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幂函数与二次函数
课前必备知识
课标要求
1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象和性质解决有
关问题.2.了解指数幂的含义、掌握幂的运算.3.掌握二次函数的定义、解析式、图象与性
质.4.会求二次函数在闭区间上的最值．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数__ y ＝ x α __叫做幂函数，其中x是自变量，α 是常数．
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
解析式 定义域 值域 奇偶性
y＝x R R 奇
y＝x2 R [0，＋∞) 偶
y＝x3 R R 奇
y＝x [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇非偶
y＝x-1 {x|x∈R，且x≠0} {y|y∈R，且y≠0} 奇
2.二次函数的三种表达式(1)一般式：f(x)＝__ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) __．
(2)顶点式：若二次函数 f(x)的顶点坐标为(k，h)，则其解析式为f(x)＝__ a ( x － k ) 2 ＋
h__．
(3)零点式：若二次函数的图象与x轴的交点坐标为(x ，0)，(x ，0)，则其解析式为f(x)
1 2
＝__ a ( x － x )( x － x )__．
1 2
3．二次函数的图象和性质
f(x)＝ax2＋bx＋c f(x)＝ax2＋bx＋c
解析式
(a>0) (a<0)
图象
定义域 R R
值域 [，＋∞) (－∞，]
在x∈__ [ － ，
在x∈__ ( － ∞ ，－ ] __上单
增减性 调递减，在x∈__ [ － ， ＋ ∞ )__上单调递减，
＋ ∞ )__上单调递增 在x∈__ ( － ∞ ，－ ] __上单
调递增
奇偶性 b＝0时为__偶函数__，b≠0时为__非奇非偶函数__
对称性 图象关于直线x＝__ － _ _成 轴对称图形
a，b，c的
a决定图象的__开口方向__，a与b决定对称轴的位
置，c决定图象与y轴交点的位置，a，b，c决定图象的
作用
顶点
4.二次函数在闭区间上的最值
可利用二次函数的图象，结合二次函数在所给区间上的__单调性__进行分析求解．
常用结论
1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则
当时，恒有f(x)>0；
当时，恒有f(x)<0.
2．对二次函数f(x)＝a(x－k)2＋h(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：
①若k∈[m，n]，则y ＝f(k)＝h，y ＝max{f(m)，f(n)}．
min max
②若k∉[m，n]，当k＜m时，y＝f(x)在[m，n]上单调递增，y ＝f(m)，y ＝f(n)；
min max
当k＞n时，y＝f(x)在[m，n]上单调递减，y ＝f(n)，y ＝f(m).
min max
课前训练
．(教材母题必修3.3练习T1)已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f()＝( )
A．－ B．
C．± D．
2．(2025·江苏徐州一模)已知幂函数f(x)＝(m2＋2m－2)xm在(0，＋∞)上单调递减，则
实数m的值为( )
A．－3 B．－1
C．3 D．1
3．已知一元二次函数y＝x2－2x＋2，x∈(0，3)，则下列有关该函数的最值说法正确的
为( )
A．最小值为2，最大值为5
B．最小值为1，最大值为5
C．最小值为1，无最大值
D．无最值
4．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
\s\up7() \s\up7()
\s\up7() \s\up7()
5．(2024·全国模拟)已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝－4x－1，且f(0)＝－1.则f(x)
的解析式是_____________．课堂核心考点
考点1 幂函数的图象与性质
【例1】 (1)(2024·四川南充二模)已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是
( )
A．y＝x B．y＝x-
C．y＝x3 D．y＝x
(2)如图是幂函数y＝xα (α＞0，i＝1，2，3，4，5)在第一象限内的图象，其中α ＝3，
i i 1
α ＝2，α ＝1，α ＝，α ＝，已知它们具有以下性质：
2 3 4 5
①都经过点(0，0)和(1，1)；
②在第一象限都是增函数．
请你根据图象写出它们在(1，＋∞)上的另外一个共同性质：_______________.
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其
解析式．
(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，
在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行
比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
变式探究1．已知幂函数f(x)的图象过点(－8，－2)，且f(a＋1)≤－f(a－3)，则实数a的取值范围
是____________.
2．(多选)已知函数f(x)＝xα(α∈R)，则( )
A．函数f(x)的图象过点(1，－1)
B．若函数f(x)的图象过点(－1，1)，则函数f(x)为偶函数
C．若函数f(x)的图象过点(－1，－1)，则函数f(x)为奇函数
D．当α>0时，∃x∈R，使得函数f()<f(1)
考点2 二次函数的图象与性质
【例2】 (1)(2024·山东一模)已知二次函数f(x)满足f(0)＝－1，顶点为(1，－2)，则函
数f(x)的解析式为____________________；若函数f(x)在区间[a－1，4]上单调递增，则实数
a的取值范围是____________．
(2)(多选)(2024·河北邯郸阶段练习)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以
下结论：
①a＋b＋c>0；②a－b＋c<0；③abc>0；④b2>4ac；⑤－3<<－2.
下面的选项中所有序号结论全正确的是( )
A．①②④ B．②③④
C．①④⑤ D．③④⑤
变式探究
3．若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在[－，]上单调，则实数m的取值范围为( )
A．[，1]∪[3，]
B．[，2]∪[3，]
C．[－，1]∪[3，]
D．[－，2]∪[3，]
4．(多选)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，顶点坐标为(1，
n)，与y轴的交点在点(0，2)与(0，3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A．当x>3时，y<0
B．4a＋2b＋c＝0
C．－1≤a≤－
D．3a＋b>0
考点3 二次函数的最值问题
【例3】 (1)(2024·河南南阳模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1，则
f(x)的解析式为____________________；若在区间[－1，1]上，函数y＝f(x)的图象恒在直线
y＝m的上方，则实数m的取值范围为____________．
(2)函数 f(x)＝x2－2x＋2 在区间[t，t＋1]上的最小值为 g(t)，则 g(t)的表达式为
______________，g(t)的最小值为__________.
变式探究
5．(多选)若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则正整数a的值
可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
6．已知二次函数f(x)满足f(1)＝－9，且不等式f(x)＋3x<0的解集为(－1，4)，则f(x)的
解析式为____________；若函数f(x)在x∈[0，t]时的值域为[－13，－4]，则实数t的取值范
围为____________．
7．(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数
a，b变化时，M的最小值为________．
