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专题01 集合与逻辑用语（选题题8 种考法）
考法一 数集的运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
.故选：A.
【例1-2】（2023·北京·统考高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，
，
，
根据交集的运算可知，
.故选：A
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为全集
，集合
，所以
，
又
，所以
，故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意，
，所以
,
所以
.故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）设集合
，集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可得
，则
，选项A 正确；
，则
，选项B 错误；
，则
或
，选项C 错误；
或
，则
或
，选项D 错误；故选：A.
考法二 点集运算
【例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，解得：
或
，故
.故选：A
【变式】
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．［1，2]
【答案】C
【解析】
.故选:C.
2.（2022·河南省直辖县级单位）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．M
D．N
【答案】D
【解析】
，
因为当
时，
，所以函数
过点
，所以
，所以
.
故选：D.
3（2023 北京）已知集合
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以
为圆心，为半径的单位圆上所有点组成
的集合，集合B 表示直线
上所有的点组成的集合，又圆
与直线
相交于两点
，
，则
中有2 个元素.故选B.
考法三 （真）子集个数
【例3-1】（2023·河南·校联考二模）集合
的子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
集合
的子集个数为
.故选：D.
【例3-2】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件
的集合
有（ ）
A．6 个
B．5 个
C．4 个
D．3 个
【答案】C
【解析】∵
，
∴
或
或
或
，共4 个．故选：C．
【变式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合
，集合
，
则
的子集个数为（ ）
A．5
B．6
C．16
D．32
【答案】C
【解析】由
得
，所以
，
解不等式
得
，
所以
，所以
的子集个数为
.
故选：C
2．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知
，集合
，若集合
恰有8 个子集，则
的可能值有几个（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题意易知，
，均是集合
中的元素，
又集合
恰有8 个子集，故集合
只有三个元素，
有
，则结合诱导公式易知，
可取的值是4 或5.
故选：B
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知集合
，集合
，则集
合
的真子集个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】联立
可得
，因为
，解得
，
所以，方程组
的解为
或
，
所以，
，
所以，集合
的真子集个数为
.故选：C.
考法四 集合求参
【例4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合
，若
，则实数
（ ）
A．
或1
B．0 或1
C．1
D．
【答案】B
【解析】由集合
，
对于方程
，
当
时，此时方程无解，可得集合
，满足
；
当
时，解得
，要使得
，则满足
，可得
，
所以实数
的值为或.
故选：B.
【例4-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，所以
，
因为
，所以
，故
．
故选：C．
【例4-3】（2023·江苏镇江）若集合
,则能使
成立的所有
组成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当
时,即
,
时成立;
当
时,满足
,解得
;
综上所述:
.
故选:C.
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合
，
，
则
的元素个数为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．无法确定
【答案】A
【解析】
时，
与圆相交有两个交点
时，
∴直线与圆相交，有两个交点故选：A
【变式】
1（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）集合
，
，且
，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．或
D．或或
【答案】D
【解析】由集合
，且
，
又由
，可得
，
当
时，此时集合
，满足
；
当
时，可得
，要使得
，则满足
或
，解得
或
，
综上可得，实数
的值为或或
.
故选：D.
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知集合
，
，若
且
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
或
，
因为
，所以
，
①当
时，
，满足题意；
②当
时，
，
要使
，则
，解得
，
综上所述，实数m 的取值范围是
．
故选：B.
3．（2023·河北·模拟预测）已知集合
，
，若
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
或
，所以
或
，由
，
所以当
时，
不成立，所以集合
为空集，
满足题意，
当
时，
，由
，所以
，
所以有
，综上所述实数
的取值范围是
，故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合
，
.若
，
则实数
（ ）
A．-3
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】因为
，所以直线
与直线
平行，
所以
所以
. 经检验，当
时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5】（2023·福建龙岩·统考二模）若全集
，集合
，则
图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知
，即
，
又
，故阴影部分为
.故选：D
【变式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知
为实数集，集合
或
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由Ven 图可知，阴影部分表示为
，
因为
，
或
，所以
，
所以
，故选：C.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集
，则图中阴影部分所表示的集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题设得
，则
，
由图知：阴影部分为
.
