解析几何：面积问题、三点共线问题、四点共圆问题专项训练
1．（2025·云南·模拟预测）设O 为坐标原点，直线:
1
l y
kx
=
+ 与抛物线
2
:
4
C x
y
=
交于A，B 两点，与C 的准线交
于点M．若
2
MA
AB
=
uuur
uuur ，点F 为C 的焦点，则
OAF
△
与OBF
V
的面积之比为（ ）
A．2
5
B．2
3
C．3
4
D．
1
2
【答案】B
【详解】
如图，分别过点
,
A B 作抛物线准线的垂线，垂足分别为,
P Q ，
则
,
AP
AF
BQ
BF
=
=
，
~
APM
BQM
V
V
，
抛物线
2
:
4
C x
y
=
的焦点
0,1
F
，
直线:
1
l y
kx
=
+ 过定点
0,1
F
，
因为APM
MBQ
V
:V
，
2
MA
AB
=
uuur
uuur ，
所以
2
3
PA
AM
QB
MB
=
=
，
所以
2
3
OAF
OBF
AF
PA
S
S
BF
QB
=
=
=
V
V
.
故选：B.
2．（24-25 高二下·湖北荆门·期末）已知椭圆
2
2
:
1
3
x
C
y
+
= 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，直线y
x
m
=
+
与C 交于点
A，B 两点，若
1F AB
V
面积是
2
F AB
V
的2 倍，则m = （ ）
A．3 2
-
B．
2
3
-
或3 2
-
C．
2
3
-
D．
2
3
-
【答案】C
【详解】设直线y
x
m
=
+
与x 轴的交点为M，则
,0
M
m
-
．
考点一
三角形的面积问题
所以
1
1
1
2
F AB
A
B
S
MF y
y
=
-
，
2
2
1
2
F AB
A
B
S
MF
y
y
=
-
．
因为
1
2
2
F AB
F AB
S
S
=
，所以
1
2
2
MF
MF
=
．
由
2
2
1
3
x
y
+
= 得
2
c =
，即
1
2,0
F -
，
2
2,0
F
，
1
2
2 2
=
F F
．
所以
2
2
2
m
m
-
+
=
+
，解得
2
3
m = -
或3 2
-
．
因为y
x
m
=
+
与C 有两个交点，联立
2
2
1
3
y
x
m
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
消y 得
2
2
4
6
3
3
0
x
mx
m
+
+
-
= ，
则
2
2
Δ
36
16 3
3
0
m
m
=
-
-
>
，解得
2
4
m <
．所以
2
3
m = -
故选：C.
3．（24-25 高二下·河南漯河·期末）已知点
4,0
A -
，C，D 是
2
2
:
25
O x
y
+
=
e
与x 轴的交点，P 为动点，以PA 为直
径的圆与
O
e
相内切，则
CPD
△
面积的最大值为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．15
【答案】D
【详解】如图，设以PA 为直径的圆心为E，半径为r，
因为
E
e
与
O
e
相内切，则
5
OE
r
=
- ．
设
4,0
F
，连接PF ，则
1
2
OE
PF
=
，
2
10
2
PF
OE
r
\
=
=
-
，又
2
PA
r
=
，
所以，
10
8
PA
PF
+
=
>
，
所以，点P 的轨迹是以A，F 为焦点的椭圆，
由2
10
a =
，得
5
a =
，又
4
c =
，所以
3
b =
．
显然P 为椭圆短轴端点即
0,3 或
0, 3
-
时
CPD
△
的面积最大，为1
1
3
10 3
15
2
2
CD ´
=
´
´
=
．
故选：D
4．（2025·江苏·模拟预测·多选）设抛物线
2
:
2
(
0)
E x
py p
=
>
的焦点为F ，直线
1(
0)
y
kx
k
=
+
>
与抛物线相交于
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
两点，与x 轴交于点C ，
5 ,
4
2
AF
BF
=
=
，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
2
2
y y =
B．
4
p =
C．
3 17
2
AB =
D．
AFB
△
与AFC
V
的面积之比为3:1
【答案】BCD
【详解】由题得
1
2
5 ,
4
2
2
2
p
p
AF
y
BF
y
=
+
=
=
+
=
且
2
1
0
y
y
>
>
，
则A 在第二象限，B 在第一象限，且
8
p <
，
联立
2
2
1
2
1
2
2
2
2
0
2
,
2
1
x
py
x
pkx
p
x
x
pk x x
p
y
kx
ì
=
Þ
-
-
=
Þ
+
=
= -
í
=
+
î
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2,
1
2
2
x
x
y
y
k x
x
pk
y y
p
p
+
=
+
+
=
+
=
×
= ，
所以5
4
1
4
2
2
2
p
p
p
æ
öæ
ö
-
-
= Þ
=
ç
֍
÷
è
øè
ø
或
9
p =
（舍去），
所以抛物线
2
:
8
E x
y
=
，
2,0
F
，
1
2
1 ,
2
2
y
y
=
=
，
所以可得
1
2,
,
4,2
2
A
B
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
1
4
k =
，
所以
2
2
1
3
4
2
2
17
2
2
AB
æ
ö
=
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
直线
1
1
4
y
x
=
+ 与x 轴交于点
4,0
C -
，
所以
2
2
1
17
2
4
0
2
2
AC
æ
ö
=
- +
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
所以
1
1
:
sin
:
sin
2
2
AFB
AFC
S
S
AF AB
FAC
AF AC
FAB
æ
ö æ
ö
=
Ð
Ð
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
V
V
3 17
17
:
:
3:1
2
2
AB
AC
=
=
=
.
所以A 错误，BCD 正确.
故选：BCD.
5．（24-25 高二下·重庆·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左右焦点为
1
1,0
F -
，
2 1,0
F
，P 为椭圆上一动
点，设点M ，N 是椭圆上位于x 轴上方的点，且
1
2
MF //NF ，则下列说法正确的有（ ）
A．
1
2
PFF
V
面积的最大值为
3
B．存在点M ，使
1
2
MF
MF
^
C．若
1,1
H
，则
1
PF
PH
+
的最大值为5
D．
1
2
MF
NF
×
的最小值为5
2
【答案】AC
【详解】由椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，可知
2
a =
，
3
b =
，
1
c = ，
A 选项：
1
2
PFF
V
的面积
1
2
1
2
P
P
P
S
F F
y
c y
y
=
×
= ×
=
，
所以当点P 为椭圆短轴顶点时
1
2
PFF
V
面积最大为
3 ，A 选项正确；
B 选项：设
1
1
,
M x y
，
1
0, 3
y
ù
Î
û ，则
2
2
1
1
1
4
3
x
y
+
= ，即
2
2
1
1
4
4
3
x
y
=
-
，
1
1
1
1
,
MF
x
y
= - -
-
uuuur
，
2
1
1
1
,
MF
x
y
=
-
-
uuuur
，
则
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
3
2,3
3
MF MF
x
y
y
×
=
+
- = -
+ Î
uuuur uuuur
，
所以不存在M 使
1
2
MF
MF
^
uuuur
uuuur
，B 选项错误；
C 选项：
如图所示，由椭圆定义可知
1
2
2
2
2
4 1
5
PF
PH
a
PF
PH
a
HF
+
=
-
+
£
+
=
+ =
，
当点P 在
2
HF 延长线时取等号，C 选项正确；
D 选项：
设直线
1
MF 与椭圆的另一个交点为
2
2
,
N
x
y
¢
，
由椭圆的对称性可知，当
1
2
MF //NF 时，
2
1
NF
N F
=
¢
，
设直线
1
MF 的方程为
1
x
my
=
- ，
联立直线与椭圆
2
2
1
4
3
1
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
，化简可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
-
-
=
，
0
D >
，
则
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
=
+
，
1
2
2
9
3
4
y y
m
-
=
+
，
则
2
1
1
1
MF
m
y
=
+
，
2
1
2
1
N F
m
y
=
¢
+
，
所以
2
1
2
1
1
2
2
9
3
1
3
3
4
3
4
MF
NF
MF
N F
m
m
m
×
=
×
=
+
×
=
-
+
+
¢
，
又
2
0
m ³
，所以
1
2
2
3
9
3
3
4
4
MF
NF
m
×
=
-
³
+
，D 选项错误；
故选：AC.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知曲线
2
2
:
4
2
9
M
x
y
-
+
=
的中心为M，过
1,0 的直线交曲线M 于A，B
两点，
3,0
C
，则三角形BCM 面积的最大值为
．
【答案】3 2
4
【详解】由
2
2
:
4
2
9
M
x
y
-
+
=
可得
2
2
4
:
1
9
9
2
x
y
M
-
+
= ，故
4,0
M
,
令
0
y =
，则
1
x = 或
7
x =
，
因此曲线M 与x 轴的交点为
1,0 , 7,0 ，
1
1
2
2
BCM
S
CM h
h
=
=
V
，
故要使得BCM
V
的面积最大，只需要h 最大，即只需要B 的纵坐标的绝对值最大即可，
在
2
2
:
4
2
9
M
x
y
-
+
=
中令
4
x =
，则
9
2
y =
，
故
1
1
9
3 2
2
2
2
4
BCM
S
h
=
£
´
=
V
，
故答案为：3 2
4
7．（2025·山东日照·二模）已知
2
2
:
16
O x
y
+
=
e
与x 轴相交于C，D 两点，点
( 2 3,0)
A -
，以AB 为直径的圆与
⊙O 内切，则△BCD 面积的最大值为
．
【答案】8
【详解】
如图，设以AB 为直径的圆的圆心为E ，
2 3,0
F
，
因为两圆内切，所以
1
4
2
OE
BA
=
-
，
又OE 为
ABF
△
的中位线，所以
1
2
OE
BF
=
，
所以1
1
4
8
4 3
2
2
BF
BA
BA
BF
=
-
Þ
+
=
>
，
所以B 的轨迹为以A ，F 为焦点的椭圆，
2
8
4
a
a
=
Þ
=
，
2
2
2 3
16 12
2
c
b
a
c
=
Þ
=
-
=
-
=
，
显然当B 为椭圆短轴顶点即
0, 2
±
时，
BCD
S△
的面积最大，
最大值为1
1
2 8
8
2
2
BO
CD
´
=
´ ´ =
.
故答案为：8
8．（2025·山东临沂·三模）已知O 为坐标原点，点P 为椭圆
2
2
1
9
4
x
y
+
= 上任意一点，PA ，PB 为圆
2
2
2
x
y
+
=
的两
条切线，切点分别为A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则
MON
△
面积的最小值为
.
【答案】2
3
【详解】先求在圆上一点的切线方程：
设圆U 的方程为
2
2
2
x
a
y
b
r
-
+
-
=
，圆心为
,
U a b ，半径为r ，
设
0
0
,
V x
y
是圆U 上的一点，则
2
2
2
0
0
x
a
y
b
r
-
+
-
=
①，
设
,
W x y 是圆U 在
0
0
,
V x
y
处的切线方程上任意一点，则
0
VU VW
×
=
uuur uuur
，
即
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
0
a
x b
y
x
x
y
y
a
x
x
x
b
y
y
y
-
-
×
-
-
=
-
-
+
-
-
=
②，
-
①
②并整理得
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
-
-
+
-
-
=
，
即圆U 在
0
0
,
V x
y
处的切线方程为
2
0
0
x
a
x
a
y
b
y
b
r
-
-
+
-
-
=
.
根据题意，设
1
(
A x ，
1)
y ，
2
(
B x ，
2)
y
，
0
(
P x ，
0)
y
，
PA 是圆
2
2
2
x
y
+
=
的切线且切点为A ，则PA 的方程为
1
1
2
x x
y y
+
=
，
同理PB 的方程为
2
2
2
x x
y y
+
=
，
又由PA ､PB 交于点P ，则有
1
0
1
0
2
x x
y y
+
=
，
2
0
2
0
2
x x
y y
+
=
，
则直线AB 的方程为
0
0
2
x x
y y
+
=
（1）.
要使
,
,
O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以
0
0
0,
0
x
y
¹
¹
，
由（1）可得M 的坐标为
0
2
( x ，0) ，N 的坐标为
0
2
(0,
)
y
，
0
0
1
2
2
OMN
S
OM
ON
x y
=
×
=
V
，
又由点P 是椭圆
2
2
1
9
4
x
y
+
= 上的动点（非顶点），则有
2
2
0
0
1
9
4
x
y
+
= ，
则有
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
1
1
2
9
4
9
4
3
x
y
x
y
x y
=
+
³
´
=
，即
0
0
|
| 3
x y £
，
当且仅当
2
2
0
0
1
9
4
2
x
y
=
=
时，即
0
0
3 2,
2 2
x
y
= ±
= ±
时等号成立，
0
0
1
2
2
=
2
3
OMN
S
OM
ON
x y
=
×
³
V
，
即OMN
V
面积的最小值为2
3 .
故答案为：2
3
9．（24-25 高二下·广西贵港·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为F ，点
0,3
A
和点
3
3, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø
在C 上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P 的直线l 与C 交于另一点B ，求ABP
V
的最大面积．
【答案】(1)
2
2
1
12
9
x
y
+
= ；
(2)
9
3 3
2
+
.
【详解】（1）由题设
2
2
2
9
1
9
9
1
4
b
a
b
ì
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，可得
2
2
9
12
b
a
ì
=
í
=
î
，可得椭圆方程为
2
2
1
12
9
x
y
+
= ；
（2）由题设，直线
:
2
6
0
AP x
y
+
-
=
，且
2
2
3
3
|
|
(0
3)
(3
)
5
2
2
AP =
-
+
-
=
，
由B 在椭圆上，令
(2 3 cos ,3sin )
B
q
q ，则B 到直线AP 的距离
| 2 3 cos
6sin
6 |
5
d
q
q
+
-
=
，
所以
1
1
3
| 2 3 cos
6sin
6 |
3
|
|
5
| 4 3sin(
)
6 |
2
2
2
4
5
ABP
S
AP d
q
q
q
j
+
-
=
×
=
´
´
=
+
-
V
，其中
3
tan
3
j =
，
所以sin(
)
1
q
j
+
= - 时，面积最大值为
9
3 3
2
+
.
