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1.本题并非多集合反向构造，这是因为题干中要求“按顺序往后
检测”，而并非任意检测。题干所求为“甲、乙、丙三人均检测过
的电脑至少”，直接考虑三人均检测过的至少即最少比较难考虑，
先考虑任意两人检测过的电脑最少，这里我们先去分析甲、乙，
要使甲、乙两人都检测过的电脑最少，如下图所示，甲、乙检测
的电脑应尽可能少的重合，甲从1 号开始检测一直至76 号，而
乙相当于从100 号倒数至40 号（注意40 号至100 号为61 台，
并非39 号至100 号），这样便可以保证甲、乙两人都检测过的
电脑最少。再去考虑丙，如果丙从1 号开始检测一直至54 号，
则甲、乙、丙均检测过的电脑编号为40 至54，一共15 台；如
果从100 号倒数至47 号，则甲、乙、丙均检测过的电脑编号为
47 至76，一共30 台，显然前者更少即甲、乙、丙三人均检测
过的电脑至少有15 台。
故正确答案为B。
2.7 个正整数的平均值为14，则7 个正整数的数值总和为
。中位数为18，则表明7 个正整数中有3 个小于18，3
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个大于18。为了让正整数中最大的数最大，则应让其他5 个数
尽可能的小。小于18 的最小数可以为：1、2、3；大于18 的最
小数可以为：19、20、。则此时数值最大，最大为
。
故正确答案为C。
3.根据题意可列式：甲=乙+4······①，丙=乙-2······②，丙+甲
=22······③，联立①②③式，解得乙=10 台，则甲+乙+丙
=10+22=32 台。要将这32 台电脑发放给尽可能多的部门，且每
个部门获得的电脑数量均不相同，则每个部门获得的电脑数量应
从最小值1 开始算起，1+2+3+4+5+6+7=28 台，还剩32-28=4
台，这4 台不能再单独发放给1 个部门，否则会有重复，故最多
可以发放给7 个部门。
故正确答案为B。
4.由题意可知，参加跳远的有
人，参加跳高的有
人，参加赛跑的有
人,则总共有
人
次参加活动。设参加一个活动的为人，参加两个活动的为人，
参加三个活动的为人。则有
，两式相减可得：
，参加了不止一项活动的人数（
）最少，根据不定方
程最值分析，越大，最大为10，当
时，
，则
人。
至少有10 人参加了不止一项活动。
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故正确答案为B。
5.由“每人最多只能报名参加2 项比赛”可得，报名三项的人数为
0。设参加两项的人数为，未报名参赛的人为，根据三集合非
标准公式可得：
，化简得
。
要让未报名参赛的人最多，则让尽量多。考虑让参加两项的人
尽量多，则每人尽量参与两项，此时最多为
人，
向下取整为36 人，即最多为36，故最多为
人。
故正确答案为C。
6.要使年龄最大者的年龄尽可能大，则其余四个人的年龄尽可能
小，而最小只能为24，因此年龄最大者的年龄至多可以为
岁。
故正确答案为D。
7.四项活动，可选择一种、两种、三种或者全部报名，不同的报
名方式共有
种，要想“老年才艺秀活
动”报名人数尽量多，则每种报名方式报名人数尽量多，即4 人
报名，则最多共有
人。而同时报名参加书法和绘画项目
的情况为（书法、绘画）、（书法、绘画、歌曲演唱）、（书法、
绘画、太极拳）、（书法、绘画、歌唱演唱、太极拳），4 种报
名方式最多可报名
人，实际报名3 人。则此时报名人数最
多为
人。
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故正确答案为D。
8.设连续击中次，则得分分别为1、2、4、8、16……，由题意
可知连续击中总得分小于等于74 分。题目问最多多少次，从较
大选项代入，若
，则
分，大于74 分，
不满足题意；若
，则
分，小于74 分，满
足题意。
故正确答案为C。
9.假设小明的个人成绩为，小组成绩为，则根据题意可列式为：
。小明与小欣的个人成绩之比为
，则小欣的个人成
绩为
，那么小欣的总成绩为
，即
。
要想让小欣的总成绩最低，可知最大时，小欣的个人成绩最低，
最大可取满分100。那么小欣的成绩最低可为：
分。
故正确答案为C。
10.设总数为，根据题意可知40
50，又因为
是4 的倍数，
且
为5 的倍数，只有
满足所有要求。要想人数最多的组
与最少的组相差人数尽可能少,则最多的组人数尽量的少，最少
的组尽量的多。设人数最多的组为人，则人数第二多的组至多
为
人，人数最少的组至多为
人。根据总人数列方程可得：
人，解得
人，最少的组
人。人数最
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多的组至少为16 人，人数最少的组至多为13 人，此时二者相差
最少为
人。
故正确答案为B。
11.解析1：
从1 台开始算起，
，还多4 台，不能再单独奖励
给一个单位，只能分到后4 个单位，因此最多可以奖励6 个单位。
解析2：
该题实质为等差数列的计算问题，各单位分得电脑数量不等，可
设为分别分得1、2、3
，根据等差数列的求和公式可得：
，即求使得不等式成立的最大正整数的值，解得
。
故正确答案为B。
12.设专卖店数量排名最后的城市有家专卖店，要求专卖店数量
排名最后的城市专卖店的数量最多，则令其他城市专卖店数量最
少。题目中已知排名第5 多城市有12 家专卖店，且每个城市专
卖店数量不同，则可得下表：
根据该企业共有100 家专卖店的条件，则有
，解得
。
故正确答案为C。
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13.
