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第八题 三角恒等变换
高考真题
8. 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
【思路分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算
作答.
【解析】因为 ，而 ，因此 ，则
，
所以 .故选：B
知识点总结
1. 两角和、差公式
(1) C ：cos(α∓β)＝ co s α co s β ±si n α si n β ；
(α∓β)
(2) S ：sin(α±β)＝ si n α co s β ±co s α si n β ；
(α±β)
(3) T ：tan(α±β)＝ .
(α±β)
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝ 2si n α co s α ；
cos2α＝ co s 2 α － si n 2 α ＝ 2co s 2 α － 1 ＝ 1 － 2si n 2 α ；
tan2α＝.
3. 辅助角公式
函数y＝asin x＋bcos x可化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，
asin x＋bcos x＝ sin ( x ＋ φ ) ，其中tan φ＝.
4. 常用结论(1) tanα±tanβ＝ tan ( α ± β )( 1 ∓ ta n α ta n β ) ；
(2) 降幂公式：cos2α＝，sin2α＝；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝sin.
题型展示
和、差、倍角公式的直接应用
(1) tan18°＋tan12°＋tan18°tan12°等于( D )
A. B.
C. D.
【解析】 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝＝，所以tan18°＋tan12°＝(1－tan18°tan12°)，所
以原式＝.
(2) (2022·湛江一模)已知cosα＝，0<α<，则sin等于( B )
A. B.
C. － D. －
【解析】 由cosα＝，0<α<，得sinα＝，所以sin＝sinα＋cosα＝×＋×＝.
解这类给值求值问题的关键是先分清S ，C ，T 的展开式中所需要的条件，结合
(α±β) (α±β) (α±β)
题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什
么”．
拆、配角问题
(1) (2022·烟台期末)已知α∈，cos＝，则cosα的值为 .
【解析】 因为α∈，所以<α＋<.又因为cos＝，所以sin＝＝，所以cosα＝cos＝coscos＋
sinsin＝×＝.
(2) 已知α为锐角，且cos＝，则sinα等于( B )
A. B.
C. D.
【解析】 因为cos＝(α为锐角)，所以α＋为锐角，所以sin＝，所以sinα＝sin＝sincos－
cossin＝×－×＝.
1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”
有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求
角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝
＋，＝－等．
三角函数式的化简
当π<α<2π时，化简：
＝ co s α .
【解析】 原式＝
＝
＝.
因为π<α<2π，所以<<π，所以cos<0，所以原式＝＝cosα.
1. 三角函数的化简与求值渗透了逻辑推理和数学运算素养，遵循“三看”原则：一看角，
二看名，三看式子结构与特征.2. 常采取转化法及利用分类讨论、转化与化归思想解题．
三角函数的求值与求角
(1) (2022·唐山二模)已知0<α<β<2π，函数f(x)＝5sin，若f(α)＝f(β)＝1，则cos(β－α)等于(
B )
A. B. －
C. D. －
【解析】 令 f(x)＝5sin＝0,0<x<2π，则 x＝或 x＝.令 f(x)＝5sin＝5,0<x<2π，则 x＝.又
0<α<β<2π，f(α)＝f(β)＝1，所以<α<，<β<，sin＝，sin＝.因为0<α－<，<β－<π，所以cos＝，
cos＝－，所以cos(β－α)＝cos＝cos·cos＋sinsin＝－×＋×＝－.
(2) 若sin2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是 .
【解析】 因为α∈，所以2α∈.因为sin2α＝，所以cos2α＝－＝－＝－.因为α∈，β∈，
所以β－α∈.因为sin(β－α)＝，所以β－α ∈，所以cos(β－α)＝－＝－＝－，所以cos(β＋α)
＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)cos2α－sin(β－α)sin2α＝×－×＝.因为 α∈，β∈，所以 β＋
α∈，所以α＋β＝.
(3) (积化和差)求值：cos40°cos80°＋cos80°cos160°＋cos160°cos40°＝ － .
【解析】 原式＝[cos(80°＋40°)＋cos(80°－40°)]＋[cos(160°＋80°)＋cos(160°－80°)]＋
[cos(160°＋40°)＋cos(160°－40°)]＝(cos120°＋cos40°)＋(cos240°＋cos80°)＋(cos200°＋cos120°)
＝(cos40°＋cos80°＋cos200°)－＝[cos(60°－20°)＋cos(60°＋20°)－cos20°]－＝(2cos60°cos20°－
cos20°)－＝(cos20°－cos20°)－＝－.
三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的联系(从
三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根
据角的取值范围写出所求角的大小．
辅助角公式应用
已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx，x∈R.
(1) 求f的值；
【解答】f＝cos2＋sincos＝2＋×＝.
(2) 若sinα＝，且α∈，求f的值．
【解答】因为f(x)＝cos2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝＋(sin2x＋cos2x)＝＋sin，所以f＝＋sin＝
＋sin＝＋.又因为sinα＝，且α∈，所以cosα＝－，所以f＝＋＝.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数
化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
真题演练
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
2．已知 为锐角， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
3．若 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
4．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
5．函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
6．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7． （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8．函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2【答案】C
9．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
二、填空题
11．若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为 ．
【答案】 （ 均可）
12．若 ，则 ， ．
【答案】
13．已知 = ，则 的值是 .
【答案】
14．函数 的最小正周期为
【答案】模拟训练
一、单选题
1．若函数 ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
2．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
4．已知 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
5．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A6．在平面直角坐标系 中，角 的大小如图所示，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
二、多选题
7．已知函数 的图象相邻两对称中心的距离为 ，则（ ）
A． 的解析式为
B．
C．若 在 单调递增，则
D．若将 图象每个点的横坐标变为原来的 倍后在 上恰有4个最高点，则
【答案】ACD
8．已知 ，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件一定能够使 为等腰三角形的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD三、填空题
9．若 为锐角，且 ，则 ．
【答案】2
10．已知 ，则 .
【答案】
11．计算： ．
【答案】
12．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ．
【答案】