10．（2025·海南·模拟预测）直线l 过抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
的焦点F ，与C 交于
,
A B 两点，当线段AB 中点的纵
坐标为2 时，
6
AB =
．
(1)求p ；
(2)证明：直线
,
OA OB 的斜率之积为定值，并求出该定值；
(3)设C 在点
,
A B 处的切线1
2
,
l l 相交于T 点，若
3
AF =
，求ABT
V
的面积．
【答案】(1)
2
p =
(2)证明见解析
(3) 27 2
8
【详解】（1）设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，线段AB 中点设为
0
(
,2)
x
，则
1
2
4
y
y
+
=
，
由题意，抛物线C 的焦点为0, 2
p
æ
ö
ç
÷
è
ø，
根据抛物线的定义得
1
2
1
2
4
6
2
2
p
p
AB
y
y
y
y
p
p
=
+
+
+
=
+
+
=
+
=
，所以
2
p =
；
（2）当直线l 斜率不存在时，:
0
l x =
，与抛物线只有一个交点，不符合题意.
所以直线l 斜率必存在，设为
1
y
kx
=
+ ，
与抛物线联立得：
2
4
1
x
y
y
kx
ì
=
í
=
+
î
，所以
2
4
4
0
x
kx
-
-
=
，得
1
2
4
x x = - ，
所以直线
,
OA OB 的斜率之积为
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
16
16
4
=
=
= -
x x
y y
x x
x x
x x
，所以直线
,
OA OB 的斜率之积为定值，该定值为
1
4
-
；
（3）由（1）知
2
4
x
y
=
，
0,1
F
，由题意
1
1
3
AF
y
=
+ =
，所以
1
2
y =
，
所以
1
2 2
x =
或
1
2 2
x = -
，当
1
2 2
x =
时，
2
4
2
2 2
x
-
=
= -
，此时
(2 2,2)
A
，
1
(
2, )
2
B -
，由
2
1
4
y
x
=
得
¢ = 1
2
y
x ，
所以过点A 的切线方程为
:
2
2
2 2
TA y
x
-
=
-
，即
2
2
y
x
=
- ，
过点B 的切线方程为
1
2
:
2
2
2
TB y
x
-
= -
+
，即
2
1
2
2
y
x
= -
-
，
联立
2
2
2
1
2
2
y
x
y
x
ì
=
-
ïí
= -
-
ïî
得
2
(
, 1)
2
T
-
，
又l 的斜率
1
2
2
2
4
2 2
2
k
-
=
=
- -
，即
2
:
1
4
l y
x
=
+ ，即
2
4
4
0
x
y
-
-
=
，
所以T 到l 的距离
9
3 2
2
2 16
d =
=
+
，因为
1
2
1
9
2
2
2
2
AB
y
y
p
=
+
+
=
+
+
=
，
所以ABT
V
的面积为1
9
3 2
27 2
2
2
2
8
´
´
=
；
当
1
2 2
x = -
时，
2
4
2
2 2
x
-
=
=
-
，
此时
( 2 2,2)
A -
，
1
( 2, )
2
B
，由
2
1
4
y
x
=
得¢ = 1
2
y
x ，
所以过点A 的切线方程为
:
2
2
2 2
TA y
x
-
= -
+
，即
2
2
y
x
= -
-
，
过点B 的切线方程为
1
2
:
2
2
2
TB y
x
-
=
-
，即
2
1
2
2
y
x
=
-
，
联立
2
2
2
1
2
2
y
x
y
x
ì
= -
-
ïí
=
-
ïî
得
2
(
, 1)
2
T -
-
，
又l 的斜率
1
2
2
2
4
2 2
2
k
-
=
= -
-
-
，即
2
:
1
4
l y
x
= -
+ ，即
2
4
4
0
x
y
+
-
=
，
所以T 到l 的距离
9
3 2
2
2 16
d =
=
+
，因为
1
2
1
9
2
2
2
2
AB
y
y
p
=
+
+
=
+
+
=
，
所以ABT
V
的面积为1
9
3 2
27 2
2
2
2
8
´
´
=
；
综上，ABT
V
的面积为27 2
8
11．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知点P 是圆
2
2
25
x
y
+
=
上的动点，O 是坐标原点，
5
OP
OQ
=
uuur
uuur
，过P 垂
直于x 轴的直线与过Q 垂直于y 轴的直线交于点M ，点M 的轨迹为曲线C .
(1)求C 的方程；
(2)
0, 1
A
-
，
0,1
B
，点D 是C 上一点，E 在射线
5
0
y
x
=
>
上且BD
BE
=
，
0
BD BE
×
=
uuur uuur
，求
ADE
V
的面积.
【答案】(1)
2
2
1
25
x
y
+
=
(2) 292
25
【详解】（1）设点
,
M x y ，则
p
x
x
=
，
Q
y
y
=
.
5
5
p
Q
OP
OQ
y
y
=
Þ
=
uuur
，所以
,5
P x
y .
P 在圆
2
2
25
x
y
+
=
上，得
2
2
5
25
x
y
+
=
，
C 的方程是
2
2
1
25
x
y
+
= .
（2）设
,
D m n ，
,5
0
E t
t >
，
则
2
2
2
2
2
25
25,
1
16,
4
1
0,
m
n
m
n
t
mt
n
ì
+
=
ïï
+
-
=
+
í
ï
+
-
=
ïî
①
②
③
由②、③式联立，解得：
2
16
m =
，由题意
0
m >
，
4
m
\
=
，
解得：
3 ,
5
2
5
n
t
ì =
ïïí
ï
=
ïî
或
3 ,
5
8 ,
5
n
t
ì = -
ïïí
ï
=
ïî
\当
3
4, 5
Dæ
ö
ç
÷
è
ø ，
2 ,5
5
E æ
ö
ç
÷
è
ø时，
6
:
1
15
1
2
5
AE y
x
x
=
- =
- ，
D 到AE 的距离为
3
15 4
1
292
5
1
225
5 226
´ -
-
=
+
，
2
2
1
225
0
226
5
5
AE =
+
-
=
，
故
1
2
292
292
2
5
5
25
ADE
S
=
´
´
=
V
，
当
3
4,
5
Dæ
ö
-
ç
÷
è
ø，
8 ,5
5
E æ
ö
ç
÷
è
ø 时，同理可得
292
25
ADE
S
=
V
.
故所求面积为292
25 .
12．（24-25 高二下·四川自贡·期末）在平面直角坐标系中，
( 2,0),
(2,0)
A
B
-
，动点P 与
,
A B 两点连线斜率乘积为
1
2
-
．
(1)记动点P 的轨迹为曲线C ．求曲线C 的方程；
(2)过点
(1,0)
E
的直线l 与曲线C 交于
,
M N 两点，且
NOE
△
的面积是
MBE
△
的面积的2 倍，求直线l 的斜率．
【答案】(1)
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
(2)
30
6
或
30
6
-
【详解】（1）设
( , )
P x y ，则
,
2
2
PA
PB
y
y
k
k
x
x
=
=
+
-
，
由
1
2
2
2
PA
PB
y
y
k
k
x
x
×
=
×
= -
+
-
得，
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
，
所以曲线C 的方程为
2
2
1
2
4
2
x
y
x
+
=
¹ ±
.
（2）
由题意得直线l 的斜率不为0 ，设:
1
l x
my
=
+ ，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
由
2
2
1
1
4
2
x
my
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
得，
2
2
2
2
3
0
m
y
my
+
+
-
=
，
所以
1
2
1
2
2
2
2
3
,
2
2
m
y
y
y y
m
m
+
= -
= -
+
+
，
因为
NOE
△
的面积是
MBE
△
的面积的2 倍，
所以
2
1
1
1
2
2
2
OE
y
EB
y
×
=
×
×
，
因为
1
OE
EB
=
= ，所以
2
1
2
y
y
=
，
由题意得，
1
2
,
y y 符号相反，故
2
1
2
y
y
= -
，
所以
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
3
,
2
2
2
m
y
y
y
y y
y
m
m
+
= -
= -
= -
= -
+
+
，
所以
2
2
2
2
3
2
2
2
m
m
m
æ
ö
´
=
ç
÷
+
+
è
ø
，解得
6
5
m = ±
，
所以直线l 的斜率为
30
6
或
30
6
-
.
13．（24-25 高二下·甘肃甘南·期末）已知
2 3,0
A
和
3
3, 2
Bæ
ö
ç
÷
è
ø为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上两点．
(1)求C 的方程；
(2)点P 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线AP 交y 轴于点Q，
1F ，
2F 为椭圆C 的左、右焦点，若
1F PQ
V
的面积是
2
F PA
△
面积的3 倍，求直线PQ的方程．
【答案】(1)
2
2
1
12
9
x
y
+
= ；
(2)
3
2 3
2
= ±
-
y
x
.
【详解】（1）由题意得
2
2
2 3
9
9
4
1
a
a
b
ì =
ïïí
ï
+
=
ïî
，解得
2
2
9
12
b
a
ì
=
í
=
î
，
所以C 的方程为
2
2
1
12
9
x
y
+
= ．
（2）由题意得，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为
2 3
y
k x
=
-
，
联立方程组
2
2
1
12
9
2 3
x
y
y
k x
ì
+
=
ï
í
ï
=
-
î
，消去y 整理得
2
2
2
2
(3
4
)
16 3
48
36
0
+
-
+
-
=
k
x
k x
k
，
由根与系数的关系得
2
2
48
36
3
4
-
×
=
+
A
P
k
x
x
k
，所以
2
2
8 3
6 3
3
4
-
=
+
P
k
x
k
，
所以
2
2
2
8 3
6 3
12 3
,
3
4
3
4
k
k
P
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，
0, 2 3
Q
k
-
，又因为
1
3,0
F -
，
2
3,0
F
，
所以
1
1
3 3
2
F QA
Q
S
y
=
´
´
V
，
2
1
3
2
F PA
P
S
y
=
´
´
V
，
1
1
3 3
2
F AP
P
S
y
=
´
´
V
，
所以
1
1
1
2
1
3
=
+
=
+
F QA
F PQ
F AP
F PA
F AP
S
S
S
S
S
△
△
△
△
△
，所以
2
Q
P
y
y
=
，
即
2
12 3
2 3
2
3
4
k
k
k
-
=
-
+
，解得
3
2
k = ±
，
所以直线PQ的方程为
3
2 3
2
y
x
= ±
-
．
14．（24-25 高二下·河南洛阳·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
6
3
，且点
3,1
A
在椭圆上.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)椭圆C 的左焦点为F，若T 为直线
3
x = - 上一点，过点F 且与TF 垂直的直线交椭圆C 于P，Q 两点，线段PQ
的中点为M.
（ⅰ）证明：点M 在直线OT 上（O 为原点）；
（ⅱ）求
OPQ
△
的面积的最大值，以及此时点T 的坐标.
【答案】(1)
2
2
1
6
2
x
y
+
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）面积最大值为
3 ，点T 的坐标
3, 1
-
±
.
【详解】（1）由题知
6
3
c
a =
，∴
6
3
c
a
=
，∴
2
2
2
2
1
3
b
a
c
a
=
-
=
，
又
2
2
2
2
3
1
1
a
b
+
= ，∴
6
a =
，
2
b =
，
∴椭圆C 的标准方程为
2
2
1
6
2
x
y
+
= .
（2）（ⅰ）由题可设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，PQ 的中点为
0
0
,
M x
y
，
若直线PQ 的斜率为0，不存在满足TF
PQ
^
的点T，故设PQ 的方程为
2
x
my
=
-
，
代入椭圆方程得
2
2
3
4
2
0
m
y
my
+
-
-
=
，
则
1
2
2
4
3
m
y
y
m
+
=
+
，
1
2
2
2
3
y
y
m
-
×
=
+
，
0
2
2
3
m
y
m
=
+
，
0
2
6
3
x
m
= -
+
∵TF 的方程为
0
2
y
m x
-
= -
+
，令
3
x = - ，得y
m
=
，
∴
0
0
3
OM
OT
y
m
k
k
x
=
= -
=
，∴OT 过PQ 的中点，即点M 在直线OT 上.
（ⅱ）由（ⅰ）可得，
2
2
2
2
1
2
2
2
2
16
8
3
24
1
1
2 6
1
2
3
3
3
OPQ
m
m
m
m
S
OF y
y
m
m
m
+
+
+
+
=
-
=
=
=
+
+
+
V
.
∵
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
3
1
2
1
1
m
m
m
m
m
m
+
+
=
=
+
+
+
+ +
+
，
而
2
2
2
1
2 2
1
m
m
+ +
³
+
，
2
2
1
1
3
2 2
m
m
+
£
+
，
2
2
1
2 6
3
3
m
m
+
£
+
，
当且仅当
2
1
2
m + =
，即
1
m = ± 时等号成立.
∴
3
OPQ
S
£
△
，当且仅当
1
m = ± 时等号成立.
∴
OPQ
△
的面积最大值为
3 ，及此时点T 的坐标
3, 1
-
±
.
