+
∣
∣∣
∣是定值.
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由
1
2
4
F F =
，得
2
2
2
2
4
c
a
b
=
-
=
，即
2
c =
，
又椭圆E 的离心率为
2
2 ，所以
2
2
c
a =
，即
2 2
a =
，所以
2
2
2
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
（2）设点
1
1
2
2
1
2
2 2 2 2
A x
y
B x
y
x
x
é
ù
Î -
ë
û
，
，
，
，，
，
，
当直线l 的斜率不存在时，
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
4 1
2
2
8
x
x
y
y
AF
BF
y
é
ù
-
=
= -
=
=
-
=
=
=
=
ê
ú
ë
û
（
）
，
，
，所以
1
1
1
1
2
AF
BF
+
=
．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
2
y
k x
=
+
．
由
2
2
1
8
4
2
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，
消去y ，得
2
2
2
2
2
1
8
8
8
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
．
所以
2
2
2
1
2
1
2
2
2
8
8
8
Δ
32
1
0
2
1
2
1
k
k
k
x
x
x x
k
k
-
=
+
>
+
= -
=
+
+
，
，
．
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
4
4
2
2
AF
x
y
x
x
x
=
+
+
=
+
+
-
=
+
，同理
1
2
2
4
2
BF
x
=
+
，
考点一
弦长问题
所以
2
2
1
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
8
2
8
2
8
2
1
1
1
2
2
2
4
4
4
16
8
8
8
4
16
2
1
2
1
k
x
x
k
AF
BF
x
x
x x
x
x
k
k
k
k
æ
ö
-
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
+
=
+
=
=
=
+
+
+
+
+
æ
ö
-
+
-
+
ç
÷
+
+
è
ø
．
综上所述，
1
1
1
1
2
AF
BF
+
=
（定值）.
2．（25-26 高三上·广东·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的离心率
1
2
e =
，椭圆上动点Q 到右焦点F
的距离最大值等于3．
(1)求C 的方程；
(2)设M 是坐标平面上的动点，且线段FM 的垂直平分线与C 恰有一个公共点
①求动点M 的轨迹方程；
②求线段MQ 的长度的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)①
2
2
1
16
x
y
+
+
=
；②
1,7
【详解】（1）由题可知，
1
2
3
c
a
a
c
ì
=
ïí
ï +
=
î
，解得
2
a =
，
1
c = ，
又
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，所以椭圆方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由（1）知
1,0
F
，设
0
0
,
M x
y
，则FM 的中点为
0
0
1,
2
2
x
y
+
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
①当
0
0
y =
时，FM 的垂直平分线方程为
0
1
2
x
x
+
=
，
此时
0
1
2
2
x +
= ± ，则
0
5
x = - 或
0
3
x = ；即
5,0
M -
或
3,0
M
当
0
0
y ¹
时，FM 的垂直平分线方程为：
0
0
0
0
1
1
2
2
y
x
x
y
x
y
-
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，
由
0
0
0
0
2
2
1
1
2
2
3
4
12
y
x
x
y
x
y
x
y
ì
-
+
æ
ö
-
= -
-
ï
ç
÷
è
ø
í
ï
+
=
î
，消y 得，
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
1
1
1
1
3
4
12
4
x
x
y
x
y
x
x
x
x
y
y
y
é
ù
-
+
-
+
-
-
ê
ú
+
-
+
=
ê
ú
ë
û
，
整理得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
3
4
1
4
1
1
1
12
0
y
x
x
x
x
y
x
x
y
y
é
ù
+
-
-
-
+
-
+
+
-
-
=
ë
û
，
因为线段FM 的垂直平分线与C 恰有一个公共点，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
Δ
16
1
1
12
16
1
1
12
0
x
x
y
y
x
x
y
y
é
ù
é
ù
=
-
+
-
-
+
-
+
-
-
=
ê
ú
ë
û ë
û
，
即
2
2
2
2
2
0
0
0
0
1
12
16
1
0
x
y
y
x
+
-
-
-
-
=
，
整理得
4
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
14
2
1
2
15
0
y
x
y
x
x
x
x
+
-
+
-
+
+
-
=
，
即
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
1
2
15
0
y
x
x
y
x
x
+
-
+
+
+
-
=
，
因为
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
1
1
0
x
y
x
x
y
+
-
+ =
-
+
>
，所以
2
2
0
0
0
2
15
0
x
y
x
+
+
-
=
，
而
5,0
-
，
3,0 也满足该式，
故点M 的方程为
2
2
2
15
0
x
y
x
+
+
-
=
，即
2
2
1
16
x
y
+
+
=
．
②由①知，点M 的方程是以
1,0
-
为圆心，4 为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点
1
1,0
F -
，
又易知点Q 在圆
2
2
1
16
x
y
+
+
=
内，则
1
1
4
4
FQ
MQ
FQ
-
£
£
+
，
又由椭圆的性质知，
1
a
c
FQ
a
c
-
£
£
+ ，得到
1
1
3
FQ
£
£
，
故所求线段MQ 长度的取值范围是
1,7
3．（24-25 高二下·四川资阳·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，
,
A B 分别是椭圆C 的左、右顶点，
,
M N 是椭圆C 上异于
,
A B 的两个点，当四边形AMBN 为菱形时，四边形AMBN 的周长为4 5 ，面积为4.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若MA ，NB 的斜率分别为
1k ，
2k ，且
2
1
3
k
k
=
，证明：直线MN 过定点.
(3)在（2）的条件下，若直线MA ，NB 交于点P ，直线NA，MB 交于点Q ，求PQ 的最小值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
= ；
(2)证明见解析；
(3)2 3 .
【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N 分别为椭圆的上、下顶点时，四边形AMBN 为菱形，
由
2
2
4
4 5
+
=
a
b
，2
4
ab =
，得
2
a =
，
1
b = ，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）依题意，直线MN 的斜率不为零，设直线MN 的方程为x
my
n
=
+
，
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
由
2
2
1
4
x
my
n
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
消去x 整理得
2
2
2
(
4)
2
4
0
m
y
mny
n
+
+
+
-
= ，
则
2
2
16(
4)
0
m
n
D =
-
+
>
，
1
2
2
2
1
2
2
2
4
4
4
mn
y
y
m
n
y y
m
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
2
1
2
1
2
4
2
my y
n
y
y
n
-
= -
+
，
而
( 2,0),
(2,0)
A
B
-
，则
1
2
1
2
1
2
,
2
2
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
因此
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
4 (
)
(
2)
2
(
2)
2
4
2
(
2)
(
)
(
2)
2
n
y
y
n
y
y
x
k
y my
n
n
n
k
y
x
y my
n
y
y
n
y
n
-
-
×
+
+
+
+
+
+
=
=
=
-
-
+
-
-
×
+
+
-
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
(
4)(
)
2 (
2)
(
2)[(
2)
(
2)
]
2
3
(
4)(
)
2 (
2)
(
2)[(2
)
(
2)
]
2
n
y
y
n n
y
n
n
y
n
y
n
n
y
y
n n
y
n
n y
n
y
n
-
+
-
+
+
-
-
+
+
=
=
=
=
-
+
-
-
-
-
+
+
-
，
解得
1
n = ，
所以直线
:
1
MN x
my
=
+ 恒过定点(1,0) .
（3）由（2）知
1
n = ，
1
2
1
2
2
2
2
3
,
4
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，得
1
2
1
2
3 (
)
2
my y
y
y
=
+
直线AM 的方程为
1
1
(
2)
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线BN 的方程为
2
2
(
2)
2
y
y
x
x
=
-
-
，
则
1
2
1
2
(
2)
(
2)
2
2
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
即
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
(
2)
(
3)
3
2
2
(
2)
(
1)
y
x
y my
my y
y
x
x
y x
y my
my y
y
+
+
+
+
=
=
=
-
-
-
-
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
3
3
(
)
3
(
3
)
2
2
3
3
1
(
)
(
3
)
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
+
+
+
=
=
=
+
-
+
，解得
4
x =
，
即可得点
(
,
)
P
P
P x
y
有
4
P
x =
，
1
1
6
2
P
y
y
x
=
+
，
同理可得点
(
,
)
Q
Q
Q x
y
有
4
Q
x =
，
2
2
6
2
Q
y
y
x
=
+
，
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
6
6
6
6
18(
)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
2
3
3
3 (
)
9
Q
P
y
y
y
y
y
y
PQ
y
y
x
x
my
my
m y y
m y
y
-
=
-
=
-
=
-
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
12
18 (
)
18 (
)
4
4
4
9
9
|
(
)
9|
|
9 |
2
4
m
y
y
y y
m
m
m
m
y
y
m
+
+
-
+
+
=
=
+
+
-
+
+
2
2
2
2
72
3
4
2
3
2 3
36
4
m
m
m
m
+
+
=
=
+
³
+
，
当且仅当
0
m =
时取等号，所以|
|
PQ 的最小值为2 3 .
4．（25-26 高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
的焦距为4，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，若点
P 为双曲线C 上一点，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线
,
PM PN ，与两条渐近线分别交于点
,
M N ，四
边形OMPN 的面积为
3
2
．设点
,
A B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点(4,0) 的直线与双曲线C 交于点
,
D E （不同
于点
,
A B ．设直线AD 与BE 交于点G，直线AE 与BD 交于点H，双曲线在点
,
D E 处的切线交于点R．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)试探究
GR
RH 是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
= .
(2)1.
【详解】（1）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
焦距为4，即2
4
c =
，故
2
c =
.
又因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
4
a
b
+
=
.
如图，设点
0
0
(
,
)
P x
y
在双曲线上，满足
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
.
而四边形OMPN 的面积为
3
2
，且由题意得四边形OMPN 为平行四边形，
因为
0
0
:
PM
b
l
y
y
x
x
a
-
= -
-
，
b
y
x
a
=
，
解得
0
0
2
2
x
ay
x
b
=
-
，
0
0
2
2
bx
y
y
a
= -
+
，则
0
0
0
0
,
2
2
2
2
x
ay
bx
y
M
b
a
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø
，
同理可得
0
0
0
0
,
2
2
2
2
x
ay
bx
y
N
b
a
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，
由平行四边形面积公式得S
OM
h
=
´
=
3
2
（h 为P 点到直线OM 的距离）.
因为
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x
ay
x
ay
OM
b
b
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；渐近线OM 为
0
bx
ay
-
=
.
所以
0
0
2
2
bx
ay
h
a
b
-
=
+
；代入得
2
ab
S
OM
h
=
´
=
，可得
3
2
2
ab =
，
所以解得
3
ab =
，解得
1
a = ，
3
b =
.
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）易知斜率不存在时候不符合题意，
故设直线方程为
(
4)
y
k x
=
-
，
0
k ¹
，
代入双曲线方程联立可得
2
2
4
1
3
k x
x
-
é
ù
ë
û
-
= ，
化简得
2
2
2
2
3
8
16
3
0
k
x
k x
k
-
+
-
+
=
.
且
2
2
2
2
2
Δ
8
4
3
16
3
180
36
0
k
k
k
k
=
+ ´
-
+
=
+
>
；
如图，设
1
1
( ,
)
D x y ，
2
2
(
,
)
E x
y
，其中
(
4)
i
i
y
k x
=
-
，
则由韦达定理得
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
+
=
- ，
2
1
2
2
16
3
3
k
x x
k
+
=
-
.
直线AD 过
( 1,0)
A -
和
1
1
( ,
)
D x y ，方程为
1
1
(
1)
1
y
y
x
x
=
+
+
.
直线BE 过
(1,0)
B
和
2
2
(
,
)
E x
y
，方程为
2
2
(
1)
1
y
y
x
x
=
-
-
.
直线AD 与BE 交于点G ，可得
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
则
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
+
=
-
+
+
-
- ，可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
-
= -
-
+
-
+
- ，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
-
-
=
+
+
-
+
- ，
可得
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
x
k x
x
k x
x
k x
x
k x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
=
+
ê
ú
+
-
+
-
+
-
+
-
ë
û
，
则
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
x
k x
x
k x
x
k x
x
k x
x
x
x
x
x
é
ù
-
-
-
+
-
-
-
+
+
-
-
=
ê
ú
+
-
+
-
ë
û
，
可得
2
1
1
2
2
1
1
2
(
1)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
4)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
+
-
= -
-
-
-
+
-
，
得到
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
4
4
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
-
-
+
-
+
-
= -
-
-
-
-
+
+
-
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
4
4
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
-
-
+
-
+
-
+
= -
-
-
-
+
+
-
+
，故
1
2
1
2
1
2
2
5
3
3
5
8
x x
x
x
x
x
x
-
= -
-
+
-
，
因为
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
+
=
- ，所以
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
=
-
-
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
8
3
8
8
16
3
2
5(
)
3
(
)
3
3
5
k
x
k
k
k
x
k
x
x
x
k
+
´
-
-
-
= -
-
-
-
-
+
-
，
得到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
40
3
24
8
32
6
5
3
3
5
3
k
x
k
k
k
x
k
x
x
x
k
+
-
-
-
= -
-
+
-
- 3
+
-
，则
2
2
2
2
2
2
32
24
3
8
6
2
3
8
k
k
x
k
x
x
k
-
+
-
+
-
-
-
= -
，
故
2
2
2
2
2
2
8
6
2
3
8
6
4(
4
3
1
2
)
k
k
x
k
k
x
x
-
+
-
= -
=
-
-
-
+
+
+
，故解得
1
4
G
x =
，
同理直线AE 与BD 交于点H ，其横坐标为
1
4
H
x
=
.
