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专题03 特殊平行四边形中的三种几何动点问题
类型一、面积问题
例．如图，在四边形
中，
，
，
，
．点
从点
出发，
以每秒
的速度沿折线
方向运动，点
从点
出发，以每秒
的速度沿线段
方向向点
运动．
已知动点
，
同时发，当点
运动到点
时，
，
运动停止，设运动时间为．
(1)直接写出
的长（cm）；
(2)当四边形
为平行四边形时，直接写出四边形
的周长（cm）；
(3)在点
、点
的运动过程中，是否存在某一时刻，使得
的面积为
？若存在，请求出所有满
足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)16
(2)
(3)存在，满足条件的的值为
秒或秒
【分析】（1）过点
作
于
，根据题意证明四边形
是平行四边形，然后根据平行四边形
的性质以及勾股定理可得结果；
（2）当四边形
是平行四边形，则点
在
上，点
在
上，则
，
，根据平
行四边形的性质可得
，求解得出平行四边形的各边长，求其周长即可；
（3）分两种情况进行讨论：①当点
在线段
上时；②当点
在线段
上时；根据三角形面积列方程
计算即可．
【详解】（1）解：如图，过点
作
于
，
，
，
∴
，
∵
，
四边形
是平行四边形，
，
在
中，
，
，
根据勾股定理得，
，
；
（2）当四边形
是平行四边形，
则点
在
上，点
在
上，
如图，
由运动知，
，
，
，
，
此时，
，
，根据勾股定理得，
；
四边形
的周长为
；
（3）①当点
在线段
上时，即：
时，
如图
，
，
；
②当点
在线段
上时，即：
时，
如图
，
，
，
，
或
（舍），
即：满足条件的的值为
秒或秒．
【点睛】本题考查了四边形的动点问题，平行四边形的判定与性质，勾股定理，读懂题意，根据相应图形
的性质列出方程是解本题的关键．
【变式训练1】如图，在四边形
中，
，
点P 自点A 沿折线
以
的速度运动，点Q 自点C 沿向
以
的速度运动．点P，Q
同时出发，其中一个点到达终点，另一个点也停止运动．设运动时间为
．
(1)当P 在
边上，点Q 在
边上时，如图1．
①用含t 的代数式表示：
___________，
___________；
②若四边形
是平行四边形，求t 的值？
(2)求
的面积S 与运动时间t 之间的数量关系式，并写出t 的取值范围．
【答案】(1)①
；
；②
(2)
【分析】（1）①根据路程等于速度乘以时间列代数式即可；②
时，四边形
是平行四边形；
（2）求出相关线段的长度，利用三角形面积公式，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：①由题意可知
，
，
∴
，
；
②当四边形
是平行四边形时，
，即
，
解得
．
故答案为：
，
（2）解：如图，过点D 作
于点E，
则
，
∴四边形
是矩形，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴点P 运动到点D 时，需12 秒，点P 到点C 时，需18 秒；点Q 从点C 到点B 需15 秒，从点B 到点A 需
秒．
故分三种情况讨论：
①当
时，如图，
；
②当
时，如图，过点P 作
于点H，
，
易知
∴
，
∴
，
∴
，
∴
；
③当
时，如图，
，
，
∴
，
综上，
．
【点睛】本题考查列代数式、三角形面积公式、平行四边形的判定、勾股定理、矩形的判定与性质、含30
度角的直角三角形的性质、四边形上的动点问题等，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB=12，BC=18，点P 从点A 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
AD 边做往返运动，在点P 出发的同时，点Q 从点B 出发，以每秒1 个单位长度的速度沿BC 边向终点(运
动，当点Q 到达点C 时，两点间时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(秒)．
(1)当t= 4 时，PD 的长度为
(2)当四边形ABQP 为矩形时，t 的值为
(3)设四边形ABQP 的面积为S，求S 与t 之间的函数关系式；
(4)当PQ 所在的直线将矩形ABCD 分成的两部分的面积比为1 2∶时，直接写出t 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)S=
(4)t= 4 或8 或12
【分析】（1）当t=4 时，AP=8，PD=AD-AP=BC-AP=18-8=10；
（2）当四边形ABQP 为矩形时，AP=BQ，根据不同的时间段AP 的关系式求出t 值即可；
（3）由（2）中不同时间段AP 的关系式得出S 的分段函数即可；
（4）PQ 所在的直线将矩形ABCD 分成面积比为1：2 的两部分时，可能再两个不同的时间段存在
和