1．（2025·山西晋中·模拟预测）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是双曲线
2
2
1
3
x
y
-
= 上任意一点，过点P 所作的
两条渐近线的平行线与渐近线的交点分别为,
A B ，则四边形OAPB 的面积（ ）
A．为定值
3
B．最大值为
3
C．为定值
3
2
D．最大值为
3
2
【答案】C
【详解】设点
,
P m n ，则
2
2
1
3
m
n
-
= ，即
2
2
3
3
m
n
-
=
，
则直线
3
:
3
OA y
x
=
，所以直线
3
:
3
PA y
n
x
m
-
= -
-
，
联立
3
3
3
3
y
x
y
n
x
m
ì
=
ïïí
ï -
= -
-
ïî
，解得
1
3
2
2
3
1
6
2
x
m
n
y
m
n
ì =
+
ïïí
ï
=
+
ïî
，
所以
1
3
3
1
,
2
2
6
2
A
m
n
m
n
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
1
3
3
1
3
2
2
6
2
3
OA
m
n
m
n
m
n
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
=
+
+
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
点P 到直线OA的距离为
3
2
m
n
d
-
=
，
所以四边形OAPB 的面积
2
3
3
3
2
m
n
S
OA d
m
n
-
æ
ö
=
×
=
+
´
ç
÷
ç
÷
è
ø
2
2
2
1
1
3
2
3 m
n
=
-
，
又
2
2
3
3
m
n
-
=
，所以
1
1
3
9
2
3
2
S =
´
=
.
所以四边形OAPB 的面积为定值
3
2
.
故选：C.
考点二
四边形的面积问题
2．（24-25 高三下·云南德宏·阶段练习）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= (
0
a
b
>
>
)的上、下顶点分别为
1B ，
2
B ，左、右
焦点分别为
1F ，
2F ，点P 在C 上，且C 的离心率为1
4 ，
1
2
PFF
V
的周长为10，则四边形
1
1
2
2
B F B F 的面积为（ ）
A．5
B．2 15
C．4 5
D．6 3
【答案】B
【详解】因为C 的离心率为1
4 ，所以
1
4
c
a =
，即
4
a
c
=
．
又因为
1
2
PFF
V
的周长为10，所以2
2
10
a
c
+
=
，即
5
a
c
+
=
．联立
4
5
a
c
a
c
=
ì
í +
=
î
，解得
4
1
a
c
=
ì
í
=
î
.
又因为
2
2
2
a
b
c
=
+
，所以
15
b =
，所以四边形
1
1
2
2
B F B F 的面积为1
2
2
2 15
2
b
c
´
´
=
．
故选：B.
3．（24-25 高二下·安徽宣城·期末·多选）已知点F 是抛物线
2
8
y
x
=
的焦点，
,
AC BD 是过点F 的弦且AC
BD
^
，
直线AC 的斜率为k ，
0
k >
，且
,
A B 两点在第一象限，则（ ）
A．
12
OB OD
×
= -
uuur uuur
B．四边形ABCD 面积的最小值为64
C．
1
1
1
8
AC
BD
+
=
D．若
64
AF
CF
×
=
，则直线BD 的斜率为
3
-
【答案】ACD
【详解】对于A：设直线BD 的方程为
2
0
x
my
m
=
+
¹
，
1
1
2
2
,
,
,
B x y
D x
y
，
联立直线和抛物线方程得
2
8
16
0
y
my
-
-
=
，
根据韦达定理得
1
2
1
2
8 ,
16
y
y
m y y
+
=
= -
.
所以
2
2
2
1
2
1
2
16
4
8
8
64
y
y
x x =
´
=
=
.
所以
1
2
1
2
·
4 16
12
OB OD
x x
y y
=
+
=
-
= -
uuur uuur
，所以A 正确；
对于B：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4
8
1
8
8
BD
x
x
y
y
y
y
y
y
m
y
y
y y
m
æ
ö
é
ù
=
-
+
-
=
-
+
-
=
+
+
-
=
+
ç
÷
ë
û
è
ø
.
直线AC 的方程为
2
y
k x
=
-
，与抛物线联立方程组化简得
2
2
2
2
4
8
4
0
k x
k
x
k
-
+
+
=
.
根据韦达定理
2
2
4
8 ,
4
A
C
A
C
k
x
x
x x
k
+
+
=
=
.
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
8
1
4
1
4
16
1
A
C
A
C
A
C
A
C
AC
x
x
y
y
k
x
x
x x
k
k
k
k
é
ù
æ
ö
é
ù
=
-
+
-
=
+
+
-
=
+
+
-
=
+
ê
ú
ç
÷
ë
û
è
ø
ê
ú
ë
û
，
因为AC
BD
^
，所以1
1
m
k
= -
，所以m
k
= - ，
所以四边形ABCD 的面积为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
8
32
1
1
1
8
1
1
32
2
32 2
2
·
128
2
2
S
AC
BD
k
m
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
æ
ö
=
´
=
´
+
´
+
=
+
=
+
+
³
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
当且仅当
1
k = 时等号成立，此时四边形ABCD 面积的最小值为128，所以B 错误；
对于C：因为
2
2
2
2
8
8
1
8
1 ,
1
BD
m
k
AC
k
k
=
+
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
8
8
1
8
1
k
AC
BD
k
k
+
=
+
=
+
+
，所以C 正确；
对于D：
2
2
2
2
2
2
1
2
A
A
A
AF
x
k x
k
x
é
ù
=
-
+
-
=
+
-
ë
û
，
同理
2
2
2
2
2
2
1
2
C
C
C
CF
x
k x
k
x
é
ù
=
-
+
-
=
+
-
ë
û
.
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
1
4
8
·
1
2
2
1
2
2
1 4
4
2·
64
A
C
A
C
k
k
AF CF
k
x
x
k
x
x
k
k
k
+
+
=
+
-
-
=
+
-
-
=
+
+
-
=
=
所以
2
3
1
k = ，因为
0
k >
，所以
1
3
k =
.
所以直线BD 的斜率为
1
3
k
-
= -
，所以D 正确.
故选：ACD.
4．（24-25 高二下·四川凉山·期末·多选）双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，左、
右顶点分别为
1A ，
2
A ，以
1
2
F F 为直径的圆与曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，且
1
2
π
4
A MA
Ð
=
，则下列说法
一定正确的是（ ）
A．C 的离心率为
5
B．
2
3π
4
MA N
Ð
=
C．
1
2
2
MA
MA
=
D．当
5
a =
时，四边形
1
2
NF MF 的面积为20 5
【答案】ABD
【详解】双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= ，则
1
,0
F
c
-
，
2
,0
F
c
，
1
,0
A
a
-
，
2
,0
A
a
，渐近线方程为
b
y
x
a
=
，以
1
2
F F 为直
径的圆方程为
2
2
2
x
y
c
+
=
；
联立方程组得
2
2
2
b
y
x
a
x
y
c
ì
=
ïí
ï
+
=
î
，解得
1
2
1
2
,
x
a
x
a
y
b
y
b
=
= -
ì
ì
í
í
=
= -
î
î
，不妨设
,
,
,
M a b
N
a
b
-
-
，
则
1
2
2 ,
,
0,
MA
a
b
MA
b
= -
-
=
-
uuuur
uuuur
，由
1
2
π
4
A MA
Ð
=
，得
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
cos
,
2
4
MA MA
b
MA MA
MA MA
a
b
×
<
>=
=
=
+
uuuur uuuur
uuuur uuuur
uuuur uuuur
，
解得
2
b
a
=
，则
2
2
4
5
c
a
a
a
=
+
=
，离心率
5
5
a
e
a
=
=
，所以A 正确；
可知
2
2
0,
,
2 ,
A M
b
A N
a
b
=
= -
-
uuuuur
uuuur
，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
,
2
4
A M A N
b
A M A N
A M A N
b
a
b
×
-
<
>=
=
= -
+
uuuuur uuuur
uuuuur uuuur
uuuuur uuuur
，所以
2
3π
4
MA N
Ð
=
，所
以B 正确；
由
2
b
a
=
，则
1
2 , 2
MA
a
a
= -
-
uuuur
，
2
0,2
A M
a
=
uuuuur
，
1
2
2 2 ,
2
MA
a MA
a
=
=
uuuur
uuuur
，
1
2
2
MA
MA
=
，
当
,
M N 位置互换时，
1
2
2 MA
MA
=
，不符合条件，所以C 错误；
由
1
2
2
2 ,0 ,
0,
A A
a
MA
b
=
=
-
uuuur
uuuur
，则
1
2
2
0
A A
MA
×
=
uuuur uuuur
，所以
2
1
2
MA
A A
^
，
已知
2
b
a
=
，
5
c
a
=
，
所以
1 2
1
2
1
2
2
2
2
2 5
20 5
2
MF F
MF NF
S
S
b
c
a
a
=
´
=
´
× ×
=
×
=
V
四边形
，所以D 正确；
故选：ABD.
5．（24-25 高二下·广东深圳·阶段练习）已知
1F ，
2F 为椭圆
2
2
:
1
16
6
x
y
C
+
= 的两个焦点，,
P Q 为C 上关于坐标原点对
称的两点，且
1
2
PQ
F F
=
，则四边形
1
2
PFQF 的面积为
．
【答案】12
【详解】
如图，因,
P Q 关于原点对称，则|
| |
|
OQ
OP
=
，又
1
2
|
| |
|
OF
OF
=
，
则四边形
1
2
PFQF 为平行四边形，因
1
2
PQ
F F
=
，故四边形
1
2
PFQF 为矩形.
设
1
2
|
|
,|
|
PF
m PF
n
=
=
，则
2
2
2
2
2
4
4(
)
40
2
8
m
n
c
a
b
m
n
a
ì
+
=
=
-
=
í
+
=
=
î
，
于是
2
2
2
2
(
)
(
)
64
40
24
mn
m
n
m
n
=
+
-
+
=
-
=
，解得
12
mn =
.
故四边形
1
2
PFQF 的面积为
12
mn =
.
故答案为：12.
6．（24-25 高三下·浙江宁波·阶段练习）已知
1
2
,
F F 分别为双曲线
2
2
:
1
0
8
y
E x
b
-
=
>
的左､右焦点，,
,
P Q R 在E
上，其中Q 在第一象限，R 在第二象限，直线PQ过
1F ，且
2,
F R 关于直线PQ对称，则四边形
2
PRQF 的面积
为
.
【答案】16
【详解】如图，因为
2,
F R 关于直线PQ对称，设
2
F R 交PQ与M ，
则
1
1
2
6
F R
F F
=
=
，且
2
F R
PQ
^
，
由双曲线定义可得
2
1
2
8
F R
F R
=
+
=
，所以
2
4
MR
MF
=
=
，
在
1
2
Rt
MF F
△
中，
2
2
1
1
2
2
2 5
MF
F F
MF
=
-
=
，
设
1
1
,
F P
n FQ
m
=
=
，则
2
2
2
,
2
F P
n F Q
m
=
+
=
-
，
在
2
Rt
MPF
△
中，由
2
2
2
2
2
F P
MP
MF
=
+
得
2
2
2
2 5
16
n
n
+
=
-
+
①，
在
2
Rt
MQF
△
中，由
2
2
2
2
2
F Q
MQ
MF
=
+
得
2
2
2
2 5
16
m
m
-
=
-
+
②，
解①②可得：
2 5
2,
2 5
2
n
m
=
-
=
+
，
所以
2 5
2
2 5
2
4
PQ
m
n
=
-
=
+
-
+
=
，
于是可得四边形
2
PRQF 的面积为
2
1
1
4 8
16
2
2
PQ
F R
×
=
´ ´ =
.
故答案为：16.
7．（2025·浙江金华·三模）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
¢
-
=
>
>
的离心率为
3 ，过左焦点F 的直线l 与双曲线的左
支、右支分别交于点
,
A B ，当直线l 与y 轴垂直时，
2 3
AB =
.
(1)求双曲线C¢ 的方程；
(2)点
12,0
C
满足CB
OA
∥
，其中O 是坐标原点，求四边形OABC 的面积.
【答案】(1)
2
2
1
3
6
x
y
-
=
(2) 72 3
5
【详解】（1）由直线l 与y 轴垂直时，
2 3
AB =
，故2
2 3
a =
，故
3
a =
，
又离心率为
3 ，则
3
3
c
a
=
=
，所以
2
2
2
6
b
c
a
=
-
= ，
双曲线C¢ 的方程为：
2
2
1
3
6
x
y
-
= .
（2）设直线l 的方程是
3
x
ty
=
- ，
1
1
,
A x y ，
2
2
,
B x y
.
由
2
2
3
2
6
x
ty
x
y
=
-
ì
í
-
=
î
得
2
2
2
1
12
12
0
t
y
ty
-
-
+
=
，
1
2
2
12
2
1
t
y
y
t
+
=
- ，
1
2
2
12
2
1
y y
t
=
- .
因为CB
OA
∥
，所以
15
5
3
FB
FC
FA
FO
=
=
=
∣
∣∣
∣
∣∣∣
∣
，从而
2
1
5
y
y
=
.
所以
1
2
12
6
2
1
t
y
t
=
- ，
2
1
2
12
5
2
1
y
t
=
- ，消去
1y 得
2
2
1
5
3 2
1
t
t
=
-
，解得
2
3
t = ，
它满足
2
2
1
0
t - ¹
，
0
D >
.
2
2
1
2
1
2
1
2
|
|
1
2
4
AB
t
y
y
y
y
y y
=
+
-
=
+
-
∣
∣
2
2
2
2
2
2
2
144
48
1
16 3
2
8 3
2
1
5
2
1
2
1
t
t
t
t
t
+
=
-
=
=
-
-
-
,
故O 到直线AB 的距离为
2
3
3
2
1
d
t
-
=
=
+
，
所以
1
1
16 3
3
12 3
2
2
5
2
5
AOB
S
AB d
=
=
´
´
=
V
，
由于
5
FB
FC
FA
FO
=
=
∣
∣∣
∣
∣∣∣
∣
，所以
1
3 3
4
5
AOF
AOB
S
S
=
=
V
V
,
72 3
24
5
OABC
AOF
S
S
=
=
V
8．（24-25 高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为4，焦距为2 3 .
(1)求C 的方程.
(2)若A ，B 分别为C 的左、右顶点，过点
3,0 的直线l 与C 交于与A ，B 不重合的E ，F 两点.
①求四边形AEBF 面积的最大值.
