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专题04 勾股定理常考压轴题汇总 一．选择题（共23 小题） 1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦 图”，它是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三 角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b 的值为（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 2．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A 出发，沿长方体表面到点B 处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ） A． B． C． D． 3．如图，以Rt△ABC 的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（ ） A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4 C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定 4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，以△ABC 的各边为边作三个正方形，点G 落在HI 上， 若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB 的长为（ ） A．3 B． C．2 D． 5．已知，如图长方形ABCD 中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B 与点D 重 合，折痕为EF，则△ABE 的面积为（ ） A．3cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．12cm2 6．如图，阴影部分表示以Rt△ABC 的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形， 面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC 长是（ ） A．3.5 B． C．4 D．5 7．如图，在长方体ABCD﹣EFGH 盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为 10cm 的细直木棒IJ 恰好从小孔G 处插入，木棒的一端I 与底面ABCD 接触，当木棒的 端点Ⅰ在长方形ABCD 内及边界运动时，GJ 长度的最小值为（ ） A．（10﹣5 ）cm B．3cm C．（10﹣4 ）cm D．5cm 8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四， 则弦五”的记载．如图1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积 关系验证勾股定理．图2 是由图1 放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝ 10，点D，E，F，G，H，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为 （ ） A．420 B．440 C．430 D．410 9．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A 处出发先往东走 9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现 走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A 到藏宝点B 的直线距离是（ ） A．3 km B．10km C．6 km D． km 10．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD 的长为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 11．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条 新路，居民走新路比走拐角近（ ） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成 的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12 的直角边分别向外延长一倍， 得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A．148 B．100 C．196 D．144 13．如图，四边形ABCD 中，AD⊥CD 于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E 是AB 的中 点，连接DE，则DE 的最大值是（ ） A．5 B． C．6 D． 14．如图，长为8cm 的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A 和B，然后把中点C 垂直向上拉 升3cm 到D 点，则橡皮筋被拉长了（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm 15．如图的数轴上，点A，C 对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC 于点A，且AB 长为1 个单位长度，若以点C 为圆心，BC 长为半径的弧交数轴于0 和1 之间的点P，则点P 表 示的实数为（ ） A． B． C． D． 16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定 理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方 形的边长是（ ） A． B． C． D． 17．如图所示的一段楼梯，高BC 是3 米，斜边AB 长是5 米，现打算在楼梯上铺地毯，至 少需要地毯的长度为（ ） A．5 米 B．6 米 C．7 米 D．8 米 18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学 家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC 的三条边为边长向外作正方 形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH 面积为1，正 方形ABFE 面积为5，则以CF 为边长的正方形面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 19．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC 为边在AB 的同侧作正方形 ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝ 10，则S1+S2+S3等于（ ） A．10 B．15 C．20 D．30 20．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC 为直径向外作半圆，它们的面 积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（ ） A．9 B．11 C．32 D．41 21．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC 为边在AB 的同侧作正方形 ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC＝ S，则下列结论： ①S4＝S； ②S2＝S； ③S1+S3＝S2； ④S1+S2+S3+S4＝2.5S． 其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 22．如图，有一个水池，水面是一边长为10 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高 出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇 的长度为（ ）尺． A．10 B．12 C．13 D．14 23．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1 摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD 和 正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2 所示的“新型数学风车”的四个叶片，即 △A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM 平分∠BFE，正方形ABCD 和正方 形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形 EFCH 的面积是（ ） A ． B． C．3m D． 二．填空题（共14 小题） 24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形 是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”． 如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段 得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为 cm． 25．如图，在△ABC 中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P 从点B 出发， 沿射线BC 以1cm/s 的速度运动，设运动的时间为t 秒，连接PA，当△ABP 为等腰三角 形时，t 的值为 ． 26．如图，点M，N 把线段AB 分割成AM，MN 和BN，若以AM，MN，BN 为边的三角形 是一个直角三角形，则称点M，N 是线段AB 的“勾股分割点”．已知点M，N 是线段 AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN 的长为 ． 27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形 ABCD，对角线AC，BD 交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝ ． 28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A、C 的坐标分别为（30，0）（0， 12），点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为15 的等腰三角形时， 点P 的坐标为 ． 29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2 寸，问门广几 何？”意思是：如图推开两扇门（AD 和BC），门边沿D，C 两点到门槛AB 的距离是1 尺（1 尺＝10 寸），两扇门的间隙CD 为2 寸，则门槛AB 长为 寸． 30．如图，在某次军事演习中，舰艇1 号在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇2 号 在指挥中心南偏东60°的B 处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1 号向正东方向 以60 海里/小时的速度前进，舰艇2 号沿北偏东60°的方向以m 海里/小时的速度前进． 1.5 小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F 处，若∠EOF＝75°，EF＝210 海 里，则m 的值为 ． 31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直 角三角形和一个小正方形EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG 并延长 交BC 于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM 的长为 ． 32．如图，铁路上A、D 两点相距25 千米，B，C 为两村庄，AB⊥AD 于A，CD⊥AD 于 D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD 上建一个土特产品收购站P，使得 B、C 两村到P 站的距离相等，则P 站应建在距点A 千米． 33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有 一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从 外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 34．如图，在△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC+PQ 的最小值是 ． 35．如图，在△ABC 中，∠ABC＝45°，AB＝ ，AC＝6，BC＞4，点E，F 分别在BC， AC 边上，且AF＝CE，则AE+BF 的最小值为 ． 36．如图，在△ABC 中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M 是BC 边上的动点， MD⊥AB ，ME⊥AC ，垂足分别是D 、E ，线段DE 的最小值是 cm． 37 ．如图，Rt△ABC 中， ．点P 为△ABC 内一点， PA2+PC2＝AC2．当PB 的长度最小时，△ACP 的面积是 ． 三．解答题（共4 小题） 38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B 处看见一个小球从点A 出 发沿着AO 方向匀速滚向点O，机器人立即从点B 出发，沿BC 方向匀速前进拦截小球， 恰好在点C 处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人 行走的路程BC 是多少？ 39．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P 从B 出发沿射线 BC 以1cm/s 的速度运动，设运动时间为t（s）． （1）求BC 边的长． （2）当△ABP 为等腰三角形时，求t 的值． 40．今年第6 号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大， 有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为 一海港，且点C 与直线AB 上的两点A、B 的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又 AB＝500km，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响． （1）海港C 受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度为28 千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 41．请阅读下列材料： 已知：如图（1）在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E 分别为线段BC 上两 动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC 三条线段之间的数量关系．小明的思路 是：把△AEC 绕点A 顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请 你参考小明的思路探究并解决下列问题： （1）猜想BD、DE、EC 三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； （2）当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图（2），其它条 件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明； （3）已知：如图（3），等边三角形ABC 中，点D、E 在边AB 上，且∠DCE＝30°，请 你找出一个条件，使线段DE、AD、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角 形顶角的度数．