题目涉及平均数混合问题，可以考虑通过线段法求解。结合题意
画出如下线段：
总人数为50 人，设捐款83 元及以上的员工最多为x 人，则83
元以下人数为（50-x）人。根据线段法“距离与量成反比”，要想
x 尽可能多，则捐款83 元及以上的员工平均捐款额与81.5 的差
应尽量小，捐款83 元以下的员工平均捐款额与81.5 的差应尽量
大。故捐款83 元及以上的员工平均捐款最小为83 元，捐款83
元以下的员工平均捐款额最小为83-10=73 元。因此可列式：
，解得x=42.5，所求42.5 为捐款83 元及以上的员
工人数最多的情况，因此人数需向下取整为42 人。
故正确答案为B。
14.分数从高到低排列，第
门分数之和为
分，
要令第三门成绩尽量小，则第二门成绩尽可能大，为98 分，于
是第3~5 门总成绩为
分。总分一定，要令第三门成绩
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尽量小，则第三、四、五门的成绩呈等差数列，可知第4 门成绩
为中位数
分，据此构造三门成绩依次为95、94、93 分，
符合题意，因此第三门课至少为95 分。
故正确答案为A。
15.根据题意可得，刚好行驶5 公里时花费
元；
刚好行驶8 公里时花费
元，即20 元车费行驶
的路程大于5 公里小于8 公里，结合选项只有A 项满足。
故正确答案为A。
16.假设6 件甲商品的销售额为30 元，每件销售单价为
元，
则10 件乙商品的销售额为
元，5 件丙商品的销售额为
元，
，
，则至少卖出22 件甲商
品，销售额才能超过元。
故正确答案为C。
17.方法一：根据问题所求“上半年发表的论文数量至少比下半年
多”，则上半年发表的论文数量应尽可能少，那么发表篇数多的
人应尽可能少，发表篇数少的人应尽可能多。根据题意可得
，设发表4 篇的人
数至少为人，则发表其它篇数的人数要尽可能多，发表3 篇的
人数再多也不可能超过发表4 篇的人数，即发表3 篇的人数最多
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为
人，同理发表2 篇的人数最多为
人，发表1 篇的人
数最多为
人，因一共有40 名研究人员，所以
，解得
。即发表4 篇的人数至少为12
人，发表3 篇的人数为11 人，发表2 篇的人数为9 人，发表1
篇的人数为8 人。所以上半年发表的论文数量至少为
篇，则下半年至多为
篇，即上
半年发表的论文数量至少比下半年多
篇。
方法二：根据问题所求“上半年发表的论文数量至少比下半年
多”，则上半年发表的论文数量应尽可能少，那么发表篇数多的
人应尽可能少，发表篇数少的人应尽可能多。梳理条件可得，发
表4 篇的人数最多，剩余依次为发表3 篇、发表2 篇、发表1
篇的人。故发表4 篇的人数最多，应超过人数平均值
，
至少为11 人。发表3 篇、2 篇、1 篇的人数依次至多应为10、9、
8 人，总计
。剩余2 人只能平均分到发表4 篇与
3 篇的组中，依此构造发表4 篇、3 篇、2 篇、1 篇的人数分别
为12、11、9、8 人。
则上半年发表的篇数至少应等于
，则下
半年至多发表
。前者比后者至少多
。
故正确答案为A。
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18.根据题意，把蚂蚁所爬路径展开到一个平面上，如下图所示
（A’和B’为A、B 展开后的对应点）
若用时最短，则需蚂蚁爬过的路径最短，即蚂蚁沿A’走直线到B，
再从B 到A，由题干可知，AA’
，AB
，根据勾股定理：
A’B
。则蚂蚁爬过的全部路径
S A’B BA
，所求时间
秒。
故正确答案为B。
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19.想要支付的钱数最少，需选择最优惠的活动。260 元的商品
打八折为
元，参加满减为
元，应选择8 折优
惠；480 元的商品打八折为
元，参加满减为
元，应选择满减优惠；640 元的商品打八折为
元，参
加满减为
元，应选择满减优惠。则最少需支付
元。
故正确答案为C。
20.设参加比赛的人数为，则根据条件“所有参赛者获得的名次之
和为300”可得
，解得
。因“三个部门的人数均
为整数”且小于24，则销售部门的人数只能为10 人，售后服务
部门和技术部门均有5 人。则其他部门获得的名次之和为：
；人数还剩：
。要让
其他部门的其中一人名次最高，则应让其他人尽可能的低，其他
3 人最低可为24、23、22，则名次最高可为：
。
故正确答案为C。
21.票总数一定，如果其他人投票给落后的乙，则甲更容易当选，
求至少则尽可能让第二名多拿票。已知在前61 张票中，甲领先
第二名丙
张。因此在剩下的
张票中，首先分配
19 张给丙，还剩20 张。甲要保证一定当选，则应该获得剩余票
量的过半数即11 张。
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故正确答案为A。
22.4 门课，平均分差8 分，总分差