故选：D
3．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】如图，
对于A，
，则
，故A 正确；
对于B，
，则
，故B 错误；
对于C，
，
，故
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误，故选：AC．
考法六 充分、必要条件
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）“
为整数”是“
为整数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当
为整数时，
必为整数；
当
为整数时，
比一定为整数，
例如当
时，
.
所以“
为整数”是“
为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
【例6-2】（2022·北京·统考高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是
“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.故选：C.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【解析】因为
可得：
当
时，
，充分性成立；
当
时，
，必要性不成立；
所以当
，
是
的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·北京·统考高考真题）若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法二：
充分性：因为
，且
，所以
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，即
，即
，所以
.
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
解法三：
充分性：因为
，且
，
所以
，
所以充分性成立；
必要性：因为
，且
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以必要性成立.
所以“
”是“
”的充要条件.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）记
为数列
的前
项和，设甲：
为等差数列；乙：
为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：
为等差数列，设其首项为
，公差为
，
则
，
因此
为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
为常数，设为，
即
，则
，有
，
两式相减得：
，即
，对
也成立，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C 正确.
方法2，甲：
为等差数列，设数列
的首项
，公差为
，即
，
则
，因此
为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：
为等差数列，即
，
即
，
，
当
时，上两式相减得：
，当
时，上式成立，
于是
，又
为常数，
因此
为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
考法七 含有一个量词命题
【例7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）命题“
，
”的否定是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故“
，
”的否定是“
，
”，
故选：B．
【例7-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题
：
，
，则
为真命题的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题设命题为真，即
在
上恒成立，所以
，
则
为真命题的一个充分不必要条件应该是
的一个真子集，故选：A．
【例7-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“
，使
成
立”的否定是真命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】若“
，使
成立”的否定是：
“
，使
”为真命题，
即
；令
，
由
，得
，所以
，
所以
，
故选：C.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知命题p：“
，
”，则
为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“
，
”的否定是“
，
”．
故选：C．
2.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“
，
”为真命题，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为命题“
，
”为真命题，
所以，命题“
，
”为真命题，所以，
时，
，
因为，
，所以，当
时，
，当且仅当
时取得等号.
所以，
时，
，即实数
的取值范围是
故选：C
3.（2023·甘肃兰州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0 是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．(－∞，1)
B．(－∞，1]
C．(－1，1)
D．(－1，1]
【答案】A
【解析】命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0 的否定是：对任意的
，
.
若对任意的
，
为真命题，则：
当
时，
，显然不是恒成立，故舍去；
当
时，
，且
，解得
.综上所述，
.
又因为原命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0 是真命题，故任意的
，
是假命题.
故
.故选：
.
考法八 新定义集合
【例8】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若
且
，
，则称a 为集合A 的孤立元素．若
集合
，集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合
的三元子集有
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共20 个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N 可能为
，
，
，
，一共4 种．
由古典概率模型公式，可得集合N 中的元素都是孤立元素的概率
．
故选：C．
【变式】
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：
，设
，
，则集合
的所有元素之和为（ ）
A．14
B．15
C．16
D．18
【答案】A
【解析】由题设知
，
所有元素之和为
，故选：A.
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集
，
，定义
，
，
，若集合
，则集合
中所有元素之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集
，
，定义
，
，
，集合
，
，
，则可知所有元素的和为
，
故选：D.
3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合
且
，已知集合
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知
，又
，
所以
．故选：A
4．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合
满足：①
，②
，
必有
，③集合
中所有元素之和为
，则集合
中元素个数最多为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】B
【解析】对于条件①
，②
，必有
，
若集合中所有的元素是由公差为
的等差数列构成，例如
，集合中有
个元
素，
又
则该集
合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合
中元素个数最多不能超过10 个，
故若要集合
满足：①
，②
，必有
，③集合
中所有元素之和为
，最多
有10 个元素，例如
.故选：B.