②设直线AE ，BE ，BF 的斜率分别为
1k ，
2k ，
3k ，判断
2
1
3
k
k
k
+
是否为定值.若是，求出该定值，若不是，请
说明理由.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2)①4 3
3
；②是，2
3
- -
【详解】（1）由题意得
2
4,
2
2 3,
a
c
=
ìïí
=
ïî
得
2,
3,
a
c
=
ìïí =
ïî
则
2
2
2
1
b
a
c
=
-
= ，
所以C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由（1）可知
2,0
A -
，
2,0
B
，
易得直线l 的斜率不为零，设l ：
3
x
ty
=
+
，
1
1
,
E x y
，
2
2
,
F x
y
.
由
2
2
3,
1,
4
x
ty
x
y
ì =
+
ïí
+
=
ïî
得
2
2
4
2 3
1
0
t
y
ty
+
+
- =
，得
2
1
2
2
1
2
2
Δ
16
1
0,
2 3 ,
4
1 .
4
t
t
y
y
t
y y
t
ì
=
+
>
ï
ï
-
ï
+
=
í
+
ï
-
ï
=
ï
+
î
①四边形AEBF 的面积为
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
ABE
ABF
S
S
AB y
y
y
y
y y
+
=
-
=
+
-
V
V
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
8
8
8
9
4
1
6
1
9
1
6
1
t
t
t
t
t
t
t
+
+
=
=
=
+
+
+
+
+
+ +
+
+
2
2
1
4 3
8
3
9
2
1
6
1
t
t
£
=
+
×
+
+
，
当且仅当
2
2
9
1
1
t
t
+ =
+ ，即
2
2
t =
时，等号成立.
故四边形AEBF 面积的最大值为4 3
3
.
②
2
1
3
k
k
k
+
是定值，该定值为2
3
- -
.
1
1
1
2
y
k
x
=
+
，
1
2
1
2
=
-
y
k
x
，
2
3
2
2
y
x
k =
-
.
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
4
2
2
4
4
4
x
y
y
y
k k
x
x
x
x
-
=
×
=
=
= -
+
-
-
-
，
1
2
1
2
2
3
1
2
1
2
2
2
3
2
3
2
y
y
y y
k k
x
x
ty
ty
=
×
=
-
-
+
-
+
-
1
2
2
1
2
1
2
3
2
7
4 3
y y
t y y
t y
y
=
+
-
+
+
-
2
2
2
2
1
7
4
3
4
2 3
3
2
7
4 3
4
4
t
t
t
t
t
t
-
+
=
= -
-
-
-
+
-
´
+
-
+
+
，
所以
2
1
3
1
2
2
3
1
7
3
2
3
4
4
k
k
k
k k
k k
+
=
+
= -
-
-
= - -
.
9．（24-25 高二下·湖南湘西·期末）在平面直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的点均在圆
2
2
2 :
4
7
C
x
y
-
+
=
外，且对
1
C
上任意一点M ，点M 到直线:
3
l x = - 的距离比点M 到点
2
C 的距离小1．
(1)求曲线
1
C 的方程；
(2)若直线l 上一动点N ，过点N 作圆
2
C 的两条切线，切点分别为,
S T ，求四边形
2
NSC T 面积的最小值；
(3)设
0
0
0
,
7
N x
y
y ¹ ±
为直线l 上一动点，过点N 作圆
2
C 的两条切线，分别与曲线
1
C 相交于点
,
E F 和
,
G H ．证
明：点
,
,
,
E F G H 的纵坐标之积为定值2304．
【答案】(1)
2
16
y
x
=
(2)7 6
(3)证明见解析
【详解】（1）方法一：
由题意，
∵M 到直线:
3
l x = - 的距离比点M 到点
2
C 的距离小1，
∴
1
C 上任意一点M 到直线
4
x = - 的距离等于点M 到点
2
C 的距离，
因此，曲线
1
C 的是以
4,0 为焦点，直线
4
x = - 为准线的抛物线，
故曲线
1
C 的方程为
2
16
y
x
=
．
方法二：由题意，
设点M 的坐标为
,x y ，
由题意得
2
2
3
4
1
x
x
y
+
=
-
+
- ，
易知点
2
C 位于直线:
3
l x = - 的右侧，
∴
3
0
x +
>
，∴
2
2
(
4)
4
x
y
x
-
+
=
+
，
化简得
2
16
y
x
=
，
曲线
1
C 的方程为
2
16
y
x
=
．
（2）由题意得，
2
C 的圆心为
4,0 ，半径
7
r =
，
又∵四边形
2
NSC T 的面积
2
2
2
2
2
2
2
2
7
7
NS SC
NC
SC
SC
NC
=
×
=
-
×
=
´
-
，
∴当
2
NC 的值最小时，四边形
2
NSC T 的面积最小，
又
2
NC 的最小值为：3
4
7
+
=
，
∴四边形
2
NSC T 面积的最小值
7
49
7
7 6
S =
´
-
=
．
（3）由题意及（1）（2）证明如下，
当点N 在直线:
3
l x = - 上运动时，
设点N 的坐标为
0
3, y
-
.
又
0
7
y ¹ ±
，
∴过点N 且与圆
2
C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，
每条切线都与
1
C 有两个交点，
则切线方程为
0
3
y
y
k x
-
=
+
，
即
0
3
0
kx
y
y
k
-
+
+
=
，
所以
0
2
4
3
7
1
k
y
k
k
+
+
=
+
，整理得
2
2
0
0
42
14
7
0
k
y k
y
+
+
-
=
．①
设过点N 所作的两条切线
,
NS NT 的斜率分别为
1
2
,
k k ，
则
1
2
,
k k 是方程①的两个实数根，
∴
0
0
1
2
14
42
3
y
y
k
k
+
= -
= -
．②
联立
1
0
1
2
3
0,
16 ,
k x
y
y
k
y
x
-
+
+
=
ì
í
=
î
得
2
1
0
1
16
16
3
0
k y
y
y
k
-
+
+
=
．③
设点
,
,
,
E F G H 的纵坐标分别为
1
2
3
4
,
,
,
y y
y
y ，则
1
2
,
y y 是方程③的两个实数根，
∴
0
1
1
2
1
16
3
y
k
y
y
k
+
×
=
．④
同理可得，
0
2
3
4
2
16
3
y
k
y
y
k
+
×
=
．⑤
联立②，④，⑤三式，得
2
0
1
2
0
1
2
0
1
0
2
1
2
3
4
1
2
1
2
256
3
9
256
3
3
y
k
k
y
k k
y
k
y
k
y y y y
k k
k k
é
ù
+
+
+
+
+
ë
û
=
=
2
2
0
0
1
2
1
2
256
9
2304
y
y
k k
k k
é
ù
-
+
ë
û
=
=
，
∴当N 在直线:
3
l x = - 上运动时，点
,
,
,
E F G H 的纵坐标之积为定值2304．
10．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，焦距为2 .
(1)求E 的方程;
(2)过椭圆E 的右焦点F 作两条相互垂直的直线AB ，CD 与曲线E 分别交于
, ,
,
A B C D 四点，设线段
,
AB CD 的中点
分别为
,
M N .
(i)证明：直线MN 过定点；
(ii) 求四边形ACBD 面积的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
= ；
(2)(i)证明见解析；(ii) 16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
.
【详解】（1）由题意知椭圆过点
2
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则
2
2
1
1
1
2
a
b
+
= ，
因为
1
c = ，所以
2
2
1
a
b
=
+ ，
联立方程组
2
2
2
2
1
1
1
1
2
a
b
a
b
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
，解得
2
a =
，则
1
b = ，
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
（2）
(i) 当两条直线的斜率都存在时，不妨设
1
:
1,
:
1
AB x
my
CD x
y
m
=
+
= -
+ ，
设
1
1
2
2
3
3
4
4
,
,
,
,
A x y
B x
y
C x
y
D x
y
，
，
，
，
联立直线AB 与椭圆E 的方程，得
2
2
1
2
2
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
，
消去x 整理得
2
2
2
2
1
0
m
y
my
+
+
- =
，易知
0
D >
，
根据韦达定理可知
1
2
2
2
2
m
y
y
m
-
+
=
+
，
1
2
2
1
2
y y
m
-
=
+
，
1
2
2
2
2
1
2
2
2
M
M
M
y
y
m
y
x
my
m
m
+
-
=
=
=
+ =
+
+
，
，
即
2
2
2
,
2
2
m
M
m
m
-
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø ，同理
2
2
2
2
,
2
1 2
1
m
m
N
m
m
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
MN
m
m
m
m
m
k
m
m
m
m
-
-
+
+
=
=
-
-
+
+
，
所以
2
2
2
3
2
:
2
2
2
1
m
m
MN y
x
m
m
m
-
æ
ö
-
=
-
ç
÷
+
+
-
è
ø ，
令
0
y =
，得
2
3
x =
，此时直线MN 恒过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
:
0
MN y =
也经过2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以直线MN 过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
(ii) 当两条直线中有一条直线的斜率不存在时，易知
2
ACBD
S
=
，
当两条直线的斜率都存在时，不妨设
1
:
1;
:
1
AB x
my
CD x
y
m
=
+
= -
+ ，
由(i)得：
2
2
2
1
2
1
1
2 2 2
m
AB
m
y
y
m
+
=
+
-
=
+
，同理
2
2
1
2 2 2
1
m
CD
m
+
=
+
，
则
2
2
4
2
2
4
2
4
2
4
2
4
1
4
2
1
1
2
2
2
2
5
2
2
5
2
2
5
2
ACBD
m
m
m
m
S
AB CD
m
m
m
m
m
m
+
+
+
=
=
=
=
-
+
+
+
+
+
+ ，
因为
2
4
2
2
2
2
2
2
2
5
2
2
5
m
m
m
m
m
=
+
+
+
+
，
根据基本不等式
2
2
2
2
2
2
2
2 2
4
m
m
m
m
+
³
×
=
，当且仅当
2
1
m = 时等号成立，
所以
2
4
2
2
2
2
2
2
16
0,
2
,2
2
9
2
5
2
9
2
5
ACBD
m
S
m
m
m
m
æ
ù
é
ö
Î
=
-
Î
ç
÷
ú
ê
+
+
è
û
ë
ø
+
+
，
，
综上所述，四边形ACBD 面积的取值范围为
16 ,2
9
é
ù
ê
ú
ë
û
.
11．（24-25 高三下·云南昆明·阶段练习）在直角坐标系xOy 中，点M 到点
1 ,0
2
F æ
ö
ç
÷
è
ø 的距离等于点M 到直线
1
0
2
x +
=
的距离，记动点M 的轨迹为E .
(1)求E 的方程；
(2)已知平行四边形
, , ,
ABCD A B C 三点在E 上.
（i）若点D 的坐标为
2,1 ，则直线AC 是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
（ii）若点C 的坐标为
, 1
t -
，直线CB 和直线CA 关于直线CF 对称，且点A 与点B 均在点C 上方，求平行四边形
ABCD 面积S 的最大值.
【答案】(1)
2
2
y
x
=
(2)（i）是，5 ,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø ；（ii）16 3
9
【详解】（1）因为点M 到点1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 的距离和点M 到直线
1
0
2
x +
=
的距离相等，
所以由抛物线的定义可知：动点M 的轨迹是以点1 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 为焦点，直线
1
2
x = -
为准线的抛物线.
设E 的方程为
2
2
y
px
=
，则
1
2
2
p =
，即
1
p = .
所以E 的方程为
2
2
y
x
=
.
（2）（i）直线AC 恒过定点5 ,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，理由如下：
由题意知直线AC 的斜率不为0，故设直线AC 方程为x
my
n
=
+
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，如图，
联立方程组
2
2
y
x
x
my
n
ì
=
í =
+
î
，消去x 整理得
2
2
2
0
y
my
n
-
-
=
，
则
2
4
8
0
m
n
D =
+
>
，
1
3
2
y
y
m
+
=
，
1
3
2
y y
n
= -
.
因为四边形ABCD 是平行四边形，
则
2
1
3
2
2
1
3
1
3
1
2
1
2
2
2
2
2
2
y
y
y
m
x
x
x
m y
y
n
m
n
=
+
- =
-
ì
í
=
+
-
=
+
+
-
=
+
-
î
，
所以
2
2
2
2,2
1
B
m
n
m
+
-
-
，
代入
2
2
y
x
=
中，得
2
2
(2
1)
2 2
2
2
m
m
n
-
=
+
-
，化简整理得
5
4
n
m
=
-
，
所以直线
5
5
:
1
4
4
AC x
my
n
my
m
m y
=
+
=
+
-
=
-
+
，
所以直线AC 过定点5 ,1
4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
（ii）因为E 的方程为
2
2
y
x
=
，所以
1 , 1
2
C æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，所以CF
x
^
轴，如图所示.
设
2
2
1
2
1
2
,
,
,
2
2
y
y
A
y
B
y
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，不妨设
1
2
y
y
>
.
因为直线CB 和直线CA 关于直线CF 对称，所以直线CA 与CB 的斜率互为相反数，
所以
1
2
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
+
+
= -
-
-
，即
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
y
y
y
y
y
y
+
+
= -
+
-
+
-
，整理得
1
2
2
y
y
+
=
，
所以
2
1
2
2
2
1
1
2
2
AB
y
y
k
y
y
-
=
=
-
.
则直线
2
1
1
:
2
y
AB y
y
x
-
=
-
，即
2
1
1
0
2
y
x
y
y
-
+
-
=
，
点
1 , 1
2
C æ
ö
-
ç
÷
è
ø 到直线AB 的距离为
2
1
1
3
2
2
2
y
y
d
+
-
=
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 2
1
AB
x
x
y
y
y
y
y
=
-
+
-
=
-
=
-
，
所以
2
1
1
2
1
1
1
3
2
2
2 2
1
1
4
1
2
y
y
S
y
y
y
+
-
=
´
-
=
-
-
×
-
，
由
1
2
1
2
1,
2
y
y
y
y
>
> -
+
=
，可得
1
1
3
y
<
< ，
令
1
1
y
m
- =
，则0
2
m
<
<
，
所以
2
3
4
4
S
m
m
m
m
=
-
×
= -
+
，
则
2
3
4
S
m
= -
+
¢
，令
0
S ¢ =
，得
2 3
3
m =
，
当
2 3
0,
3
m
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
时，S 关于m 单调递增；当
2 3 ,2
3
m
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
时，S 关于m 单调递减，
所以当
2 3
3
m =
时，S 取得最大值16 3
9
，
因此，四边形ABCD 面积的最大值为16 3
9
.