而双曲线在点D 和E 处的切线方程分别为
1
2
1
2
1,
1
3
3
yy
yy
xx
xx
-
=
-
= ，
联立解得切线交点R 的坐标为
1
4
Rx =
，
3
4
R
y
k
=
.
因此，点G ，R ，H 均在直线
1
4
x =
上；
设
1 ,
4
G
G
y
æ
ö
ç
÷
è
ø，
1 ,
4
R
R
y
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
1 ,
4
H
H
y
æ
ö
ç
÷
è
ø .
由中点坐标公式得中点坐标为
1
2
1
2
1 5
5
2
2 4
1
4
1
G
H
y
y
y
y
x
x
é
ù
+
=
×
+
×
ê
ú
+
+
ë
û
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
(
4)(
1)
(
1)(
4)
5
5
8
1
1
8
(
1)(
1)
x
x
x
x
x
x
k
k
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
-
+
+
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
16
3
8
2
3
8
2
3(
)
8
5
5
3
3
16
3
8
8
1
8
1
3
3
k
k
x x
x
x
k
k
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
æ
ö
+
´
- ´
-
ç
÷
æ
ö
-
+
-
-
-
=
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
+
+
ç
÷
-
-
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
3
8
8
24
2
3
5
5
6
3
3
3
3
16
3
8
3
8
8
5
4
3
3
3
R
k
k
k
k
k
k
k
k
y
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
-
´
- ´
-
ç
÷
-
-
-
=
=
×
=
=
ç
÷
+
-
ç
÷
+
+
ç
÷
-
-
-
è
ø
，
故R 为G 和H 的中点，即GR
RH
=
，因此
1
GR
RH = .
5．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点F 关于直线l：
1
y
x
=
+ 对称的点F¢为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø．
(1)求C 的方程；
(2)设原点为O，点P，Q 均在C 上若直线PQ 经过点
2,0 ，直线OP 与直线l¢：
4
x = - 相交于点M，点Q 在l¢上
的投影为R，设l¢与x 轴的交点为S，问：
MS
SR 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
y
x
=
(2)
MS
SR 为定值2．
【详解】（1）由已知得
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，则线段FF¢ 的中点为
2 3
,
4
4
p -
æ
ö
ç
÷
è
ø，
由题意得该中点在直线l：
1
y
x
=
+ 上，
所以3
2
1
4
4
p -
=
+ ，解得
1
p = ，
所以C 的方程为
2
2
y
x
=
．
（2）设直线PQ 的方程为
2
x
t y
=
+
，且
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
.
联立方程组
2
2
2
x
ty
y
x
î
=
=
ì
í
+
，整理得
2
2
4
0
y
ty
-
-
=
.
可得
2
Δ
2
16
0
t
= -
+
>
，且
1
2
2
y
y
t
+
=
，
1
2
4
y y = - ，则
1
2
1
2
2
ty y
y
y
= -
+
．
又直线OP 的方程为
1
1
y
y
x
x
=
，令
4
x = - ，得点M 的纵坐标
1
1
4
M
y
y
x
-
=
，
又点Q 在l¢上的射影为R，所以点R 的纵坐标
2
R
y
y
=
.则由图可得：
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
4
4
4
2
2
M
M
R
MS
y
y
y
y
y
SR
y
y
x y
ty y
y
ty
y
=
=
=
=
=
+
+
1
1
1
1
2
2
4
4
2
2
2
2
y
y
y
y
y
y
=
=
=
-
-
+
+
，
所以
MS
SR 为定值2．
6．（24-25 高二下·河南·开学考试）已知动点M 到点
0 2,
的距离比它到直线
4
0
y +
=
的距离小2 ，记动点M 的轨
迹为C .
(1)求轨迹C 的方程.
(2)已知直线:
5
l y
kx
=
+ 与轨迹C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为1l ，2l ，直线1l ，2l 相交于
点P .若AB
AP
=
，求k .
【答案】(1)
2
8
x
y
=
(2)
2
8
k = ±
【详解】（1）（1）由题意知动点M 的轨迹是以
0 2,
为焦点，
2
y = - 为准线的抛物线，
所以轨迹C 的方程为
2
8
x
y
=
.
（2）（2）设
2
1
1
1
, 8
A x
x
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
2
2
2
1
, 8
B x
x
æ
ö
ç
÷
è
ø .联立
2
8 ,
5,
x
y
y
kx
ì
=
í
=
+
î
得
2
8
40
0
x
kx
-
-
=
，
则
1
2
8
x
x
k
+
=
，
1
2
40
x x = -
，
.
易知直线1l ，2l 的斜率存在，设直线1l 的方程为
2
1
1
1
8
y
x
m x
x
-
=
-
，联立
2
1
1
2
1
,
8
8 ,
y
x
m x
x
x
y
ì -
=
-
ïïí
ï
=
ïî
，得
2
2
1
1
8
8
0
x
mx
mx
x
-
+
-
=
.
由
2
2
1
1
64
4 8
0
m
mx
x
D =
-
-
=
，解得
1
4
x
m =
，所以切线1l 的方程为
2
1
1
1
1
4
8
y
x x
x
=
-
.
同理可得，切线2l 的方程为
2
2
2
1
1
4
8
y
x x
x
=
-
.
由
2
1
1
2
2
2
1
1
,
4
8
1
1
,
4
8
y
x x
x
y
x x
x
ì
=
-
ïïí
ï
=
-
ïî
解得
1
2
1
2
,
2
,
8
x
x
x
x x
y
+
ì =
ïïí
ï
=
ïî
即点
1
2
1
2
,
2
8
x
x
x x
P
+
æ
ö
ç
÷
è
ø .
因为
2
2
2
1
2
1,
8
x
x
AB
x
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
uuur
，
1
2
1
2
1 ,
2
8
x
x
x
x
x
AP
-
æ
ö
-
= ç
÷
è
ø
uuur
，
2
2
1
2
1 ,
2
8
x
x
x
x
x
PB
-
æ
ö
-
= ç
÷
è
ø
uuur
，且AB
AP
=
，所以
0
AB
AP
PB
+
×
=
uuur
uuur
uuur
，
即
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
0
2
64
4
64
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
AB PB
AP PB
-
+
-
-
-
×
+
×
=
+
+
+
=
uuur uuur
uuur uuur
化简得
2
2
2
1
2
2
2
48
32
0
x
x x
x
+
+
=
-
=
，因此
1
2
5 2,
4 2
x
x
ì
= -
ïí
=
ïî
或
1
2
5 2,
4 2,
x
x
ì
=
ïí
= -
ïî
故
2
8
k = ±
.
7．（24-25 高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
-
= ．过y 轴正半轴上一点T 作射线TA，TB 交C
于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，且
1
2
0
y y <
．
0,0
P x
为x 轴正半轴上一点，满足2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
．
(1)若P 为C 的右焦点，求直线AB 的方程；
(2)求
0x 的取值范围；
(3)若T 在直线AB 上，且OP
OT
=
，是否存在
0x ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
？若存在，求
0x ；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
(2)
2
0,
(2,
)
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
U
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）：
因为C：
2
2
1
4
x
y
-
= ，
2
a =
，
1
b = ，
5
c =
，故
0
5
x =
．
设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
( 5,
)
TP
m
=
-
uur
，
因为2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
1
2
2
3 5
2(
)
3
x
x
y
m
y
m
m
ì
+
=
ïí
-
+
-
= -
ïî
，即
1
2
1
2
2
3 5
2
0
x
x
y
y
ì
+
=
ïí
+
=
ïî
．
设AB：x
ny
t
=
+ ，联立得
2
2
1
4
x
y
x
ny
t
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，
整理得
2
2
2
4
2
4
0
n
y
nty
t
-
+
+
-
=
，
故
1
2
2
2
4
nt
y
y
n
+
= -
-
，
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
2
2
2
2
2
Δ
(4
)
4
4
4
16
4
0
nt
n
t
n
t
=
-
-
-
=
+
-
>
，
2
2
4
n
t
+
>
．
其中
1
2
2
0
y
y
+
=
，所以
1
2
2
4
nt
y
n
=
-
，
2
2
4
4
nt
y
n
= -
-
，又
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
故
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
nt
nt
t
n
n
n
-
æ
ö
× -
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
，所以
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
．
因为
1
2
1
2
1
2
3 5
2
2
2
3
3
x
x
ny
t
ny
t
n
y
y
t
t
=
+
=
+
+
+ =
+
+
=
，
所以
5
t =
，代入
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
，解得
2 41
41
n = ±
，
故直线AB 的方程为
2 41
:
5
41
AB x
y
= ±
+
，
（或者直线AB 的方程为
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
）．
法2（定比点差法）：
因为A、B 在C 上，于是
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，即
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
4
4
1
4
x
y
x
y
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
4
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
-
+
-
=
，
因为C：
2
2
1
4
x
y
-
= ，
2
a =
，
1
b = ，
5
c =
，故
0
5
x =
．
设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
( 5,
)
TP
m
=
-
uur
，
因为2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
1
2
2
3 5
2(
)
3
x
x
y
m
y
m
m
ì
+
=
ïí
-
+
-
= -
ïî
，即
1
2
1
2
2
3 5
2
0
x
x
y
y
ì
+
=
ïí
+
=
ïî
．
故
1
2
4 5
2
5
x
x
-
=
，
联立解得
1
1
19 5
20
205
40
x
y
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，
2
2
11 5
10
205
20
x
y
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
或
1
1
19 5
20
205
40
x
y
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
2
2
11 5
10
205
20
x
y
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
．
第一种情况，得
205
205
40
20
11 5
205
41
205
:
10
20
2
2
19 5
11 5
20
10
AB y
x
x
æ
ö
- -
ç
÷ æ
ö
è
ø
=
-
-
= -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
；
第二种情况，同理得
205
205
11 5
205
41
205
40
20
:
10
20
2
2
19 5
11 5
20
10
AB y
x
x
-
-
æ
ö
=
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
．
故直线AB 的方程为
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
．
（2）设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
0
(
,
)
TP
x
m
=
-
uur
，
2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
0
1
2
2
3
2(
)
3
x
x
x
y
m
y
m
m
+
=
ì
í
-
+
-
= -
î
，即
1
2
0
1
2
2
3
2
0
x
x
x
y
y
+
=
ì
í
+
=
î
，
设AB：x
ny
t
=
+ ，联立得
2
2
1
4
x
y
x
ny
t
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，
整理得
2
2
2
4
2
4
0
n
y
nty
t
-
+
+
-
=
，
故
1
2
2
2
4
nt
y
y
n
+
= -
-
，
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
2
2
2
2
2
Δ
(4
)
4
4
4
16
4
0
nt
n
t
n
t
=
-
-
-
=
+
-
>
，
2
2
4
n
t
+
>
．
其中
1
2
2
0
y
y
+
=
，所以
1
2
2
4
nt
y
n
=
-
，
2
2
4
4
nt
y
n
= -
-
，又
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
故
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
nt
nt
t
n
n
n
-
æ
ö
× -
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
，所以
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
．
又
0
1
2
1
2
1
2
3
2
2
2
3
3
x