两种可能，根据（3）中面积的函数关系式分段求t 值即可．
（1）
解：当t=4 时，AP=2t=8，
∴PD=AD-AP=18-8=10，
故答案为10
（2）
解：当四边形ABQP 为矩形时，AP=BQ，
若0≤t≤9 时，AP=2t，则2t=t，
解得t=0（不符合题意，舍去）；
若9＜t≤18 时，AP=36-2t，则36-2t=t，
解得t=12；
故答案为12
（3）
解：当0<t≤9 时，S=
(BQ +AP) AB =
(t+2t)×12= 18t；
当9<t<18 时，S=
(BQ +AP)．AB =- 6t + 216．
综上所述，S =
（4）
解：当0≤t≤9 时，若
，则
=
，
18
∴
t=
×12×18，
解得t=4；
若
，则
=
，
18
∴
t=
×12×18，
解得t=8；
当9＜t≤18 时，若
，则
=
，
-6
∴
t+216=
×12×18，
解得t=24（舍）；
若
，则
=
，
-6
∴
t+216=
×12×18，
解得t=12；
综上，当t=4 或8 或12 时，PQ 所在的直线将矩形ABCD 分成面积比为1：2 两部分．
【点睛】本题主要考查四边形的综合题型，涉及动点问题，矩形的性质，梯形的面积等知识点，会用分类
讨论的思想解决问题是解题的关键．
【变式训练3】如图，在
中，
，
平分
，过点
作
的平行线交
的延长线于
点
，连接
．
(1)求证：四边形
是菱形；
(2)如果
，
的长单位：米）是
的两根，求
的长以及菱形
的面积；
(3)在（2）的条件下，若动点
从
出发，，沿
以
米秒的速度匀速直线运动到点C，动点
从
出
发，沿
以米秒的速度匀速直线运动到点
，当
运动到
点时，运动停止．若
、
同时出发，
问出发几秒钟后，
的面积为
米
2
【答案】(1)见解析
(2) 米，
平方米；
(3) 秒或
秒
【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻
边相等证明菱形；
（2）解方程可得
、
的长，用勾股定理可求
，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线
面积；
（3）根据点
、
运动过程中与
点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【详解】（1）证明：
平分
，
，
，
是等腰三角形，
，
又
，
，
四边形
为平行四边形，
又
，
四边形
是菱形；
（2）解：解方程
，得，
，
，
，
利用勾股定理
，
，
∴
平方米．
（3）解：在第(2)问的条件下，设
、
同时出发
秒钟后，
的面积
，
当点
在
上时，
，
，
解得
(大于2，舍去)；
当点
在
上且点
在
上时，
，
，
整理得，
，此时，
，
∴原方程无解；
当点
在
上且点
在
上时，即
，
，
整理得，
，解得
(小于3，舍去)．
综上所述：
，
出发秒或
秒钟后，△MON 的面积为
．
【点睛】本题考查了菱形的判定方法，菱形的面积计算方法，分类讨论的数学思想．
类型二、几何图形存在性问题
例1．如图，在
中，
，
，
．点
从点
出发沿
方向以每秒
个单位
长的速度向点A 匀速运动，同时点
从点
出发沿
方向以每秒个单位长的速度向点
匀速运动，当其
中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点
运动的时间是秒
．过点
作
于点
，连接DE，EF．
(1)求
的长；
(2)求证：
；
(3)当为何值时，
为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)AB=5，AC=10；
(2)证明见解析
(3)当
秒或
秒时，
为直角三角形，理由见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可；
（2）利用已知用未知数表示出DF，AF 的长，进而得出
；
（3）利用
当
时；
当
时；
当
时，分别分析得出即可．
【详解】（1）解：设
，
，
，
．
由勾股定理得，
，
解得：
，
，
；
（2）证明：由题意得
，CD=2t，
则
，
在△DFC 中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴
．
又
，
；
（3）解：当
秒或
秒时，
为直角三角形，理由如下：
分情况讨论：
①∠EDF=∠DFC=90°时，则
，
∴∠AED=∠B=90°，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE，
10-2
∴
t=2t，
∴
；
②∠DEF=90°时，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴
．
又∵AE=DF，
∴四边形AEFD 为平行四边形，
∴
，
∴∠ADE=∠DEF=60°，
∴∠AED=30°，
∴
，
∴
，
∴
；
③∠EFD=90°时，此种情况不存在．