12．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知圆
2
2
1 :(
1)
1
F
x
y
+
+
= ，圆
2
2
2 :(
1)
9
F
x
y
-
+
=
.若动圆C 与圆
1F 外切，且与圆
2F
内切，设动圆圆心C 的轨迹为E .不过原点O 的动直线l 与曲线E 交于
,
A B 两点，平面上一点D 满足OA
AD
=
uuur
uuur ，连
接BD 交E 于点F （点F 在线段BD 上且不与端点重合），若
1
4
FAB
OAB
S
S
D
D
=
.
(1)求轨迹E 的方程；
(2)试问：直线OA，OB 的斜率乘积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
(3)试问：四边形
F
OA B 的面积否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
2
2
1(
2)
4
3
x
y
x
+
=
¹ -
(2)不是，理由见解析
(3)是定值，15 5
16
【详解】（1）设动圆C 的半径为R，Q动圆C 与圆
1F 外切，则
1
1
CF
R
=
+ ，
又因为Q动圆C 与圆
2F 内切，结合图象可知：
3
R <
，
2
3
CF
R
\
=
-
，
所以
1
2
1
2
4
CF
CF
F F
+
=
>
，
由椭圆的定义可知，动点C 在以
1F 、
2F 为焦点，4 为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，半焦距为c ，
则
2
a =
，
1
c = ，
2
2
2
3
b
a
c
\
=
-
=
，
又可知圆
1F 与圆
2F 内切，所以点C 不能在切点处，即椭圆应去掉点( 2,0)
-
，
\曲线C 的方程为
2
2
1(
2)
4
3
x
y
x
+
=
¹ -
.
（2）直线OA，OB 的斜率乘积不是定值，理由如下：设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
1
(2 ,2
)
D
x
y
，
因为
1
4
FAB
FAB
OAB
DAB
S
S
BF
S
S
BD
D
D
D
D
=
=
=
，所以
1
4
BF
BD
=
uuur
uuur
，进而
1
2
1
2
3
3
,
2
4
2
4
F
F
x
x
y
y
x
y
=
+
=
+
，
由点F 在曲线E 上得
2
2
1
2
1
2
3
3
(
)
(
)
2
4
2
4
1
4
3
x
x
y
y
+
+
+
= ,
所以
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
9
3
(
)
(
)
(
)
1
4
4
3
16
4
3
4
4
3
x
y
x
y
x x
y y
+
+
+
+
+
= ,
又因为点A，B 均在E 上，即
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，带入上式得
1
2
1
2
1
4
3
4
x x
y y
+
=
,
所以
1
2
1
2
1
2
3
1
1
4
OA
OB
y y
k
k
x x
x x
æ
ö
×
=
=
-
ç
÷
è
ø
不为定值；
（3）因为点A，B 均在E 上，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
3
1
4
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式同向相乘得
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)(
)
1
4
3
4
3
x
y
x
y
+
+
= ，整理得：
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
(
)
(
)
1
4
3
12
x x
y y
x y
x y
+
+
-
= ,
由（2）知
1
2
1
2
1
4
3
4
x x
y y
+
=
，带入上式解得：
2
1
2
2
1
45
(
)
4
x y
x y
-
=
，
又因为
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
|
||
| sin
1
2
2
|
| |
|
AOB
OA OB
S
OA OB
AOB
x
y
x
y
OA
OB
D
×
=
Ð
=
+
×
+
-
uuur uuur
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
x
y
x
y
x x
y y
x
y
x
y
x
y
x
y
+
+
-
+
=
+
×
+
×
+
×
+
1
2
2
1
1
3 5
|
|
2
4
x y
x y
=
-
=
，
所以
5
15 5
4
16
OAB
FAB
OAB
OAFB
S
S
S
S
D
D
D
=
+
=
=
四
.
1．（24-25 高二下·江苏盐城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且经过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，点F 为椭圆
E 的右焦点．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
4,0
M
作直线l 交椭圆E 于A，B 两点，O 为坐标原点．
①若
3
1
4
4
OB
OA
OM
=
+
uuur
uuur
uuuur
，求直线l 的斜率；
②若过点A 作直线
1
x = 的垂线，垂足为Q，点N 为线段FM 的中点，求证：B，Q，N 三点共线．
【答案】(1)
2
2
:
1
4
3
x
y
E
+
=
(2)①
3
5
14
±
；②证明见解析
【详解】（1）由
2
2
1
2
a
b
e
a
-
=
=
可得3
2
a
b
=
①，
椭圆经过点
3
1, 2
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
2
2
1
9
1
4
a
b
+
= ②，
联立①，②，可得
2,
3
a
b
=
=
，
则椭圆E 的标准方程为
2
2
:
1
4
3
x
y
E
+
= ；
（2）①当直线l 的斜率为0 时，可取
( 2,0), (2,0),
A
B
-
因
(4,0)
M
，显然不满足
3
1
4
4
OB
OA
OM
=
+
uuur
uuur
uuuur
，
故可设直线:
4
l x
my
=
+
，代入椭圆方程
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，消去x ，
可得
2
2
(3
4)
24
36
0
m
y
my
+
+
+
=
，由
2
2
576
144(3
4)
0
m
m
D =
-
+
>
，解得
2
m >
或
2
m < - ，
设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
2
2
1
2
2
24
,
3
4
36
3
4
m
y
y
m
y y
m
ì
+
= -
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
①
，②
，则
1
2
1
2
3 (
)
2
y y
y
y
m
= -
+
（*）
由
3
1
4
4
OB
OA
OM
=
+
uuur
uuur
uuuur
可得
2
2
1
1
3
1
(
,
)
( ,
)
(4,0)
4
4
x
y
x y
=
+
，即得
2
1
3
4
y
y
=
，
将其代入①，可得
1
2
2
2
96
72
7(3
4)
7(3
4)
m
m
y
y
m
m
= -
= -
+
+
，
，
代入②，可得
2
2
2
96
72
36
7(3
4)
7(3
4)
3
4
m
m
m
m
m
´
=
+
+
+
，解得
14
5
15
m = ±
，
故直线l 的斜率为
3
5
14
±
；
②如图，因
(1,0),
(4,0)
F
M
，点N 为线段FM 的中点，则
)
(5 ,0
2
N
，
考点三
三点共线问题
依题意，
1
(1,
)
Q
y
，则直线NB 的斜率为
2
2
2
2
2
5
2
5
2
NB
y
y
k
x
x
=
=
-
-
，直线NQ 的斜率为
1
1
2
5
3
1
2
NQ
y
y
k
=
= -
-
，
则
2
1
2
1
2
2
2
2
2
6
2
(2
5)
2
5
3
3(2
5)
NB
NQ
y
y
y
y
x
k
k
x
x
+
-
-
=
+
=
-
-
2
1
2
1
2
1
2
2
2
6
2
2
3
4
6
3 2
3
3 2
3
y
y
my
my y
y
y
my
my
+
+
+
+
=
=
+
+
，
将（*）代入，可得
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
4
6(
)
6(
)
6(
)
0
3(2
3)
3(2
3)
NB
NQ
my y
y
y
y
y
y
y
k
k
my
my
+
+
-
+
+
+
-
=
=
=
+
+
，
即
NB
NQ
k
k
=
，因点,
B Q 不重合，故B，Q，N 三点共线．
2．（2025·辽宁·模拟预测）设椭圆方程为
2
2
1
2
2
1
0
0
0
4
x
y
b
F
c
F
c
b
+
=
>
-
，
，，
，为其左右焦点，过椭圆上点
,
Q
Q c y
的椭圆切线方程为
2
2
4
x
y
+
=
(1)求出椭圆方程；
(2)设点
2,
0 ,
2, 2
t
C
t
t
M æ
ö
-
¹
-
ç
÷
è
ø ，点B 为椭圆右顶点，过M 作椭圆的不与轴垂直的切线，切点为点P ，求证：
C P B
､､三点共线．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）把
,
Q
Q c y
代入
2
2
4
x
y
+
=
，解得切点坐标为
2
,2
2
Q c
c
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
代入椭圆方程得
2
2
2
2
2
2
(2
)
2
1
4
4
c
c
b
c
b
ì
-
ïï
+
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
2
b
c
ì =
ïí
=
ïî
，
则椭圆标准方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= .
（2）
方法一：如图所示，
2, 2
t
M æ
ö
-
ç
÷
è
ø ，设直线MP 为
(
2)
2
t
y
k x
-
=
+
，
联立方程得
2
2
2
2 ,
1
4
2
t
y
kx
k
x
y
ì
=
+
+
ïïí
ï
+
=
ïî
消去y 得
2
2
2
2
2
(1
2
)
(8
2 )
(8
4
4)
0
2
t
k
x
k
kt x
k
kt
+
+
+
+
+
+
-
=
.
相切时
0
D =
，可得
2
2
2
2
2
(8
2 )
4(1
2
)(8
4
4)
0
2
t
k
kt
k
k
kt
+
-
+
+
+
-
=
.
化简得
2
16 16
2
0
kt
t
-
-
=
，解得
2
8
8
t
k
t
-
=
，故
2
2
2
2
4
2
16
1
2
8
P
k
kt
t
x
k
t
+
-
= -
=
+
+
,
故得切点坐标
2
2
2
2
16
8
,
8
8
t
t
P
t
t
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø
，则
2
2
4
BC
K
t
t
=
= -
- -
，
2
2
2
4
8
8
2
16
2
8
PC
t
t
t
K
t
t
t
+
=
-
+
= -
-
+
，可知
BC
PC
K
K
=
，则C P B
､､三点
共线．
方法二：已知
(2,0),
( 2, )
B
C
t
-
，可知直线BC 解析式为
(
2)
4
t
y
x
= -
-
，
联立直线方程和椭圆方程得
2
2
(
2)
4
1
4
2
t
y
x
x
y
ì
= -
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，解得
2
2
2
2
16
8
8
8
t
x
t
t
y
t
ì
-
=
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
，
则交点P 坐标为
2
2
2
2
16
8
,
8
8
t
t
t
t
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
因为
( 2, )
2
t
M -
，则直线MP 解析式为
2
2
2
2
2
8
2
16
8
2
2
8
y
x
t
t
t
t
t
t
-
+
=
-
-
+
+
+
，
化简得
2
2
8
8
8
4
t
t
y
x
t
t
-
+
=
+
，
联立方程组得
2
2
2
2
8
8
8
4
1
4
2
t
t
y
x
t
t
x
y
ì
-
+
=
+
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去y 得
4
2
2
4
4
2
4
16
16
64
4 64
64
0
t
t
x
t
x
t
t
+
-
+
+
-
+
+
=
，
此时
2
2
4
4
4
Δ
16 64
16
64
256
0
t
t
t
é
ù
+
ê
ú
ë
=
-
û
-
-
=
,
可知此时直线MP 与椭圆只有一个交点，直线MP 与椭圆相切，可得C P B
､､三点共线．
方法三：因为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，可得
2
2
( )
(
)
1
2
2
x
y
+
= ，设
cos
sin
2
2
x
y
q
q
=
=
，
，
可知椭圆参数方程为
2cos
2 sin
x
y
q
q
=
ìïí
=
ïî
，
则椭圆切线方程为
cos
sin
1
2
2
x
y
q
q
+
= ，代入
( 2, )
2
t
M -
得
sin
cos
1
2 2
t
q
q
-
+
= ，
联立方程组
2cos
2 sin
sin
cos
1
2 2
x
y
t
q
q
q
q
ì
ï =
ïï
=
í
ï
ï-
+
=
ïî
，可知
sin
cos
1
2 2
t
q
q =
- ，因为
2
2
sin
cos
1
q
q
+
= ，
所以
2
2
sin
sin
1
1
2 2
t
q
q
æ
ö
+
-
=
ç
÷
è
ø
，解得sin
0
q =
（舍）
2
4 2
sin
8
t
t
q =
+
，
代入得
2
2
8
cos
8
t
t
q
-
=
+
，求得交点坐标
2
2
2
2
16
8
,
8
8
t
t
P
t
t
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
则
2
2
4
BC
K
t
t
=
= -
- -
，
2
2
2
4
8
8
2
16
2
8
PC
t
t
t
K
t
t
t
+
=
-
+
= -
-
+
，
可知
BC
PC
K
K
=
，则C P B
､､三点共线．
3．（24-25 高二下·湖南长沙·期末）已知动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，记动点P 的轨迹为
E ．
(1)求轨迹E 的方程．
(2)直线1l 与2l 分别与轨迹E 交于点
,
A B 和点
,
C D （AB
uuur 与DC
uuur
同向），且1
2
l
l
// ，线段AC 与BD 交于点H ，线段AB 与
CD 的中点分别为
,
M N ．
（ⅰ）求证：
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）若
1
HM = ，
2
HN =
，求四边形ABCD 的面积．
【答案】(1)
2
4
x
y
=
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）18
【详解】（1）Q动点P 到点
0,1 的距离比它到直线
2
0
y +
=
的距离小1，
\点P 到
0,1 的距离与到直线
1
y = - 的距离相等，
则动点P 的轨迹是以
0,1 为焦点，
1
y = - 为准线的抛物线，
所以轨迹E 的方程为
2
4
x
y
=
．
（2）（ⅰ）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
3
3
,
C x
y
，
4
4
,
D x
y
，
则直线AB 的斜率为
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
4
4
-
-
+
=
=
=
-
-
AB
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
，
2
1
2
M
x
x
x
+
=
，
\直线AB 的方程为
2
1
1
1
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
2
1
1
2
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
直线CD 的斜率为
4
2
3
3
4
4
2
4
3
3
4
3
4
4
4
CD
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
4
3
2
N
x
x
x
+
=
，
\直线CD 的方程为
4
3
3