x
x
ny
t
ny
t
n
y
y
t
t
=
+
=
+
+
+ =
+
+
=
，故
0x
t
= ，
故
2
2
2
0
0
9
4
4
16
x
n
x
-
=
-
，
当
2
0
9
4
0
x -
=
，即
0
2
3
x =
时，
2
2
2
0
4
16
3
n
æ
ö
×
=
´
-
ç
÷
è
ø
，无解，舍去；
当
2
0
9
4
0
x -
¹
，即
0
2
3
x ¹
时，整理得
2
2
0
2
0
4
16
0
9
4
x
n
x
-
=
>
-
，
解得
0
2
x >
或
0
2
0
3
x
<
<
．
综上所述，
0x 的取值范围是
2
0,
(2,
)
3
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
；
（3）不存在，理由如下：
假设存在，|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
等价于|
|
|
|
|
|
|
|
PA
TA
PB
TB
=
．
由（2）知，A、P、B 三点共线，又T 在直线AB 上，所以T、A、P、B 四点共线，
则直线
0
:
AB x
ny
x
=
+
，又
0
0,
T
x
，故
1
n = - ，
从水平方向上看，有
0
1
1
2
0
2
x
x
x
x
x
x
-
=
-
，整理得
1
2
0
1
2
2x x
x
x
x
=
+
．
从竖直方向上看，有
0
1
1
2
0
2
x
y
y
y
x
y
-
=
-
-
，整理得
1
2
0
1
2
2y y
x
y
y
=
+
．
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x x
y y
x
x
y
y
=
+
+
，
又由（2）得
0
1
2
2
2
4
nx
y
y
n
+
= -
-
，
2
0
1
2
2
4
4
x
y y
n
-
=
-
，
0
1
2
1
2
0
2
8
2
4
x
x
x
n y
y
x
n
+
=
+
+
= -
-
，
2
2
0
2
2
1
2
1
2
0
1
2
0
2
4
4
n
x
x x
n y y
nx
y
y
x
n
+
=
+
+
+
= -
-
，
所以
2
2
0
1
2
1
2
0
2
n
x
x x
x
x
x
+
=
+
，
2
0
1
2
1
2
0
4
2
x
y y
y
y
nx
-
= -
+
，代入整理得
3
2
0
4
1
n
x
n
-
=
+
．
而
1
2
0
1
2
2y y
x
y
y
=
+
，所以
2
0
0
0
4
x
x
nx
-
= -
，整理得
2
0
4
1
x
n
=
+ ，
所以
3
4
4
1
1
n
n
n
-
=
+
+
，解得
0
n =
，与
1
n = - 矛盾．
故不存在这样的
0x ．
8．（24-25 高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长为2 2 ，点
2,1
P
在C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知直线:
2
=
+
l y
kx
与椭圆C 交于A ，B 两点，且
6
AB =
，求k 的值．
【答案】(1)椭圆C 的标准方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)
2
2
k = ±
【详解】（1）因为椭圆C 的短轴长为2 2 ，所以短半轴长
2
b =
。
所以椭圆C 的标准方程为：
2
2
2
1
2
x
y
a +
= ，又因为点
2,1
P
在椭圆上，
所以
2
2
2
( 2)
1
1
2
a
+
= ，所以
2
2
1
2
a =
，解得
2
a =
，
所以椭圆C 的标准方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
= ；
（2）设直线:
2
=
+
l y
kx
与椭圆C 的交点为A 和 B 的坐标分别为
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
。
由
2
2
2
1
4
2
y
kx
x
y
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
，可得
2
2
2
2 2
2
1
4
2
x
k x
kx
+
+
+
= ，
整理得
2
2
1
2
2
0
4
k
x
k
x
æ
ö
+
+
=
ç
÷
è
ø
，
2
2
1
2
Δ
2
4
0
0
4
k
k
+
=
- ´
´
>
，解得
0
k ¹
，
所以
1
2
1 2
2
2
2
4 2 ,
0
1 2
1 2
4
k
k
x
x
x x
k
k
+
=-
=-
=
+
+
，
因为
6
AB =
∣
∣
，所以
2
2
2
4 2
1
4 0
6
1
2
k
k
k
é
ù
æ
ö
ê
ú
+
-
- ´
=
ç
÷
ç
÷
+
ê
ú
è
ø
ë
û
，
所以
2
4
2
2
32
32
6
(1
2
)
k
k
k
+
=
+
，所以
2
2
2
2
32
1
6(1
2
)
k
k
k
+
=
+
整理得
4
2
8
8
6
0
k
k
+
-
=
，解得
2
1
2
k =
或
2
3
2
k = -
（舍去），
所以
2
2
k = ±
.
1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长是短轴长的2 倍，点
2, 2
E
在椭圆上，直
线l 与圆
2
2
4
x
y
+
= 相切，且与椭圆交于,
A B 两点，O 为坐标原点.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)①求证：OA
OB
^
；
②求
AOB
V
面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
12
6
x
y
+
=
(2) 4,3 2
é
ù
ë
û
【详解】（1）根据题意，
2
2
2
2
2
2
2
1
a
b
a
b
ì =
ïí
+
=
ïî
，
解得
2
2
12
6
a
b
ì
=
í
=
î
，所以椭圆C 的标准方程为
2
2
1
12
6
x
y
+
= ；
（2）①当直线l 斜率不存在时，则切线方程为
2
x = ± ，
联立
2
2
2
1
12
6
x
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
可得
2
2
x
y
=
ì
í
= ±
î
，
所以，直线
2
x =
与椭圆C 的两个交点分别为
2,2
A
、
2, 2
B
-
，
此时
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，即OA
OB
^
，
同理可知，直线
2
x = - 与椭圆C 的两个交点分别为
2,2
A -
、
2, 2
B -
-
，
此时
0
OA OB
×
=
uuur uuur
，即OA
OB
^
；
当切线斜率存在时，设切线方程为y
kx
m
=
+
，
与椭圆方程联立消去y 并整理可得
2
2
2
2
1
4
2
12
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
2
2
2
2
Δ
16
4 2
1
2
12
0
k m
k
m
=
-
+
-
>
，可得
2
2
12
6
m
k
<
+
，
设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，由韦达定理可得
1
2
2
4
2
1
km
x
x
k
+
=-
+
，
2
1
2
2
2
12
1
2
m
x x
k
-
=
+
，
因为直线y
kx
m
=
+
与圆
2
2
4
x
y
+
= 相切，则
2
2
1
m
k
=
+
，即
2
2
4
4
m
k
=
+
，
考点二
三角形面积问题
所以，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
OA OB
x x
y y
x x
kx
m
kx
m
k
x x
km x
x
m
×
=
+
=
+
+
+
=
+
+
+
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
12
4
3
12
12
0
2
1
2
1
k
m
k m
m
k
m
k
k
+
-
-
-
-
=
+
=
=
+
+
，所以，OA
OB
^
.
综上所述，OA
OB
^
；
②由题意可得点O 到直线l 的距离为2 ，
由①知当切线斜率不存在时，
4
AB =
，
1
4 2
4
2
ABO
S
=
´ ´
=
V
；
当切线斜率存在时，由弦长公式可得
2
1
2
|
|
1
|
|
k
AB
x
x
=
×
-
+
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
2
12
1
4
1
4
1
2
1
2
km
m
k
x
x
x x
k
k
k
é
ù
-
æ
ö
é
ù
=
+
+
-
=
+
-
- ×
ê
ú
ç
÷
ë
û
+
+
è
ø
ê
ú
ë
û
2
2
2
2
4
2
2
16 4
1
1
4
1
4
4
1
1
2
k
k
k
k
k
k
+
+
æ
ö
=
=
+
ç
÷
+
+
è
ø
+
，
当
0
k ¹
时，
2
2
2
2
1
1
4
4 1
4 1
3 2
1
1
4
4
2 4
4
AB
k
k
k
k
<
=
+
£
+
=
+
+
×
+
，
当且仅当
2
2
k = ±
时，等号成立，
所以
1
3 2
2
3 2
2
ABO
S
£
´
´
=
V
，
综上，
AOB
V
的取值范围为4,3 2
é
ù
ë
û .
2．（24-25 高二下·海南海口·期末）已知A，F 是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的右顶点和左焦点，椭圆E 过点
3
1, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，且焦距为2．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线FB 与E 交于M 点（不与B 点重合），求ABM
V
的面积．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2) 45
14
【详解】（1）因为焦距为2
2
c =
，即
1
c = ，
方法一：由题意可得：
2
2
2
2
9
1
4
1
1
a
b
a
b
ì
ïï
+
=
í
ï
-
=
ïî
，解得
2
4
a =
，
2
3
b =
，
所以椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
方法二：由题意可知：
1,0
F -
，右焦点
1,0
F¢
，则
1
c = ，
可得
2
2
2
2
3
3
5
3
1 1
1 1
4
2
2
2
2
2
BF
BF
a
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
-
+
=
+
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
¢
，
即
2
a =
，可得
2
2
3
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
（2）因为
3
1, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø ，
1,0
F -
，直线BF 方程为
0
1
3
1 1
0
2
y
x
-
+
=
+
-
，即3
4
3
0
x
y
-
+
=
，
联立方程
2
2
3
4
3
0
1
4
3
x
y
x
y
-
+
=
ìïí
+
=
ïî
，消去y 可得
2
7
6
13
0
x
x
+
-
=
，解得
1
x = 或
13
7
x = -
，
可得
2
3
13
25
1
1
4
7
7
BM
æ
ö
=
+
+
=
ç
÷
è
ø
，
且
2,0
A
到直线
3
4
:
3
0
x
y
BF
-
+
=
的距离为
2
2
9
9
5
3
4
=
+
，
所以ABM
V
的面积
1
25
9
45
2
7
5
14
ABM
S
=
´
´
=
△
．
3．（24-25 高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点
,
P x y 到点
10
F
,
的距离与它到直线
4
x =
的距离之比为
1
2 ，
过点F 的直线l 与动点P 的轨迹C 相交于
,
A B 两点．
(1)求动点P 的轨迹C 的方程．
(2)是否存在直线l ，使得
AOB
V
的面积为
3 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）因为点
,
P x y 到点
1,0
F
的距离为
2
2
(
1)
x
y
-
+
，
点
,
P x y 到直线
4
x =
的距离为
4
x -
，
所以
2
2
(
1)
1
4
2
x
y
x
-
+
=
-
，
化简得
2
2
2
4(
1)
4
8
16
x
y
x
x
-
+
=
-
+
，即
2
2
3
4
12
x
y
+
=
，
所以动点P 的轨迹C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
（2）由题意可知直线l 的斜率不为0，
故设直线l 的方程为
1
1
2
2
1,
,
,
,
x
my
A x y
B x
y
=
+
．
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
．直线l 过点F，必有
0
D >
，
由韦达定理可得，
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
所以
AOB
V
的面积
2
1
2
1
2
1
2
1
1
4
2
2
AOB
S
OF
y
y
OF
y
y
y y
=
´
-
=
+
-
V
，
2
2
2
2
2
1
6
9
6
1
1
4
2
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
+
æ
ö
æ
ö
=
´ ´
-
-
-
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
．
令
2
1
t
m
=
+ ，则
2
2
1
1
m
t
t
=
-
³
，所以
2
6
1
3
1
AOB
t
S
t
t
=
³
+
V
．
令
2
6
1
3
1
t
g t
t
t
=
³
+
，则
2
2
2
6 1 3
( )
0,
3
1
t
g t
g t
t
-
=
<
¢
+
在
1,+¥ 上单调递减，
所以
max
6
3
( )
1
3 1
2
g t
g
=
=
=
+
，即
AOB
V
面积的最大值为3
2 ．
因为3
3
2 <
，所以不存在直线l ，使得
AOB
V
面积为
3 ．
4．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知动点P 到
1, 0
F
的距离比点P 到直线
2
x = - 的距离小1，动点P 的轨
迹为C ．
(1)求C 的方程；
(2)设
, 4
P a
，过点F 的直线交C 于,
A B 两点（异于点P ）．
（i）若PA
PB
^
，求直线AB 的方程；
（ii）过点F 与直线AB 垂直的直线交C 于
,
D E 两点，设线段
,
AB DE 的中点分别为
,
,
M N O 是坐标原点，求OMN
V
面积的最小值．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2)（i）4
7
4
0
x
y
+
-
=
（ii）6
【详解】（1）由题意知，动点P 到定点
1,0
F
的距离等于点P 到定直线
1
x = - 的距离，根据抛物线的定义可知，点
P 的轨迹是抛物线；
因为
2
p =
，所以抛物线的方程为
2
4
y
x
=
，
即点P 的轨迹C 的方程为
2
4
y
x
=
.
（2）（ⅰ）由（1）可得
4,4
P
，设直线AB 的方程为
3
1
4
x
my
m
æ
ö
=
+
¹
ç
÷
è
ø ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.，
由方程组
2
1
4
x
my
y
x
=
+
ì
í
=
î
，消去x ，得
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，
则
2
16
16
0
m
D =
+
>
，
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
+
=
= -
所以
1
1
1
1
4,
4
3,
4
PA
x
y
my
y
=
-
-
=
-
-
uuur
，
2
2
2
2
4,
4
3,
4
PB
x
y
my
y
=
-
-
=
-
-
uuur
.