一．单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，而
，所以
.故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】C
【解析】方法一：因为
，而
，所以
．
故选：C．
方法二：因为
，将
代入不等式
，只有
使不等式成立，所以
．故选：C．
3．（2022·天津·统考高考真题）设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，故
，故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
．故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
，所以
．故选：A.
6．（2022·全国·统考高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题知
,对比选项知，
正确,
错误故选:
7．（2022·北京·统考高考真题）已知全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：
或
，即
，
故选：D．
8．（2022·全国·统考高考真题）若集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，故
，
故选：D
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
10．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】全集
，集合
，
或
，
所以
，
则
．
故选：B．
11．（2023·河南·模拟预测）已知集合
中恰有两个元素，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由集合
中恰有两个元素，得
，解得
．故选：B．
12．（2023·辽宁·校联考三模）若
为全体实数，集合
．集合
．
则
的子集个数为（ ）
A．5
B．6
C．16
D．32
【答案】D
【解析】由集合
得
且
，
由集合
可得
或
，
故子集个数为
．
故选:
．
13．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知集合
，
.若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得：
或
，即
，
，
，
，即实数
的取值范围为
.
故选：B.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合
，若
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【解析】集合
，则
，且
，解得
，且
，
由
，得
，或
，
解
，得
或
（舍去）；解
，得
（舍去）或
（舍去），
所以
.
故选：A
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知集合
，
，
若
，则实数b 的值为（ ）
A．1
B．0 或1
C．2
D．1 或2
【答案】D
【解析】由
中不等式解得：
，因为
，所以
，
，
，
，且
，
或2，故选：D．
16．（2023·山东德州·三模）已知集合
，
，若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，
因为
，所以
，解得
.故选：B.
17．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“
”为真命题的一个充分不必
要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵
，则
，即
，
∴a 的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为
的真子集，
结合选项可知B 对应的集合为
为
的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
18．（2023·四川宜宾·统考二模）命题：存在唯一
，使得
是真命题，则实数
的值是
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】不妨设
，显然
的定义域为
关于原点对称，
且有
，
所以函数
是
上的偶函数，
由题意可知函数
在
上有且仅有一个零点，
则只能
，
否则若
则由偶函数的性质可知
，此时与题意矛盾，
所以
，解得
，
此时有
，且当且仅当
时，
，故
符合题意.
故选：B.
19．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）不等式“
”是“
”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
，解得
，
，解得
，
因为
，但
，
故“
”是“
”成立的充分不必要条件.
故选：A
20．（2023·河南·模拟预测）“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
时，
恒成立，
当
时，则
，解得
，
综上所述，不等式
恒成立时，
，
所以选项中“不等式
恒成立”的一个充分不必要条件是
.
故选：D.
21．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知集合
，
则集合
的子集个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】集合B 中圆的半径为1，圆心
到集合A 中直线的距离
，
所以直线与圆相交，有两个交点，
所以集合
中有两个元素，其子集个数为4.
故选：A.
22．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合
，则集合
的真子集的个数为（ ）
A．3
B．7
C．15
D．31
【答案】A
【解析】方法一：联立
，解得
或
，
,
集合
的真子集的个数为
.
方法二：在同一直角坐标系中画出函数
以及
的图象，由图象可知两图形有2 个交点，所
以
的元素个数为2，进而真子集的个数为
.
故选：A.
23．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若
且
,
,则称a 为集合A 的孤立元素．若集合
,集合N 为集合M 的三元子集，则集合N 中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】集合
的三元子集个数为
，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N 可能为
，一共35 种，
由古典概率模型公式，可得集合N 中的元素都是孤立元素的概率
．
故选：C．
24（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】若
，则
，
故
，即
．
又
，故
或
，充分性不成立；
若
，即
，所以
，
所以
，所以必要性成立．
故选：D．
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若向量
，则“
”是“向量
的
夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量
，由向量
的夹角为钝角，
即有
，解得
且
，
即“
”不能推出“
且
”即“向量
的夹角为钝角”；
“向量
的夹角为钝角”即“
且
”能推出“
”；
故“
”是“
且
”的必要不充分条件，
即“
”是“向量
的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
26．（2023·河南·模拟预测）“
”是“函数
在区间
上单调递增”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】二次函数
图象的对称轴为
，
若函数
在区间
上单调递增，
根据复合函数的单调性可得
，即
，
故“
”是“函数
在区间
上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
27．（2023·全国·统考高考真题）设甲：
，乙：
，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当
时，例如
但
，
即
推不出
；
当
时，
，
即
能推出
.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
28．（2023·全国·统考高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，
则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
，
于是有
，即有
，解得
，
所以
，
.