当
秒或
秒时，
为直角三角形．
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形
的性质等知识．理解相关知识是解答关键．
例2．如图，已知正方形
的边长为
，动点
从点
出发，以
的速度沿
方向向
点
运动，动点
从点
出发，以
的速度沿
方向向点
运动，若
、
两点同时出发运动时
间为
．
(1)连接
、
、
，求当为何值时，
的面积为
？
(2)当点P 在
上运动时，是否存在这样的t 使得
是以
为一腰的等腰三角形？若存在，请求出
符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1 秒或
秒
(2)存在，
秒或
秒
【分析】（1）根据正方形的性质和面积公式，利用割补法即可求解；
（2）根据勾股定理、等腰三角形的性质得出一元二次方程，分情况讨论以
为腰的等腰三角形即可说明．
【详解】（1）解：当
在
上时
如图：根据题意，得
，
，
，
，
，
整理，得
，
解得
．
当
在
上时，此时
答：当为1 秒或
秒时，
的面积为
．
（2）①当
时，根据勾股定理，得
，
解得
，
（不符合题意，舍去）．
②当
时，根据勾股定理，得
，整理得：
解得
，
（不符合题意，舍去）．
答：存在这样的
秒或
秒，使得
是以
为一腰的等腰三角形．
【点睛】本题考查了正方形、一元二次方程、等腰三角形的相关知识，解决本题的关键是分类讨论思想的
运用．
例3．如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P 从点A 出
发以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，以2cm/s 的速度向点B 运动，当点Q 到达点B 时，
点P 也停止运动，设点P，Q 运动的时间为ts．
(1)从运动开始，当t 取何值时，PQ∥CD？
(2)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQCD 是菱形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明
理由；
(3)从运动开始，当t 取何值时，四边形PQBA 是矩形？
(4)在整个运动过程中是否存在t 值，使得四边形PQBA 是正方形？若存在，请求出t 值；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)4
(2)不存在，理由见解析
(3)6
(4)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质进行求解即可；
（2）利用菱形的判定和性质进行求解即可；
（3）利用矩形的判定和性质进行求解即可；
（4）利用正方形的判定和性质进行求解即可．
（1）
解：由运动知，AP＝tcm，CQ＝2tcm，
∴DP＝AD﹣AP＝（12﹣t）cm，
∵
，要
，
∴四边形CDPQ 为平行四边形，
∴DP＝CQ，
12
∴
﹣t＝2t，
∴t＝4，
即t＝4 时，PQ
CD；
（2）
不存在，理由：
∵四边形PQCD 是菱形，
∴CQ＝CD，
2
∴t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12
5
﹣＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD 不可能是菱形；
（3）
如图4，∵∠B＝90°，AD
BC，
∴当AP＝BQ 时，四边形ABQP 是矩形，
即t＝18
2
﹣t，
解得：t＝6，
∴当t＝6 时，四边形PQBA 是矩形；
（4）由当t＝6 时，四边形PQBA 是矩形，
∴AP＝6cm，
∵AB＝8cm，
∴AP≠AB，
∴矩形PQBA 不能是正方形，
即不存在时间t，使四边形PQBA 是正方形．
【点睛】本题考查四边形中的动点问题．解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定
和性质，确定动点的位置．
例4．如图，在菱形
中，对角线
与
交于点
，且
，
，现有两动点
，
分别
从
，
同时出发，点
沿线段
向终点
运动，点
沿折线
向终点
运动，当其中一点到达
终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为（秒）．
(1)填空：
；菱形
的面积
；菱形的高
．
(2)若点
的速度为每秒个单位，点
的速度为每秒
个单位（其中
），当
时在平面内存在点
使得以
，
，
，
为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的
的值．
【答案】(1) ；
；
(2)
或
或
【分析】（1）先由菱形的性质和勾股定理求得AB，再跟菱形面积为对角线之积的一半可得S，最后根据
菱形的面积为边长×高，由此可得高h 的长；
（2）当