由PA
PB
^
可得
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
4
4
1
3
4
25
PA PB
my
my
y
y
m
y y
m
y
y
×
=
-
-
+
-
-
=
+
-
+
+
+
uuur uuur
2
4
1
4
3
4
25
3
4
4
7
0
m
m
m
m
m
= -
+
-
+
+
=
-
+
=
解得
7
4
m = -
或
3
4
m =
（舍）.所以直线AB 的方程为
7
1
0
4
x
y
+
- =
，即4
7
4
0
x
y
+
-
=
（ⅱ）由（ⅰ）可得
1
2
1
2
4 ,
4
y
y
m y y
+
=
= - ，故
2
1
2
1
2
2
4
2,
x
x
m y
y
m
+
=
+
+
=
+
故
2
2
1,2
M
m
m
+
，
将m 换成
1
m
-
可得
2
2
2
1,
N
m
m
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø ，
当
1
m = ± 时，
3,2 ,
3, 2
M
N
-
或
3, 2 ,
3,2
M
N
-
，故直线MN 的方程为
3
x =
，
当
1
m ¹ ± 时，
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
MN
m
m
m
k
m
m
m
+
=
=
-
+ -
-
，
故直线MN 的方程为
2
2
2
2
1
1
m
y
m
x
m
m
-
=
-
-
-
，
令
0
y =
，得
3
x =
，
1
1
3
3
6
2
OMN
M
N
S
y
y
m
m
=
´ ´
-
=
+
³
V
，
当且仅当
1
m = ± 时等号成立，所以OMN
V
面积的取值范围为
6,+¥ ，所以OMN
V
面积的最小值为6 .
5．（24-25 高二下·安徽滁州·期末）在圆
2
2
4
x
y
+
= 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，垂足为D ．点Q 在
线段PD 上，且满足
3
2
DQ
DP
=
uuur
uuur
．当点P 在圆上运动时，记点Q 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的标准方程．
(2)过点
10
F
,
的直线l 交曲线C 于
,
A B 两点，过点F 与l 垂直的直线交曲线C 于D ，E 两点，其中,
A D在x 轴上
方，M ，N 分别为AB ，DE 的中点．
（ⅰ）证明：直线MN 过定点；
（ⅱ）求FMN
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）9
49
【详解】（1）解：设点
( , )
Q x y 是所求曲线C 上的一点，且
1
1
( ,
)
P x y
，
由PD
x
^
轴于D ，则
1
( ,0)
D x
，因为
3
2
DQ
DP
=
uuur
uuur
，可得
1
1
2
3
x
x
y
y
=
ìïí
=
ïî
，
因为点P 是圆
2
2
4
x
y
+
= 上任意一点，则
2
2
2
(
)
4
3
x
y
+
=
，即
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
即曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）解：（i）当直线l 的斜率存在且不为0 时，设直线l 方程为
(
1)
y
k x
=
-
，且
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
联立方程组
2
2
1
1
4
3
y
k x
x
y
ì
=
-
ïí
+
=
ïî
，整理得
2
2
2
2
(3
4
)
8
4
12
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
可得
2
1
2
2
8
3
4
k
x
x
k
+
=
+
，则
2
1
2
1
2
2
2
8
6
(
2)
(
2)
3
4
3
4
k
k
y
y
k x
x
k
k
k
+
=
+
-
=
-
= -
+
+
，
所以点M 的坐标为
2
2
2
4
3
(
,
)
3
4
3
4
k
k
M
k
k
-
+
+
，
因为直线DE 与直线l 垂直，所以直线DE 的方程为
1 (
1)
y
x
k
= -
-
，
设
3
3
4
4
(
,
),
(
,
)
D x
y
E x
y
，
联立方程组
2
2
1
1
1
4
3
y
x
k
x
y
ì
= -
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，整理得
2
2
2
(3
4)
8
4 12
0
k
x
x
k
+
-
+
-
=
，
可得
3
4
2
8
3
4
x
x
k
+
=
+
，则
3
4
3
4
2
1
6
(
2)
3
4
k
y
y
x
x
k
k
+
= -
+
-
=
+
，
所以点N 的坐标为
2
2
4
3
(
,
)
3
4 3
4
k
N
k
k
+
+
，
则直线MN 的斜率为
2
2
2
2
2
3
3
3
4
3
4
4
4
3
4
3
4
MN
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
+
=
+
+
+
，
所以直线MN 的方程为
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
4
3
4
3
4
(
)
4
4
3
4
3
4
3
4
3
4
k
k
k
k
k
y
x
k
k
k
k
k
+
+
+
-
=
-
+
+
-
+
+
，
即
2
2
2
3
7
4
(
)
3
4
4(
1)
3
4
k
k
y
x
k
k
k
-
= -
-
+
-
+
，
令
0
y =
，解得
4
7
x =
，所以直线MN 过定点
4
( ,0)
7
G
；
当直线l 的斜率不存在时，直线l 方程为
1
x = ，可得
3
3
(1, ), (1,
)
2
2
A
B
-
，则
(1,0)
M
，
直线DE 的方程为
0
y =
，可得
( 2,0),
(2,0)
D
E
-
，则
(0,0)
N
，直线MN 过定点
4
( ,0)
7
G
，
综上可得，直线MN 过定点
4
( ,0)
7
G
.
（ii）由（i）知，直线MN 过定点4
( ,0)
7
，且
2
2
3
3
,
3
4
3
4
M
N
k
k
y
y
k
k
= -
=
+
+
，
可得
4
3
1
7
7
GF =
-
=
，则
2
2
1
3
3
3
2
14 3
4
3
4
FMN
M
N
k
k
S
GF y
y
k
k
=
-
=
×
+
+
+
V
2
2
2
2
2
1
(1
)
9
9
1
2 (3
4
)(4
3
)
2 12(
)
25
k
k
k
k
k
k
k
k
+
+
=
×
=
×
+
+
+
+
，
令
1
t
k
k
=
+
，则
2
t ³
，则
2
2
2
1
1
1
1
12
1
12(
)
25
12
k
k
t
t
k
t
k
t
+
=
=
+
+
+
+
，
令
1
12
y
t
t
=
+ 在[2,
)
+¥ 上为单调递增函数，当
2
t =
时，
min
49
2
y
=
，
即
1
k = 时，FMN
V
面积取得最大值，最大值为9
2
9
2
49
49
´
=
.
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，圆
2
2
:
1
16
E
x
y
+
+
=
，
10
F
,
是圆E 内一个定点，M 是圆E 上任意一点.线
段MF 的垂直平分线和半径EM 相交于点N ，当点M 在圆上运动时，记动点N 的轨迹为曲线C .
(1)求曲线C 的方程；
(2)记C 的左顶点为A ，直线l 与C 交于,
P Q 两点，直线
,
AP AQ 的斜率之积为
1
4
-
.
（i）证明：直线l 过定点；
（ii）若P 在x 轴上方，直线PE 与圆E 交于点B ，点B 在x 轴上方，是否存在点P ，使得
PBF
△
与
QEF
△
的面积
之比为3:5?若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题意可知，
4
2
NE
NF
NM
NE
EF
+
=
+
=
>
=
，
由椭圆定义可得，点N 的轨迹是以
,
E F 为焦点的椭圆，且长轴长2
4
a =
，焦距2
2
c
EF
=
=
，
所以
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，因此曲线C 方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）设直线l 为x
my
n
=
+
，设
1
1
2
2)
( ,
),
(
,
P x y
Q x
y
由
2
2
3
4
12
x
y
x
my
n
ì
+
=
í =
+
î
，消去x 得
2
2
2
4
3
6
3
12
0
m
y
mny
n
+
+
+
-
=
，
2
2
48(3
4)
0
m
n
D =
-
+
>
，则
1
2
2
2
1
2
2
6
3
4
3
12
3
4
mn
y
y
m
n
y y
m
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
所以
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
4
2
2
y
y
y y
y y
x
x
my
n
my
n
m y y
m n
y
y
n
×
=
=
= -
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
，
则
2
2
2
2
2
2
2
3
12
1
3
4
3
12
6
4
2
2
3
4
3
4
n
m
n
mn
m
m n
n
m
m
-
+
= -
-
´
-
+
´
+
+
+
+
，整理得
2
2
0
n
n
+
-
= ，解得
1
n = 或
2
n = - ，
当
2
n = - 时，直线方程为
2
x
my
=
-
，过点
2,0
-
，不合题意，舍去，
当
1
n = 时，直线方程为
1
x
my
=
+ ，过定点
1,0 ，命题得证.
（ii）设
1
1
,
P x y
，因为
1,0 ,
1,0
E
F
-
，则
2
2
1
1
1
PE
x
y
=
+
+
，
又
2
2
1
1
1
4
3
x
y
+
= ，得到
2
2
1
1
3
3
4
x
y =
-
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
3
2
4
2
4
4
2
x
PE
x
x
x
x
=
+
+ -
=
+
+
=
+
，又
1
2
2
x
- £
£
，
则
1
1
2
2
PE
x
=
+
，同理可得
1
1
2
2
PF
x
=
-
，
2
1
2
2
QF
x
=
-
因为
4
PBF
PEF
PB
PE
S
S
PE
PE
-
=
=
V
V
，
PEF
QEF
PF
S
S
QF
=
V
V
，
又由（i）知，
1
2
2
1
2
2
6
3
4
9
3
4
m
y
y
m
y y
m
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，所以
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
12
2
1
1
1
1
2
2
1
1
3
3
9
3
2
2
2
2
m y
y
PF
QF
my
my
m y
y
m y y
x
x
-
+
+
=
+
=
+
=
-
-
-
+
+
-
-
2
2
2
2
2
2
2
2
6
12
3
4
3
4
6
9
9
3
4
3
3
4
12
2
1
9
3
4
3
4
2
9
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
=
+
=
=
+
-
´
+
´
+
+
´
+
+
，
得到
4
3
1
3
PF
QF
PF
-
=
，
所以
4
1
3
PEF
QEF
S
PF
S
=
-
V
V
，
则
1
1
1
1
1
1
1
2
4
4
4
5
2
5
2
3
2
1
1
3
3
3
4
3
3
5
2
2
PBF
QEF
x
PE
S
x
PF
x
x
S
PE
x
x
-
-
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
-
=
-
=
-
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
è
ø
è
ø
è
ø
+
V
V
，
整理得
2
1
1
5
37
32
0
x
x
-
+
=
，解得
1
1
x = 或
1
32
5
x =
，
又
1
2
2
x
- £
£
，则
1
1
x = ，代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，得到
1
3
2
y =
，此时
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø ，故存在
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø 满足题意.
7．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，右焦点
(1,0)
F
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线:
(
0)
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P，A 两点，过点
0
0
,
P x
y
作PC
x
^
轴，垂足为点C，直线AC 交椭圆E 于
另一点B．
（i）证明：AP
BP
^
．
（ⅱ）求ABP
V
面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（i）证明见解析；（ii）8
9 .
【详解】（1）由题意椭圆右焦点
1,0
F
可得
1
c = ，
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
可得
2
2
1
1
1
2
a
b
+
= ，
由
2
2
2
1
a
b
c
-
=
= 整理得
2
2
2
1
1
0
b
b
+
-
=
，得
1
b = ，
所以
2
a =
，椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ．
（2）(i)证明：Q直线
:
0
l y
kx k
=
¹
与椭圆E 交于P ，A 两点，设P 为第一象限点，
0
0
,
P x
y
，PC
x
^
轴，如
图，\点A 的坐标为
0
0
,
x
y
-
-
，点C 的坐标为
0,0
x
，
设
,
B x y ，则有
2
2
0
0
1
2
x
y
+
= ，
2
2
1
2
x
y
+
= ，
两式相减得：
0
0
0
0
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
，
又
0
0
AB
y
y
k
x
x
+
=
+
，
0
0
BP
y
y
k
x
x
-
=
-
，
0
0
0
0
1
2
AB
BP
y
y y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
\
×
=
×
= -
-
+
，
又
0
0
1
2
2
2
AB
AC
PA
y
k
k
k
k
x
=
=
=
×
=
，
1 2
1
2
BP
k
k
k
\
= -
×
= -
，
又
AP
k
k
=
，
1
1
AP
BP
k
k
k
k
æ
ö
\
×
=
× -
= -
ç
÷
è
ø
，因此，AP
BP
^
．
(ii)解：由对称性不妨设
0
k >
，
0
0
,
P x kx
在第一象限，
由
:
AP y
kx
=
与椭圆联立得
2
2
2
1
2
k
x
+
=
，
所以
2
0
2
2
1
k
x =
+
，则
2
2
2
2
2
1
2
1
AP
OP
k
k
=
=
+ ×
+
．
设直线AP 与AB 倾斜角分别为
1
2
,
q q ，则
1
2
tan
,tan
2
k
k
q
q
=
=
，
所以
1
2
2
2
tan
tan
2
1
2
k
k
k
PAB
k
k
k
q
q
-
Ð
=
-
=
=
+
+
×
，
由(i)，
2
2
2
2
4
1
1
1
tan
2
2
2
2
1
ABP
k k
S
AP
BP
AP
PAB
k
k
+
=
×
=
×
Ð
=
+
+
V
，
令
2
2
2
4
1
2
2
1
k k
f k
k
k
+
=
+
+
，则
2
4
2
6
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
2
3
2
8
4
4
8
2
2
1
2
2
1
k
k
k
k
k
k
f
k
k
k
k
k
-
-
+
+
¢
-
-
+
+
=
=
+
+
+
+
，
当
0,1
k Î
时
0
f
k
¢
>
，当
1,
k
¥
Î
+
时
0
f
k
¢
<
，
即
f k 在
0,1 上单调递增，在
1, ¥
+
上单调递减，因此
max
8
1
9
f k
f
=
=
，
即
ABP
S△
的最大值为8
9 ．
8．（25-26 高三上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
y
x
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的上焦点F 也是抛物线
2
:
4
C x
y
=
的焦
点，E 的上顶点为A ，下顶点为B ，且|
| 4
AB =
.