故选：B
30．（2023·湖南永州·统考一模）“函数
在
上单调递减”是“函数
是
偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，
在
中，
当函数在
上单调递减时，
，
在
中，函数是偶函数，
∴
，解得：
，
∴“函数
在
上单调递减”是“函数
是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
二、多选题
31．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．若命题“
，
”为真命题，则实数
的取值范围为
D．若
，
，使得
，则实数
的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，因为
，
，开口向上，
，
，故A 错误；
对于B，令
，则
，即为
，而
在
上单调
递减，故
，故B 正确；
对于C，显然
，且
，解得
，故C 错误；
对于D，当
时，
，当
时，
，故
，所以
，故D 正确.
故选：BD．
32．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若对任意
，
，则称
为“影子关系”集
合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】根据“影子关系”集合的定义，
可知
，
，
为“影子关系”集合，
由
，得
或
，当
时，
，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
33．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数
，设
，则
成立的一个充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】函数
的定义域为
，
，
即函数
是
上的偶函数，当
时，
，
求导得
，则函数
在
上单调递增，
对于A，取
，满足
，而
，A 不是；
对于B，取
，满足
，而
，B 不是；
对于CD，
，于是
，由函数
是偶函数得
，CD 是.
故选：CD
34．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）以下说法正确的有（ ）
A．“
”是“
”的必要不充分条件
B．命题“
，
”的否定是“
，
”
C．“
”是“
”的充分不必要条件
D．设
，
，则“
”是“
”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】A 选项，
，解得
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，A 选项错误.
B 选项，因为由
，得
，即
，
命题“
，
”的否定是“
，
”，所以B 选项错误.
C 选项，
；
所以
，所以“
”是“
”的充分不必要条件，
所以C 选项正确.
D 选项，由于
，所以“
”是“
”的必要不充分条件，
所以D 选项正确.
故选：CD
35．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“
”是“
”的充分不必要条件
B．命题“若
，则
”的否定是“存在
，
”
C．设
，则“
且
”是“
”的必要不充分条件
D．设
，则“
”是“
”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】对A，
，得到：
或
，由
可以得到
，但是，若
，
显然
成立，但
不成立，故A 正确；
由全称量词命题的否定易知B 错误；
对C，由“
且
”，显然可以得出“
”，故C 错误；
对D，
且
，则由
无法得到
，但是由
可以得到
，故D 正确.
故选：AD.
36．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知条件p：
；条件q：
.若p 是q 的必要条件，则实数a 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
，得
或
，
由
，得
.
因为
是
的必要不充分条件，可知
或
，解得
或
.
故选：BC.
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：
，条件q：
，且
p 是q 的必要条件，则m 的值可以是（ ）
A．
B．
C．-
D．0
【答案】BCD
【解析】设
，
,
因为p 是q 的必要条件，所以
，
当
时，由
无解可得
，符合题意；
当
时，
或
，当
时，由
解得
，
当
时，由
解得
.
综上，
的取值为0，
，
.