，时间固定，AM 的长度也就固定，A、M、N、E 四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以
AM 为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM 为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O，
，
∴
，
∴AB=5，
设菱形的高为h,
则菱形ABCD 的面积为
∴
故答案为：，
，
（2）解：当
时，
，
①如图
，四边形
为菱形，
，
，
，
．
②如图，
为菱形，
交
于点
，作
垂直
于
，
菱形面积为
，
，
，
，
，
，
，
，
，
③如图
，
为菱形，
交
于点
，作
垂直
于，则
，
，
，
，
，
；
综上所述，
的取值有
或
或
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、三角函数、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知识点，综合性
和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，因此综合应用所学知识成为解答本题的关键．
类型三、直线位置关系问题
例1．如图，在
中，
，
，
，点D 是边
的中点，动点P 从点A 出发
以每秒1 个单位的速度沿
向终点C 运动，过点P 作
交折线
于点Q（点Q 不与点D 重
合），以
、
为邻边构造平行四边形
，设点P 的运动时间为t 秒．
(1)直接写出
的长．
(2)当点Q 落在
边上时，用含t 的代数式表示
的长．
(3)当平行四边形
为轴对称图形时求t 的值．
(4)连接
，当
与
的某条边平行时，直接写出t 的值．
【答案】(1)3
(2)
或
(3)
、
或
(4)
或
【分析】（1）根据勾股定理直接求出
的长度；
（2）分类讨论Q 在
和
上的两种情况，
或
；
（3）当平行四边形
为菱形或矩形时即为轴对称图形，因为
，所以当Q 在
上时，
不可能为直角，平行四边形
不可能为矩形，只存在菱形的情况，根据
建立等量解
出t 值；当Q 在
上时，表示出
的长度较为复杂，所以可以表示出
，利用
建立方程
解出t 值；当Q 点在
中点时，平行四边形
为矩形，可直接求得t 值；
（4）因为平行四边形
的四个顶点顺序已经确定，所以Q 在过点D 的
平行线的下方，分类讨论
Q 在
上和在
（见详解图）上的两种况下
平行于不同边时的情况，注意，根据平行线的定义，当
Q 在
上时，
不可能平行于
，当Q 在
上时，
不可能平行于
．
【详解】（1）解：在
中，
，
；
（2）解：
P 从点A 出发以每秒1 个单位的速度沿
向终点C 运动，
，
，
，
，
，
，
点D 是边
的中点，
，
或
；
（3）解：当平行四边形
为菱形或矩形时即为轴对称图形，
或平行四边形
某一内角为
，
①当Q 在
上时，
，由（1）得
，
或
，
或
，
解得
或
，
，
；
Q 在
上时，
不可能为
，故不存在矩形的情况；
②如图，当Q 在
上时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当
时，平行四边形
为菱形，
，
解得
，
，
；
当Q 点在
中点时，平行四边形
为矩形，
此时
，
解得
；
综上所述：当平行四边形
为轴对称图形时，t 的值为
、
或
；
（4）解：
平行四边形
，
Q 在过点D 的
平行线的下方，
①如图，Q 在
上，
，
时，易得
，
平行四边形
，
，
由（1）得
，
，
解得
；
②如图，Q 在
上，
，
时， 易得
，
，
解得
（舍）；
③过点D 的平行线交
于点N，点Q 在
上移动才可能会出现平行四边形
的对角线
平行于
直角三角形的边，此时
，如图，当
时，延长
交
于点H，
平行四边形
，
且
，
，
四边形
为矩形，
，
，解得
；
不存在
的情况；
综上所述：当
与
的某条边平行时，t 的值为
或
．
【点睛】本题考查了几何动点问题，涉及到相似、平行线的性质、平行四边形以及特殊的平行四边形的性
质和判定，还会用到分类讨论的思想，难度较大，解决本题的关键是能准确找到不同的情况并对问题进行
分类讨论．
例2．如图，在
中，
，
，连接
，恰有
，过点
作
于
点
．动点
从点
出发沿
以
的速度向终点
运动，同时点
从点
出发，以
的速度沿
射线
运动，当点
到达终点时，点
也随之停止运动，设点
运动的时间为
．
(1)分别求
和
的长度；
(2)连接
，当
时，判断
与
是否垂直，并说明理由；
(3)试判断是否存在t 的值，使得以P，Q，C，D 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t 的值；若
不存在，请说明理由；
(4)若点
关于直线
对称的点恰好落在直线
上，请直接写出点
，
之间的距离．
【答案】(1)
，
(2)
，理由见详解
(3)存在，的值为
或4
(4)
或
【分析】（1）可求出