(1)求E 的方程.
(2)过点F 作一条斜率为k 的直线l ，与E 交于P ，Q 两点，与C 交于M ，N 两点.
（i）若
2
|
|
|
|
t
PQ
MN
+
为定值，求t 的值.
（ii）是否存在实数k ，使得BMN
V
的面积恰好是
APQ
△
的面积的3 倍？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
y
x
+
=
(2)（i）
2
3
t = -
；（ii）不存在，理由见解析
【详解】（1）由C 的方程可知
(0,1)
F
，所以E 的半焦距
1
c = ，
又
|
|
2
2
AB
a =
=
，所以
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，故E 的方程为
2
2
1
4
3
y
x
+
= ；
（2）设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
3
3
,
M x
y
，
4
4
,
N x
y
，
由题意可得l 的方程为
1
y
kx
=
+ ，与E 的方程联立，得
2
2
1
1
4
3
y
kx
y
x
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，
消去y 得
2
2
3
4
6
9
0
k
x
kx
+
+
-
=
，
2
1
Δ
144
1
0
k
=
+
>
，
所以
1
2
2
6
3
4
k
x
x
k
-
+
=
+
，
1
2
2
9
3
4
x x
k
-
=
+
，
故
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
12
1
6
36
1
4
1
3
4
3
4
3
4
k
k
PQ
k
x
x
x x
k
k
k
k
+
-
æ
ö
=
+
+
-
=
+
+
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
将l 与C 的方程联立，得
2
1
4
y
kx
x
y
ì
=
+
í
=
î
，
消去x 得
2
2
2
4
1
0
y
k
y
-
+
+ =
，
2
2
2
Δ
16
1
0
k
k
=
+
>
，
所以
2
3
4
4
2
y
y
k
+
=
+
，故
3
4
|
|
2
MN
y
y
=
+
+
=
2
4
1
k +
，
（i）要使
2
2
2
6
8
3
12
1
t
k
t
PQ
MN
k
+ +
+
=
+
为定值，则8
3
6
t
+
=
，解得
2
3
t = -
，
此时
2
|
|
|
|
t
PQ
MN
+
为定值
1
2 ；
（ii）不存在，理由如下：
由已知可得|
| 3|
|
FB
FA
=
，则点B 到l 的距离是点A 到l 的距离的3 倍，
要使BMN
V
的面积恰好是
APQ
△
的面积的3 倍，则必须满足|
| |
|
MN
PQ
=
，
而
2
2
2
2
2
2
12
1
4
1 3
1
4
1
0
3
4
3
4
k
k
k
MN
PQ
k
k
k
+
+
+
-
=
+
-
=
>
+
+
，
即|
| |
|
MN
PQ
>
，故不存在满足条件的实数k .
1．（24-25 高二下·上海金山·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴为MN ，椭圆的离心率
3
2
e =
，左右
焦点分别记作
1F 、
2F ，且
1
1
1
MF
NF
×
= ，过
1F 、
2F 分别作直线1l 、2l 交椭圆于AB 、CD （,
B C 在x 轴上方），且
1
2
l
l
// ；
(1)求此椭圆方程．
(2)当直线1l 的斜率
1k 与直线BC 的斜率
2k 都存在时，求证：
1
2
k
k
×
为定值．
(3)求四边形
1
2
AF F D 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)证明见解析
(3) 2
【详解】（1）设
2
2
2
c
a
b
=
-
，
0
c >
，
1
1
1
MF
NF
a
c
a
c
×
=
-
+
= ，得到
2
1
b = ；
又因为
3
2
c
a =
，所以
2
4
a =
，
2
3
c =
，
2
1
b = ．
即椭圆方程为
2
2
1
4
x
y
+
= ．
（2）设
1
1
A x
y
，
，
2
2
B x
y
，
，根据对称性，有
1
1
C
x
y
-
-
，
，因为
1
1
A x
y
，
，
2
2
B x
y
，
都在椭圆C 上，
所以
2
2
1
1
1
4
x
y
+
= ，
2
2
2
2
1
4
x
y
+
= ，二式相减得，
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
x
x
y
y
-
+
-
=
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
4
y
y
y
y
y
y
k k
x
x
x
x
x
x
-
+
-
=
×
=
= -
-
+
-
为定值．
（3）由题意得，直线1l 的倾斜角不为0 ，由对称性得四边形ABCD 为平行四边形，
1 2
2
4
ABCD
AF F D
OAB
S
S
S
=
×
=
×
Y
Y
V
，
1
3 0
F -
，，设直线1l 的方程为
3
x
my
=
-
，代入
2
2
1
4
x
y
+
= ，
得
2
2
4
2 3
1
0
m
y
my
+
-
- =
．显然Δ
0
>
，
1
2
2
2 3
4
m
y
y
m
+
=
+
，
1
2
2
1
4
y
y
m
-
×
=
+
．
所以
2
1
2
2
2
1
3
2 3
1
3
4
2
2
4
4
OAB
m
S
y
y
m
m
æ
ö
-
=
×
×
-
=
×
- ×
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
V
2
2
2
1
2 3
4
m
m
+
=
×
+
，
考点三
四边形面积问题
设
2
1
m
t
+ = ，所以
2
1
m
t
= - ，
1
t
¥
Î
+
．
所以
2
2
2
2
1
1
1
9
6
9
12
4
6
m
t
t
t
m
t
t
+
=
=
£
+
+
+
+
+
．
当且仅当
9
t
t
=
即
2
m = ±
时等号成立，所以
1
2 3
1
12
OAB
max
S
=
×
=
V
．
所以平行四边形面积的最大值为
1 2
2
2
AF F D
OAB
S
S
=
×
=
V
．
2．（24-25 高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为2，点
3
1, 2
Aæ
ö
ç
÷
è
ø 在C 上，F 是C
的右焦点．
(1)求C 的方程；
(2)如果直线:
(
0,
R)
l x
my
t m
t
=
+
<
Î
与C 相交于P，Q 两点，且射线FA 平分
PFQ
Ð
．
（ⅰ）求m 的取值范围，并证明l 过定点；
（ⅱ）求四边形FPAQ 的面积S 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（i）(
, 2)
-¥ -
，证明见解析；（ii）(0,3)
【详解】（1）设
( ,0)
F c
，则
2
2
2
2
2
1
9
1,
4
2
2,
,
a
b
c
a
b
c
ì
+
=
ï
ï
=
í
ï
=
+
ï
î
解得
2,
3,
a
b
=
ìïí =
ïî
所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ．
（2）（ⅰ）将x
my
t
=
+ 代入
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，
消去x 并整理，得
2
2
2
3
4
6
3
12
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，
2
2
2
(6
)
4 3
4
3
12
0
mt
m
t
D =
-
+
-
>
，即
2
2
3
4
0
m
t
-
+
>
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
2
1
2
1
2
2
2
6
3
12
,
3
4
3
4
mt
t
y
y
y y
m
m
-
+
= -
=
+
+
．
由
3
(1,0),
1, 2
F
Aæ
ö
ç
÷
è
ø ，可知AF
x
^
轴，
所以AF 平分
PFQ
Ð
等价于
0
PF
QF
k
k
+
=
，
又
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
PF
QF
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
-
+
=
+
=
-
-
-
-
，
所以
1
2
2
1
1
1
0
y
x
y
x
-
+
-
=
，即
1
2
2
1
1
1
0
y
my
t
y
my
t
+ -
+
+ -
=
，
整理，得
1
2
1
2
2
(
1)
0
my y
t
y
y
+
-
+
=
，
所以
2
2
2
2
3
12
6
(
1)
0
3
4
3
4
m
t
mt t
m
m
-
-
-
=
+
+
，化简，得
(
4)
0
m t -
=
，
因为
0
m <
，所以
4
t =
，
将
4
t =
代入
2
2
3
4
0
m
t
-
+
>
，得
2
4
m >
，结合
0
m <
，解得
2
m < - ，
所以m 的取值范围是(
, 2)
-¥ -
．
又l 的方程为
4(
2)
x
my
m
=
+
< -
，所以l 经过定点(4,0) ．
（ⅱ）由（ⅰ）知
1
2
1
2
2
2
24
36
4,
2,
,
3
4
3
4
m
t
m
y
y
y y
m
m
=
< -
+
= -
=
+
+
，
则四边形FPAQ 的面积
2
1
2
1
1
3
|
|
2
4
PFA
QFA
S
S
S
FA x
x
x
x
=
+
=
-
=
-
△
△
2
2
2
1
2
1
3
3
4
4
4
4
x
x
my
my
=
-
=
+
-
-
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
3
3
4
4
4
m
y
y
m
y
y
y y
é
ù
=
-
=
+
-
ë
û
2
2
2
2
2
2
2
2
4
3
24
144
9
,
4
3
4
3
4
3
4
m
m
m
m
m
m
m
-
é
ù
æ
ö
=
-
-
=
ê
ú
ç
÷
+
+
è
ø
ê
ú
+
ë
û
令
2
1
3
4
m
u =
+
，则
2
1
4
3
u
m
u
-
=
；
由
2
m < - ，得1
16
u >
，解得
1
0
16
u
<
<
．
所以
2
2
2
1
4
1 16
5
9
9
3 64
20
1
3 64
3
3
32
16
u
u
S
u
u
u
u
u
u
-
-
æ
ö
=
×
×
=
-
+
=
-
-
ç
÷
è
ø
，
令
2
5
9
( )
64
32
16
f u
u
æ
ö
=
-
-
ç
÷
è
ø
，易知
( )
f u 在
1
0,16
æ
ö
ç
÷
è
ø 上是减函数，
又
1
(0)
1,
0
16
f
f æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，所以当
1
0
16
u
<
<
时，0
( )
1
f u
<
< ，
因此四边形FPAQ 的面积S 的取值范围是(0,3) ．
3．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）已知点Q 是圆
2
2
2 :
1
8
F
x
y
-
+
=
上的任意一点，点
1
1,0
F -
，线段
1
QF 的垂
直平分线交
2
QF 于点P .
(1)求动点P 的轨迹
1
C 的方程；
(2)分别过
1F ，
2F 作平行直线m ，n ，若直线m 与
1
C 交于A ，B 两点，直线n 与
1
C 交于C ，D 两点，其中点A ，D
在x 轴上方.
（ⅰ）若
1
2
4
AF F
p
Ð
=
，求
1
2
AF
DF
+
的值；
（ⅱ）求四边形
1
2
AF F D 的面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)（ⅰ）4 2
3
,（ⅱ）0,
2ùû
【详解】（1）圆
2
2
2 :
1
8
F
x
y
-
+
=
，则圆心
2(1,0)
F
，
2 2
r =
，
因为线段
1
QF 的垂直平分线交
2
QF 于点P ，
所以
1
=
PQ
PF ，
由于
2
2 2
+
=
=
PQ
PF
r
，所以
1
2
2 2
PF
PF
+
=
，又
1
2
2
2 2
=
<
F F
，
根据椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以
1F ，
2F 为焦点的椭圆，其中2
2 2
a =
，
1
c = ，所以
1
b = ，
则动点P 的轨迹
1
C 的方程为：
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）由题可得直线m ，n 的斜率不为0，
设直线m 的方程为：
1
x
ty
=
- ，直线n 的方程为：
1
x
ty
=
+ ，
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
D x
y
（ⅰ）因为
1
2
4
AF F
p
Ð
=
，所以
1
t = ，
联立
2
2
1
1
2
x
y
x
y
=
-
ìïí
+
=
ïî
，可得：
2
3
2
1
0
y
y
-
- =
，解得：
1
3
y = -
或1，
因为点A 在x 轴上方.，所以
1
1
y = ，即
(0,1)
A
，
所以
1
2
=
AF
联立
2
2
1
1
2
x
y
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，可得：
2
3
2
1
0
y
y
+
- =
，解得：
1
3
y =
或1
- ，
因为点A ，D 在x 轴上方.，所以
2
1
3
y =
，即
4 1
( , )
3 3
D
，
所以
2
2
2
4
1
2
(
1)
(
0)
3
3
3
=
-
+
-
=
DF
，
所以
1
2
4 2
3
+
=
AF
DF
.