故选：BCD
38．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知
表示空间内两条不同的直线，则使
成立的必要不充分
条件是（ ）
A．存在平面
，有
B．存在平面
，有
C．存在直线，有
D．存在直线，有
【答案】AC
【解析】A：若
，则直线
可以平行，也可以相交，还可以异面；若
，则存在平面
，
有
，所以本选项正确；
B：若
，则
，即垂直于同一平面的两条直线平行；若
，则存在平面
，有
，所以本选项不正确；
C：若
，则直线
可以平行，也可以相交，还可以异面；若
，则存在直线，有
，所以本选项正确；
D：若
，则
，即平行于同一直线的两直线平行，若
，则存在直线，有
，所
以本选项不正确，
故选：AC
39.（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）下列说法正确的是（ ）
A．“
”是“
”的既不充分也不必要条件
B．命题“
，
”的否定是“
，
”
C．若
，则
D．
的最大值为
【答案】AD
【解析】对于A，“若
，则
”是假命题，因为
，而
；“若
，则
”是
假命题，
因为
，而
，即“
”是“
”的既不充分也不必要条件，A 正确；
对于B，命题“
，
”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“
，
”，B 错误；
对于C，当
时，
成立，因此
成立，不一定有
，C 错误；
对于D，函数
的定义域为
，
，
而函数
在
上单调递增，因此当
时，
，D 正确.
故选：AD
40．（2023·山东济南·济南外国语学校校考模拟预测）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，集合
都是单元素集，而元素
与
不同，A 不是；
对于B，集合
的元素为有序实数对，而集合
的元素为实数，B 不是；
对于C，集合
都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C 是；
对于D，集合
有两个元素1，2，而集合
只有一个元素
，D 不是.
故选：ABD
三、填空题
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合
有15 个真子集，则
的一个值为 .
【答案】（或，或
，填其中一个即可）
【解析】由集合
有15 个真子集，
可得集合
中含有4 个元素，则
有4 个因数，则除1 和它本身
外，还有2 个因数，
所以
的值可以为
，故
的一个值为6（或8，或10）.
故答案为：（或，或
，填其中一个即可）.
42．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合
，若
，则实数
的
取值范围为 .
【答案】
【解析】由
解得
，所以
，
由于
，所以
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
43．（2023·北京东城·统考二模）若
，则实数
的一个取值为
.
【答案】
（答案不唯一）
【解析】因为
，
且当
时，即
时，
，
当
时，即
时，才有可能使得
，
当
的两根刚好是
时，即
，此时
的解集为
刚好满足
，
所以
，所以实数
的一个取值可以为
.
故答案为:
44．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列
的前n 项和为
，且
，则“
”
是“
”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必
要”中的一种）
【答案】充分不必要
【解析】当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
因为
满足上式，
所以
，
所以
，
，
所以
成立，
由
可得
，
，
，
所以此时满足
，但不一定
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
45．（2023·山东潍坊·统考二模）若“
”是“
”的一个充分条件，则
的一个可能值是
.
【答案】
（只需满足
即可）
【解析】由
可得
，则
，
所以，
，解得
，
因为“
”是“
”的一个充分条件，故
的一个可能取值为
.
故答案为：
（只需满足
即可）.
46．（2023·全国·模拟预测）若“
”是“函数
对一切
恒有意义”
的充分条件，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
对一切
恒有意义，
即
在
上恒成立，
即
恒成立．
由“
”是“函数
对一切
恒有意义”的充分条件，
故
在
上恒成立，
令
，
为关于b 的一次函数，
要使
在
上恒成立，只需
，
即
，注意到
，
解得
．
所以a 的取值范围是
.
故答案为：
.
47．（2023·上海松江·统考一模）已知集合
.设函数
的值域为
，
若
，则实数
的取值范围为
【答案】
【解析】由
得
，即
，所以
，解得
.所以
.
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
解得
，所以实数
的取值范围为
.故答案为：
.
48．（2023·重庆·校联考三模）已知集合
（其中 为虚数单位），则满足条件的
集合M 的个数为 .
【答案】8
【解析】
周期为4，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
，所以集合
的子集个数为
个.
故答案为：8 个.
49．（2023·陕西渭南·统考一模）设三元集合
，则
.
【答案】1
【解析】依题意
，
，
所以
，所以
，
，
此时两个集合都是
，符合题意.
所以
.
故答案为：
50．（2023·江西九江·校考模拟预测）满足条件
的集合M 的个数为 ．
【答案】6
【解析】因为
，
所以
，因此
，或
，或
，或
，或
，或
，共6 个，
故答案为：6