，根据含
的直角三角形的性质可得
，
，根据平行四边形的性质可得
，则
，即可得
，
，即可求解；
（2）先证四边形
是平行四边形，可得四边形
是矩形，即可得出结论；
（3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得
，列出方程可求解；
（4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解．
【详解】（1）
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，理由如下：
如图1，
动点
从点
出发沿
以
的速度向终点
运动，同时点
从点
出发，以
的速度沿射线
运动，
当
时，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
四边形
是矩形，
；
（3）存在，
当
为边时，
四边形
是平行四边形，
，
，
；
当
为对角线时，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
综上所述：的值为
或4；
（4）如图，当点
的对称点在线段
上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
过点
作
于
，则
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
；
如图，当点
的对称点在线段
的延长线上时，
，
，
点
的对称点在线段
的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
过点
作
于
，则
，
，
，
，
，
，
，
在
中，
；
综上所述：点
，
之间的距离为
或
．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质
等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
课后训练
1．如图，在四边形
中，
，
，
，
，动点
从
开始沿
边
向
点以
的速度运动，动点
从点
开始沿
向
点以
的速度运动，
，
分别从点
，
同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，运动的时间为秒．
(1) 为何值时，四边形
为矩形？
(2) 为何值时，四边形
为平行四边形？
【答案】(1)当
秒时，四边形
为矩形
(2)当
秒时，四边形
为平行四边形
【分析】（1）根据
，矩形的判定和性质，得
，求出，即可；
（2）根据平行四边形的判定和性质，得
，求出，即可．
【详解】（1）∵
，
∴
，
当
时，四边形
为平行四边形，
∵
，
∴平行四边形
为矩形，
∵动点
从
开始沿
边向
点以
的速度运动，动点
从点
开始沿
向
点以
的速度运
动，
∴
，
，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴当
秒时，四边形
为矩形．
（2）∵
，
∴
，
当
时，四边形
为平行四边形，
∴
，
∴
，
解得：
，
∴当
秒时，四边形
为平行四边形．
【点睛】本题考查动点与几何的综合，矩形和平行四边形的知识，解题的关键是掌握矩形和平行四边形的
判定和性质．
2．如图，在
中，
，
，点
以每秒
的速度由点
向点
运动不与点
重合，
过点
作直线
，
的外角平分线
于点
，
的平分线
于点
设运动时间为秒．
发现：
(1)在点
的运动过程中，
与
的关系是______，请写出理由．
(2)当
时，
______
．
探究：当
______时，四边形
是矩形，并证明你的结论．
拓展：若点
在运动过程中，能使四边形
是正方形，试写出线段
的长度．直接写出结论即可
【答案】(1)
，详见解析
(2)8
，探究：3，拓展：
10
【分析】
根据角平分线的定义、平行线的性质分别得到
，
，根据等腰三
角形的判定定理得到
，
，等量代换证明结论；
根据直角三角形斜边上的中线的性质解答；
探究：根据矩形的判定定理得到
时，四边形
是矩形，进而求出
，求出；
拓展：根据正方形的对角线平分一组对角得到
，进而得到
，根据勾股定理计算，
得到答案．
【详解】（1）解：
，
理由如下：
平分
，
，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
故答案为：
；
（2）由题意得，当
时，
，
则
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
探究：当
时，四边形
是矩形，
理由如下：
，
，
当
时，四边形
是矩形，
此时，
，
时，四边形
是矩形，
故答案为：；
拓展：当四边形
是正方形时，
，
平分
，
，
．
【点睛】本题考查的是正方形的性质、矩形的判定、平行线的性质以及直角三角形斜边上的中线的性质，
掌握矩形的判定定理、正方形的性质是解题的关键．
3．已知正方形