（ⅱ）联立
2
2
1
1
2
x
ty
x
y
=
-
ìïí
+
=
ïî
，可得：
2
2
(
2)
2
1
0
t
y
ty
+
-
- =
，
所以
1
2
2
2
B
t
y
y
t
+
=
+
，
1
2
1
2
B
y y
t
-
=
+
，
则
2
2
2
1
1
2
2 2(1
)
1
(
)
4
2
+
=
+
+
-
=
+
B
B
t
AB
t
y
y
y y
t
，
联立
2
2
1
1
2
x
ty
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，可得：
2
2
(
2)
2
1
0
t
y
ty
+
+
- =
，
所以
2
2
2
2
C
t
y
y
t
-
+
=
+
，
2
2
1
2
C
y y
t
-
=
+
，
则
2
2
2
2
2
2
2 2(1
)
1
(
)
4
2
+
=
+
+
-
=
+
C
C
t
CD
t
y
y
y y
t
所以
/ /
AB
CD ，且AB
CD
=
，则四边形ABCD 为平行四边形，O 为对角线的交点，
根据对称性可知，四边形
1
2
AF F D 的面积
1S =四边形ABCD 的面积
2S 的一半，
四边形ABCD 的高
2
2
1 1
2
1
1
+
=
=
+
+
h
t
t
，
所以
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1 2 2(1
)
2
2 2 1
2
2
2
2
2
1
+
+
=
=
×
=
×
×
=
+
+
+
t
t
S
S
AB h
t
t
t
，
2
1
2
2
2
2 2 1
2 2
1
2
1
1
t
S
t
t
t
+
=
=
+
+
+
+
，
因为
2
1
1
t
+
³ ，所以
2
2
1
1
2
1
t
t
+
+
³
+
，当且仅当
0
t =
时取等号，
所以
1
2
2
2 2
2
1
1
1
S
t
t
=
£
+
+
+
，
所以四边形
1
2
AF F D 的面积的取值范围为：0,
2ùû .
4．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，分别以x 轴和y 轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数
,
z
x
yi x y
R
=
+
Î
，在复平面内满足
1
1
z
z
+
+
- 为定值的点z 的轨迹为曲线G ．且点
2,0
P
在曲线G 上．
(1)求G 的方程；
(2) AB 是过G 右焦点的弦（AB 不是长轴），AB 的中点为G，过点A，B 分别作直线l：
4
x =
的垂线，垂足分别为
C，D，l 与x 轴的交点为E．
（ⅰ）证明：AE
GD
∥
；
（ⅱ）记CG 与AE 的交点为M，DG 与BE 的交点为N，求四边形MGNE 面积的最大值．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析 （ii）9
4
【详解】（1）根据题意，复数z
x
yi
=
+
满足
1
1
z
z
+
+
- 为定值，即：
点( , )
x y 到点( 1,0)
-
和(1,0) 的距离之和为定值，由椭圆定义，
该轨迹为椭圆，则焦距2
2
c =
，故：
1
c = ，
已知点
2,0
P
在椭圆上，即长半轴
2
a =
，
则
2
2
2
4 1
3
b
a
c
=
-
=
- =
，因此，曲线G 的方程为：
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）易知椭圆右焦点为
(1,0)
F
，设直线AB 方程：
1
x
my
=
+ ，设
1
1
2
2
( ,
),
,
,
A x y
B x
y
联立
2
2
1
1
4
3
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消x 得：
2
2
(3
4)
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
由韦达定理：
1
2
1
2
2
2
6
9
,
,
3
4
3
4
m
y
y
x x
m
m
+
= -
= -
+
+
又
1
2
4,
,
(4,
),
(4,0)
C
y
D
y
E
，
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
G
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ,
所以
1
1
1
1
0
4
4
AE
y
y
k
x
x
-
=
=
-
-
，
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
8
4
2
GD
y
y
y
y
y
k
x
x
x
x
+
-
-
=
=
+
+
-
-
，
要证AE
GD
∥
，即证
1
1
4
y
x
=
-
1
2
1
2
8
y
y
x
x
-
+
-
,
即证
1
2
2
1
1
2
4(
)
x y
x y
y
y
+
=
+
，
即证
1
2
2
1
1
2
(
1)
(
1)
4(
)
my
y
my
y
y
y
+
+
+
=
+
，
即证
1
2
1
2
2
3(
)
my y
y
y
=
+
，
又根据韦达定理：
1
2
1
2
2
2
9
18
2
2 (
)
3(
)
3
4
3
4
m
my y
m
y
y
m
m
-
=
-
=
=
+
+
+
，得证.
（ⅱ）如图：
在ABE
V
中，因为
/ /
AE
GD，G 是AB 中点，所以N 是BE 中点，
由（ⅰ）同理可得
/ /
BE
CG ，所以四边形MGNE 是平行四边形，
且G 是AB 中点，所以M 是AE 中点，连接GE ，
易知
1
1
,
2
2
MGE
AGE
GNE
GBE
S
S
S
S
=
=
V
V
V
V
所以
1
1
1
2
2
2
MGE
GNE
AGE
GBE
ABE
MGNE
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
四边形
△
△
△
△
△
,
由（ⅰ）得：
1
2
1
2
2
2
6
9
,
3
4
3
4
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
令椭圆的右焦点为F ，则
2
1
1
2
ABE
AFE
BFE
S
S
S
EF
y
y
=
+
=
´
´
-
V
V
V
即
2
1
1
(4 1)
2
ABE
S
y
y
=
´
-
´
-
V
计算
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
6
36
12
1
(
)
4
3
4
3
4
3
4
m
m
y
y
y
y
y y
m
m
m
+
æ
ö
-
=
+
-
=
-
+
=
ç
÷
+
+
+
è
ø
2
2
18
1
3
4
ABE
m
S
m
+
=
+
V
（令
2
1(
1)
t
m
t
=
+
³
）化简得：
2
18
18
1
3
1
3
ABE
t
S
t
t
t
=
=
+
+
V
，
由对勾函数
1
3
(
1)
y
t
t
t
=
+
³
单调递增，
（对
1
3
y
t
t
=
+
求导
2
1
3
0,
1
y
t
t
=
-
>
³
¢
），所以
1
3
3 1 1
4
t
t
+
³ ´ + =
，则：
18
18
9
1
4
2
3
ABE
S
t
t
=
£
=
+
V
，
故：
1
1
9
9
2
2
2
4
ABE
MGNE
S
S
=
£
´
=
V
四边形
.
所以四边形MGNE 面积的最大值为：9
4 .
5．（2025·山西·模拟预测）已知点
(1,0)
F
，P 为平面内一动点，以PF 为直径的圆与y 轴相切，点P 的轨迹记为C .
(1)求C 的标准方程.
(2)过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，过点A 且垂直于l 的直线交x 轴于点M ，过点B 且垂直于l 的直线交x 轴
于点N .当四边形MANB 的面积最小时，求l 的方程.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2) 3
3
0
x
y
-
-
=
或
3
3
0
x
y
+
-
=
【详解】（1）设
( , )
P x y ，则以PF 为直径的圆的圆心为
1,
2
2
x
y
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
根据圆与y 轴相切，可得
2
2
1
1
1
1
2
2
2
x
PF
x
y
+
=
=
-
+
，
化简得
2
4
y
x
=
，
所以C 的方程为
2
4
y
x
=
.
（2）由题意可知：直线l 的斜率存在且不为0，
设直线l ：
1
y
k x
=
-
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立
2
2
2
2
2
1
2
2
0
4
y
k x
k x
k
x
k
y
x
ì
=
-
Þ
-
+
+
=
í
=
î
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
2
,
1
k
x
x
x x
k
+
+
=
= ，
设直线l 的倾斜角为q ，则
tan
,
tan
,
AM
AF
BN
BF
q
q
=
=
所以
tan
tan
tan
AM
BN
AF
BF
AB
AB k
q
q
q
+
=
+
=
=
，
所以
2
2
1
2
2
2
2
2
4
4
2
2
k
k
AB
AF
BF
x
x
k
k
+
+
=
+
=
+
+
=
+
=
，
2
4
2
3
8
2
1
1
2
2
MANB
AMB
BAN
k
k
AB
k
S
S
S
AB
AM
BN
k
+
+
=
+
=
+
=
=
V
V
，
设
0
t
k
=
>
，则
4
2
3
3
8
2
1
2
1
8
t
t
S t
t
t
t
t
+
+
æ
ö
=
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
所以
2
4
2
2
4
4
4
1
3
3
2
3
2
3
8 1
8
8
t
t
t
t
t
S t
t
t
t
t
+
-
+
æ
ö
-
-
æ
ö
=
-
-
=
=
ç
÷
çè
ø
è
ø
¢
÷
，
当
3,
0,
t
S t >
¢
>
S t 在
3, ¥
+
上单调递增，当
0
3,
0,
t
S t
¢
< <
<
S t 在
0, 3 上单调递减，
所以当
3
t =
时，即
3
k =
时，面积最小，此时
3
k = ±
，
故直线的方程为：
3
1
y
x
= ±
-
，即3
3
0
x
y
-
-
=
或
3
3
0
x
y
+
-
=
.
6．（24-25 高三上·天津·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
3
2
，且过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，且点M 在第一象限，点
,
A B 分别为椭圆C 的右顶点和上顶点，求
四边形AMBN 面积S 的最大值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)2 2
【详解】（1）由题意可得：
2
2
3
2
c
a
b
e
a
a
-
=
=
=
，解得
2
a
b
=
，
由椭圆C 过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，得
2
2
1
3
1
4
a
b
+
= ，联立解得
2
a =
，
1
b = ，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由题意可设
1
:
2
l y
x
m
=
+
，
因点M 在第一象限，则1
1
m
- <
< ，
设
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，点A ，B 到直线l 的距离分别为
1d ，
2
d ，
由
2
2
1
4
1
2
x
y
y
x
m
ì
+
=
ïïí
ï
=
+
ïî
，消y 可得
2
2
2
2
2
0
x
mx
m
+
+
-
=
，
2
2
2
Δ
4
4 2
2
8
4
m
m
m
=
-
-
=
-
，当1
1
m
- <
< 时，
0
D >
，
所以
1
2
2
x
x
m
+
= -
，
2
1
2
2
2
x x
m
=
- ，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
5
1
4
8
4
5
2
2
2
MN
x
x
x x
m
m
æ
ö
=
+
+
-
=
×
-
=
×
-
ç
÷
è
ø
，
2,0
A
Q
，
0,1
B
，直线l 的一般式方程：
2
2
0
x
y
m
-
+
=
，
所以
1
2
2
5
m
d
+
=
，
2
2
2
5
m
d
-
=
，
所以
1
2
4
5
d
d
+
=
，
所以
2
2
1
2
1
1
4
5
2
2 2
2
2
5
AMN
BMN
S
S
S
MN d
d
m
m
=
+
=
+
=
´
×
-
´
=
-
V
V
，
当
0
m =
时，S 有最大值为2 2 .