3
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
4
3
4
3
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
1
2
//
l
l
Q
，
AB
CD
k
k
\
=
，
4
3
2
1
4
4
x
x
x
x
+
+
\
=
，即
2
1
4
3
x
x
x
x
+
=
+
，故
M
N
x
x
=
．
又直线AC 的斜率为
2
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
4
4
4
AC
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
\直线AC 的方程为
1
3
3
3
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
1
3
1
3
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
令
2
1
2
x
x
x
+
=
，得
2
1
2
1
2
3
3 1
4
1
2
3
8
8
x
x x
x x
x x
x x
x x
y
+
+
-
+
=
=
，
直线BD 的斜率为
2
2
2
4
2
4
2
4
2
4
2
4
4
4
4
BD
x
x
y
y
x
x
k
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
-
，
\直线BD 的方程为
2
4
2
2
4
x
x
y
y
x
x
+
-
=
-
，即
2
4
2
4
4
0
x
x
x
y
x x
+
-
-
=
，
令
4
3
2
x
x
x
+
=
，得
2
4
4
3
2
3
2
4
4
1
2
3
8
8
x
x x
x x
x x
x x
x x
y
+
+
-
+
=
=
，
所以直线AC 与MN 的交点和直线BD 与MN 的交点重合，即为点H ．
所以
,
,
M H N 三点共线；
（ⅱ）
1
2
1
2
2
2
2
8
M
y
y
x
x
y
+
+
=
=
Q
，
3
2
2
4
4
3
2
8
N
y
y
x
x
y
+
+
=
=
，
/ /
AB
CD
Q
，\
1
CD
HN
AB
HM
=
> ，得
N
H
M
y
y
y
>
>
，
2
2
4
1
2
3
2
1
1
8
H
M
x x
x x
x
x
HM
y
y
+
-
-
\
=
-
=
= ，
2
2
4
3
4
1
2
3
2
8
N
H
x
x
x x
x x
HN
y
y
+
-
-
=
-
=
=
，
上面两式相减得
2
4
2
3
2
1
8
x
x
x
x
-
+
-
=
，
由（ⅰ）知
2
1
4
3
x
x
x
x
+
=
+
，即
1
4
3
2
x
x
x
x
-
-
=
，
2
3
2
x
x
\
-
=
，
过点B 作
/ /
BE
MN 交CD 于点E ，
1
HM =
Q
，
2
HN =
，AM
BM
=
，
/ /
BE
MN ，
3
BE
MN
\
=
=
，
则
3
2
1
3
2
BCE
S
BE
x
x
=
´
´
-
=
△
，，
又
AB
MH
CD
NH
=
，不妨设
4
CD
m
=
，则
2
AB
m
=
，
Q四边形BMNE 是平行四边形，
NE
MB
\
=
，
,
M N
Q
分别是
,
AB CD 的中点，
2
NC
m
\
=
，MB
m
=
，
NE
m
\
=
，
EC
m
\
=
，
设ABH
V
的边AB 上的高为
1h ，BCE
V
的边EC 上的高为
2h ，则
1
2
1
3
h
h =
，
1
1
2
2
1
2
2
2
1
3
2
ABH
BCE
AB h
S
mh
S
mh
EC h
×
\
=
=
=
×
V
V
，
2
2
3
ABH
BCE
S
S
\
=
=
△
△
，
1
2
AB
MH
AH
BH
CD
NH
CH
DH
=
=
=
=
Q
，
4
CDH
ABH
S
S
\
=
△
△
，
2
BCH
ABH
S
S
=
△
△
，
2
ADH
ABH
S
S
=
△
△
，
9
9 2
18
ABCD
ABH
AHD
CHD
BHC
ABH
S
S
S
S
S
S
\
=
+
+
+
=
= ´
=
△
△
△
△
△
．
4．（2025·重庆·模拟预测）二次函数的图象是抛物线， 现在我们用 “图象平移” 的方式讨论其焦点与准线， 举例
如下: 二次函数
2
1
y
x
=
+ 的图象可以由
2
y
x
=
的图象沿向量
0,1
n =
r
平移得到; 抛物线
2
y
x
=
，即
2x
y
=
的焦点坐标
为
1
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y = -
; 故二次函数
2
1
y
x
=
+ 的焦点坐标为
5
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
3
4
y =
.
(1)求二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标和准线方程；
(2)求二次函数
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标和准线方程；
(3)设过
4,1
A
的直线与抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的另一个交点为B ，直线AB 与直线
4
y
x
=
-
交于点P ，过点P 作x 轴
的垂线交抛物线
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 于点N . 是否存在定点G ，使得
,
,
B N G 三点共线? 若存在，请求出定点G 的坐标;
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)焦点坐标为
(2,1)
F
，准线方程为
1
y = - ．
(2)焦点坐标为
2
4
1
,
2
4
b
ac
b
a
a
æ
ö
-
+
-
ç
÷
è
ø
，准线方程为
2
4
1
4
ac
b
y
a
-
-
=
．
(3)存在，
(4,2)
G
【详解】（1）二次函数
2
2
2
1
1
1
1
(
4
4)
(
2)
4
4
4
y
x
x
x
x
x
=
-
+ =
-
+
=
-
，
它的图象可以由抛物线
2
1
4
y
x
=
沿向量
2,0
m =
r
平移得到；
抛物线
2
1
4
y
x
=
即
2
4
x
y
=
的焦点坐标为( 0, 1) ，准线方程为
1
y = - ；
所以二次函数
2
1
1
4
y
x
x
=
-
+ 的焦点坐标为
(2,1)
F
，准线方程为
1
y = - ．
（2）二次函数
2
2
2
4
2
4
b
ac
b
y
ax
bx
c
a x
a
a
-
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
，
它的图象可以由抛物线
2
y
ax
=
沿向量
2
4
,
2
4
b
ac
b
p
a
a
æ
ö
-
= -
ç
÷
è
ø
r
平移得到；
抛物线
2
y
ax
=
即
2
1
x
y
a
=
的焦点坐标为
1
0, 4a
æ
ö
ç
÷
è
ø ，准线方程为
1
4
y
a
= -
；
所以二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标为
2
1
4
,
2
4
4
b
ac
b
a
a
a
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø
，
准线方程为
2
2
1
4
4
1
4
4
4
ac
b
ac
b
a
a
a
y
-
-
-
+
=
= -
；
即二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
¹
的焦点坐标为
2
4
1
,
2
4
b
ac
b
a
a
æ
ö
-
+
-
ç
÷
è
ø
，准线方程为
2
4
1
4
ac
b
y
a
-
-
=
．
（3）由（1）知抛物线
2
2
2
1
1
1
1
(
4
4)
(
2)
4
4
4
y
x
x
x
x
x
=
-
+ =
-
+
=
-
可以由抛物线
2
1
4
y
x
=
沿向量
(2,0)
m =
ur
平移得到；
先考虑如下问题：过
(2,1)
A¢
的直线与抛物线
2
1
4
y
x
=
的另一个交点为B¢，直线A B
¢ ¢与直线
2
y
x
=
-
交于点P¢ ，过点
P¢ 作x 轴的垂线交抛物线
2
1
4
y
x
=
于点N¢，讨论是否存在定点G¢，使得
,
,
B N G
¢
¢
¢三点共线；
设
2
1
1, 4
x
B
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
¢
，又
(2,1)
A¢
，则直线A B
¢ ¢的方程为：
2
1
1
1
4
1
2
2
x
y
x
x
-
- =
-
-
，化简得：
1
2
1
(
2)
4
x
y
x
+
- =
-
，
与直线
2
y
x
=
-
联立得：
1
1
2
8
2
P
x
x
x
¢
-
=
-
，代入
2
1
4
y
x
=
得：
2
1
1
4
2
N
x
y
x
¢
æ
ö
-
= ç
÷
-
è
ø
，即
2
1
1
1
1
2(
4)
4
,
2
2
x
x
N
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
¢
÷
-
-
ø
，
则直线B N
¢ ¢的方程：
2
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
4
2
2
2
2
2
2
4
4
4
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
öæ
ö
-
-
-
-
-
+
ç
÷
ç
֍
÷
-
-
-
è
ø
è
øè
ø
-
=
-
=
-
-
æ
ö
-
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
化简得
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
+
(
)
(
2)
2
4
2
2
4
2
2
x x
x
x
y
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
=
-
=
-
+
-
+
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
è
ø
；
当
2
x =
时，
2
y =
恒成立，所以直线B N
¢ ¢恒过定点
(2,2)
G¢
，即存在定点
(2,2)
G¢
，使得
,
,
B N G
¢
¢
¢三点共线；
故存在定点
(4,2)
G
，使得
,
,
B N G 三点共线．
5．（24-25 高二下·河南驻马店·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
E a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的长轴长为4 2 ，以椭圆E 的焦点和短
轴端点为顶点的四边形的面积为8．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
2,0 且斜率为k（
0
k ¹
）的直线与椭圆E 交于A，B 两点．
（ⅰ）若线段AB 的中点横坐标为1，求k；
（ⅱ）点C 与点B 关于x 轴对称．在x 轴上是否存在定点
,0
D m
，使A，C，D 三点共线？若存在，求实数m 的
值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
8
4
x
y
+
=
(2)（ⅰ）
2
2
±
；（ⅱ）存在，
4
m =
【详解】（1）由题意得
2
2
2
2
4 2
2
8
a
bc
a
b
c
ì
=
ï
=
í
ï
=
+
î
，解得
2 2,
2,
2
a
b
c
=
=
=
．
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
8
4
x
y
+
= ．
（2）（ⅰ）由题意，直线AB 的方程为
2
y
k x
=
-
，设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
2
2
2
1
8
4
y
k x
x
y
ì
=
-
ïí
+
=
ïî
，得
2
2
2
2
1
2
8
8
8
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
则
4
2
2
2
Δ
64
4 1
2
8
8
32
32
0
k
k
k
k
=
-
+
-
=
+
>
，
且
2
2
1
2
1
2
2
2
8
8
8
,
1
2
1
2
-
+
=
=
+
+
k
k
x
x
x x
k
k
.
因为线段AB 的中点横坐标为1，则
2
1
2
2
4
1
2
1
2
x
x
k
k
+
=
=
+
，解得
2
2
k = ±
.
（ⅱ）因为点C 与点B 关于x 轴对称，所以点
2
2
,
C x
y
-
，
若在x 轴上存在定点
,0
D m
，使
,
,
A D C 三点共线，则
0
AD
CD
k
k
-
=
．
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
AD
CD
y
x
m
y
x
m
y
y
k
k
x
m
x
m
x x
m x
x
m
-
+
-
-
-
=
-
=
-
-
-
+
+
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
4
2
2
0
k
x x
m
x
x
m
k x
x
m
k x
x
m
x x
m x
x
m
x x
m x
x
m
é
ù
-
+
+
+
-
-
+
-
-
ë
û
=
=
=
-
+
+
-
+
+
，
由于
0
k ¹
，则
1
2
1
2
2
2
4
0
x x
m
x
x
m
-
+
+
+
=
．
则
2
2
2
2
8
8
8
2
2
4
0
1
2
1
2
k
k
m
m
k
k
-
´
-
+
×
+
=
+
+
，
则
2
16
4
0
1
2
m
k
-
+
=
+
，解得
4
m =
．
故在x 轴上存在定点
4,0
D
，使
,
,
A C D 三点共线．
6．（2025·山东泰安·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，过点(2,0) ，其中一条渐近线的方程为
5
2
y
x
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设双曲线C 的左、右顶点分别为A
B
、，过点(4,0) 的直线l 交双曲线C 于M 、N 两点.直线BM 与直线
1
x = 交于
点G ，证明：A、G、N 三点共线.
【答案】(1)
2
2
1
4
5
x
y
-
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意知
2
a =
且
5
2
b
a =
，
所以
5
b =
，所以C 的方程为
2
2
1
4
5
x
y
-
= .
（2）由题意知
2,0
A -
，
2,0
B
，
当直线l 的斜率为0 时，l ：
0
y =
，此时A、G、N 三点共线显然成立，
当直线l 的斜率不为0 时，设l ：
4
x
my
=
+
，
1
1
,
M x y
，
2
2
,
N x
y
，
联立
2
2
4
5
4
20
x
my
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
可得
2
2
5
4
40
60
0
m
y
my
-
+
+
=
，
由题意得
2
5
4
0
m -
¹
，
2
2
2
Δ
40
240 5
4
80 5
12
0
m
m
m
=
-
-
=
+
>
，
所以
1
2
2
40
5
4
m
y
y
m
-
+
=
-
，
1
2
2
60
5
4
y y
m
=
-
，
因为直线BM 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
令
1
x = ，得
1
1
2
y
y
x
-
=
-
，所以
1
1
1,
2
y
G
x
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
，
所以
1
1
1
1
0
2
1
2
3
2
AG
y
x
y
k
x
-
-
-
-
=
=
- -
-
，
因为
2
2
2
AN
y
k
x
=
+
，
所以
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
2
3
2
3
2
2
3
2
2
AG
AN
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x
x
-
+
-
-
-
-
=
-
=
-
+
-
+
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
6
3
2
4
6
3
2
2
3
2
2
y
my
y
my
my y
y
y
x
x
x
x
-
+
-
+
-
-
+
=
=
-
+
-
+
2
2
1
2
60
40
4
6
5
4
5
4
0
3
2
2
m
m
m
m
x
x
-
-
×
- ×
-
-
=
=
-
+
所以
AG
AN
k
k
=
，故A、G、N 三点共线，
综上：A、G、N 三点共线.