中，
，
．动点
以每秒2 个单位速
度从点
出发沿线段
方向运动，动点
同时以每秒8 个单位速度从
点出发沿正方形的边
方向顺时针作折线运动，当点
与点
相遇时停止运动，设点
的运动时间为．
(1)当运动时间为 秒时，点P 与点Q 相遇；
(2)当
时，求线段
的长度；
(3)连接
，当
和
全等时，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)t 为
或
【分析】（1）先判断出点
，
相遇时，必在正方形的边
上，利用运动路程之和为正方形的正常建立
方程即可；
（2）先判断出四边形
是平行四边形，得出
，进而表示出
，
，用
建立方程
求解即可；
（3）分点
在正方形的边
，
，
，
上，建立方程求解即可得出结论；
【详解】（1）解：
点
的运动速度为
，
，
点
运动到点
的时间为4，
点
的运动速度为，
点
从点
出发沿
方向顺时针作折线运动到点
的时间为
，
点
，
相遇时在边
上，
，
，
故答案为3.2；
（2）解：如图1，
，
点
只能在边
上，
四边形
是正方形，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
；
（3）解：①当点
在边
上时，如图2，
，
，要使
和
全等，只能是
，
，
，
，
，
，
②当点
在边
时，不能构成
，
③当点
在边
上时，如图3，
同①的方法得，要使
和
全等，只能是
，
，
，
，
④当点
在边
时，
不是直角三角形，而
是直角三角形，所以，不能全等；
即：当
和
全等时，的值为0.8 或
；
【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会分类讨论．
4．如图，在
中，
．动点P 从点A 出发沿
以
速度向终点D
运动，同时点Q 从点C 出发，以
速度沿射线
运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动，
设点P 运动的时间为t 秒
．
(1)
的长为______．
(2)用含t 的代数式表示线段
的长．
(3)连接
，
①是否存在t 的值，使得
与
互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在t 的值，使得
与
互相平分？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
(4)若点P 关于直线
对称的点恰好落在直线
上，请直接写出t 的值．
【答案】(1)5
(2)
或
(3)①不存在，理由见解析；②存在，t 的值为
(4)t 的值为
或2
【分析】（1）根据平行四边形的性质得
，再根据勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得
，先求出当点Q 与点B 重合时，所花费的时间，再根据题意分两种情况讨论即
可：当点Q 在线段
上时和当点Q 在线段
的延长线上时；
（3）①连接
，假设
与
互相平分，则可得四边形
是平行四边形，进而可得
，
解得即可到答案；
②连接
，假设
与
互相平分，则可得四边形
是平行四边形，进而可得
，解得
即可到答案；
（4）根据题意分两种情况讨论即可：当点P 关于直线
对称的点落在点A 下方时和当点P 关于直线
对称的点落在点A 上方时．
【详解】（1）∵四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：5；
（2）在
中，
，
，
由题意得，
，
当点Q 与点B 重合时，
，
∴
，
当点Q 在线段
上时，
，
当点Q 在线段
的延长线上时，
，
综上所述，
或
；
（3）①不存在，理由如下：
如图，连接
，
若
与
互相平分，则四边形
是平行四边形，
∴
，
∵
，
∴
，
解得
（不合题意），
∴不存在t 的值，使得
与
互相平分；
②存在，
如图，连接
，
若
与
互相平分，则四边形
是平行四边形，
∴
，
∴
，
∴
，
∴当
时，
与
互相平分；
（4）当点P 关于直线
对称的点落在点A 下方时，如图，
由对称得，
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
；
当点P 关于直线
对称的点落在点A 上方时，如图，
由对称得，
，
∵
，
∴
，
∵
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
解得
，
综上所述，t 的值为
或2．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理的应用和动点问题，灵活运用所学知识求解是解
决本题的关键．
5．如图，矩形
中，
，
．一动点P 从B 点出发沿对角线
方向以每秒2 个单位长
度的速度向点D 匀速运动，同时另一动点Q 从D 点出发沿
方向以每秒1 个单位长度的速度向点C 匀速