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，点
1,1
A
在椭圆上，直线
1 :
l
y
kx
m
=
+
与C 交于,
P Q 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若
0
OP OQ
×
=
uuur uuur
，
①证明：
2
2
1
m
k
=
+ ；
②若直线2l 经过原点，与椭圆C 交于,
R S 两点，且
OR
OP
OQ
+
uuur
uuur
uuur
∥
，求四边形PRQS 面积的取值范围．
【答案】(1)
2
2
2
1
3
3
x
y
+
=
(2)①证明见解析；②
6,2 3
éë
【详解】（1）
2
2
2
2
2
c
e
a
c
a
b
ì =
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
2
a
b
=
，
将
1,1
A
带入椭圆方程有
2
2
1
1
1
2b
b
+
= ，解得
2
3
2
b =
，
2
3
a =
．
所以椭圆方程为
2
2
2
1
3
3
x
y
+
= ．
（2）设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
由
2
2
2
1
3
3
x
y
y
kx
m
ì
+
=
ïí
ï
=
+
î
，得
2
2
2
1
2
4
2
3
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
2
2
Δ
12
8
24
0
m
k
=
-
+
>
，
1
2
2
2
1
2
2
4
,
1
2
2
3,
1
2
km
x
x
k
m
x x
k
-
ì
+
=
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
（*）
①由于
0
OP OQ
×
=
uuur uuur
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
x x
y y
x x
kx
m
kx
m
+
=
+
+
+
2
2
1
2
1
2
1
0
k
x x
mk x
x
m
=
+
+
+
+
=
．
将（*）带入得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
4
0
1
2
1
2
k
m
k m
m
k
k
+
-
-
+
=
+
+
，化简得
2
2
1
m
k
= +
．
②设PQ的中点为M ，因为
OR
OP
OQ
+
uuur
uuur
P
uuur
，所以
2
OR
t OP
OQ
tOM
=
+
=
uuur
uuur
uuur
uuuur
，
不妨设
0
t >
，
2
4
OPQ
PRQS
OPRQ
S
S
tS
=
=
四边形
四边形
△
，
O 到直1l 的距离为
2
1
m
k +
，
2
1
2
1
PQ
k
x
x
=
+
-
，
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
4
1
4
2
2
2
1
OPQ
k
S
m x
x
m
x
x
x x
m
k
+
=
-
=
+
-
=
+
V
．
由
2
OR
t OP
OQ
tOM
=
+
=
uuur
uuur
uuur
uuuur
，得点R 坐标为
1
2
1
2
,
t x
x
t y
y
+
+
，
则
1
2
2
1
2
2
4
2
1
2
2
1
km
t x
x
t
k
m
t y
y
t
k
ì
+
= -
ïï
+
í
ï
+
=
ï
+
î
，
由点R 为椭圆上点，
2
2
2
2
4
2
2
3
2
1
2
1
km
m
t
t
k
k
æ
ö
æ
ö
-
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
，
得
2 2
2
8
3
2
1
m t
k
=
+
，即
2
2
3 2
1
8
k
t
m
+
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
3 2
1
4
1
4
1
4
4
6
8
2
1
2
1
OPQ
PRQS
k
k
k
S
tS
m
m
k
k
+
+
+
=
=
×
×
=
×
+
+
V
四边形
，
所以
2
1
6
2
6,2 3
2
1
PRQS
S
k
é
=
×
-
Îë
+
四边形
．
综上，四边形PRQS 面积的取值范围为
6,2 3
éë
．
8．（24-25 高二下·云南·期末）已知两条平行直线1l ，2l 分别与双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右两支相
切，且1l 交C 的两条渐近线于A ，B 两点，2l 交C 的两条渐近线于D ，E 两点，点A ，D 都在x 轴上方，当且仅当
1l 与x 轴垂直时，
2
4
AD
AB
=
=
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：四边形ADEB 的面积为定值8 2 ．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
-
=
(2)证明见解析
【详解】（1）当且仅当1l 与x 轴垂直时，
2
4
AD
AB
=
=
，此时2
4,2
2 2
=
=
a
b
，
即
2,
2
a
b
=
=
，
则双曲线C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
-
= ．
（2）（2）证明：
当直线1l 与x 轴垂直时，
2
4
AD
AB
=
=
，四边形ADEB 是矩形，面积为8 2 ；
当直线1l 与x 轴不垂直时，设直线1l 的方程为y
kx
m
=
+
，
联立
2
2
,
1,
4
2
y
kx
m
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
消去y 可得：
2
2
2
2
1
4
2
4
0
k
x
kmx
m
-
+
+
+
=
，
此时
2
2
1
0
k - ¹
，并且
2
2
2
2
Δ
16
4 2
1
2
4
0
k m
k
m
=
-
-
+
=
，
故
2
2
4
2
k
m
-
=
；
设1l 与x 轴交于点
,
m
M OM
k
=
，
由1l ∥
2l 及双曲线的对称性，可知四边形ADEB 是平行四边形，
面积
4
4
2
OAB
AOM
BOM
A
B
S
S
S
S
OM
y
y
=
=
+
=
´
-
V
V
V
，
双曲线两条渐近线方程为
2
2
y
x
= ±
，
联立
2
2
,
2
1
2
1
2
m
m
y
x
B
k
k
y
kx
m
ì
æ
ö
=
ï
Þ
ç
÷
í
ç
÷
-
-
è
ø
ï
=
+
î
，
同理可得
2
,
2
1
2
1
m
m
A
k
k
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
则
2
2
2
2
4 2 2 2
1
4 2
2
8 2
1 2
1 2
1
2
2
1
k
m
m
m
m
S
k
k
k
k
k
-
=
×
-
=
=
=
-
-
-
+
．
所以，四边形ADEB 的面积为定值8 2 ．
1．（24-25 高二下·陕西汉中·期末）已知A 、B 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右顶点，C 的离心率为
3
2
，且AB
4
=
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知D 是线段AB 上一点（异于A 、B ），过点D 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点（异于A 、B ），直线BM 、
BN 分别交直线
3
x =
于E 、F 两点.
（i）若MN 的中点为1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求l 的方程；
（ii）是否存在点D ，使得ME NF
×
uuur uuur
为定值？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)（i）2
8
5
0
x
y
+
-
=
；（ii）存在，
6 ,0
5
Dæ
ö
ç
÷
è
ø或
3
5,0
D
-
【详解】（1）由题可知
2
2
2
4
3
2
AB
a
c
a
b
a
c
ì
=
=
ï
ï
=
í
ï
ï =
-
î
，解得
2
1
3
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）（i）设
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
，
1
2
x
x
¹
，
若MN 的中点为1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
2
1
x
x =
+
，
1
2
1
y
y
+
= .
又
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减可得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
x
x
y
y
-
+
-
=
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
0
4
x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
+
-
+
=
，
所以
1
2
1
2
0
4
x
x
y
y
-
+
-
=
，所以
1
2
1
2
1
4
y
y
x
x
-
= -
-
，故l 的斜率为
1
4
-
.
因为点1 1
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø 在l 上，所以l 的方程为
1
1
1
2
4
2
y
x
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，即2
8
5
0
x
y
+
-
=
；
（ii）设
,0
2
2
D t
t
- < <
，由题可知直线l 的斜率不为0 ，可设直线:l x
my
t
=
+ ，
由
2
2
1
4
x
my
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得
2
2
4
4
0
my
t
y
+
+
-
=
，
考点四
中点弦问题
即
2
2
2
4
2
4
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
=
，
则
2 2
2
2
Δ
4
4
4
4
0
m t
m
t
=
-
+
-
>
，得
2
2
4
t
m
<
+
，
由韦达定理可得
1
2
2
2
4
mt
y
y
m
+
= -
+
，
2
1
2
2
4
4
t
y y
m
-
=
+
，
直线BM 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
1
2
x ¹ ± ,
令
3
x =
可得
1
1
2
y
y
x
=
-
，即点
1
1
3,
2
y
E
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
同理可得点
2
2
3,
2
y
F
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
2
2
x ¹ ± ，
则
1
1
1
1
3
3
,
2
y
x
ME
x
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
-
è
ø
uuur
，
2
2
2
2
3
3
,
2
y
x
NF
x
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
-
è
ø
uuur
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
3
3
3
3
2
2
y y
x
x
ME NF
x
x
x
x
-
-
×
=
-
-
+
-
-
uuur uuur
1
2
1
2
1
2
3
3
1
2
2
y y
x
x
x
x
é
ù
=
-
-
+
ê
ú
-
-
ê
ú
ë
û
1
2
1
2
1
2
3
3
1
2
2
y y
my
t
my
t
my
t
my
t
é
ù
=
+ -
+ -
+
ê
ú
+ -
+ -
ê
ú
ë
û
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
3
3
1
2
2
y y
m y y
t
m y
y
t
m y y
t
m y
y
t
é
ù
é
ù
=
+
-
+
+
-
+
ê
ú
ë
û
+
-
+
+
-
ê
ú
ë
û
2
2
2
1 5
4
24
36 5
6
4
4
2
m
t
t
t
m
t
+
-
+
-
=
×
×
+
-
2
2
2
2
1
4
24
16
5
6
5
6
4
5
6
5
4
4
2
4
4
2
t
t
t
t
t
t
m
t
m
t
æ
ö
æ
ö
-
+
-
-
+
-
=
+
×
=
+
×
ç
÷
ç
÷
+
-
+
-
è
ø
è
ø
，
当5
6
0
t -
=
，即
6
5
t =
时，
0
ME NF
×
=
uuur uuur
，
当
2
6
4
0
t
t
-
+
=
，即
3
5
t =
-
（
3
5
t =
+
舍去）时，
5 5
5
4
ME NF
×
=
-
uuur uuur
，
故当
6 ,0
5
Dæ
ö
ç
÷
è
ø 或
3
5,0
D
-
时，ME NF
×
uuur uuur
为定值.
2．（24-25 高二下·河南·期末）设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
3
2
2
1,
,
,
2
2
2
A
B
a
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若过点
1,0
-
且斜率为
1
2 的直线l 与椭圆C 交于
,
M N 两点，求线段MN 中点P 的坐标．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)
1 1
,
2 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
【详解】（1）因椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
3
2
2
1,
,
,
2
2
2
A
B
a
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则有
2
2
2
1
3
1
4
2
2
1
4
4
a
b
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，解得
2
2
4,
1
a
b
=
= ，
所以椭圆C 的标准方程为：
2
2
1
4
x
y
+
= ；
（2）依题意，直线l 的方程为：
1 (
1)
2
y
x
=
+
，由
2
2
1 (
1)
2
1
4
y
x
x
y
ì
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
消去y 并整理得：
2
2
2
3
0
x
x
+
-
=
，
显然
Δ
4
4 2
3
0
=
- ´ ´ -
>
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，则
1
2
1
x
x
+
= - ，
因此线段MN 中点P 的横坐标
1
2
0
2
1
2
x
x
x
+
=
= -
，其纵坐标
0
0
1
1
1
2
4
y
x
=
+
=
，
所以线段MN 中点P 的坐标为
1 1
,
2 4
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
3．（24-25 高二下·上海·阶段练习）已知直线:
0
l x
y
k
+
-
=
与曲线
2
2
:
2
1
C x
y
+
= .
(1)若l 与C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若l 与C 有两个不同的公共点
,
M N ，且线段MN 中点P 的横坐标为
2
3
-
，求实数k 的值.
【答案】(1)
6
6
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
(2) 1
-
【详解】（1）联立
2
2
2
2
0
3
4
2
1
0
2
1
x
y
k
x
kx
k
x
y
+
-
=
ì
Þ
-
+
- =
í
+
=
î
2
2
2
Δ
4
3 4 2
1
8
12
0
k
k
k
= -
- ´
-
= -
+
³
2
3
6
6
2
2
2
k
k
\
£
\-
£
£
k
\
的取值范围
6
6
,
2
2
é
ù
-
ê
ú
ë
û
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
由
2
2
3
4
2
1
0
x
kx
k
-
+
- =
得.
1
2
4
3
k
x
x
+
=
\线段MN 中点P 的横坐标为
1
2
2
2
2
3
3
x
x
k
+
=
= -
1
k
\
= -
4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线为
2
y
x
= ±
，双曲线的左顶点为
( 1,0)
P -
，直线:l y
kx
m
=
+
与双曲线C 相交于A，B（异于点P）两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程；
(3)若以AB 为直径的圆恒过点P，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x -
=
(2) 4
7
0
x
y
-
-
=
(3)过定点，定点坐标为(3,0)．
【详解】（1）双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= 的渐近线为
b
y
x
a
= ±
，依题意，
2
b
a =
，
而双曲线C 的左顶点为
( 1,0)
P -
，则
1,
2
a
b
=
=
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= ．
（2）由（1）知，双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= ，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
由
2
2
2
2
y
kx
m
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
消去y 得，
2
2
2
(
2)
2
2)
0
(
k
x
kmx
m
-
+
+
+
=
，
2
2
2
2
2
(2
)
4(
2)(
2)
8(
2
)
0
km
m
k
m
k
D =
-
+
-
=
+
-
>
，且
2
k ¹ ±
，
1
2
2
2
2
km
x
x
k
-
+
=
-
，由
(2,1)
M
为AB 的中点，得
2
2
1
2
4
2
k
m
km
k
+
=
ìï -
í
=
ï
-
î
，解得
4,
7
k
m
=
= - ，满足
0
D >
，
所以直线l 的方程为
4
7
y
x
=
-
，即4
7
0
x
y
-
-
=
.