1．（24-25 高三下·江苏·阶段练习）已知
10
F
,
为离心率为
2
2 的椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点，过点
2,
(0
)
P
t
t
b
< <
作y 轴的垂线与C 交于
,
M N 两点（M 在第一象限）.
(1)求C 的方程；
(2)求MNF
V
的面积的最大值；
(3)若直线PF 与y 轴交于点Q ，求证：
,
,
,
M N Q F 四点共圆.
【答案】(1)
2
2
1
2
x
y
+
=
(2)
2
2
(3)证明见解析
【详解】（1）依题意，
2
2
2
1
2
2
c
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2,
1
a
b
=
= ，
故C 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ；
（2）依题意，点
,
M N 关于y 轴对称，将y
t
= 代入
2
2
1
2
x
y
+
= ，解得
2
2
2
x
t
= ±
-
，
因点M 在第一象限，则
2
( 2
2
, )
M
t
t
-
，
2
|
| 2 2
2
MN
t
=
-
，
MNF
V
的面积为
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
4
MNF
S
MN
t
t
t
tæ
ö
=
´
´ =
-
=
×
-
-
+
ç
÷
è
ø
V
，
因0
1
t
< < ，则当
2
1
2
t =
，即
2
2
t =
时，
MNF
SV
取得最大值为
2
2 ；
（3）因MN 关于y 轴对称，故MNF
V
的外接圆圆心H 在y 轴上，设
(0, )
H
h ，
则MNF
V
的外接圆半径为
2
2
2
2
2
( 2
2
)
(
)
2
2
t
t
h
h
th
t
-
+
-
=
-
-
+
，
于是MNF
V
的外接圆的方程为：
2
2
2
2
(
)
2
2
x
y
h
h
th
t
+
-
=
-
-
+
，
因点
1,0
F
在该圆上，代入圆的方程解得
2
1
2
t
h
t
-
=
，则MNF
V
的外接圆方程为：
2
2
2
2
2
2
1
(
1)
(
)
2
4
t
t
x
y
t
t
-
+
+
-
=
（*）
又直线PF 的方程为：
(
1)
y
t x
=
-
，令
0
x =
，可得
Q
y
t
= - ，
将其代入（*），可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
1)
1
(
1)
(
1)
(
)
0
4
2
4
4
t
t
t
t
x
t
t
t
t
t
+
-
+
-
-
=
- - -
=
-
=
，
即点Q 在该圆上，故
,
,
,
M N F Q 四点共圆.
考点四
四点共圆问题
2．（2025·湖北鄂州·一模）已知抛物线
2
:
4
W
y
x
=
，点P 是W 上位于第一象限内的一点，过P 作W 的切线交y 轴
于点Q.过原点O 作PQ 的平行线交W 于点A，过A 作OP 的平行线交W 于点B，BP 交OA 于点N.
(1)求tan
OPQ
Ð
的最大值；
(2)证明：直线QN 经过AB 的中点；
(3)若OQAB 四点共圆，求P 点的坐标.
【答案】(1)
2
4
(2)证明见解析
(3)(1,2)
【详解】（1）记原点为O 点，不妨设
2
0
0
,
4
y
P
y
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
由于
2
0
y
x y
=
>
，则
1
y
x
¢ =
.
所以可得过P 点的切线的方程为
2
0
0
2
4
y
y
x
y
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
.
又因为
0
4
OP
k
y
=
，故
2
OP
PQ
k
k
=
记P 点在x 轴上投影为点C，在y 轴上的投影为点M，记2tan
tan
2
QPM
POC
t
Ð
=
Ð
=
，
则
2
2
1
2
tan
1
4
1
2
2
t
t
OPQ
t
t
t
-
Ð
=
=
£
+
+
.
当且仅当
2
tan
2
POC
Ð
=
时取等.故tan
OPQ
Ð
的最大值为
2
4
.
（2）由（1），
0
2
Q
y
y
=
，所以直线OA 的方程为：
0
2
y
x
y
=
.
令直线OA 与抛物线
2
4
y
x
=
联立知
0
2
A
y
y
=
，
2
0
A
x
y
=
，则
2
0
0
,2
A y
y
.
直线AB 的方程为：
2
0
0
0
0
0
4
4
(
)
2
2
y
x
y
y
x
y
y
y
=
-
+
=
-
，
与抛物线
2
4
y
x
=
联立知
0
B
y
y
= -
，则
2
0
0
,
4
y
B
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
所以P，B 关于x 轴对称，即PB
x
^
轴.所以
2
0
0
0
2
4
2
N
y
y
y
y
=
×
=
，
所以直线QN 方程为
0
2
y
y =
，与直线AB 的方程联立可得交点
2
0
0
5
,
8
2
y
y
S æ
ö
ç
÷
è
ø
，
可得S 为AB 中点，所以QN 平分AB.
（3）设直线AB 交y 轴于点D，
由（2）知OP
OB
=
，且
//
OP AB ，所以BP 平分
OBA
Ð
.
因为
2
A
B
y
y
=
，转化比例得
3
3
AB
OB
DB
=
=
，
1
4
DB
OA
=
.
由于OQAB 共圆，所以DO DQ
DB DA
=
.
设
2
2
4
DB
a
b
=
+
，
5
DQ
a
=
，
4
DO
a
=
，
代入上式得：
2
2
2
2
2
20
4(4
)
a
a
b
a
b
=
+
Þ
=
.
所以
1
a
b
=
= .故P 点坐标为(1,2) .
3．（24-25 高三下·辽宁·阶段练习）圆幂定理是平面几何中关于圆的一个重要定理，其中相交弦定理是其中重要的
内容：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.其逆定理可作为证明四边形是四点共圆的依据.该定
理不仅可以在圆中得到应用，在其他圆锥曲线中也大有妙用.
(1)已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，
,
M N 是椭圆C 上任意两点，若直线MN 与坐标轴不垂直，点H 为线段MN 中点，直
线OH (O 为坐标原点)与C 交于,
R E 两点，已知
,
,
,
R E M N 四点共圆，求直线MN 的斜率；
(2)已知抛物线B:
2
y
x
=
，过
(1,2)
G
的直线与抛物线B 交于
,
U J 两点，设抛物线B 在这两点处的切线分别为1
2
,
l l ，
已知1
2
,
l l 分别与x 轴交于点
,
F K ，1
2
,
l l 相交于点A，若
, , ,
A F K G 四点共圆，求点A 的坐标；
(3)已知点( ,0)(
1)
T t
t >
是x 轴上一动点，过T 的动直线l 交双曲线
2
2
1
x
y
G
-
=
：
右支于,
P Q ，过T 作l 的垂线分别
交曲线于
,
M N (
,
M N 分别在第一、二象限)，直线MO (O 为坐标原点)交双曲线于点S，求证：
,
,
,
P Q S N 四点共
圆.
【答案】(1)
3
2
±
(2)
16 14
,
9
9
Aæ
ö
ç
÷
è
ø
(3)证明见解析
【详解】（1）
设直线MN 的方程为
(
0)
y
kx
m k
=
+
¹
，
1
1
2
2
(
,
),
(
,
)
M x
y
N x
y
，
联立
2
2
1
4
3
y
kx
m
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消y 得
2
2
2
3
4
8
4
12
0
k
x
kmx
m
+
+
+
-
=
，
2
2
2
2
64
4 4(3
4
)(
3)
0
k m
k
m
D =
- ´
+
-
>
，即
2
2
4
3
0
k
m
+
-
>
，
由韦达定理得
1
2
2
2
1
2
2
8
3
4
4
12
3
4
km
x
x
k
m
x x
k
ì
+
= -
ïï
+
í
-
ï
=
ï
+
î
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
·
4
MN
k
x
x
k
x
x
x x
=
+
-
=
+
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8
4
12
4
3
1
4
4 3 1
3
4
3
4
3
4
km
m
k
m
k
k
k
k
k
-
-
+
æ
ö
=
+
×
-
- ×
=
+
×
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
2
48 1
4
3
3
4
k
k
m
MN
k
+
-
+
=
+
.
又
2
1
2
1
2
2
2
8
6
(
)
2
2
3
4
3
4
k m
m
y
y
k x
x
m
m
k
k
+
=
+
+
= -
+
=
+
+
，
所以MN 中点
2
2
4
3
,
3
4
3
4
km
m
H
k
k
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø ，则直线OH 的斜率
3
4
OH
k
k
= -
，
则直线OH 方程为
3
4
y
x
k
= -
，
联立
2
2
3
4
1
4
3
y
x
k
x
y
ì
= -
ïïí
ï
+
=
ïî
，解得
2
2
2
2
2
16
3
4
9
3
4
k
x
k
y
k
ì
=
ïï
+
í
ï
=
ï
+
î
，且
R
E
x
x
= -
，
2
2
2
3
3
3
1
1
1
(
)(
)
4
4
4
H
R
E
H
H
R
E
H
RH HE
x
x
x
x
x
x
x
x
k
k
k
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+ -
-
+ -
-
=
+ -
-
-
ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
16
4
1
1
4
4
3
4
3
4
R
H
k
km
x
x
k
k
k
k
é
ù
é
ù é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+ -
-
=
+ -
- -
ê
ú
ê
ú ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
è
ø
è
ø
ê
ú
ê
ú ê
ú
ë
û
ë
û ë
û
2
2
2
2
2
16
9
3
4
3
4
k
k
m
k
+
+
-
=
+
由
,
,
,
R E M N 四点共圆，且H 为MN 的中点，
则
2
1
4
NH
HM
RH
HE
MN
×
=
×
=
，
所以有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
9
3
4
12 1
4
3
3
4
3
4
k
k
m
k
k
m
k
k
+
+
-
+
-
+
=
+
+
，
由
2
2
4
3
0
k
m
-
+
>
，解得
2
3
4
k =
，
3
2
k = ±
，
故MN 的斜率为
3
2
±
.
（2）由题意知直线UJ 存在斜率，
设直线UJ 的方程为
1
2
1
y
k
x
-
=
-
，
3
3
4
4
(
,
), (
,
)
U x
y
J x
y
，
联立
1
2
2
(
1)
y
k x
y
x
-
=
-
ì
í
=
î
，消y 得
1
2
1
2
0
x
x
k
k
-
-
+
=
，
2
2
1
1
1
Δ
4
2
2
4
0
k
k
k
=
-
-
=
-
+
>
恒成立，
由韦达定理得
3
4
1
3
4
1
2
x
x
k
x x
k
+
=
ì
í
=
-
î
①，
抛物线方程
2
y
x
=
，则
2
y
x
¢ =
，
则在
2
3
3
(
,
)
U x x
处的切线斜率为
3
2x ，切线方程为
2
3
3
3
2
(
)
y
x
x x
x
-
=
-
，
当
3
0
x =
时，过
(0,0)
U
的切线为x 轴，不满足题意，故直线UJ 斜率
1
2
k ¹
；
令
0
y =
，得
3
2
x
x =
，
3
(
,0)
2
x
F
，
在
2
4
4
(
,
)
J x
x
处的切线斜率为
4
2x ，切线方程为
2
4
4
4
2
(
)
y
x
x
x
x
-
=
-
，
同理可得
4
0
x ¹
，且
4
(
,0)
2
x
K
，
联立
2
3
3
3
2
4
4
4
2
(
)
2
(
)
y
x
x x
x
y
x
x x
x
ì -
=
-
í -
=
-
î
，解得
3
4
3
4
2
x
x
x
y
x x
+
ì =
ïí
ï
=
î
，
将①式代入可得
1
1
(
,
2)
2
k
A
k -
，又
(1,2)
G
，
若
, , ,
A F K G 四点共圆，设AG 与FK 交于W 点，
则AW
WG
FW
WK
×
=
×
，可得WA WG
WF WK
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
，
由
3
(
,0)
2
x
F
，
4
(
,0)
2
x
K
，可设
( ,0)
W w
，
则
3
1
4
1
(
,
2),
(1
,2),
(
,0),
(
,0)
2
2
2
x
k
x
WA
k
WG
WF
WK
w
w
w
w
=
-
-
=
-
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，
则
//
WA
WG
uuur
uuur
可得
1
1
2(
)
(1
)
2
2
k
k
w
w
-
=
-
-
，化简得
1
4
2
k w
-
=
②
则
1
1
(1
)(
)
2(
2)
2
k
WA WG
k
w
w
×
=
-
-
+
-
uuur uuur
，
2
3
3
4
3
4
4
(
)(
)
2
2
2
4
x
x
x
x x
x
WF WK
w
w
w
w
+
×
=
-
-
=
-
+
uuur uuur
2
1
1
2
2
4
k
k
w
w
-
=
-
+
，
由WA WG
WF WK
×
=
×
uuur uuur
uuur uuur
，代入化简得
1
9
7
4
2
k
w =
-
③.
联立②③解得
1
32
9
9
2
k
w
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
（其中一组解
1
2
1
k
w
=
ì
í
=
î
舍去），
则
16 14
(
,
)
9
9
A
.
（3）设
5
5
6
6
7
7
8
8
(
,
),
(
,
),
(
,
),
(
,
)
P x
y
Q x
y
M x
y
N x
y
，设PQ斜率为
2k ，
若直线PQ与双曲线右支交于两点，可知斜率
2
1
k < - 或
2
1
k > .
由题意知直线PQ斜率存在且不为0 ，则
7
8
x
x
¹
，且
7
8
0
x
x
+
¹
.
由双曲线对称性可知，
,
M S 关于原点O 对称，则
7
7
(
,
)
S
x
y
-
-
，
且
2
2
7
7
1
x
y
-
= 且
2
2
8
8
1
x
y
-
= ，
故
2
2
2
2
8
7
8
7
8
7
8
7
2
2
2
2
8
7
8
7
8
7
8
7
1
1
1
NS
MN
x
x
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
- -
-
+
-
-
×
=
×
=
=
=
+
-
-
-
；
又MN
PQ
^
，可知
1
PQ
MN
k
k
×
= - ，
所以
PQ
NS
k
k
= -
.