运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P、Q 运动的时间为t 秒
．过点P
作
于点E，连接
，
．
(1)求证：
；
(2)四边形
能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，说明理由．
(3)当t 为何值时，
为直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，
(3)当
或
，见解析
【分析】（1）由垂直得
，在
中，
，由
，可得
，即可证明结
果；
（2）先证明四边形
是平行四边形，
，
，当
时，四边形
为菱形，即
可求解；
（3）分类讨论：①当
，②当
，③当
即可．
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，
在
中，
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
；
（2）解：能，理由如下：∵四边形
为矩形，
，
，
∴
，
由（1）知，
，
∴四边形
为平行四边形，
在
中，
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
若使平行四边形
为菱形，则需
，即
，
∴
，
即当
时，四边形
为菱形；
（3）解：①当
时，四边形
为矩形，
∴
，
∵
，
，
∴
，即
；
②当
时，
，
在
中，
，
∴
，
∵
，
∴
，即
．
③当
时，此种情况不存在，
综上所述，当
或
时，
为直角三角形．
【点睛】本题考查动点问题、菱形的判定与性质及矩形的性质，找到动点运动的规律和路线、速度、以及
是否停止和有无取值范围是解题的关键．
6．如图，在长方形
中，
，
，点
是
边上的一点，
、
分别长
、
，满足
，动点
从点
出发，以
的速度沿
运动，最终到达
点
．设运动时间为
．
(1)
______
，
______
；
(2) 为何值时，
把四边形
的周长平分？
(3)另有一点
从点
出发，按照
的路径运动，且速度为
，若
、
两点同时出发，当其
中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求为何值时，
的面积等于
．
【答案】(1)3，3
(2)
(3)
或
或
【分析】（1）由非负性可求a，b 的值；
（2）先求出
，可得
，可求
，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）∵
，
∴
，
∴
；
故答案为：3，3；
（2）∵
，
∴
，
∴
，
∵
把四边形
的周长平分，
∴
，
∴
，点P 在
上，
∴
；
（3）①点P 在
上
，
∵
，
∴
；
②相遇前，点P 在
上
，
∵
，
∴
；
③相遇后，点P 在
上
，
∵
，
∴
；
∴综上所述，当
或
或
时，
的面积等于
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，非负数的性质，一元一次方程的应用等知识，利用分类讨论思想是解本
题的关键．
7．如图，长方形
中，
，现有一动点P 从A 出发以
的速度，沿长方形的边
返回到点A 停止，设点P 运动的时间为t 秒．
(1)当
时，
___________
；
(2)当t 为何值时，连接
是等腰三角形；
(3)Q 为
边上的点，且
，P 与Q 不重合，当t 为何值时，以长方形的两个顶点及点P 为顶点的三
角形与
全等．
【答案】(1)1
(2)
或4 或
(3)
，5.5 或10
【分析】（1）根据题中条件求出
的长即可求解；
（2）分三种情况讨论：①当点P 在
上时，②当点P 在
上时，③当点P 在
上时；
（3）连接
，要使一个三角形与
全等，则另一条直角边必须等于
，分类讨论即可．
【详解】（1）解：动点P 的速度是
，
∴当
时，
，
∵
，
∴
；
（2）解：①当点P 在
上时，
是等腰三角形，
∴
，
在长方形
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵动点P 的速度是
，
∴
；
②当点P 在
上时，
是等腰三角形，如图所示，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
③当点P 在
上时，
是等腰三角形．如图所示，
∵
，
∴
，
∴
，
综上所述，
或4 或
时，
是等腰三角形；
（3）解：根据题意，如图，连接
，
∵
，
∴要使一个三角形与
全等，则另一条直角边必须等于
．
①当点P 运动到
时，
，此时
，
∴点P 的路程为：
，
∴
；
②当点P 运动到
时，
，此时
，
∴点P 的路程为：
，
∴
③当点P 运动到
时，
，此时
，
∴点P 的路程为：
，
∴
，
④当点P 运动到
时，即P 与Q 重合时，
，此时
，
∴点P 的路程为：
∴
，此结果舍去，不符合题意，
综上所述，t 的值可以是：
，5.5 或10．
【点睛】本题考查了动点问题，灵活运用分类讨论思想是解题关键．