（3）由（2）知，
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
km
m
x
x
x x
k
k
-
+
+
=
=
-
-
．
1
1
2
2
(
1,
),
(
1,
)
PA
x
y
PB
x
y
=
+
=
+
uuur
uuur
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
PA PB
x
x
y y
x
x
kx
m
kx
m
×
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
(
1)(
)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
)
2
2
m
km
k
x x
km
x
x
m
k
km
m
k
k
=
+
-
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
×
+
+
-
-
2
2
2
2
2
2
3
2
(3
)(
)
k
km
m
k
m k
m
k
k
=
+
-
-
-
-
=
-
，由以AB 为直径的圆恒过点P，得
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，
于是(3
)(
)
0
k
m k
m
+
-
=
，解得m
k
=
或
3
m
k
= -
，
当m
k
=
时，直线:
(
1)
l y
k x
=
+
过
( 1,0)
P -
，不符合题意；
当
3
m
k
= -
时，直线:
(
3)
l y
k x
=
-
过定点(3,0)，
所以直线l 过定点，该定点坐标为(3,0).
5．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
-
=
0
b >
的左顶点为M ，离心率为3，
,
A B 是C 上的两
点.
(1)求C 的标准方程；
(2)若线段AB 的中点为
1 8
,
7 7
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AB 的方程；
(3)若
0
MA MB
×
=
uuur uuur
（M 不在直线AB 上），证明：直线AB 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
8
y
x -
=
(2)
1
y
x
=
+ .
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
1
a = ，
2
2
2
e
1
1
3
c
b
b
a
a
=
=
+
=
+
= ，
所以
2
8
b =
，故C 的标准方程为
2
2
1
8
y
x -
= ·
（2）
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，根据题意易得
1
2
x
x
¹
.
因为
,
A B 是C 上的两点，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
8
1
8
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
8
y
y
x
x
-
-
-
=
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
8 x
x
y
y
x
x
y
y
+
-
=
-
+
因为
1
2
2
7
x
x
+
=
，
1
2
16
7
y
y
+
=
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
8
1
AB
x
x
y
y
k
x
x
y
y
+
-
=
=
=
-
+
所以直线AB 的方程为
1
8
1
7
7
y
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
经检验，此时直线AB 与双曲线C 有两个交点，满足题意，则直线AB 的方程为
1
y
x
=
+ .
（3）证明：依题意可设直线AB 的方程为x
ty
n
=
+
.
由
2
2
1
8
y
x
x
ty
n
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
，得
2
2
2
8
1
16
8
8
0
t
y
nty
n
-
+
+
-
=
则
1
2
2
16
8
1
nt
y
y
t
+
= -
- ，
2
1
2
2
8
8
8
1
n
y y
t
-
= -
-
，
0
D >
( 1,0)
M -
，由（2）知
1
1
1
1
1,
1,
MA
x
y
ty
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
2
2
2
2
1,
1,
MB
x
y
ty
n
y
=
+
=
+
+
uuur
因为
0
MA MB
×
=
uuur uuur
，所以
1
2
1
2
1
1
0
ty
n
ty
n
y y
+
+
+
+
+
=
即
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
t
y y
t n
y
y
n
+
+
+
+
+
+
=
即
2
2
2
2
2
8
8
16
1
1
1
0
8
1
8
1
n
tn
t
t n
n
t
t
-
æ
ö
+
×
+
+
-
+
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
即
2
2
2
2
2
1 8
8
16
1
8
1
1
0
t
n
t n n
t
n
+
-
-
+
+
-
+
=
，得
2
7
2
9
0
n
n
-
-
= ，解得
9
7
n =
或1
- .
当
1
n = - 时，直线
:
1
AB x
ty
=
- ，直线AB 过点
( 1,0)
M -
，不符合题意，舍去；
当
9
7
n =
时，直线
9
7
: x
t
B
y
A
=
+
，满足
0
D >
，则直线AB 过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
故直线AB 过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
6．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
W x
b
-
= 的左顶点为A ，右焦点为F ，,
P Q 是W 上的两点，线段PQ的
中点为R ．当直线PA 的倾斜角为π
4 时，有PF
AF
=
．
(1)求双曲线W 的离心率；
(2)若
1 3
,
2 2
Ræ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线PQ的一般式方程；
(3)若, ,
A P Q 三点不共线，且2 AR
PQ
=
，求证：直线PQ过定点．
【答案】(1)2
(2)
1
0
x
y
-
+ =
(3)过定点
2,0 ，证明见解析
【详解】（1）设双曲线的半焦距为c ，则
2
2
1
c
b
=
+ ，
当直线PA 的倾斜角为π
4 时，有PF
AF
=
，则
π
4
PAF
APF
Ð
= Ð
=
，
所以
π
2
AFP
Ð
=
，即AF
PF
^
，此时点P 的横坐标为c ，
代入W 的方程，得
2
2
2
2
2
2
4
1
y
b c
b
b
c
b
=
-
=
-
=
，故
2
y
b
= ±
，即
2
PF
b
=
，
因PF
AF
=
，所以
2
1
c
b
+ =
，故
2
2
c
c
=
+
，解得
2
c =
，
故W 的离心率为
2
c
a =
.
（2）由（1）知
2
2
:
1
3
y
W x -
= ，设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
因为,
P Q 是W 上的两点，故
2
2
1
1
2
2
2
2
1
3
1
3
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，
两式相减得：
2
2
2
2
1
2
1
2
0
3
y
y
x
x
-
-
-
=
，
若
1
2
x
x
=
，则直线PQ的斜率不存在，
由双曲线的对称性可知，此时线段PQ的中点位于x 轴，故不符合题意；
若
1
2
x
x
¹
，则
1
2
1
2
1
2
1
2
3 x
x
y
y
x
x
y
y
+
-
=
-
+
，
因为
1 3
,
2 2
Ræ
ö
ç
÷
è
ø 是线段PQ的中点，所以
1
2
1
x
x =
+
，
1
2
3
y
y
+
=
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
3
1
PQ
x
x
y
y
k
x
x
y
y
+
-
=
=
=
-
+
，
所以直线PQ的方程为
1
3
1
2
2
y
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
，即
1
0
x
y
-
+ =
，
经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线PQ的一般式方程为
1
0
x
y
-
+ =
.
（3）由, ,
A P Q 三点不共线，故设直线
:
PQ x
my
n
=
+
，
联立
2
2
1
3
y
x
x
my
n
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，得
2
2
2
3
1
6
3
3
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
，
则
1
2
2
6
3
1
mn
y
y
m
+
= -
- ，
2
1
2
2
3
3
3
1
n
y y
m
-
=
-
，
0
D >
，
因为2 AR
PQ
=
，且R 是线段PQ的中点，则AR
PR
QR
=
=
，
所以AP
AQ
^
，则
0
AP AQ
×
=
uuur uuur
，
因
1
1
1
1
1,
1,
AP
x
y
my
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
2
2
2
2
1,
1,
AQ
x
y
my
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
所以
1
2
1
2
1
1
0
my
n
my
n
y y
+
+
+
+
+
=
，
即
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
m
y y
m n
y
y
n
+
+
+
+
+
+
=
，
即
2
2
2
2
2
3
3
6
1
1
1
0
3
1
3
1
n
mn
m
m n
n
m
m
æ
ö
-
æ
ö
+
+
+
-
+
+
=
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
，
即
2
2
2
2
2
1 3
3
6
1
3
1
1
0
m
n
m n n
m
n
+
-
-
+
+
-
+
=
，
得
2
2
2
4
0
n
n
-
-
=
，解得
2
n =
或
1
n = - ，
若
1
n = - ，则直线
:
1
PQ x
my
=
- ，过点A ，不符合题意；
若
2
n =
，则直线
:
2
PQ x
my
=
+
，满足
0
D >
，则过定点
2,0 ，
则直线PQ过定点
2,0 .
7．（24-25 高二上·广东深圳·阶段练习）已知抛物线C：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为F ，且抛物线的焦点到准线的距
离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线C 上求一点T ，使得点T 到直线
4
y
x
=
+
的距离最短；
(3)过点
3,1
Q
的直线l 与抛物线C 交于
,
A B 两点，且Q 为AB 的中点，求直线l 的方程．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2) (1,2)
T
(3)
2
5
y
x
=
-
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故
2
p =
，
所以
2
4
y
x
=
．
（2）设与
4
y
x
=
+
平行的直线l¢：
4
y
x
t t
=
+
¹
，
联立
2
4
y
x
t
y
x
=
+
ì
í
=
î
，得
2
4
4
0
y
y
t
-
+
=
，
由
16 16
0
t
D =
-
=
，得
1
t = ，∴切线l¢：
1
y
x
=
+ ，
此时切线l¢到直线
4
y
x
=
+
的距离最短，
由
2
1
4
y
x
y
x
=
+
ì
í
=
î
，解得
1
2
x
y
=
ì
í
=
î
，即(1,2)
T
．
（3）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，则
1
2
2
y
y
+
=
，
由
2
1
1
2
2
2
4
4
y
x
y
x
ì
=
í
=
î
，得
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
y
y
y
y
y
y
x
x
-
=
+
-
=
-
，
若
1
2
x
x
=
，则A、B 关于x 轴对称，
(3,1)
Q
为AB 中点不符合题意；
若
1
2
x
x
¹
，则
1
2
1
2
1
2
4
4
2
2
y
y
k
x
x
y
y
-
=
=
=
=
-
+
，
所以直线l 的方程为
1
2(
3)
y
x
- =
-
，即
2
5
y
x
=
- ，
经检验，满足题意.
8．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线G ：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为
1,0
F
，直线l 与抛物线G 交于A，B 两点，
且
5 ,1
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø 为线段AB 的中点．
(1)求抛物线G 的标准方程；
(2)求直线l 的方程；
(3)过点
,1
0
Q m
m <
作抛物线G 的两条切线，分别交l 于C，D 两点，求QCD
V
面积的最小值.
【答案】(1)
2
4
y
x
=
(2) 2
4
0
x
y
-
-
=
(3)6 3
【详解】（1）因为抛物线G ：
2
2
0
y
px p
=
>
的焦点为
1,0
F
，
所以
1
2
2
p
p
= Þ
=
，
所以抛物线
2
:
4
y
x
G
=
.
（2）由题易知直线AB 的斜率存在．设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
1
1
2
2
2
4 ,
4
,
y
x
y
x
ì
=
í
=
î
可得
1
2
1
2
1
2
4
y
y
x
x
y
y
-
=
-
+
．
因为线段AB 的中点为
5 ,1
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ，所以
1
2
1
2
2,
5
y
y
x
x
+
=
+
=
，
所以
1
2
1
2
1
2
4
2
y
y
x
x
y
y
-
=
=
-
+
，则AB 的方程为
5
1
2
2
y
x
æ
ö
- =
-
ç
÷
è
ø ，即2
4
0
x
y
-
-
=
．
（3）设抛物线的切线方程为
1
x
m
t y
-
=
-
，
2
(
1)
4
x
m
t y
y
x
-
=
-
ì
í
=
î
，即
2
4
4
4
0
y
ty
t
m
-
+
-
=
，由
0
D =
，可得
2
0
t
t
m
- +
=
，
1
2
1
2
1
t
t
t t
m
+
=
ì
í ×
=
î
，设QC 的方程为
1
1
x
m
t
y
-
=
-
，
联立
1
1
2
4
x
m
t
y
y
x
ì -
=
-
í
=
-
î
，
1
1
5
2
1
C
t
m
x
t
-
=
-
，同理
2
2
5
2
1
D
t
m
x
t
-
=
-
，
1
2
1
2
1
2
1
2
2
5
5
5
5
5
5
2
1
2
1
2
1
2
1
C
D
m
t
t
t
m
t
m
CD
x
x
t
t
t
t
-
-
-
-
=
-
=
-
=
-
-
-
-
| 2
5| 1 4
5
|1 4
|
m
m
m
-
-
=
-
，
Q 点到直线线l 的距离
| 2
5|
5
m
d
-
=
，所以
2
2
5
1
1
2
2
1 4
QCD
m
S
CD d
m
-
=
×
=
-
V
，
令
2
2
5
6 5
2
2
1
,
1 4
1 4
1 4
m
m
m
h m
h m
m
m
m
-
-
+
=
-
¢
=
-
-
，
因为1 4
0
m
-
>
，则
1
4
m <
，
0
h m
¢
=
，
1
2
m = -
，
当
1
2
m < -
时，
0
h m
¢
<
，
h m 单调递减，当
1
1
2
4
m
-
<
<
时，
0
h m
¢
>
，
h m 单调递增，
所以min
1
12 3
2
h m
hæ
ö
=
-
=
ç
÷
è
ø
，此时
6 3
QCD
S
=
V
.