设直线PQ与NS 将于点
0
0
(
,
)
T x
y
¢
，设PQ倾斜角为a ，NS 的倾斜角为b ，
则
π
a
b
+
=
.
可设PQ方程为
0
0
cos
sin
x
x
t
y
y
t
a
a
=
+
ì
í
=
+
î
，（t 为参数），设,
P Q 对应的参数为1
2
,
t t ，
将参数方程代入双曲线方程
2
2
1
x
y
-
= 化简可得，
2
2
2
2
2
0
0
0
0
cos
sin
2
cos
sin
1
0
t
x
y
t
x
y
a
a
a
a
-
+
-
+
-
- =
，
若直线与双曲线右支有两个交点，则
π π
π 3π
,
,
4 2
2
4
a
æ
ö
æ
ö
Î
È
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
则由韦达定理知
2
2
0
0
1 2
2
2
1
cos
sin
x
y
t t
a
a
-
-
=
-
，
同理，直线NS 与双曲线左支交于两点，设点
,
N S 对应的参数为3
4
,
t t ，以π
a
-
代a 可得，
2
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
3 4
1
1
cos
)
sin
)
cos
si
(
π
n
π
(
t
x
t
x
y
y
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
-
=
=
-
，
所以
1 2
3 4
T P T Q
t t
t t
T S
T N
×
=
=
¢
=
×
¢
¢
¢
，
故
,
, ,
P Q S N 四点共圆.
4．（2025·云南昆明·一模）已知抛物线
2
:
4
C y
x
=
的焦点为F ，直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，
直线OA交C 的准线于点D ．
(1)当l 的倾斜角为π
4 时，求AB ；
(2)求直线BD 的斜率；
(3)若O ，F ，B ，D 四点共圆，求该圆的半径．
【答案】(1)8
(2)0
(3) 3 6
4
【详解】（1）由题意知，抛物线C 焦点F 坐标为(1,0) ，直线l 的方程为
1
x
y
=
+ ，
联立
2
4
1
y
x
x
y
ì
=
í =
+
î
，则
2
4
4
0
y
y
-
-
=
，所以
1
2
4
y
y
+
=
，
1
2
4
y y = - ，
所以
2
1
2
1
2
1
2
2
2 (
)
4
8
AB
y
y
y
y
y y
=
-
=
+
-
= .
（2）设直线AB 的方程为
1
x
my
=
+ ，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
2
4
1
y
x
x
my
ì
=
í =
+
î
，
2
4
4
0
y
my
-
-
=
，所以
1
2
4
y
y
m
+
=
，
1
2
4
y y = - ，所以
2
1
4
y
y
= -
，
直线AD 方程为
1
1
y
y
x
x
=
，所以点D 的纵坐标为
1
1
2
1
1
1
4
4
D
y
y
y
y
x
y
= -
= -
= -
，
所以
2
D
y
y
=
，直线BD 的斜率为0.
（3）由题意知，
(0,0)
O
，
(1,0)
F
，
2
2
(
,
)
B x
y
，
2
( 1,
)
D
y
-
，不妨设A 在第一象限，
因为O ，F ，B ，D 四点共圆，直线DB 平行x 轴，故可设圆心坐标为1
( , )
2 b ，圆半径为R ，
2
1
1
2
2
x -
=
，即
2
2
x =
，所以
(2, 2 2)
B
-
，
2
2
2
1
9
2 2
4
4
R
b
b
=
+
=
+ -
-
，
解得
2
25
8
b =
，故
2
27
8
R =
，所以
3 6
4
R =
.
5．（23-24 高二下·湖南长沙·期末）已知双曲线
2
2
:
1
C x
y
-
= ，过
2,0
R
的直线l 与双曲线C 的右支交于,
P Q 两点.
(1)若
2 10
PQ =
，求直线l 的方程，
(2)设过点R 且垂直于直线l 的直线n 与双曲线C 交于
,
M N 两点，其中M 在双曲线的右支上.
（i）设PMN
V
和QMN
V
的面积分别为
1
2
,
S S ，求
1
2
S
S
+
的取值范围；
（ii）若M 关于原点对称的点为T ，证明：M 为
PQN
V
的垂心，且
,
,
,
P Q N T 四点共圆.
【答案】(1)
3
2
3
x
y
= ±
+
(2)（i）
2 3,
é
+¥
ë
；（ii）证明见解析
【详解】（1）设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
结合题意知直线斜率不为0，设直线:
2
l x
my
=
+
，因为直线l 与双曲线右支相交，
故1
1
m
- <
< ，
联立双曲线方程
2
2
1
x
y
-
= ，得
2
2
2
1
4
3
0,Δ
4
3
0
m
y
my
m
-
+
+
=
=
+
>
，
则
1
2
1
2
2
2
4
3
,
1
1
m
y
y
y y
m
m
-
+
=
=
-
- ，
故
2
2
2
1
2
2
2
1
3
1
2 10
1
m
m
PQ
m
y
y
m
+
+
=
+
-
=
=
-
，
即
4
2
9
24
7
0
m
m
-
+
=
，解得
2
1
3
m =
，或
2
7
3
m =
（舍去），
因此
3
3
m = ±
，从而直线l 的方程为
3
2
3
x
y
= ±
+
.
（2）（i）若
0
m =
，则
2
2
MN
a
=
=
，
由（1）可知，
2
2
2
2
1
3
2 3
1
m
m
PQ
m
+
+
=
=
-
，
此时
1
2
1
2 3
2
S
S
MN
PQ
+
=
×
=
；
当
0
m ¹
时，设
3
3
4
4
,
,
,
M x
y
N x
y
，直线
1
:
2
n x
y
m
= -
+
，
由（1）同理可知
2
3
4
3
4
2
2
2
2
4
4
3
3
,
1
1
1
1
1
1
m
m
m
y
y
y y
m
m
m
m
-
-
+
=
=
=
=
-
-
-
-
，
故
2
2
2
3
4
2
1
1
2
1
3
1
1
1
1
m
m
MN
y
y
m
m
æ
öæ
ö
+
+
ç
֍
÷
æ
ö
è
øè
ø
=
+
-
=
ç
÷
è
ø
-
注意到
1
2
1
2
S
S
MN
PQ
+
=
×
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
2
1
3
2
2
3
10
2
1
3
1
1
1
2
1
1
2
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
æ
öæ
ö
æ
öæ
ö
+
+
+
+
+
+
ç
֍
÷
ç
֍
÷
+
+
è
øè
ø
è
øè
ø
=
×
×
=
-
-
+
-
，
令
2
2
1
2
0,
t
m
m
¥
=
+
- Î
+
，则
2
2
1
2
2
2
2
4
3
16
2 3
28
64
3
28
64
28
64
2
2 3
t
t
t
t
t
t
S
S
t
t
t
t
t
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
，
令
1
(0,
)
n
t
=
Î
+¥ ，
2
1
2
2 3
28
64
2 3
S
S
n
n
+
=
+
+
>
综上可知，
1
2
S
S
+
的取值范围是
2 3, ¥
é
+
ë
.
（ii）先证明M 为
PQN
V
的垂心，只需证明
0
MP NQ
×
=
uuur uuur
，
注意到，
MP NQ
MR
RP
NR
RQ
RP RQ
MR NR
×
=
+
+
=
×
+
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur uuur
，
而
1
1
2
2
2,
2,
RP RQ
x
y
x
y
×
=
-
×
-
uuur uuur
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
x
x
y y
m
y y
=
-
-
+
=
+
，
同理
3
4
2
1
1
MR NR
y y
m
æ
ö
×
=
+
ç
÷
è
ø
uuur uuur
，
2
1
2
3
4
2
1
1
1
MP NQ
m
y y
y y
m
æ
ö
×
=
+
+
+
ç
÷
è
ø
uuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
3
1
3 1
3 1
3
1
0
1
1
1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
æ
ö
-
+
ç
÷
+
+
+
è
ø
=
+
=
-
=
-
-
-
-
，
因此MP
NQ
^
，又MN
PQ
^
，故M 为
PQN
V
的垂心，因此
180
NMP
NQP
Ð
+
=
o ，
再证明
,
,
,
P Q N T 四点共圆，即只需证明：
NTP
NMP
Ð
Ð
=
.
因为
,
M T 关于原点对称，则
2
2
2
2
1
P
T
P
M
P
M
P
M
P
M
PT
PM
P
T
P
M
P
M
P
M
P
M
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
-
-
×
=
×
=
×
=
=
-
-
+
-
-
，
同理可得
1
NT
NM
k
k
×
= ；
则
1
1
tan
tan
1
1
1
1
NT
PT
NM
PM
PM
NM
NT
PT
NM
PM
NM
PM
k
k
k
k
k
k
NTP
NMP
k
k
k
k
k
k
Ð
Ð
-
-
-
=
=
=
=
+
+
+
，即
NTP
NMP
Ð
Ð
=
，
因此
180
NTP
NQP
Ð
Ð
+
=
o ，因此
,
,
,
P Q N T 四点共圆.
6．（23-24 高二下·云南昆明·阶段练习）已知抛物线
2
1 :
3
C
y
x
=
及抛物线
2
2 :
2
(
0)
C
y
px p
=
>
，过
2
C 的焦点F 的直线
与
1
C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA
OB
^
.过F 的两条直线MN ，PQ与
2
C 交于M ，N ，P ，Q 四点，其中
M ，P 在第一象限，若直线MP 与x 轴的交点为
,0
T t
.
(1)求
2
C 的方程；
(2)若
2
t = - ，求直线NQ 与x 轴的交点的坐标；
(3)是否存在点T ，使得M ，N ，P ，Q 四点共圆？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
2
12
y
x
=
(2)
9 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
(3)存在，
3
t = -
【详解】（1）依题意可得
,0
2
p
F æ
ö
ç
÷
è
ø，设
,
A
A
A x
y
，
,
B
B
B x
y
，则
2
3
A
A
y
x =
，
2
3
B
B
y
x =
，
设直线AB 的方程为
2
p
x
sy
=
+
，由
2
2
3
p
x
sy
y
x
ì =
+
ïí
ï
=
î
，得
2
3
3
0
2
y
sy
p
-
-
=
，
显然
0
D >
，所以
3
A
B
y
y
s
+
=
，
3
2
A
B
y y
p
= -
，
因为OA
OB
^
，所以
0
A
B
A
B
OA OB
x x
y y
×
=
+
=
uuur uuur
，
即
2
2
0
9
A
B
A
B
y y
y y
+
=
，所以
2
1
3
3
0
9
2
2
p
p
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
6
p =
或
0
p =
（舍去），
所以
2
C 的方程为
2
12
y
x
=
；
（2）由（1）可得
3,0
F
，因为MN 过点F ，由条件可得MN 的斜率不为0 ，
设直线MN 的方程为
3
x
my
=
+ ，
1
1
,
M x y
1
0
y >
，
2
2
,
N x
y
，
由
2
12
3
y
x
x
my
ì
=
í =
+
î
，得
2
12
36
0
y
my
-
-
=
，所以
1
2
36
y y = -
，所以
2
2
1
2
1
2
9
12 12
y
y
x x =
×
=
，
设
3
3
,
P x y
1
3
3
,
0
x
x y
¹
>
，
4
4
,
Q x
y
，同理可得
3
4
36
y y = -
，
因为直线MP 过点
2,0
T -
，
所以
1
3
1
1
3
1
2
y
y
y
x
x
x
-
=
-
+
，由
2
1
1
12
y
x =
，
2
3
3
12
y
x =
，即
1
2
1
1
3
12
2
12
y
y
y
y =
+
+
，所以
1
3
24
y y =
，
直线NQ 的斜率为
1
3
2
4
2
4
2
2
2
4
2
4
2
4
1
3
1
3
1
3
12
12
8
36
36
3
12
12
y y
y
y
y
y
y
y
x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
-
=
=
=
=
=
-
-
-
+
-
+
+
+
-
，
所以直线NQ 的方程为
2
2
1
3
8
y
y
x
x
y
y
-
-
=
-
+
，即
2
1
1
3
1
36
8
108
y
x
y
y
y
y
æ
ö
-
-
-
=
-
ç
÷
+
è
ø
，
令
0
y =
，得
2
1
1
3
1
36
8
108
x
y
y
y
y
æ
ö
-
=
-
ç
÷
+
è
ø
，即
1
3
2
1
1
9
216
2
y
y
x
y
y
+
= -
+
，
即
1
2
1
1
24
9
216
9
2
y
x
y
y
´
+
= -
+
，解得
9
2
x = -
，
所以直线NQ 与x 轴的交点为
9 ,0
2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
（3）由（2）可得
1
2
36
y y = -
，
3
4
36
y y = -
，
若M ，N ，P ，Q 四点共圆，则有MF
NF
PF
QF
×
=
×
，
即
2
2
2
2
3
1
2
4
3
3
3
3
12
12
12
12
y
y
y
y
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
+
=
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
øè
ø
è
ø
è
ø
，
即
2
2
2
2
3
1
2
4
4
4
4
4
y
y
y
y
+
=
+
，所以
2
2
2
2
3
1
2
2
1
3
36
36
4
4
4
4
y
y
y
y
+
=
+
，整理得
2
2
2
1
3
2
2
1
3
36
1
0
y
y
y y
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，
因为
2
2
1
3
y
y
¹
，所以
1
3
36
y y =
，由
1
3
1
1
3
1
y
y
y
x
x
x
t
-
=
-
- ，即
1
3
1
2
2
2
3
1
1
1
3
12
12
12
12
y
y
y
y
y
y
y
y
t
-
=
=
+
-
-
，
即
2
2
1
1
1
3
12
y
t
y
y y
-
=
+
，解得
3
t = - .