。两人有一门
课的分数相等，则其他3 门课差32 分。求老赵成绩最高的一门
课最多比老王成绩最低的一门课高多少分，则应该使老赵的其他
两门课分数尽可能低，而老王的其他两门课分数尽可能高，所以
老赵剩下的三门课的两门，至少要在最低分的那门课加上1 分和
2 分，而老王反过来，至少要在最高分的那门课减去1 分和2 分。
所以
。
故正确答案为D。
23.设商品原价为元，则第一种促销方案价格为
元，第二种促
销方案价格为
元。两种方案利润相差0.1 元，因为成本相同，
，则售价也相差0.1 元，
。解得
。第
一种促销价格为
元，可购买数量
件，则最多可
购买47 件商品
故正确答案为B。
24.13 名女生共表演了27 个节目，尽可能平均分配节目，即
，至少有一名女生至少表演了
个节目。
故正确答案为B。
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25.根据公式，成本
，可得甲品种成本
元，
则甲品种的利润
元；计算甲品种的成本情况，分别
设1 千克B 食物的成本价为元，1 千克C 食物的成本价为元，
可得：
，解得
，则每份乙品种的成本价为
元，利润
元；
设甲、乙两个品种饮食的份数分别为、，根据公式，利润率
，
且要求甲、乙两品种的总销售利润率至少要达到总成本的
，
可得利润率
，解得
，即甲、乙两个品种饮食
的份数之比不应低于8：9。
故正确答案为D。
26.若要拿到相同颜色的球需要次数最多，则最不利情况为已经
拿取所有颜色不一样的小球各一个。一共6 种颜色，故最多拿取
6 次后有6 种颜色不同小球。此时再拿取一个小球，拿到颜色相
同小球。所以拿到相同颜色的球最多需要6+1=7 次。
故正确答案为D。
27.根据“都······至少”判定本题为多集合反向构造问题。
第一步反向：乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的分别
为：1000-1000×87%=130 人、1000-1000×75%=250 人、
1000-1000×69%=310 人。
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第二步作和：乒乓球比赛、跳水比赛、田径比赛没有看过的最多
为130+250+310=690 人。
第三步作差：乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有
1000-690=310 人。
故正确答案为A。
28.
假设A 款服装每件进价为，则B 款服装每件进价为
，
定价为
，每件利润为
，A 款服装每件定价
为
。假设某日A 款服装销售量为，则
，当
取得最大值时，可取得最小值。因购进100 多件A 款服装，单
件进价为整数元，总进价为1 万元，则10000 能被整除且
，满足条件的最大值为20，此时
，则至
少售出了17 件A 款服装。
故正确答案为C。
29.要保证有30 名找到工作的学生专业相同，考虑最不利情况，
当软件设计类有29 名、市场营销类有29 名、财务管理类有20
名、人力资源类有16 名学生找到工作，依旧不能满足题干要求，
故应从剩下的软件设计类或市场营销类学生中任选一个，即可保
证有30 名找到工作的学生专业相同，故至少需要29＋29＋20
＋16＋1＝95 人。
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故正确答案为D。
30.根据几何最值理论“平面图形中，若周长一定，越接近于圆，
面积越大；若面积一定，越接近于圆，周长越小”可知，长方形
广场越接近于圆，则周长越小。最接近圆的四边形是正方形，此
时广场的边长为
米，因此周长最小为
米。
故正确答案为A。
注：长方形：有一个角是直角的平行四边形叫做长方形。正方形：
有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形。长方
形包含正方形。
31.根据问法“至少······才能保证······”，可判定本题为最不利构造型
最值问题。考虑最不利情况为前面搬出的花卉都是月季花和牡丹
花，则一共搬出
盆花卉。在此基础上再搬1 盆花，就可
以保证一定是郁金香，则至少需要搬
盆花卉。
故正确答案为D。
32.由题意可知，观众选取2 只颜色相同的荧光棒共有7 种方式；
选取2 只颜色不同的荧光棒共有
种方式，共有
种，根据最不利原则，至少
名观众中，一定有两人选取
的荧光棒颜色完全相同。
故正确答案为D。
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33.根据条件，老年协会会员在五个兴趣班中报名至少一项，则
每人报名的不同情况共有：
种。由问法“至少······保证······”，可判定本题为最不利构造类最值
问题，考虑最不利情况。若每种报名情况均有3 名会员，在此情
况下再调查1 人即可保证有一种报名情况达到4 名，则至少要调
查
人。
故正确答案为B。
34.
假设先给每辆货车分配1 名司机，则5 辆货车有5 名司机需要休
息
天。这10 天需要额外
名司机来补充工作，即5 辆
货车至少需要7 名司机。则100 辆货车至少需要
名司
机。
故正确答案为C。
35.根据题意，每日工作的总人数一定，且瓦工工资高于力工工
资，则要让每日支付的总工资最少，应让瓦工人数尽可能少。由
于“瓦工人数不能少于力工人数的2 倍”，假设力工招聘人，那
么瓦工最少应招聘人。
，解得
，即应招聘力工25
人，瓦工50 人。
故正确答案为D。
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36.方法一：设买梨个，则买苹果
个。根据苹果数量不少于
梨的3 倍，可得：
，化简得
。因为梨便宜，所以总
个数38 不变的情况下，梨买得越多花费越少，所以当（梨的数
量）取最大值9（只能取整数）的时候，花费最少。
方法二：选项信息充分，考虑代入排除法。
A 项：
元；
B 项：28 少于10 的3 倍，不符合题意，直接排除；
C 项：
元；
D 项：
元。
故正确答案为D。
37.方法一：由题干可知，“每支箭的环数都不低于8 环”，所以环
数只能取8、9、10 环。假设10 支箭都打了8 环，则最低打了
80 环，而实际打的93 环中多出的93–80=13 环，则是由9 环和
10 环贡献的。与80 环相比，每一个9 环相当于多1 环，每一个
10 环相当于多2 环，设10 环的有a 支，9 环的有b 支，则得到
方程2a+b=13。要让a–b 最大，则应a 取最大值，b 取最小值。
a 最大可取6，则b=1，二者相差6-1=5 支。
方法二：从另一个极端出发，如果每支箭的环数都打中10 环，
应该是100 环，而实际为93 环，少了7 环。现在要求命中10
环的箭数“最多”能比命中9 环的多几支，即要求10 环尽量多，
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同时9 环尽量少。所以少的7 环应尽可能由8 环的箭产生，但是
由于每支8 环只能差2 的整数倍，所以最多差6 环，还需要有一
支9 环的。所以10 环6 支，9 环1 支，8 环3 支可以让差距最
大。
故正确答案为D。
【秒杀计】如果列方程，属于不定方程，未知数的个数多于方程
个数，需要用代入法解决。而题目真正的考点在于对“最多”这个
词的理解，即10 环尽量多，9 环尽量少，在这个前提下分析题
目，才能得到最简单的方式。
38.根据每公里耗油公式：
，当越大时，越小，即速
度越大，耗油越小。则在速度区间
公里/小时中经济时速应
取最大值，则选择选项中最大值105 公里/小时。
故正确答案为D。
备注1：在
公里/小时速度区间中，根据每公里耗油公式，
速度越大，耗油越少，则经济时速应取最大值110 公里/小时，
但结合选项只能选择最大值105 公里/小时。
备注2：本题所给条件为“每公里耗油量公式”，则经济速度应为
——当每公里耗油量最少时，汽车行驶的速度；有同学设行驶速
度为，则单位时间
行驶路程
，则单位时间耗油
，当且仅当
时等号成立，
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解得
。但是此解为“使单位时间耗油最少的速度”与题干所给
条件“每公里耗油”以及所求“每公里耗油最少”不符。
39.根据条件可知，公司全年共售出重型机械
台。因
要求该公司售出机械数量最多的月份售出机械数量尽可能少，则
其他月份应尽可能多。
全年平均每月最多可售出
台。即平均每月售出10
台后还剩余2 台，可再次分配给其中两个月每月1 台，即销售数
量最多的月份至少卖出了11 台。
故正确答案为B。
40.根据题意，4 家企业报价之和为4×400×95%=1520 万元。要
想甲企业的报价尽可能高，则其他企业的报价应尽可能低。假设
甲企业的报价为x 万元，因任意2 家企业的报价相差均不少于
10 万元且不多于100 万元，则另外三家企业最低的报价依次为
x-80、x-90、x-100 万元。x+（x-80）+（x-90）+（x-100）=1520，
解得x=447.5，即甲企业的报价最高可能为447.5 万元。
故正确答案为D。
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